Trigonometría II. 1. Identidades trigonométricas página Triángulos. 3. Aplicaciones de la trigonometría página
|
|
- Silvia Castro Martin
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Trigonometrí II E S Q U E M D E L U N I D D.. Rzones trigonométrics de l sum de dos ángulos págin 9. Identiddes trigonométrics págin 9.. Rzones trigonométrics de l diferenci de dos ángulos págin 94.. Rzones trigonométrics del ángulo dole y del ángulo mitd págin Trnsformción de l sum de dos rzones trigonométrics en producto págin Resolución de ecuciones trigonométrics págin 98. Triángulos págin 00.. Teorems del o y del coo págin 00.. Resolución de triángulos págin 0. plicciones de l trigonometrí págin Trigonometrí II 47
2 SOLUIONES DE LS TIVIDDES DEL LIRO DEL LUMNO uestiones previs (págin 9). Utiliz l clculdor pr hllr los ángulos comprendidos en el primer giro que cumplen que 0,45. Utilizndo l clculdor, se otiene 6,74. Es importnte recordr que l clculdor proporcion un de ls dos soluciones correspondientes l primer giro, l otr es 4,7. Si es un ángulo del primer cudrnte, rzon cuáles de ls siguientes igulddes son cierts y cuáles no: () tg tg (80 ) Utilizndo l circunferenci goniométric se puede compror fácilmente lo siguiente: (). iert.. Fls y que. tg tg (80 ). Fls y que tg (80 ) tg.. iert.. Eiste lgún triángulo cuyos ldos midn, respectivmente, cm, 4 cm y 8 cm? Por qué? No eiste ningún triángulo con ests medids puesto que siempre se dee verificr que l sum de dos ldos culesquier se myor que el otro ldo y en este cso uántos triángulos hy cuyos ángulos,, 5 y 4? Por qué? Hy infinitos triángulos todos ellos semejntes, tendrán los ángulos igules y los ldos proporcionles. ctividdes (págins 9/05) lcul ls rzones trigonométrics de un ángulo de 5, conociendo ls de uno de 45 y ls de otro de , 5, 4 4 tg 5 5 Siendo que ;que el ángulo pertenece l. er cudrnte, que y que pertenece l. cudrnte, clcul () y (). 5 (), () lcul el coo y l tngente del ángulo de 75 utilizndo ls rzones trigonométrics de 0 y 45. omprue después el resultdo utilizndo un clculdor científic. 75 (0 45 ) , tg45 tg 0 tg 75 tg (0 45 ) tg 45 tg 0, Procediendo de form nálog como se hlló con tg tg tg (), demuestr que: tg () tg tg tg () s en ( ) ( ) ( ) ( ) Dividiendo todos los términos por, qued: (tg tg ) tg() ( tg tg ) 5 onociendo ls rzones trigonométrics de /6, clcul ls de /.,, tg 7 4 Si y 6,clcul ls rzones trigonométrics del ángulo dole y del ángulo mitd de. 0, 9, tg 0, ,, tg 7 Demuestr: tg ) ) tg tg ) ( ) ) tg s en (c os ) Dividiendo el denomindor y numerdor de l frcción tg entre :tg ( tg ) Demuestr l iguldd: s en 8 tg s en [( )/] [( )/] [( )/] [( )/] t g tg tg tg tg tg 9 lcul: ) c) ) s en d) 5,5 7, ) c os [(05 5 )/] [(05 5 )/] [(05 5 )/] [(05 5 )/] tg ) c os [(70 50 )/] [(70 50 )/] [(70 50 )/] [(70 50 )/] 60 0 tg Trigonometrí y números complejos
3 c) 70 5 [(00 40 )/] [(00 40 )/] ( [(00 40 )/] [(00 40 )/]) 70 0 tg d) 5,5 7, ( ) 4 Demuestr: ) L fórmul de l conversión de l diferenci de os en productos. ) L fórmul de l conversión de l diferenci de coos en productos. ) Prtiendo de ls ecuciones del o de l sum y de l diferenci: () () Llmndo y, tenemos que y, con lo que: 4 5 Resulve tg sec tg sec ( ) No es posile. Por tnto: 45 k 60 k 5 k 60 Los ldos de un triángulo son cm, 7 cm y c 8 cm. lcul sus ángulos. c c , c c ,6 c , ) Prtiendo de ls ecuciones del coo de l sum y de l diferenci: () () Llmndo y, tenemos que y, con lo que: 6 7 Los ldos y de un triángulo miden, respectivmente, 7 cm y 5 cm, y el ángulo comprendido entre mos,, es de 45. lcul el vlor del ldo c. c c c 4,95 cm Dos ldos de un prlelogrmo miden 6 cm y 8 cm, y formn un ángulo de 00. lcul l longitud de sus digonles. d d 0,8 cm d d 9, cm Resuelve ls siguientes ecuciones: ) ) c) ec ) 90 k 60 0 k 0, k ) tg 45 k 80, k c) se n 0 k 60 k 00 k 60 Resuelve 0 0 No puede ser k 60, k Resuelve 8 9 Desde un punto,, se divisn otros dos puntos, y, con un ángulo de 5 9. Se se que y distn entre sí 450 m, y que y están seprdos por 500 m. verigu l distnci que hy entre y. plicndo el teorem del coo se otiene: Resolvemos l ecución y otenemos: 57,4 m 9,85 m Ddo el pentágono regulr de l siguiente figur, verigu: c,, d y. O c r m d n se n se 0 ( ) 0 0 o k 60, k, 80 k 60, k, 90 k 60, k De ests soluciones solo son válids pr que se cumpl l ecución inicil: k 60, k, 90 k 60, k El ángulo centrl que rc un ldo mide 7, por lo que: c 7 c,5 cm d 44 d,8 cm El ángulo inscrito que rc un ldo mide l mitd del centrl, es decir, Trigonometrí II 49
4 Ejercicios y prolems (págins 09/) Fórmuls trigonométrics Si 40 0,648 y 5 0,588, se puede deducir que 55 0,9008? No, porque Rzon qué es myor, o. Ddo que, podemos oservr ls siguientes situciones: Si. er cudrnte,, y que es positivo y menor que. Si. o cudrnte,, y que 0. Si. er cudrnte,, y que 0 y 0, luego el producto 0. Si 4. o cudrnte,, y que 0 l multiplicr por 0 d un resultdo menor en vlor soluto y, como es negtivo, es myor que. Tmién puede utilizrse l repretción geométric. 6 onociendo ls rzones trigonométrics de, clcul 4 ls de tg 8 4 El o de un ángulo del segundo cudrnte vle /5. lcul ls rzones trigonométrics de su ángulo dole. Si y tg 4 4 7,, tg Sin utilizr l clculdor, hll el vlor de: ) 05 ) 65 c) tg 85 ) 05 (45 60 ) ( ) 4 ( ) ) 65 4 c) tg 85 lcul tg si tg y pertenece l tercer cudrnte. plicremos: tg c os co s Será necesrio, en primer lugr, clculr, ddo que tg /, se otiene: / y sustituyendo: (/) tg 0,08 (/) Si es un ángulo del que se conoce que /, y tg 0, clcul (), () y tg (). ( ) 0,995, ( ) 0,099 5, tg ( ) 0 Siendo que /4, /, y /, /, verigu: ), y tg ) (), () y tg () c) ( /) y ) 0,99, /8, tg 7,97 ) () 0,7 6, () 0,97 6, tg () 0,40 8 c) (/) 0,4 4, 7/9 Siendo que dos ángulos son gudos y que sus tngentes son y 0,75, respectivmente, clcul el o de su sum, el coo de su diferenci y l tngente de su semisum. () 0,948 7 () 0,8 tg (()/) 0,70 8 Semos que tg 4/5,, y que /7, /. verigu: ), y tg ) (/), (/) y tg (/) c) (), () y tg (/) ) 0,6 5, 0,77 7, tg 0,88 7 ) (/) 0,989 5, (/) 0,44 4, tg (/) 6,854 c) () 0,998 6; () 0,59 4, tg (/),66 8 Si /5 y es un ángulo del curto cudrnte y 4/5 y es un ángulo del segundo cudrnte, clcul: ) 90 d) ( ) f) ) ( ) e) tg h) tg c) tg (80 ) f) tg i) tg ) c o s / ) /5 4/5 4/5 y 7/5 4/5 /5 4/5 y 7/5 ( ) ,576 c) tg s en tg 80 tg tg (80 ) 4 tg 80 tg Trigonometrí y números complejos
5 d) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 4 tg e) tg 4 tg 7 f) tg c c o o s s 4 tg 4 7 tg g) c o s 4/ 7 0 4/ h) Vése el prtdo f). tg tg i) tg tg ( ) tg tg omprue que es rectángulo todo triángulo que verifique lo siguiente: Es evidente, ddo que si el triángulo es rectángulo en, y. Demuestr que si,se cumple que: ( ) ( ) Si,se cumple que y. Entonces: ( ) ( ) Qued, entonces, demostrdo. Demuestr ls siguientes igulddes: ) 4 ( ) ( ) ) tg ( ) ( ) ( )/ c) ( )/ tg ) ( ) tg c) 4 4 Sustituyendo: (4 ) ( 4 ) 4 4 cotg tg 4 4 tg ( ) Simplific (tg tg ) ( sec ) c os Simplificmos l primer frcción: s en s en tg sec co s c os s en tg Simplificmos l segund frcción: ( ) c os s en s en c tg tg os Sustituimos ests epresiones en l epresión glol: tg ( ) (tg tg ) sec c os tg (tg tg ) (tg tg ) tg tg tg tg tg tg omprue que se verificn ests igulddes: ) ) c) ) 44 ( 47 ) 47 ) ( 00 ) c) Trnsform en productos ls siguientes sums: ) 00 0 ) 00 0 c) ) ) c) Trigonometrí II 5
6 8 Sin utilizr l clculdor, hll: Ecuciones trigonométrics ) s en 40 0 c) 75 5 Resuelve: 40 0 ) tg d) (/) / 0 50 ) d) ) sec e) ) s en tg 0 c) cotg f) ec ( ) 0 0 ) 60 k 80 d) 90 k 70 ) s en k ) 60 k 60 e) / k cotg 0 00 k 60 c) c) 5 k 80 f) /4 k d) /4 k 60 Resuelve ls siguientes ecuciones trigonométrics: / ) 0 h) se n 4 9 ) (4 ) / i) Sin utilizr l clculdor, verigu el vlor de ls siguientes epresiones: c) j) 05 5 ) tg d) / k) 5 0 ) ( ) ( ) ( 5 ) e) l) ) s en 05 5 tg f) 0 m) tg (45 0 ) g) tg n) 0 tg tg 45 tg 0 cotg 45 tg 45 tg 0 ) ( ) ( ) ( 5 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( (45 0 )) 4 ( ( )) lcul l epresión de tg en función de tg. plícl pr 45. tg tg tg tg tg tg tg ( ) tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 5 tg ( 45 ) t g 45 tg 45 tg 45 Hll si / st con elevr l cudrdo los dos miemros de l iguldd. ( ) 9 9 ( ) ) 0 60 k k 60, es decir: 0 k 0 k 00 k 0 ) (4 π) El coo de est diferenci se puede escriir como: 4 π 4 π 4 Es decir: k60 k 400 k60 Por lo que ls soluciones de l ecución son: 5 k 90 k 75 k 90 c) Se sustituye y se otiene: 0 ( ) 0 De lo que se deduce: 0 90 k 80 0 k 60, k 50 k 60 d) Reduciendo común denomindor se otiene l ecución de segundo grdo: 4 0 Se resuelve y se otiene: 5 8,7 k 60 k 4,87 k 60 5, no hy solución. 5 Trigonometrí y números complejos
7 e) Se elev l cudrdo l ecución y se otiene: 45 k 80 Hy que verificr l solución, porque l elevr l cudrdo se otiene un ecución cuys soluciones son válids pr y, y se oserv que es ciert si k es un número pr, por lo tnto: 45 k 60, k f) Trnsformmos l sum de coos en producto: () 0 0 De lo que se deduce: 0 k 90 k 0 k 80 Estos dos conjuntos de soluciones se pueden englor como k 90, k g) Pr resolver est ecución se puede elevr l cudrdo y solucionrl, teniendo en cuent que prece l epresión del o del ángulo dole. Hy que remrcr l necesidd de compror ls soluciones. 0 k60 05 k80 0 k60 65 k80 Deemos compror ls soluciones: 05 05, 05 es solución , no es solución , En generl: 05 k 60 k es solución. Lo mismo ocurre con 65 k 80 : solo son soluciones quells que resultn de sumr 65 giros completos, por lo que ls soluciones de l ecución son: 05 k 60 k 65 k 60 h) se n Reduciendo común denomindor, result: 0 Resolviendo l ecución de segundo grdo, se otiene: Si, no tiene solución. Si : 60 k 60 0 k 60 k k i) Se sustituye y se epres l ecución en función de pr conseguir un ecución de segundo grdo. ( ) ( ) 6 0 Ls soluciones son: 9,47 k 60 k 60,5 k 60 y 0 k 60 k 0 k 60 j) Se sustituye y se otiene: 0 0 ( ) 0 De lo que se deduce: 0 Ls soluciones son: k 80 k 45 k 80 k) 5 0 Se sustituye, y se epres l ecución en función de : Se resuelve l ecución y se otiene: 0 k 60 k 40 k 60 L otr solución de l ecución,, es imposile. l) 4 4 ( ) 4 0 ( ) 0 De est iguldd se deduce: 0 Ls soluciones son: k 80 k 45 k 90 m) k 80 k 50 k Trigonometrí II 5
8 4 n) Si se epres l tg como s en, se otiene: 0 0 s en c os co s 0 0 Scndo fctor común: 0 ( ) 0 0 L solución 0 no es válid, pues entonces no eiste tg : sin 0 sin 0 k 60 k 50 k 60 Resuelve los siguientes sistems de ecuciones: ) 5 5 y 0 0 y ) y 4 y 4 c) tg y 4 tg y ) l reducir el sistem se otiene 0,7 y y 0,, por lo tnto: 44,47 k 60 k y 5,57 k 60 07,458 k 60 k 5,54 k 60 ) Sustituyendo el o del ángulo mitd en función del coo y operndo, se otiene: 4 y 4 4 y Dividiendo l segund ecución por y sumndo ls dos, se otiene: y 4 y 5 4 y 8 y 5 0 Resolviendo est ecución, se otienen dos soluciones pr el o de y, / y 5/, que por ser menor que, no puede ser solución. Por tnto: y 4 y Ls soluciones son: 0 k 60 0 k 60,k y 40 k 60,k 50 k 60 c) Se sustituye tg y en l segund ecución: 4 4 4( ) 4 Se orden y se otiene un ecución de segundo grdo: Sus soluciones son y (solución no válid). 0 k 80 Si k 50 k 80 omo tg y, tenemos que tg y y 45 k 80 Resolución de triángulos. Teorems del o y del coo Es posile resolver un triángulo siendo que 0 cm, 0 y 80? Por qué? No, porque 80. Demuestr que el teorem del coo equivle l teorem de Pitágors cundo el triángulo es rectángulo. Suponemos el triángulo rectángulo en, el teorem del coo pr el ldo : c c 90 c (teorem de Pitágors) Resuelve los triángulos de los siguientes csos, yudándote de su construcción gráfic: ) 5 4 c 7 ) c) 5 48 d) e) 5 48 c ) Es un triángulo posile ddo que l sum de dos culesquier de los ldos es myor que el otro ldo. c c 44,4 c c 4,05 c 0,54 ) se n 6, 80 7,89 se n c c 0,8 c) se n 4,5 se n c c 9,0 d) Eisten infinitos triángulos. e) se n c 6,6 c 8,4 se n Resuelve los siguientes triángulos: ) 0 cm 7 cm c cm ) 0 cm 7 cm 0 c) 0 cm 7 cm 80 d) 0 cm 0 80 ) c c 49,58 c c,0 c 98, ) Primer triángulo: Segundo triángulo: se n 45, ,4 c c,56 cm se n se n 4,4 80 5,58 c c,76 cm se n 54 Trigonometrí y números complejos
9 9 c) c c,7 cm se n c 6,84 c 8, se n d) se n 5, se n c c 0,48 lcul un culquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejercicio nterior y utilízl después pr clculr su áre. Pr resolver este ejercicio hemos clculdo l ltur correspondiente l vértice en todos los csos. El ángulo entre los dos ldos igules de un triángulo isósceles es de 40 y el ldo desigul tiene un longitud de 40 cm. uál es l longitud de cd uno de los ldos igules del triángulo? Los ángulos igules del triángulo miden 70 cd uno. plicndo el teorem del o, se otiene lo siguiente: l ,48 cm 40 El ángulo gudo de un romo mide 5. El ldo mide cm. lcul el áre del romo. plicndo el teorem del coo, D 55 y d 5 siendo D y d ls dos digonles del romo. Scndo fctor común, se otiene D 55 y d s co. 5 ) h h 6,9 Áre 4,65 u c Podemos clculr el áre: d D 4,84 cm 0 ) Primer triángulo: h 6,78 u Áre,9 u Segundo triángulo: h,88 u Áre 9,4 u c) h 6,89 u Áre 4,45 u d) h 5,4 u Áre 6, u lcul el áre de cd uno de los triángulos siguientes, siendo: ) 0 cm, 50 y 74 ) 4 cm, 45, y 75 c) 8 cm, 5 cm, 9 4 d) 6 cm, cm, 7 0 e) cm, 4 cm, c 0 cm ) c Áre c ,0 cm ) c Áre c ,88cm c) Áre ,709 cm d) Hy dos posiles triángulos: ,8, 5 44,7, c 6,8 cm Áre 9,98 cm 4 44,7, 9 8 5,8, c 6,65 cm Áre cm e) Áre ; c s co, por tnto: 0,7986 y 0,6085 Áre 8, cm Uno de los ángulos de un romo mide 75, y su digonl myor, 0 cm. lcul su perímetro. 0 l l l 05 l 6, cm perímetro 5, cm Los ldos de un triángulo miden 8 cm, cm y cm, respectivmente. lcul el vlor del o del ángulo más pequeño. El ángulo más pequeño es el opuesto l ldo de longitud 8 cm. plicndo el teorem del coo, se otiene lo siguiente: 8 8 Teniendo en cuent que s co, o utilizndo l clculdor: 0,6 8 Los tres ldos de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 9 cm. lcul sus ángulos y su áre. plicndo el teorem del coo se pueden otener los ángulos: 40,80 60,6 78, se n 40,80,5 cm Un rñ h tejido un tel octogonl de 7 cm de rdio. lcul el áre que rc l tel de rñ. Ldo tel de rñ 5,6 cm. Perímetro tel de rñ 4,88 cm. potem tel de rñ 6,47 cm. Áre tel de rñ 8,7 cm. lcul el rdio de ls circunferencis inscrit y circunscrit de un pentágono regulr de 5 dm de ldo. R c 5 R c 4,5 dm 54 7 tg 6,5 R R i,44 dm i En un triángulo, conocemos los ángulos, 4,5, 78 y l sum de los ldos, 4 cm. lcul cuánto miden los ldos y. 4 7,4 cm, 5,76 cm se n 4,5 78 En un triángulo, conocemos los ldos 5 cm, cm y l sum de dos de sus ángulos 04. lcul cuánto miden los ángulos y. El ángulo mide 76. plicndo el teorem del coo podemos hllr c 6,5. Luego se clcul y : 5 s en ,6 y ,64 c 4. Trigonometrí II 55
10 40 En un triángulo ddos 6, cm y 9 cm. lcul los ángulos del triángulo. Semos que 6. Por el teorem del o: 44 De un triángulo se conocen los ldos,5 cm y c,5 cm y se se que el ángulo es l mitd del ángulo. lcul y los ángulos, y. 9 Si, prtir del teorem del o se otiene que ( 6 ) se n 0,7. Luego: 9 ( 6 6 ) ( 9 6 ) ,79, ,57 y 4 6 5,64 plicndo el teorem del o se otiene:,400 cm En un círculo de 0 cm de rdio, diujmos un cuerd que tg , une los etremos de un rco que rc un ángulo de 80. Por tnto: ,69 y verigu l longitud de l cuerd que se estudi ,6 0,86 m se n Los ángulos de l se de un triángulo vlen 5 y 95, y l 46 Hll el ángulo que formn ls dos tngentes comunes sum de los otros dos ldos es dos circunferencis eteriores cuyos rdios miden, respectivmente, 0 cm y 8 cm. 8 cm. lcul el perímetro y el áre del triángulo c 8 8 cm 0 cm s en 95,88 cm 4, cm 50 c c 8,54 cm 5 50 Perímetro 56,54 cm 5 h/c h 0,6 cm Áre 8,5 cm 4 Demuestr que en todo triángulo, se cumple l iguldd: tg,conocid como Teorem de Nepper. tg (Indicción: dees usr el teorem del o pr escriir l relción entre y ) Por el teorem del o: s en. Sustituimos: s en s en s en tg tg Qued entonces demostrdo. 4 En los ldos de un triángulo se cumple que y c, y se tiene que 0,6. lcul, tg y. Los ldos son, y c. Plntemos el teorem del coo y otenemos est ecución un vez simplificd: 0. Pr clculr con el teorem del coo otenemos: tg Pr clculr plicmos el teorem del coo y se otiene: 0 y Por otr prte: 0 Resolviendo el sistem otenemos: 5 cm 6,6 Por tnto, el ángulo que formn ls dos tngentes es:,. 47 Un triángulo de ldos cm, 4 cm y 6 cm, está inscrito en un circunferenci. ) lcul su perímetro. ) verigu su áre. En primer lugr, clculmos uno de sus ángulos. Se cm, 4 cm y c 6 cm c ,59 c 48 Por el teorem del o, si r es el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo: r r,75 cm se n Por lo que el perímetro y el áre de l circunferenci son, respectivmente: p, cm y 5,79 cm. 48 En un circunferenci de rdio 0 cm, hy inscrito un triángulo isósceles cuyo ldo desigul mide 0 cm tmién. lcul el áre de dicho triángulo. Se 0 cm. Por el teorem del o, si r es el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo, r 0. se n Los ángulos igules medirán 75 cd uno. Uno de los ldos igules,, medirá: 0 75 El áre del triángulo es: h , cm 56 Trigonometrí y números complejos
11 49 Determin el áre de un triángulo que está inscrito en un circunferenci de rdio cm, siendo que dos de los ldos prtir de este sistem se pueden clculr ls longitudes solicitds: del triángulo miden cm y 4 cm, respectivmente. D 50 Supongmos cm y 4 cm. omo: r, se n se n siendo r el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo, tenemos lo siguiente: / y /4 D D 6,05 m; D 0,48 m; 6,5 m; 9 8 6,9 o 60 4,6 y 4 8 9,04 o,0 m; 8,56 m. 65 0,9. 5 De un triángulo conocemos que m; el ángulo Hy pues, dos triángulos posiles: 0 ; y el áre es 7 m.lcul: Triángulo : ) L longitud de cd uno de los ldos del triángulo ,9, 4 8 9,04 y 46 4,56 ) Los ángulos del triángulo. Triángulo : ) Plntemos el siguiente sistem: 60 4,6, 4 8 9,04 y ,5 omo es áre de un triángulo es h ( ),sustituyendo se tiene: 7 0 7, 4 4, 7 Triángulo : 4,4 cm Es decir, los ldos miden 4 m y 7 m, respectivmente. 50 Triángulo : 4 0,48 cm lcul el áre del triángulo repretdo en l siguiente figur si ses que 5 cm: 54 ) Por el teorem del o, los ángulos miden 9,49 y 0,5, respectivmente. lcul el áre de un triángulo isósceles inscrito en un circunferenci de 0 cm de rdio, y cuyo ldo desigul mide 0 cm. r 0 cm Por el teorem del o: (5 0 / 0) 40 06,88 cm Siendo que l longitud de ls mnecills de un reloj de pred miden 0 y centímetros, respectivmente. ) uál es l distnci entre sus etremos cundo son ls 6:00? ) Qué áre tiene el triángulo que determinn ls mnecills est hor? ) Por el teorem del coo, l distnci entre sus etremos es 9,08 cm proimdmente. El ángulo que formn ls mnecills es de 0. ) 0 0 5,96 cm El áre de un triángulo de vértices, y, tiene un superficie de 50 m.el ángulo de este triángulo es de 45 y el ángulo es de 0. Se D el pie de l ltur desde el vértice, es decir, el punto del segmento en que se cumple que D es perpendiculr. lcul l longitud de los segmentos D, D, D,,y. Pr resolver este prolem conviene consultr el prtdo plicción de los teorems del o y del coo de l sección Ejercicios resueltos. Pr clculr el ángulo desigul del triángulo isósceles, se clcul el ángulo que rc un rco igul y uno de cuyos ldos es un diámetro. 0 9,47 60,5 60 Hy dos triángulos isósceles inscritos. Los elementos de uno son: El ángulo que formn los ldos igules es, proimdmente, 9,47. L longitud de los ldos igules: 9, ,4 cm L ltur: 9,75 h h 58,9 cm, y por tnto, el áre es 58,9 cm, proimdmente. Los elementos del otro triángulo son: El ángulo que formn los ángulos igules es, proimdmente, 60,5. L longitud de los ldos igules: 80,65 0 0,5 cm L ltur: 45 D 0 80,65 h 7, cm. h,7 cm, y por tnto, el áre es 4. Trigonometrí II 57
12 55 Sore un circunferenci de rdio m y centro en el punto O, considermos los cinco vértices,,, D y E de un pentágono regulr. lcul: ) El ángulo que form el rdio que c en el vértice con el ldo y el ángulo que formn en el vértice los dos ldos que lo tienen como etremo. 58 Si el etremo superior de un esttu es oservdo desde un punto situdo rs del suelo y ciert distnci, con un ángulo de elevción de 5, cuál será el ángulo de elevción desde el triple de distnci? 5 h h 5 ) L longitud de cd uno de los ldos del pentágono. h 5,0 c) L longitud de culquier de ls digonles. d) El áre del triángulo E. El ángulo de elevción es de,0. 59 Un rmp de 40 m de longitud y 0 de inclinción conduce l pie de un esttu. lcul su ltur siendo que, en el inicio de l rmp, el ángulo de elevción del punto más E O lto de l esttu es de ) omo es un pentágono, el ángulo interno del rco es 60 /5 7. Por tnto, como el triángulo O es isósceles, el ángulo que formn el rdio y el ldo es: Y el ángulo que formn E y es el dole, es decir, 08. ) Por el teorem del coo: l 7,76 m c) El ángulo centrl que rc un ldo mide 7, por tnto el que rc dos ldos del pentágono 44. Por el teorem del coo: d 4 4,90 m d) E 6 0,657 m El ldo más lrgo de un prlelogrmo mide 0 cm, su áre es de 0 cm y su ángulo menor, 0. Determin: ) El ángulo myor del prlelogrmo. ) L longitud del ldo menor. ) Los cutro ángulos de un cudrilátero sumn 60. Por tnto, el ángulo myor es 50. ) El áre es h. Tomndo como se el ldo conocido: 0 0 c 0 c cm. plicciones de l trigonometrí 57 D En un cierto lugr de su recorrido un río tiene sus orills prlels. En ese punto se dese medir su nchur. Pr ello desde dos puntos y de un de sus orills, que están seprdos 5 m, se oserv un punto P de l otr orill, situdo río jo. Si ls visules desde y P formn con l orill unos ángulos de 9 5 y 5 48 respectivmente, verigu l nchur del río en ese punto. Relizmos un diujo pr entender mejor el prolem: omo 5 m, l plicr el teorem del o: 5 P 7 Luego otenemos P y como P ,6 m P m m h h,4 m se n 65 5 L ltur de l esttu es de,4 m. Un emrcción,, se encuentr 45 km l sureste de otro r- N co, y un tercer emrcción, 45, se hll 57 km l sur de. ) Qué distnci sepr los r y? 57 km ) Qué rumo deerí tomr el rco pr rrir l punto donde está situdo? ) ,58 km 45 ) 5,64 45 se n El rco deerí tomr un rumo 5,64 Noreste. Un golfist golpe l pelot de modo que su lnzmiento lcnz un longitud de 9 m. Si l distnci del golfist l hoyo es de 50 m y l pelot qued un distnci de 40 m del hoyo, clcul el ángulo que form l líne de unión del golfist con el hoyo y l dirección del lnzmiento. plicndo el teorem del coo: El ángulo que form l dirección del tiro y l visul entre el golfist y el hoyo es 4,06. Dos oservdores que se hlln en l t 000 m de distnci el uno del otro contempln un pltform petrolífer situd mr dentro. mos dirigen sus respectivs visules l pltform y miden el ángulo que formn ests con l líne imginri que los une. Si estos ángulos vlen 6 y 8, cuál es l distnci que sepr l pltform de l t? ,96 m 8 se n 4 h 6 h 58,5 m 77 4,96 L distnci de l pltform tierr es de 58,5 m, proimdmente. 45 km 58 Trigonometrí y números complejos
13 6 Los puentes levdizos de l figur tienen l mism longitud. undo están elevdos, qué distnci sepr los ) Relizmos el siguiente diujo: puntos X e Y? 77 X Y 68 cm 64 8 m X/9 X 7,55 m 8 5,0,90 m L distnci entre X e Y es,90 m, proimdmente. verigu el ángulo que formn dos fuerzs de 5 N y N, cuy resultnte es de 70 N. Relizmos el siguiente diujo: plicndo el teorem del coo: 5 N 70 N prtir de l figur y teniendo en cuent este resultdo, se otiene que el ángulo que formn ls dos fuerz N es su suplementrio, , proimdmente. 67 ) plicndo el teorem del o, se otiene: ,77cm y,85 cm c) Puesto que cm del mp son 500 m en l relidd, 88 m y 47,6 m. En el momento de mrcr el último gol de lemni en l finl de l Eurocop de Inglterr, ierhoff est situdo 5 metros de uno de los plos y 8 metros del otro, y veí l porterí jo un ángulo de 60. lcul l distnci del jugdor l líne de gol. Relizmos el siguiente diujo: lejndro quiere colgr un lámpr un determind distnci del techo de su hitción. Pr ello, coge un cle, fij l lámpr y lo clv por sus etremos en dos puntos del techo que están seprdos 40 cm. lejndro escoge estos puntos de modo que los ángulos entre el cle y el techo son de 40 y 60 en cd uno de los puntos de fijción. ) uál es l longitud del cle? ) qué distnci del techo quedrá l lámpr? ) Relizmos el siguiente diujo: 40 cm 40 plicndo el teorem del o: 40 ( ) 4,49 se n 80 L longitud del cle será, por tnto, 4,49 cm 40 ) L lámpr estrá d se n 80 79,6 cm del techo. Hy que relizr un mp de un ciert zon montños y, y son ls cims de tres montñs de l mism ltur. Ls cims y están ien determinds y repretds en el mp, mientrs que l situción de está por determinr. Suimos lo lto de l cim y medimos el ángulo entre l líne y l líne, que result de 68. Suimos y el ángulo entre ls línes y es de 5. En el mp l distnci entre y es de cm. ) Hz un digrm de l situción, notndo el ángulo que formn en ls línes y. ) Hll, sore el mp, l distnci entre y y l distnci entre y. c) Si l escl del mp es : , clcul l distnci entre ls cims de ls tres montñs c 5 m y 8 m en el diujo plicndo el teorem del coo: c c L nchur de l porterí es, por tnto, 7 m. Entonces: se n se n 8 se n 60 7 d 5 d se n 60 4,95 7 L distnci del jugdor l porterí es de 4,95 m. Pr medir l ltur de un nue se hn hecho dos oservciones simultánes desde los puntos y, mos situdos l nivel del mr y que distn entre sí km. L inclinción de l visul desde l nue, respecto de l horizontl, es de 47. Los ángulos que formn ls visules desde y desde con l rect son, respectivmente, 8 y 5, tl como se indic en l figur. verigu l ltur l que se encuentr situd dich nue con respecto del nivel del mr. 5 m 47 8 d 60 km 5 8 m Nue 4. Trigonometrí II 59
14 69 Se el ángulo el ángulo que form l nue con y. 80 (8 5 ) 89 on este dto podemos clculr el ldo : c c se n s en 89 on este vlor podemos clculr l ltur de l nue, h: 47 h h ,7 m Dos migos están cd uno de ellos en l terrz de su cs y oservn un rco. Quieren determinr qué distnci se encuentr, y pr ello disponen cd uno de un teodolito. Llmemos y los puntos en que se encuentrn sus respectivos teodolitos. Desde el punto miden un distnci de 0 m un punto, 0 m, de mner que el triángulo es rectángulo en. Desde el punto result que el ángulo de este triángulo es de 5,6. ) Qué distnci hy entre los dos migos? ) lcul qué distnci está el rco de cd uno de ellos si l rect que une con el rco form con l rect un ángulo de 75,5. Y si l rect que une con el rco form con l rect un ángulo de 8,6. c) Podemos ser, sin hcer cálculos, quién está más cerc del rco? Por qué? Relizmos el siguiente diujo:, El circo h llegdo un ciudd y hy que instlrlo. El especilist que lo mont no h llegdo y los operrios no sen cuánto cle necesitn. Hy uno que recuerd que, un vez tensdo el cle desde el etremo del plo principl hst un punto determindo del suelo, con el cul form un ángulo de 60, hcen flt m más de cle que si form con el suelo un ángulo de 70. En totl hn de colocr 6 cles tensdos formndo con el suelo un ángulo de 60 cd uno de ellos. uántos metros de cle necesitn? Relizmos el siguiente diujo: 70 0 Por el teorem del o:,5 m 60 se n 0 En totl, necesitn 6 (,5 ) 5,07 m de cle. Dos vís de ferrocrril se cortn formndo un ángulo cuyo vlor es de 0 6. Del cruce slen l mismo tiempo dos locomotors, un por cd ví. Un de ls locomotors v un velocidd de 00 km/h. qué velocidd dee circulr l otr pr que ls hors estén seprds un distnci de 50 km? Relizmos el siguiente diujo: 60 0 m 75,5 5,6 8,6 0 ) L distnci entre y es: 0,99 m tg 5,6 ) prtir de l figur y, simplemente plicndo el teorem del o, se otiene: 59,8 m y 5,75m, distnci del rco y, respectivmente. c) Está más cerc de, porque el ángulo es más pequeño Plntemos el teorem del o: ,85 6, ,88,584 Hy dos soluciones l situción: d 50 5,88 89,599 km 0 6 9,87 km/h proimdmente d 50, 584 7,55 km ,75 km/h proimdmente 00 km 50 km 50 km 60 Trigonometrí y números complejos
4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.
9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 3. Trigonometría I
Evlución NMBRE PELLIDS CURS GRUP FECH CLIFICCIÓN 4 L solución de l ecución sen 0,5 es: ) 0 y 50 b) 50 y 0 c) 0 y 0 Si sen 0 0,4, entonces cos 0 será: ) 0,4 b) 0,94 c) 0,4 Un estc de longitud, clvd verticlmente
Más detallesBLOQUE III Geometría
LOQUE III Geometrí 7. Semejnz y trigonometrí 8. Resolución de triángulos rectángulos 9. Geometrí nlític 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Thles Si un person que mide 1,70 m proyect un sombr de 3,40
Más detallesResolución de triángulos cualesquiera tg 15 tg 55
Resuelve los siguientes triángulos: ) 3 cm 17 cm 40 ) 5 cm c 57 cm 65 c) 3 cm 14 cm c 34 cm ) c 3 +17 3 17 cos 40 c 1,9 cm 17 3 + 1,9 3 1,9 cos 9 56' '' 10 ( + ) 110 3' 5'' ) 5 + 57 5 57 cos 65 79,7 cm
Más detalles1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)
Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics
Más detalles1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cuánto mide en la realidad?
PÁGIN 164 El director del equipo nliz un plno en el cul 1 cm corresponde 20 m en l relidd. Su mquet de l moto es l décim prte de lrg que l moto rel. L moto de l fotogrfí es l mism que se ve en l mquet.
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
SOLUIONES LOS EJERIIOS DE L UNIDD Pág. 1 Págin 187 PRTI Rzones trigonométrics de un ángulo 1 Hll ls rzones trigonométrics de los ángulos y en cd uno de los siguientes triángulos rectángulos. Previmente,
Más detalles2. a) Llamando x a la base de un triángulo rectángulo de 18 cm 2 de área, demuestra que su perímetro sería
Resolución de Triángulos - Soluciones 1. Un rectángulo circunscribe simétricmente un sector circulr tl como muestr el dibujo djunto. Si el ángulo del sector es de 1 rdián y su áre es de 7 ², hll en milímetros
Más detalles12. Los polígonos y la circunferencia
l: ldo SLUINI 107 1. Los polígonos y l circunferenci 1. PLÍGNS PIENS Y LUL lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos:? l: ldo? 4. ivide un circunferenci de de rdio en seis prtes
Más detalles5? Empezamos calculando el valor de cos a. cos a52 12sen 2 a sen 2a52sen a cos a5 2? 2. cos 56. cos 70º2cos 50º 5.
Mtemátics Bchillerto? Solucionrio del Libro Trigonometrí 07 Actividdes. Clcul ls rzones trigonométrics de un ángulo del segundo cudrnte, si. De sen cos se obtiene cos sen 9. Como está en el tercer cudrnte,
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis
Más detallesTrigonometría. Prof. María Peiró
Trigonometrí Prof. Mrí Peiró Trigonometri Funciones Trigonométrics Ls funciones trigonométrics son rzones o cocientes entre dos ldos de un triángulo rectángulo. Hy seis funciones trigonométrics: Directs
Más detallesTrigonometría I. 1. Ángulos. página Razones trigonométricas de un ángulo agudo. página 70
Trigonometrí I E S Q U E M D E L U N I D D.. Ángulo en el plno págin 67. Ángulos págin 67.. riterio de orientción de ángulos págin 67.. Sistems de medid de ángulos págin 67.4. Reducción de ángulos l primer
Más detallesREPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS
TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
8 Pág. Págin 88 PRACTICA Vectores y puntos Ddos los puntos A 0 B0 C y D hll ls coordends de los vectores AB BC CD DA AC y BD. AB = 0 0 = DA = 0 = BC = 0 = AC = 0 = 7 CD = = 6 BD = 0 = 8 Ls coordends del
Más detallesResolución de triángulos
8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del
Más detallesEJERCICIOS DE 1º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA SALUD
EJERCICIOS DE º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA SALUD TRIGONOMETRÍA I - Sin utilizr l clculdor, hll el vlor de l siguientes expresiones: π π 5 π π 7π 4π π sen. 4sen + senπ sen sen cos + tg + tg 6 6 - Comprueb:
Más detallesUna nueva unidad para medir ángulos: el radián
Unidd. Trigonometrí Un nuev unidd pr medir ángulos: el rdián Hst hor hemos utilizdo pr medir los ángulos el sistem segesiml. Como y ses cd un de ls 60 prtes igules en ls que se divide l circunferenci se
Más detalles9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196
PÁGIN 196 Pág. 1 P RCTIC Ángulos 1 Hll el vlor del ángulo en cd uno de estos csos: ) b) 11 37 48 48 c) d) 35 40 ) 37 b 11 b 180 11 68 180 37 68 75 b) 360 48 8 13 c) 40 b b 180 90 40 50 180 50 130 d) 35
Más detallesBLOQUE 1.TRIGONOMETRIA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. 1ª Parte :Trigonometría:Resolución de triángulos.
BLOQUE 1.TRIGONOMETRIA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 1ª Prte :Trigonometrí:Resolución de triángulos. 1.-Medid de ángulos. Un ángulo se puede medir en : )Grdos sexgesimles (DEG ó D) : 1º=60,1 =60. = 90º, =180º
Más detallesESPA 2. es limitado longitud. que no lleguen. a tocarse. que son secantes y no se. cortan son. paralelas. origen. perpendiculares.
CENTRO PÚBLICO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS ESPA 2 Mtemátics y Tecnologí Unidd 4 Línes rects. Ángulos. Polígonos. Teorem de Pitágors RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS Dos puntos A y B determinnn un rect
Más detallesSEPTIEMBRE " ( él representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A EJERCICIO. Otener ls mtrices A y B tles que cumplen ls siguientes condiciones: B A B A Se trt de un sistem de ecuciones mtriciles, que se puede resolver por culquier método. Pr este
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE IV
UNIDAD DE APRENDIZAJE IV Seres procedimentles 1. Utiliz correctmente el lenguje lgerico, geométrico y trigonométrico.. Identific l simologí propi de l geometrí y l trigonometrí. 3. Identific ls uniddes
Más detalles11. Triángulos SOLUCIONARIO 1. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS 2. MEDIANAS Y ALTURAS DE UN TRIÁNGULO
SLUINRI 95 11. Triángulos 1. NSTRUIÓN DE TRIÁNULS PIENS Y LUL Justific si se pueden dibujr los siguientes triángulos conociendo los dtos: ) Tres ldos cuys longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un ldo de
Más detalles7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161
7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60
Más detallesUNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos
UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función
Más detallesPortal Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORCA (2000)
Portl Fuenterrebollo XXXVI OLIMPIADA MATEMÁTIA ESPAÑOLA, PALMA DE MALLORA (000) Problem. Sen los polinomios: P(x) = x 4 + x + bx + cx + ; Q(x) = x 4 + cx + bx + x +. Hll ls condiciones que deben cumplir
Más detalles. Triángulos: clasificación
. Triángulos: clsificción Propieddes básics importntes En todo tringulo se verific: 1.- l sum de los ángulos interiores es 180º 2.- l sum de los ángulos exteriores es 360º 3.-un Angulo exterior es siempre
Más detallesNIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA
ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en
Más detallesTeorema de pitágoras Rectas antiparalelas
pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo
Más detallesCompilado por CEAVI: Centro de Educación de Adultos
olígonos Un polígono es l región del plno limitd por tres o más segmentos. lementos de un polígono Ldos: on los segmentos que lo limitn. Vértices: on los puntos donde concurren dos ldos. Ángulos interiores
Más detallesGUÍA DE MATEMÁTICAS V. Ciclo escolar B determina:
Elbor: Preprtori Págin 1 de 14 Ciclo escolr 014-015 Docente: Fernndo Vivr Mrtínez I) Producto Crtesino, Relciones y Funciones B determin: 1) Ddos los conjuntos A 0,1,,3 y 4,5,6,7 ) El Producto Crtesino
Más detalles10.- Teoremas de Adición.
Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.
Más detallesMATEMÁTICAS-FACSÍMIL N 9
MTEMÁTIS-FSÍMIL N 9. b b b ) - b ) b - ) b D) E) 6 cm ( b) =. El triángulo está inscrito en l mitd de l circunferenci. Si h c = cm y el ldo = 5cm. El rdio de l circunferenci es: ) cm ) 6 cm ) 6 cm O D)
Más detallesPROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito
Más detallesTema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. 1 PÁGINA 70 EJERCICIOS Áres y perímetros de figurs sencills Hll el áre y el perímetro de ls figurs coloreds de los siguientes ejercicios: 1 ) b) 3 m 3 m 1,8 m 4 m 6 m ) S3 m3 m9 m b) S 6m 1,8 m 5,4
Más detallesDistancia de la Tierra a la Luna
ASTRONOMÍA: Cálculo del rdio de l Tierr, distnci de l Tierr l Lun, distnci de l Tierr l Sol, predicción de eclipses, confección de clendrios... CARTOGRAFÍA: Elborción del mp de un lugr del que se conocen
Más detallesRazones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo
pág.1 Medids de ángulos Ángulo es l porción del plno limitd por dos semirrects de origen común. Los ángulos se pueden medir en grdos sexgesimles o en rdines. Medids en grdos (uniddes sexgesimles): El grdo
Más detallesLas expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones
Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.
Más detallesAplicaciones del cálculo integral
Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:
Más detallesClasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d)
1 FIGURS PLNS EJERIIS PR ENTRENRSE Polígonos 1.44 lsific los siguientes polígonos. ) b) c) d) ) Pentágono irregulr cóncvo. b) Heptágono regulr convexo. c) ctógono irregulr cóncvo. d) Hexágono irregulr
Más detallesXI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus
Más detallesMatemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1
GUÍ DE EJERITIÓN VNZD onceptos generles de triángulos rogrm Entrenmiento Desfío GUIEN023MT22-16V1 Mtemátic En l figur, RQ = 24 cm, RS SQ y RM SN. Si M es el punto medio de SQ y N es el punto medio de RQ,
Más detalles10 Figuras planas. Semejanza
10 Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser 10 QUÉ tienes que ser Atividdes Finles 10 Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los
Más detallesTEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1
TEMA Polinomios y frcciones lgerics Tem Polinomios y frcciones lgerics ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Operciones con polinomios...- Sum y rest de polinomios...- Producto de polinomios...- División de polinomios..-
Más detalles71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de
Más detallesPROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00
Más detallesTRAZADOS EN EL PLANO. Teoremas del cateto y de la altura. TEMA ti. Trazados fundamentales. Arco capaz Cuadrilátero inscriptible
TRAZADOS EN EL PLANO en el plno Arco cpz Cudrilátero inscriptile Teorems del cteto y de l ltur Trzdos fundmentles TEMA ti. Ojetivos y orientciones metodológics El ojetivo de este tem es, en primer lugr,
Más detallesLA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE
1 LA ELIPSE DEFINICIÓN L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L elipse es l curv cerrd
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno
Más detallesUnidad 1: Números reales.
Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y
Más detallesde Thales y Pitágoras
8 Teorems de Thles y Pitágors 8.1. Cuents y problem del dí 1. Reliz l siguiente operción: 874,53 + 3 607,8 + 875,084 2. Reliz l siguiente operción, obtén dos decimles en el cociente y hz l prueb de l división:
Más detallesel blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1
el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores
Más detallesCapítulo 5. Medición de la Distancia por Medio de Triangulación
Cpítulo 5. Medición de l Distnci por Medio de Tringulción 5.1 Introducción Hemos visto cómo medir l distnci de un objeto un cámr cundo dicho objeto es cptdo por un sol cámr; sin embrgo, cundo el objeto
Más detallesUNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS
UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS RAZONES Y PROPORCIONES DEFINICIONES RAZÓN: L rzón entre dos números reles y, (0), es el cociente entre y, es decir. Tmién se escrie: /,, :. PROPIEDADES
Más detallesColegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso
Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n
Más detallesTEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems
Más detallesLos polígonos y la circunferencia
l: ldo 12 Los polígonos y l circunferenci 1. Polígonos lcul cuánto mide el ángulo centrl mrcdo en los siguientes polígonos: P I E N S Y L U L R l: ldo R R? R? R R? R R? R E l: ldo l: ldo F E 360 : 3 =
Más detallesEcuaciones de 1 er y 2º grado
Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones
Más detallesConcepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( )
Concepto clve L derivd de un función se define principlmente de dos mners: 1. Como el límite del cociente de Fermt f ( ) lím x f ( x) f ( ) x. Como el límite del cociente de incrementos f ( x) lím x 0
Más detallesLa hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.
Más detalles10 Figuras planas. Semejanza
Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser? QUÉ tienes que ser? Atividdes Finles Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos.
Más detallesLas medias como promedios ponderados
Misceláne Mtemátic 8 (009) 1 6 SMM Ls medis como promedios ponderdos Alfinio Flores Peñfiel University of Delwre lfinio@mth.udel.edu Resumen Tres de ls medis que se usn frecuentemente en mtemátics (medi
Más detallesIES Capellanía 4º ESOB Departamento de Matemáticas. Alumno: Ejercicios Temas 1 y 2: Números Reales. Potencias y Radicales
IES Cpellní º ESOB Deprtmento de Mtemátics Alumno: Efectú el cociente Ejercicios Tems y : Números Reles Potencis y Rdicles,,0, 0, psndo frcciones genertrices Represent en l rect rel, utilizndo el teorem
Más detallesTEMA 1 EL NÚMERO REAL
Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8
Más detallesel blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES
el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,
Más detallesEJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES 2º PARCIAL
Mtemátics pendientes de 1º (º prcil) 1 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS CON LAS MATEMÁTICAS DE 1º E.S.O. PENDIENTES º PARCIAL Fech tope pr entregrlos: 17 de bril de 015 Exmen el 3 de bril de 015
Más detallesResuelve. Unidad 4. Resolución de triángulos. BACHILLERATO Matemáticas I. Localización de una emisora clandestina. Página 105
HILLERTO Resuelve Págin 10 Loclizción de un emisor clndestin Vmos plicr l técnic de l tringulción pr resolver el siguiente problem: Un emisor de rdio clndestin E se sintoniz desde dos controles policiles,
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 147
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 17 págin 18 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS EXPONENTES L ide de los eponentes nce con l necesidd de revir cierts multiplicciones. Como es sido, cundo se multiplic
Más detalles( )( ) 0 1,1 1, 5 2 2, 3. 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 2x + 4 > x +6 b) - x + 1 < 2x + 4 c) x + 51 > 15x + 9
1 Resuelve ls siguientes inecuciones: x + 4 > x +6 - x + 1 < x + 4 c) x + 51 > 15x + 9 x < x > -1 c) x < 4 Resuelve ls siguientes inecuciones: x + 4 > x +6 - x + 1 > x + 4 c) 5x + 10 < 1x - 4 x > x < -
Más detalles1.6 Perímetros y áreas
3 1.6 Perímetros y áres Perímetro: es l medid del contorno de un figur. Superficie (pln): es el conjunto de puntos del plno encerrdos por un figur geométric pln. Áre: es l medid de un superficie. Represente
Más detallesEJERCICIOS DE VERANO DE MATEMÁTICAS
EJERCICIOS DE VERANO DE MATEMÁTICAS º E.S.O. ES OBLIGATORIA LA RESOLUCIÓN COMPLETA DE CADA EJERCICIO PLANTEAMIENTO, DESARROLLO Y SOLUCIÓN DE FORMA CLARA Y CONCISA NÚMEROS. Reliz ls siguientes operciones
Más detallesPara 0 z a La densidad de carga y el campo eléctrico están relacionados por medio de la ecuación diferencial del teorema E 1. = ρ ε 0 a z.
letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Contcto: letos@telefonicnet ρ(z) V En el espcio vcío entre dos plcs conductors plns, y, de grn extensión, seprds un distnci, hy un estrto de crg de espesor, con un densidd
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este
Más detallesINTRODUCCIÒN Solución de triángulos rectángulos
INTRODUIÒN omo se vio en l unidd 1, l trigonometrí, se encrg de enseñr l relción entre los ldos y los ángulos de un tringulo. Es de sum importnci y que nos yud encontrr ls respuests en l físic, pr medir
Más detalles4. Geometría. 4.1 Ángulos. Construir un ángulo igual a otro con el auxilio de un compás. Trazado de la bisectriz de un ángulo utilizando compás.
Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI 4. Geometrí 4.1 Ángulos ángulo convexo (< 180 ) ángulo llno = 180 ángulo cóncvo
Más detallesUNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul
Más detallesIdentificación de propiedades de triángulos
Grdo 10 Mtemtics - Unidd 2 L trigonometrí, un estudio de l medid del ángulo trvés de ls funciones Tem Identificción de propieddes de triángulos Nombre: Curso: Ls ctividdes propuests continución se centrn
Más detallesMatemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de ángulos, polígonos y cuadriláteros GUICEN022MT22-A16V1
GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generles de ángulos, polígonos y cudriláteros Progrm Entrenmiento Desfío En l figur I se muestr un crtulin cudrd PQRS de ldo 1. Se doln los ldos SP y RQ por ls línes
Más detallesPOLIEDROS - PRISMAS POLIEDRO. I. POLIEDRO: es el sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales llamados caras.
POIROS - PRISMS POIRO I. POIRO: es el sólido limitdo por cutro o más regiones poligonles llmdos crs. RIST TR TUR RIST SI PRISM VRTI S R 1. PRISM: l prism es un poliedro cuys crs lterles son tres o más
Más detallesUnidad 7. Trigonometría
Págin Resuelve. ) Rzon que l estc y su sombr formn un triángulo rectángulo. Ocurre lo mismo con cd árbol y su sombr? b) Por qué se hn de dr pris en señlr los etremos de ls sombrs? Rzon que todos los triángulos
Más detallesINSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6.,
Más detallesZ ξ. g(t)dt y proceda como sigue:
Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)
Más detallesFunciones trigonométricas
Funciones trigonométrics Por Sndr Elvi Pérez Márquez Ls funciones trigonométrics son funciones de l medid de un ángulo, es decir, si el vlor del ángulo cmi, el vlor de ésts tmién. L tl 1 muestrs ls seis
Más detallesel blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1
el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o
Más detallesLA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco
Más detalles153 ESO. La mayoría de los hombres nacen como originales y terminan como copias. Oriental
L myorí de los omres ncen como originles y terminn como copis 15 ESO Orientl ÍNDICE: MILLA NÁUTICA PISTA DE ATLETISMO 1. FÓRMULAS FUNDAMENTALES PARA CÁLCULO DE LONGITUDES, SUPERFICIES Y VOLÚMENES. LONGITUDES
Más detallesGuía de Sustentación Matemática. 1º medio A 3, 2. h) H. c) El cuarto cuadrante d) El segundo cuadrante 5, 2
Royl Americn School Profesor An Mendiet Guí de Sustentción Mtemátic 1º medio A Formndo persons: Responsles respetuoss honests y leles 1) Represent en el plno crtesino los siguientes puntos: ) A(-1) d)
Más detallesIES Fernando de Herrera Curso 2012/13 Primer Examen 2ª evaluación 4º ESO 30 de enero de 2013 NOMBRE
IES Fernndo de Herrer Curso 0/ Primer Emen ª evlución º ESO 0 de enero de 0 NOMBRE ) Resolver: 7 ( punto) ) Resolver: + 9 + + (, puntos) ) Resolver: log + log 6 ( punto) 6 ) Resolver: (, puntos) 8 8 )
Más detallesTRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal
. ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los
Más detallesPOTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES
www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (
Más detallesSOLUCIONARIO Poliedros
SOLUCIONARIO Poliedros SGUICES06MT-A16V1 1 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Poliedros Ítem Alterntiv 1 D A Comprensión E B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C 11 E 1 D 1 A 1 C 15 E Comprensión 16 B Comprensión 17
Más detallesCIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.
Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece
Más detallesSenx a) 0 b) 1 c) 2 d) 2
EJERIIOS. lculr en : Sen( - 0º) = os( + 0º) ) b) c) 4 d) 6 e). Si : Tg (8 º) Tg ( + º) = Hllr: K = Sen tg 6 7 7 ) b) c) - d) - e) ) 0, b) c), d) e) 8. Si : Tg =, Sen lculr : K Tg ) c) e) ( ) b) d) ( ).
Más detallesColegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.
TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos
Más detalles11 Perímetros y áreas de figuras planas
86464 _ 0371-0384.qxd 1//07 09:4 Págin 371 Perímetros y áres de figurs plns INTRODUCCIÓN En est unidd repsmos ls uniddes de longitud y superficie. Se introducen tmbién lguns uniddes de medid del sistem
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor
Más detallesIES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:
IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos
Más detalles