Trigonometría II. 1. Identidades trigonométricas página Triángulos. 3. Aplicaciones de la trigonometría página

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1 Trigonometrí II E S Q U E M D E L U N I D D.. Rzones trigonométrics de l sum de dos ángulos págin 9. Identiddes trigonométrics págin 9.. Rzones trigonométrics de l diferenci de dos ángulos págin 94.. Rzones trigonométrics del ángulo dole y del ángulo mitd págin Trnsformción de l sum de dos rzones trigonométrics en producto págin Resolución de ecuciones trigonométrics págin 98. Triángulos págin 00.. Teorems del o y del coo págin 00.. Resolución de triángulos págin 0. plicciones de l trigonometrí págin Trigonometrí II 47

2 SOLUIONES DE LS TIVIDDES DEL LIRO DEL LUMNO uestiones previs (págin 9). Utiliz l clculdor pr hllr los ángulos comprendidos en el primer giro que cumplen que 0,45. Utilizndo l clculdor, se otiene 6,74. Es importnte recordr que l clculdor proporcion un de ls dos soluciones correspondientes l primer giro, l otr es 4,7. Si es un ángulo del primer cudrnte, rzon cuáles de ls siguientes igulddes son cierts y cuáles no: () tg tg (80 ) Utilizndo l circunferenci goniométric se puede compror fácilmente lo siguiente: (). iert.. Fls y que. tg tg (80 ). Fls y que tg (80 ) tg.. iert.. Eiste lgún triángulo cuyos ldos midn, respectivmente, cm, 4 cm y 8 cm? Por qué? No eiste ningún triángulo con ests medids puesto que siempre se dee verificr que l sum de dos ldos culesquier se myor que el otro ldo y en este cso uántos triángulos hy cuyos ángulos,, 5 y 4? Por qué? Hy infinitos triángulos todos ellos semejntes, tendrán los ángulos igules y los ldos proporcionles. ctividdes (págins 9/05) lcul ls rzones trigonométrics de un ángulo de 5, conociendo ls de uno de 45 y ls de otro de , 5, 4 4 tg 5 5 Siendo que ;que el ángulo pertenece l. er cudrnte, que y que pertenece l. cudrnte, clcul () y (). 5 (), () lcul el coo y l tngente del ángulo de 75 utilizndo ls rzones trigonométrics de 0 y 45. omprue después el resultdo utilizndo un clculdor científic. 75 (0 45 ) , tg45 tg 0 tg 75 tg (0 45 ) tg 45 tg 0, Procediendo de form nálog como se hlló con tg tg tg (), demuestr que: tg () tg tg tg () s en ( ) ( ) ( ) ( ) Dividiendo todos los términos por, qued: (tg tg ) tg() ( tg tg ) 5 onociendo ls rzones trigonométrics de /6, clcul ls de /.,, tg 7 4 Si y 6,clcul ls rzones trigonométrics del ángulo dole y del ángulo mitd de. 0, 9, tg 0, ,, tg 7 Demuestr: tg ) ) tg tg ) ( ) ) tg s en (c os ) Dividiendo el denomindor y numerdor de l frcción tg entre :tg ( tg ) Demuestr l iguldd: s en 8 tg s en [( )/] [( )/] [( )/] [( )/] t g tg tg tg tg tg 9 lcul: ) c) ) s en d) 5,5 7, ) c os [(05 5 )/] [(05 5 )/] [(05 5 )/] [(05 5 )/] tg ) c os [(70 50 )/] [(70 50 )/] [(70 50 )/] [(70 50 )/] 60 0 tg Trigonometrí y números complejos

3 c) 70 5 [(00 40 )/] [(00 40 )/] ( [(00 40 )/] [(00 40 )/]) 70 0 tg d) 5,5 7, ( ) 4 Demuestr: ) L fórmul de l conversión de l diferenci de os en productos. ) L fórmul de l conversión de l diferenci de coos en productos. ) Prtiendo de ls ecuciones del o de l sum y de l diferenci: () () Llmndo y, tenemos que y, con lo que: 4 5 Resulve tg sec tg sec ( ) No es posile. Por tnto: 45 k 60 k 5 k 60 Los ldos de un triángulo son cm, 7 cm y c 8 cm. lcul sus ángulos. c c , c c ,6 c , ) Prtiendo de ls ecuciones del coo de l sum y de l diferenci: () () Llmndo y, tenemos que y, con lo que: 6 7 Los ldos y de un triángulo miden, respectivmente, 7 cm y 5 cm, y el ángulo comprendido entre mos,, es de 45. lcul el vlor del ldo c. c c c 4,95 cm Dos ldos de un prlelogrmo miden 6 cm y 8 cm, y formn un ángulo de 00. lcul l longitud de sus digonles. d d 0,8 cm d d 9, cm Resuelve ls siguientes ecuciones: ) ) c) ec ) 90 k 60 0 k 0, k ) tg 45 k 80, k c) se n 0 k 60 k 00 k 60 Resuelve 0 0 No puede ser k 60, k Resuelve 8 9 Desde un punto,, se divisn otros dos puntos, y, con un ángulo de 5 9. Se se que y distn entre sí 450 m, y que y están seprdos por 500 m. verigu l distnci que hy entre y. plicndo el teorem del coo se otiene: Resolvemos l ecución y otenemos: 57,4 m 9,85 m Ddo el pentágono regulr de l siguiente figur, verigu: c,, d y. O c r m d n se n se 0 ( ) 0 0 o k 60, k, 80 k 60, k, 90 k 60, k De ests soluciones solo son válids pr que se cumpl l ecución inicil: k 60, k, 90 k 60, k El ángulo centrl que rc un ldo mide 7, por lo que: c 7 c,5 cm d 44 d,8 cm El ángulo inscrito que rc un ldo mide l mitd del centrl, es decir, Trigonometrí II 49

4 Ejercicios y prolems (págins 09/) Fórmuls trigonométrics Si 40 0,648 y 5 0,588, se puede deducir que 55 0,9008? No, porque Rzon qué es myor, o. Ddo que, podemos oservr ls siguientes situciones: Si. er cudrnte,, y que es positivo y menor que. Si. o cudrnte,, y que 0. Si. er cudrnte,, y que 0 y 0, luego el producto 0. Si 4. o cudrnte,, y que 0 l multiplicr por 0 d un resultdo menor en vlor soluto y, como es negtivo, es myor que. Tmién puede utilizrse l repretción geométric. 6 onociendo ls rzones trigonométrics de, clcul 4 ls de tg 8 4 El o de un ángulo del segundo cudrnte vle /5. lcul ls rzones trigonométrics de su ángulo dole. Si y tg 4 4 7,, tg Sin utilizr l clculdor, hll el vlor de: ) 05 ) 65 c) tg 85 ) 05 (45 60 ) ( ) 4 ( ) ) 65 4 c) tg 85 lcul tg si tg y pertenece l tercer cudrnte. plicremos: tg c os co s Será necesrio, en primer lugr, clculr, ddo que tg /, se otiene: / y sustituyendo: (/) tg 0,08 (/) Si es un ángulo del que se conoce que /, y tg 0, clcul (), () y tg (). ( ) 0,995, ( ) 0,099 5, tg ( ) 0 Siendo que /4, /, y /, /, verigu: ), y tg ) (), () y tg () c) ( /) y ) 0,99, /8, tg 7,97 ) () 0,7 6, () 0,97 6, tg () 0,40 8 c) (/) 0,4 4, 7/9 Siendo que dos ángulos son gudos y que sus tngentes son y 0,75, respectivmente, clcul el o de su sum, el coo de su diferenci y l tngente de su semisum. () 0,948 7 () 0,8 tg (()/) 0,70 8 Semos que tg 4/5,, y que /7, /. verigu: ), y tg ) (/), (/) y tg (/) c) (), () y tg (/) ) 0,6 5, 0,77 7, tg 0,88 7 ) (/) 0,989 5, (/) 0,44 4, tg (/) 6,854 c) () 0,998 6; () 0,59 4, tg (/),66 8 Si /5 y es un ángulo del curto cudrnte y 4/5 y es un ángulo del segundo cudrnte, clcul: ) 90 d) ( ) f) ) ( ) e) tg h) tg c) tg (80 ) f) tg i) tg ) c o s / ) /5 4/5 4/5 y 7/5 4/5 /5 4/5 y 7/5 ( ) ,576 c) tg s en tg 80 tg tg (80 ) 4 tg 80 tg Trigonometrí y números complejos

5 d) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 4 tg e) tg 4 tg 7 f) tg c c o o s s 4 tg 4 7 tg g) c o s 4/ 7 0 4/ h) Vése el prtdo f). tg tg i) tg tg ( ) tg tg omprue que es rectángulo todo triángulo que verifique lo siguiente: Es evidente, ddo que si el triángulo es rectángulo en, y. Demuestr que si,se cumple que: ( ) ( ) Si,se cumple que y. Entonces: ( ) ( ) Qued, entonces, demostrdo. Demuestr ls siguientes igulddes: ) 4 ( ) ( ) ) tg ( ) ( ) ( )/ c) ( )/ tg ) ( ) tg c) 4 4 Sustituyendo: (4 ) ( 4 ) 4 4 cotg tg 4 4 tg ( ) Simplific (tg tg ) ( sec ) c os Simplificmos l primer frcción: s en s en tg sec co s c os s en tg Simplificmos l segund frcción: ( ) c os s en s en c tg tg os Sustituimos ests epresiones en l epresión glol: tg ( ) (tg tg ) sec c os tg (tg tg ) (tg tg ) tg tg tg tg tg tg omprue que se verificn ests igulddes: ) ) c) ) 44 ( 47 ) 47 ) ( 00 ) c) Trnsform en productos ls siguientes sums: ) 00 0 ) 00 0 c) ) ) c) Trigonometrí II 5

6 8 Sin utilizr l clculdor, hll: Ecuciones trigonométrics ) s en 40 0 c) 75 5 Resuelve: 40 0 ) tg d) (/) / 0 50 ) d) ) sec e) ) s en tg 0 c) cotg f) ec ( ) 0 0 ) 60 k 80 d) 90 k 70 ) s en k ) 60 k 60 e) / k cotg 0 00 k 60 c) c) 5 k 80 f) /4 k d) /4 k 60 Resuelve ls siguientes ecuciones trigonométrics: / ) 0 h) se n 4 9 ) (4 ) / i) Sin utilizr l clculdor, verigu el vlor de ls siguientes epresiones: c) j) 05 5 ) tg d) / k) 5 0 ) ( ) ( ) ( 5 ) e) l) ) s en 05 5 tg f) 0 m) tg (45 0 ) g) tg n) 0 tg tg 45 tg 0 cotg 45 tg 45 tg 0 ) ( ) ( ) ( 5 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( (45 0 )) 4 ( ( )) lcul l epresión de tg en función de tg. plícl pr 45. tg tg tg tg tg tg tg ( ) tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 5 tg ( 45 ) t g 45 tg 45 tg 45 Hll si / st con elevr l cudrdo los dos miemros de l iguldd. ( ) 9 9 ( ) ) 0 60 k k 60, es decir: 0 k 0 k 00 k 0 ) (4 π) El coo de est diferenci se puede escriir como: 4 π 4 π 4 Es decir: k60 k 400 k60 Por lo que ls soluciones de l ecución son: 5 k 90 k 75 k 90 c) Se sustituye y se otiene: 0 ( ) 0 De lo que se deduce: 0 90 k 80 0 k 60, k 50 k 60 d) Reduciendo común denomindor se otiene l ecución de segundo grdo: 4 0 Se resuelve y se otiene: 5 8,7 k 60 k 4,87 k 60 5, no hy solución. 5 Trigonometrí y números complejos

7 e) Se elev l cudrdo l ecución y se otiene: 45 k 80 Hy que verificr l solución, porque l elevr l cudrdo se otiene un ecución cuys soluciones son válids pr y, y se oserv que es ciert si k es un número pr, por lo tnto: 45 k 60, k f) Trnsformmos l sum de coos en producto: () 0 0 De lo que se deduce: 0 k 90 k 0 k 80 Estos dos conjuntos de soluciones se pueden englor como k 90, k g) Pr resolver est ecución se puede elevr l cudrdo y solucionrl, teniendo en cuent que prece l epresión del o del ángulo dole. Hy que remrcr l necesidd de compror ls soluciones. 0 k60 05 k80 0 k60 65 k80 Deemos compror ls soluciones: 05 05, 05 es solución , no es solución , En generl: 05 k 60 k es solución. Lo mismo ocurre con 65 k 80 : solo son soluciones quells que resultn de sumr 65 giros completos, por lo que ls soluciones de l ecución son: 05 k 60 k 65 k 60 h) se n Reduciendo común denomindor, result: 0 Resolviendo l ecución de segundo grdo, se otiene: Si, no tiene solución. Si : 60 k 60 0 k 60 k k i) Se sustituye y se epres l ecución en función de pr conseguir un ecución de segundo grdo. ( ) ( ) 6 0 Ls soluciones son: 9,47 k 60 k 60,5 k 60 y 0 k 60 k 0 k 60 j) Se sustituye y se otiene: 0 0 ( ) 0 De lo que se deduce: 0 Ls soluciones son: k 80 k 45 k 80 k) 5 0 Se sustituye, y se epres l ecución en función de : Se resuelve l ecución y se otiene: 0 k 60 k 40 k 60 L otr solución de l ecución,, es imposile. l) 4 4 ( ) 4 0 ( ) 0 De est iguldd se deduce: 0 Ls soluciones son: k 80 k 45 k 90 m) k 80 k 50 k Trigonometrí II 5

8 4 n) Si se epres l tg como s en, se otiene: 0 0 s en c os co s 0 0 Scndo fctor común: 0 ( ) 0 0 L solución 0 no es válid, pues entonces no eiste tg : sin 0 sin 0 k 60 k 50 k 60 Resuelve los siguientes sistems de ecuciones: ) 5 5 y 0 0 y ) y 4 y 4 c) tg y 4 tg y ) l reducir el sistem se otiene 0,7 y y 0,, por lo tnto: 44,47 k 60 k y 5,57 k 60 07,458 k 60 k 5,54 k 60 ) Sustituyendo el o del ángulo mitd en función del coo y operndo, se otiene: 4 y 4 4 y Dividiendo l segund ecución por y sumndo ls dos, se otiene: y 4 y 5 4 y 8 y 5 0 Resolviendo est ecución, se otienen dos soluciones pr el o de y, / y 5/, que por ser menor que, no puede ser solución. Por tnto: y 4 y Ls soluciones son: 0 k 60 0 k 60,k y 40 k 60,k 50 k 60 c) Se sustituye tg y en l segund ecución: 4 4 4( ) 4 Se orden y se otiene un ecución de segundo grdo: Sus soluciones son y (solución no válid). 0 k 80 Si k 50 k 80 omo tg y, tenemos que tg y y 45 k 80 Resolución de triángulos. Teorems del o y del coo Es posile resolver un triángulo siendo que 0 cm, 0 y 80? Por qué? No, porque 80. Demuestr que el teorem del coo equivle l teorem de Pitágors cundo el triángulo es rectángulo. Suponemos el triángulo rectángulo en, el teorem del coo pr el ldo : c c 90 c (teorem de Pitágors) Resuelve los triángulos de los siguientes csos, yudándote de su construcción gráfic: ) 5 4 c 7 ) c) 5 48 d) e) 5 48 c ) Es un triángulo posile ddo que l sum de dos culesquier de los ldos es myor que el otro ldo. c c 44,4 c c 4,05 c 0,54 ) se n 6, 80 7,89 se n c c 0,8 c) se n 4,5 se n c c 9,0 d) Eisten infinitos triángulos. e) se n c 6,6 c 8,4 se n Resuelve los siguientes triángulos: ) 0 cm 7 cm c cm ) 0 cm 7 cm 0 c) 0 cm 7 cm 80 d) 0 cm 0 80 ) c c 49,58 c c,0 c 98, ) Primer triángulo: Segundo triángulo: se n 45, ,4 c c,56 cm se n se n 4,4 80 5,58 c c,76 cm se n 54 Trigonometrí y números complejos

9 9 c) c c,7 cm se n c 6,84 c 8, se n d) se n 5, se n c c 0,48 lcul un culquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejercicio nterior y utilízl después pr clculr su áre. Pr resolver este ejercicio hemos clculdo l ltur correspondiente l vértice en todos los csos. El ángulo entre los dos ldos igules de un triángulo isósceles es de 40 y el ldo desigul tiene un longitud de 40 cm. uál es l longitud de cd uno de los ldos igules del triángulo? Los ángulos igules del triángulo miden 70 cd uno. plicndo el teorem del o, se otiene lo siguiente: l ,48 cm 40 El ángulo gudo de un romo mide 5. El ldo mide cm. lcul el áre del romo. plicndo el teorem del coo, D 55 y d 5 siendo D y d ls dos digonles del romo. Scndo fctor común, se otiene D 55 y d s co. 5 ) h h 6,9 Áre 4,65 u c Podemos clculr el áre: d D 4,84 cm 0 ) Primer triángulo: h 6,78 u Áre,9 u Segundo triángulo: h,88 u Áre 9,4 u c) h 6,89 u Áre 4,45 u d) h 5,4 u Áre 6, u lcul el áre de cd uno de los triángulos siguientes, siendo: ) 0 cm, 50 y 74 ) 4 cm, 45, y 75 c) 8 cm, 5 cm, 9 4 d) 6 cm, cm, 7 0 e) cm, 4 cm, c 0 cm ) c Áre c ,0 cm ) c Áre c ,88cm c) Áre ,709 cm d) Hy dos posiles triángulos: ,8, 5 44,7, c 6,8 cm Áre 9,98 cm 4 44,7, 9 8 5,8, c 6,65 cm Áre cm e) Áre ; c s co, por tnto: 0,7986 y 0,6085 Áre 8, cm Uno de los ángulos de un romo mide 75, y su digonl myor, 0 cm. lcul su perímetro. 0 l l l 05 l 6, cm perímetro 5, cm Los ldos de un triángulo miden 8 cm, cm y cm, respectivmente. lcul el vlor del o del ángulo más pequeño. El ángulo más pequeño es el opuesto l ldo de longitud 8 cm. plicndo el teorem del coo, se otiene lo siguiente: 8 8 Teniendo en cuent que s co, o utilizndo l clculdor: 0,6 8 Los tres ldos de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 9 cm. lcul sus ángulos y su áre. plicndo el teorem del coo se pueden otener los ángulos: 40,80 60,6 78, se n 40,80,5 cm Un rñ h tejido un tel octogonl de 7 cm de rdio. lcul el áre que rc l tel de rñ. Ldo tel de rñ 5,6 cm. Perímetro tel de rñ 4,88 cm. potem tel de rñ 6,47 cm. Áre tel de rñ 8,7 cm. lcul el rdio de ls circunferencis inscrit y circunscrit de un pentágono regulr de 5 dm de ldo. R c 5 R c 4,5 dm 54 7 tg 6,5 R R i,44 dm i En un triángulo, conocemos los ángulos, 4,5, 78 y l sum de los ldos, 4 cm. lcul cuánto miden los ldos y. 4 7,4 cm, 5,76 cm se n 4,5 78 En un triángulo, conocemos los ldos 5 cm, cm y l sum de dos de sus ángulos 04. lcul cuánto miden los ángulos y. El ángulo mide 76. plicndo el teorem del coo podemos hllr c 6,5. Luego se clcul y : 5 s en ,6 y ,64 c 4. Trigonometrí II 55

10 40 En un triángulo ddos 6, cm y 9 cm. lcul los ángulos del triángulo. Semos que 6. Por el teorem del o: 44 De un triángulo se conocen los ldos,5 cm y c,5 cm y se se que el ángulo es l mitd del ángulo. lcul y los ángulos, y. 9 Si, prtir del teorem del o se otiene que ( 6 ) se n 0,7. Luego: 9 ( 6 6 ) ( 9 6 ) ,79, ,57 y 4 6 5,64 plicndo el teorem del o se otiene:,400 cm En un círculo de 0 cm de rdio, diujmos un cuerd que tg , une los etremos de un rco que rc un ángulo de 80. Por tnto: ,69 y verigu l longitud de l cuerd que se estudi ,6 0,86 m se n Los ángulos de l se de un triángulo vlen 5 y 95, y l 46 Hll el ángulo que formn ls dos tngentes comunes sum de los otros dos ldos es dos circunferencis eteriores cuyos rdios miden, respectivmente, 0 cm y 8 cm. 8 cm. lcul el perímetro y el áre del triángulo c 8 8 cm 0 cm s en 95,88 cm 4, cm 50 c c 8,54 cm 5 50 Perímetro 56,54 cm 5 h/c h 0,6 cm Áre 8,5 cm 4 Demuestr que en todo triángulo, se cumple l iguldd: tg,conocid como Teorem de Nepper. tg (Indicción: dees usr el teorem del o pr escriir l relción entre y ) Por el teorem del o: s en. Sustituimos: s en s en s en tg tg Qued entonces demostrdo. 4 En los ldos de un triángulo se cumple que y c, y se tiene que 0,6. lcul, tg y. Los ldos son, y c. Plntemos el teorem del coo y otenemos est ecución un vez simplificd: 0. Pr clculr con el teorem del coo otenemos: tg Pr clculr plicmos el teorem del coo y se otiene: 0 y Por otr prte: 0 Resolviendo el sistem otenemos: 5 cm 6,6 Por tnto, el ángulo que formn ls dos tngentes es:,. 47 Un triángulo de ldos cm, 4 cm y 6 cm, está inscrito en un circunferenci. ) lcul su perímetro. ) verigu su áre. En primer lugr, clculmos uno de sus ángulos. Se cm, 4 cm y c 6 cm c ,59 c 48 Por el teorem del o, si r es el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo: r r,75 cm se n Por lo que el perímetro y el áre de l circunferenci son, respectivmente: p, cm y 5,79 cm. 48 En un circunferenci de rdio 0 cm, hy inscrito un triángulo isósceles cuyo ldo desigul mide 0 cm tmién. lcul el áre de dicho triángulo. Se 0 cm. Por el teorem del o, si r es el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo, r 0. se n Los ángulos igules medirán 75 cd uno. Uno de los ldos igules,, medirá: 0 75 El áre del triángulo es: h , cm 56 Trigonometrí y números complejos

11 49 Determin el áre de un triángulo que está inscrito en un circunferenci de rdio cm, siendo que dos de los ldos prtir de este sistem se pueden clculr ls longitudes solicitds: del triángulo miden cm y 4 cm, respectivmente. D 50 Supongmos cm y 4 cm. omo: r, se n se n siendo r el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo, tenemos lo siguiente: / y /4 D D 6,05 m; D 0,48 m; 6,5 m; 9 8 6,9 o 60 4,6 y 4 8 9,04 o,0 m; 8,56 m. 65 0,9. 5 De un triángulo conocemos que m; el ángulo Hy pues, dos triángulos posiles: 0 ; y el áre es 7 m.lcul: Triángulo : ) L longitud de cd uno de los ldos del triángulo ,9, 4 8 9,04 y 46 4,56 ) Los ángulos del triángulo. Triángulo : ) Plntemos el siguiente sistem: 60 4,6, 4 8 9,04 y ,5 omo es áre de un triángulo es h ( ),sustituyendo se tiene: 7 0 7, 4 4, 7 Triángulo : 4,4 cm Es decir, los ldos miden 4 m y 7 m, respectivmente. 50 Triángulo : 4 0,48 cm lcul el áre del triángulo repretdo en l siguiente figur si ses que 5 cm: 54 ) Por el teorem del o, los ángulos miden 9,49 y 0,5, respectivmente. lcul el áre de un triángulo isósceles inscrito en un circunferenci de 0 cm de rdio, y cuyo ldo desigul mide 0 cm. r 0 cm Por el teorem del o: (5 0 / 0) 40 06,88 cm Siendo que l longitud de ls mnecills de un reloj de pred miden 0 y centímetros, respectivmente. ) uál es l distnci entre sus etremos cundo son ls 6:00? ) Qué áre tiene el triángulo que determinn ls mnecills est hor? ) Por el teorem del coo, l distnci entre sus etremos es 9,08 cm proimdmente. El ángulo que formn ls mnecills es de 0. ) 0 0 5,96 cm El áre de un triángulo de vértices, y, tiene un superficie de 50 m.el ángulo de este triángulo es de 45 y el ángulo es de 0. Se D el pie de l ltur desde el vértice, es decir, el punto del segmento en que se cumple que D es perpendiculr. lcul l longitud de los segmentos D, D, D,,y. Pr resolver este prolem conviene consultr el prtdo plicción de los teorems del o y del coo de l sección Ejercicios resueltos. Pr clculr el ángulo desigul del triángulo isósceles, se clcul el ángulo que rc un rco igul y uno de cuyos ldos es un diámetro. 0 9,47 60,5 60 Hy dos triángulos isósceles inscritos. Los elementos de uno son: El ángulo que formn los ldos igules es, proimdmente, 9,47. L longitud de los ldos igules: 9, ,4 cm L ltur: 9,75 h h 58,9 cm, y por tnto, el áre es 58,9 cm, proimdmente. Los elementos del otro triángulo son: El ángulo que formn los ángulos igules es, proimdmente, 60,5. L longitud de los ldos igules: 80,65 0 0,5 cm L ltur: 45 D 0 80,65 h 7, cm. h,7 cm, y por tnto, el áre es 4. Trigonometrí II 57

12 55 Sore un circunferenci de rdio m y centro en el punto O, considermos los cinco vértices,,, D y E de un pentágono regulr. lcul: ) El ángulo que form el rdio que c en el vértice con el ldo y el ángulo que formn en el vértice los dos ldos que lo tienen como etremo. 58 Si el etremo superior de un esttu es oservdo desde un punto situdo rs del suelo y ciert distnci, con un ángulo de elevción de 5, cuál será el ángulo de elevción desde el triple de distnci? 5 h h 5 ) L longitud de cd uno de los ldos del pentágono. h 5,0 c) L longitud de culquier de ls digonles. d) El áre del triángulo E. El ángulo de elevción es de,0. 59 Un rmp de 40 m de longitud y 0 de inclinción conduce l pie de un esttu. lcul su ltur siendo que, en el inicio de l rmp, el ángulo de elevción del punto más E O lto de l esttu es de ) omo es un pentágono, el ángulo interno del rco es 60 /5 7. Por tnto, como el triángulo O es isósceles, el ángulo que formn el rdio y el ldo es: Y el ángulo que formn E y es el dole, es decir, 08. ) Por el teorem del coo: l 7,76 m c) El ángulo centrl que rc un ldo mide 7, por tnto el que rc dos ldos del pentágono 44. Por el teorem del coo: d 4 4,90 m d) E 6 0,657 m El ldo más lrgo de un prlelogrmo mide 0 cm, su áre es de 0 cm y su ángulo menor, 0. Determin: ) El ángulo myor del prlelogrmo. ) L longitud del ldo menor. ) Los cutro ángulos de un cudrilátero sumn 60. Por tnto, el ángulo myor es 50. ) El áre es h. Tomndo como se el ldo conocido: 0 0 c 0 c cm. plicciones de l trigonometrí 57 D En un cierto lugr de su recorrido un río tiene sus orills prlels. En ese punto se dese medir su nchur. Pr ello desde dos puntos y de un de sus orills, que están seprdos 5 m, se oserv un punto P de l otr orill, situdo río jo. Si ls visules desde y P formn con l orill unos ángulos de 9 5 y 5 48 respectivmente, verigu l nchur del río en ese punto. Relizmos un diujo pr entender mejor el prolem: omo 5 m, l plicr el teorem del o: 5 P 7 Luego otenemos P y como P ,6 m P m m h h,4 m se n 65 5 L ltur de l esttu es de,4 m. Un emrcción,, se encuentr 45 km l sureste de otro r- N co, y un tercer emrcción, 45, se hll 57 km l sur de. ) Qué distnci sepr los r y? 57 km ) Qué rumo deerí tomr el rco pr rrir l punto donde está situdo? ) ,58 km 45 ) 5,64 45 se n El rco deerí tomr un rumo 5,64 Noreste. Un golfist golpe l pelot de modo que su lnzmiento lcnz un longitud de 9 m. Si l distnci del golfist l hoyo es de 50 m y l pelot qued un distnci de 40 m del hoyo, clcul el ángulo que form l líne de unión del golfist con el hoyo y l dirección del lnzmiento. plicndo el teorem del coo: El ángulo que form l dirección del tiro y l visul entre el golfist y el hoyo es 4,06. Dos oservdores que se hlln en l t 000 m de distnci el uno del otro contempln un pltform petrolífer situd mr dentro. mos dirigen sus respectivs visules l pltform y miden el ángulo que formn ests con l líne imginri que los une. Si estos ángulos vlen 6 y 8, cuál es l distnci que sepr l pltform de l t? ,96 m 8 se n 4 h 6 h 58,5 m 77 4,96 L distnci de l pltform tierr es de 58,5 m, proimdmente. 45 km 58 Trigonometrí y números complejos

13 6 Los puentes levdizos de l figur tienen l mism longitud. undo están elevdos, qué distnci sepr los ) Relizmos el siguiente diujo: puntos X e Y? 77 X Y 68 cm 64 8 m X/9 X 7,55 m 8 5,0,90 m L distnci entre X e Y es,90 m, proimdmente. verigu el ángulo que formn dos fuerzs de 5 N y N, cuy resultnte es de 70 N. Relizmos el siguiente diujo: plicndo el teorem del coo: 5 N 70 N prtir de l figur y teniendo en cuent este resultdo, se otiene que el ángulo que formn ls dos fuerz N es su suplementrio, , proimdmente. 67 ) plicndo el teorem del o, se otiene: ,77cm y,85 cm c) Puesto que cm del mp son 500 m en l relidd, 88 m y 47,6 m. En el momento de mrcr el último gol de lemni en l finl de l Eurocop de Inglterr, ierhoff est situdo 5 metros de uno de los plos y 8 metros del otro, y veí l porterí jo un ángulo de 60. lcul l distnci del jugdor l líne de gol. Relizmos el siguiente diujo: lejndro quiere colgr un lámpr un determind distnci del techo de su hitción. Pr ello, coge un cle, fij l lámpr y lo clv por sus etremos en dos puntos del techo que están seprdos 40 cm. lejndro escoge estos puntos de modo que los ángulos entre el cle y el techo son de 40 y 60 en cd uno de los puntos de fijción. ) uál es l longitud del cle? ) qué distnci del techo quedrá l lámpr? ) Relizmos el siguiente diujo: 40 cm 40 plicndo el teorem del o: 40 ( ) 4,49 se n 80 L longitud del cle será, por tnto, 4,49 cm 40 ) L lámpr estrá d se n 80 79,6 cm del techo. Hy que relizr un mp de un ciert zon montños y, y son ls cims de tres montñs de l mism ltur. Ls cims y están ien determinds y repretds en el mp, mientrs que l situción de está por determinr. Suimos lo lto de l cim y medimos el ángulo entre l líne y l líne, que result de 68. Suimos y el ángulo entre ls línes y es de 5. En el mp l distnci entre y es de cm. ) Hz un digrm de l situción, notndo el ángulo que formn en ls línes y. ) Hll, sore el mp, l distnci entre y y l distnci entre y. c) Si l escl del mp es : , clcul l distnci entre ls cims de ls tres montñs c 5 m y 8 m en el diujo plicndo el teorem del coo: c c L nchur de l porterí es, por tnto, 7 m. Entonces: se n se n 8 se n 60 7 d 5 d se n 60 4,95 7 L distnci del jugdor l porterí es de 4,95 m. Pr medir l ltur de un nue se hn hecho dos oservciones simultánes desde los puntos y, mos situdos l nivel del mr y que distn entre sí km. L inclinción de l visul desde l nue, respecto de l horizontl, es de 47. Los ángulos que formn ls visules desde y desde con l rect son, respectivmente, 8 y 5, tl como se indic en l figur. verigu l ltur l que se encuentr situd dich nue con respecto del nivel del mr. 5 m 47 8 d 60 km 5 8 m Nue 4. Trigonometrí II 59

14 69 Se el ángulo el ángulo que form l nue con y. 80 (8 5 ) 89 on este dto podemos clculr el ldo : c c se n s en 89 on este vlor podemos clculr l ltur de l nue, h: 47 h h ,7 m Dos migos están cd uno de ellos en l terrz de su cs y oservn un rco. Quieren determinr qué distnci se encuentr, y pr ello disponen cd uno de un teodolito. Llmemos y los puntos en que se encuentrn sus respectivos teodolitos. Desde el punto miden un distnci de 0 m un punto, 0 m, de mner que el triángulo es rectángulo en. Desde el punto result que el ángulo de este triángulo es de 5,6. ) Qué distnci hy entre los dos migos? ) lcul qué distnci está el rco de cd uno de ellos si l rect que une con el rco form con l rect un ángulo de 75,5. Y si l rect que une con el rco form con l rect un ángulo de 8,6. c) Podemos ser, sin hcer cálculos, quién está más cerc del rco? Por qué? Relizmos el siguiente diujo:, El circo h llegdo un ciudd y hy que instlrlo. El especilist que lo mont no h llegdo y los operrios no sen cuánto cle necesitn. Hy uno que recuerd que, un vez tensdo el cle desde el etremo del plo principl hst un punto determindo del suelo, con el cul form un ángulo de 60, hcen flt m más de cle que si form con el suelo un ángulo de 70. En totl hn de colocr 6 cles tensdos formndo con el suelo un ángulo de 60 cd uno de ellos. uántos metros de cle necesitn? Relizmos el siguiente diujo: 70 0 Por el teorem del o:,5 m 60 se n 0 En totl, necesitn 6 (,5 ) 5,07 m de cle. Dos vís de ferrocrril se cortn formndo un ángulo cuyo vlor es de 0 6. Del cruce slen l mismo tiempo dos locomotors, un por cd ví. Un de ls locomotors v un velocidd de 00 km/h. qué velocidd dee circulr l otr pr que ls hors estén seprds un distnci de 50 km? Relizmos el siguiente diujo: 60 0 m 75,5 5,6 8,6 0 ) L distnci entre y es: 0,99 m tg 5,6 ) prtir de l figur y, simplemente plicndo el teorem del o, se otiene: 59,8 m y 5,75m, distnci del rco y, respectivmente. c) Está más cerc de, porque el ángulo es más pequeño Plntemos el teorem del o: ,85 6, ,88,584 Hy dos soluciones l situción: d 50 5,88 89,599 km 0 6 9,87 km/h proimdmente d 50, 584 7,55 km ,75 km/h proimdmente 00 km 50 km 50 km 60 Trigonometrí y números complejos

4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.

4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen. 9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio

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