PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA. 1 cos
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- Miguel Castellanos Campos
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1 PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA ) Sabiendo que > 90º y que tg /, calcular el resto de razones trigonométricas de sin usar lalculadora. Posteriormente, decir el valor de en grados, minutos y segundos, ayudándose de lalculadora. Si > 90º y tg > 0 está en el tercer cuadrante. Pues bien: Como tg 0 9 cos cos 9 cos 9 cos cos debe a que estamos en el tercer cuadrante. sen sen Por otra parte, tg cos 0 0 sen Las otras tres razones son: cosec 0 sen 0 sec cotg cos tg , donde el signo se 0 0 Por último, como tg /, con lalculadora obtenemos que: 8,4º. Trasladándolo al tercer cuadrante: 80º + 8,4º 98,4º 98º 6,8 (Ver figura). ) Empleando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas entre si, y sin usar calculadora, hallar las restantes razones de, sabiendo que tg /, 90º80º. Después, decir el valor de con ayuda de lalculadora. es del segundo cuadrante. +tg 4 + cos cos 9 9 sen cos. Por otra parte: tg sen tg cos 4 cos Por tanto: cotg, sec, cosec. 4 Con lalculadora, usando que tg /, obtenemos que 9,0º. Pero tratándose de un ángulo del segundo cuadrante, el verdadero valor es 80º 9,0º: 0,97º. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 7
2 ) Conociendo que cos / y que está en el cuarto cuadrante, hallar, sin usar calculadora, el resto de las razones trigonométricas de dicho ángulo. Posteriormente, con ayuda de lalculadora, decir cuánto vale el ángulo. Como sen + cos sen cos sen 9 8 8, donde el signo negativo es por ser del cuarto cuadrante. Por tanto, tg sen cos. Con lo que: cotg ; sec 4 cosec 4 ; / Como cos / 70,º. Pero considerando que es del 4º cuadrante, el resultado real es: 60º 70,º 89,47º 89º ) Empleando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas entre si, y sin usar calculadora, hallar las restantes razones de a, sabiendo que tg a /4, 70º a 60º. Después, decir el valor de on ayuda de lalculadora. es del cuarto cuadrante + tg 9 + cos cos 6 6 sen Por otra parte: tg sen tg cos cos Por tanto: cotg 4, sec, cosec cos 4.. Con lalculadora, usando que tg /4, obtenemos que: 6,87º 6,87º + 60º,º º 7 48,4. ) Sin usar lalculadora, decir el valor de: a) tg 90º; b) sen ( 76º). Dividiendo 90 entre 60 se obtiene de cociente y 0 de resto. Es decir: 90º 60º + 0º. Luego 90º coincide, sobre lircunferencia, con 0º, después de dar vueltas. Por tanto, tg 90º tg 0º. Además tg 90º tg 0º tg (80 60º) tg 60º De la misma forma, º 76º coincide con 4º, después de dos vueltas en sentido negativo. Y IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 7
3 además, por tratarse de un ángulo del 4º cuadrante: sen( 76º) sen( 4º) sen(4º). 6) a) Calcular cos 0º sin utilizar lalculadora, epresando 0º en función de otros ángulos cuyas razones trigonométricas sean conocidas. cos 0º cos (60º+4º) cos 60º cos 4º sen 60º sen 4º 6. 4 b) Sin usar lalculadora, hallar cos 70º. Dividiendo 70º entre 60º, se tiene que 70º 6 60º + 0º. Es decir, que tras 6 vueltas completas, 70º se sitúa en el mismo lugar de lircunferencia que 0º. Razonando sobre lircunferencia trigonométrica, tendremos, por tanto: cos 70º cos 0º cos (0º 80º) cos 0º cosec 7) Demostrar la siguiente identidad: sen cotg Usando que cosec y que cotg, tenemos: sen sen cosec sen sen sen cotg sen sen 8) Demostrar que cos sen cos sen sen ( + ) sen sen + sen + sen + sen sen 9) Demostrar que tg(4º ) tg(4º ) tg tg4º tg tg4º tg tg(4º ) tg(4º ) tg4º tg4º ( ) ( ) ( )( ) tg ( tg 4 ) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 7
4 0) Demostrar que tg a sen a + sen a tg a tg a sen a cos a + sen a tg a tg a ( cos a) + sen a tg a tg os a + sen a tg a tg a sen a + sen a tg a cos a + sen a tg a + sen a sen a cos a cos a + sen a cosec ) Demostrar que co sen cosec sen sen sen cos sen co ) Demostrar que + sen sec sen + sen + sen + sec sen cos sen ) Resolver la ecuación sen sen sen sen 0 ()(sen ) 0 Como un producto vale cero si, y sólo si alguno de los factores es cero, se tienen dos posibilidades: a) 0 90º + 60ºk ó 70º + 60ºk (que pueden escribirse en una sola fórmulomo 90º + 80ºk), kz. 0º 60º k ó b) sen 0 sen sen ½ 0º 60º k kz. 4) Resolver la ecuación cos cos 6 cos cos 6 cos sen + cos 6 6 cos ( cos ) 6 7 cos 6 7 cos 7 cos ±. En consecuencia: Si 80º + 60ºk, kz Si 0º + 60ºk, kz ) Resolver la ecuación: sen + cos + 0 ( cos ) + cos + 0 cos + cos + 0 cos cos 0 que es una ecuación de segundo grado cuya incógnita es : IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 4 de 7
5 4 4 80º 60º k, k Z 4 4 6, que no es posible 4 4 6) Resolver: 4 sen 4 sen 4(cos sen ) sen 0 4 cos 4 sen sen 0 4 ( sen ) 4 sen sen sen 4 sen sen 0 8 sen sen sen + sen º 60º k ó 0, 4 4 8() 6 sen 0º 60º k ,9º 60º k ó 0,7 6,4º 60º k 7) Resolver la ecuación: sec 0 0 ó sec 0 (sec ) 0 sec 0 0 0º + 80ºk, k Z sec 0 sec /, sin solución 8) El punto más alto de una elevación se ve, desde un punto del suelo, bajo un ángulo de 60º. Alejándose 0 m en línea recton la base de dicha elevación, se ve bajo un ángulo de 0º. Averiguar la altura de la elevación. En el triángulo rectángulo cuyos catetos son e y, deducimos: tg 60º y tg 60º () y 0º 60º En el triángulo rectángulo cuyos catetos son y 0 y 0+y, se tiene: 0º 0 y (0 + y) tg 0º Igualando: y tg 60º (0 + y) tg 0º 0 tg 0º + y tg 0º y tg 60º y tg 0º 0 tg 0º 0 tg 0º y(tg 60º tg 0º) 0 tg 0º y 0 tg60º tg 0º Sustituyendo en (): 0 tg 60º 7, m 9) Resolver un triángulo, del que conocemos a 4 m, b 7 m y A 0º. Como conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, usamos el Teorema del Seno: a b b sen A 7 sen 0 sen B sen A sen B a 4 B 6,04º ó B 80º 6,04º 8,96º. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 7
6 Si B 6,04º C 80º 6,04º 0º 88,96º. Y además: a sen C 4 sen 88,96º c 8,00 m sen A sen C sen A sen 0º Si B 8,96º C 80º 8,96º 0º,04º. De modo que: a sen C 4 sen,04º c 4, m sen A sen C sen A sen 0º 0) Resolver un triángulo sabiendo que a cm, b 4 cm y C 47º (ángulo comprendido) Por los datos que tenemos, hemos de utilizar el teorema del coseno: c a + b ab cos C cos 47º c,70 m Según el T. del seno: a sen C sen 47º sen A A 80,8º ó A 80º 80,8º sen A sen C c,70 99,7º. En principio, ambas soluciones serían válidas, porque sumadas con el ángulo C no llegan a 80º, por lo que podría eistir B en ambos casos. Sin embargo, cuando un problema de este tipo se puede comenzar con el Teorema del coseno, sólo hay una solución válida. Como no tenemos forma de saber cuál de las dos es la correcta, desechamos el procedimiento y recalculamos A usando el teorema del coseno: a b + c bc cos A 6 +,70 4,70 cos A 6,70 cos A A 80,8º 80º ,70 Por tanto, B 80º A C,7º º 9,8. ) Resolver un triángulo sabiendo que a 0, b y c 7. Como conocemos los tres lados, empezamos aplicando el Teorema del coseno: a b + c b c a 7 0 bc cos A cos A bc 7 A,87º Con lalculadora, las operaciones son: SHIFT cos - ( ( ) ( 7 ) ) SHIFT STO A, donde la última operación es guardar el resultado en la memoria A para su uso posterior. Para no tener problemas con los dos resultados que produce el uso del Teorema del Seno, aplicamos directamente el del Coseno para el cálculo de otro de los ángulos: c a + b a b c 0 7 ab cos C cos C ab 0 C 47,89º El uso de lalculadora es similar, salvo que guardamos el resultado en la memoria C. Por último, B 80º (A + C) 06,º Que, con calculadora, es así: 80 ( ALPHA A + ALPHA C ). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 6 de 7
7 ) Resolver un triángulo del que se conocen: a 4, c 0 y A 0º. Por el T. de los senos: c sen A 0 sen 0 sen C sen A sen C a 4 C 8,76º ó C 80º 8,76º,º. Si C 8,76º B 80º A C 0,º. Y además: b a c accos B cos0,º,47 Si C,º B 80º A C 8,76º. De modo que: b a c accos B cos8,76º 7, ) Resolver un triángulo sabiendo que a cm y b cm y C 00º Como tenemos dos lados y el ángulo comprendido, aplicamos el T. del Coseno, que nos proporcionará una solución única: c a b abcos C 69 0cos00 4,7 cm b a + c ac cos B ac cos B a + c b a c b cos B ac B 9,º 9º '," A 80º 00º B 60,4º 60º 7' 7,7" 4) Resolver un triángulo sabiendo que A96º, a m y b9 m Por el T. de los senos: a b b sen A 9 sen 96º sen B sen A sen B a B 48,4º ó B 80º 48,4º,76º. Pero esta segunda solución no es válida, porque A + B > 80º, con lo que no puede completarse el triángulo. Entonces: C 80º A B,76º. Y además: a sen C sen,76º c 7,0 m sen A sen C sen A sen 96º IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 7 de 7
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