7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales
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- María Pilar Villalba de la Fuente
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1 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Tles Si un person que mide 1,70 m proyet un sombr de,40 m y el mismo dí, l mism or y en el mismo lugr l sombr de un árbol mide 15 m, uánto mide de lto el árbol? Se observ que el objeto mide l mitd que l sombr; por tnto, el árbol mide 15 : = 7,5 m P I E N S Y L U L 1 Sbiendo que en el siguiente dibujo = 18 m, = 4 m y = 15 m, ll l longitud del segmento. Qué teorem s plido? b r s ' ' ' r = 8 : 4 = = = 6 m ' P L I L T E O R Í = 0 m emos plido el teorem de Tles. Dibuj un triángulo retángulo uyos tetos midn 4 m y m. Dibuj otro triángulo retángulo en posiión de Tles de form que el teto myor mid 8 m. uánto mide el otro teto? = m b = 4 m Dos ángulos de un triángulo miden 45 y 60 y otros dos ángulos de otro triángulo miden 75 y 60. Son semejntes mbos triángulos? El er ángulo del 1 er triángulo mide: 180 ( ) = = 75 Es deir, los ángulos del 1 er triángulo miden: 45, 60 y 75 ' Grupo Editoril ruño, S.L. 18 SOLUIONRIO
2 El er ángulo del º triángulo mide: 180 ( ) = = 45 Es deir, los ángulos del º triángulo miden: 45, 60 y 75 omo los dos triángulos tienen sus ángulos igules, son semejntes. 4 5 Los dos triángulos del siguiente dibujo son semejntes. ll uánto miden y =,5 m = m b = m r = b : b r = : = 1,5 = 1,5,5 =,75 m = 1,5 = 4,5 m En un foto están n y su mdre. Se sbe que n mide en l relidd 1,65 m. En l foto n ' ' b' = m 6 7 mide 6,6 m, y su mdre, 6,88 m. uánto mide su mdre en l relidd? 6,6 6, = 17 m = 1,7 m Un plo vertil de 1,75 m proyet un sombr de m. Si l sombr de un edifiio el mismo dí, en el mismo sitio y l mism or mide 4 m, uánto mide de lto el edifiio? 4 1,75 = 1 m L superfiie de un esfer es de 15 m. ll l superfiie de otr esfer en l que el rdio mide el triple. S = 15 = 15 m Grupo Editoril ruño, S.L.. Teorem de Pitágors uáles de ls siguientes terns son pitgóris? ), 4 y 5 b) 6, 7 y 8 ) 6, 8 y 10 d) 5, 1 y 1 ) + 4 = 5 b) 6 + 7? 8 ) = 10 d) = 1 Son terns pitgóris ), ) y d) P I E N S Y L U L TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 19
3 8 En un triángulo retángulo l ltur reltiv l ipotenus divide ést en dos segmentos de longitudes 1,5 m y 6 m. ll l longitud de di ltur y dibuj el triángulo retángulo. = b ò = b = 1,5 6 = m = m P L I L T E O R Í b = 4,5 m b = m = b + ò = b + = 4,5 + = 5,41 m 9 b' = 1,5 m ' = 6 m En un triángulo retángulo l ipotenus mide 10 m y l proyeión del teto b sobre ell mide,6 m. ll: ) l longitud del teto b b) l longitud de l proyeión del teto sobre l ipotenus. ) l longitud del teto d) l longitud de l ltur reltiv l ipotenus e) Dibuj el triángulo retángulo. 11 En un triángulo retángulo l ipotenus mide 5,5 m, y un teto, 4 m. z el dibujo y ll l longitud del otro teto. Redonde el resultdo dos deimles. = 5,5 m ) b = b ò b = b b = 10,6 = 6 m b) = b = 10,6 = 6,4 m ) = ò = = 10 6,4 = 8 m d) = b ò = b =,6 6,4 = 4,8 m e) Dibujo = b + ò = b = 5,5 4 =,77 m 1 Dibuj l interpretión gráfi del teorem de Pitágors en el so en que los ldos midn 6, 8 y 10 m b = 4 m b = 6 m b' =,6 m = 4,8 m = 8 m ' = 6,4 m = 10 m En un triángulo retángulo los tetos miden 4,5 m y m. z el dibujo y ll l longitud de l ipotenus. Redonde el resultdo dos deimles = 10 ò = Grupo Editoril ruño, S.L. 0 SOLUIONRIO
4 1 uáles de ls siguientes terns son pitgóris? ), y 4 b), 4 y 5 ) 4, 5 y 6 d) 5, 1 y 1 ) +? 4 ò No b) + 4 = 5 ò Sí ) 4 + 5? 6 ò No d) = 1 ò Sí 14 En un pirámide udrngulr l rist de l bse mide m, y l ltur, 4 m. lul el áre lterl de di pirámide. Redonde el resultdo dos deimles. = 1,5 + 4 = 4,7 m 4,7 L = 4 = 5,6 m 15 lul l digonl de un ortoedro uys rists miden 8 m, 4 m y m D m 4 m 4 m m 4 m 1,5 m 8 m plindo el teorem de Pitágors en el espio: D = D = 9,4 m. Rzones trigonométris o irulres ' ' P I E N S Y L U L Ddo el ángulo del dibujo: ) pli el teorem de Pitágors y lul mentlmente los segmentos O y O b)ll ls rzones siguientes y di si y lgun relión entre ells: O O O Grupo Editoril ruño, S.L. ) O = 5, O = 10 b) =, 4 = 8 = 4 O 5 O 10 5 Ls dos rzones son igules. TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 1
5 16 ll tods ls rzones trigonométris del ángulo en el siguiente triángulo: P L I L T E O R Í 9 m 1 m 15 m 8 m 6,1 m sen = 1/15 = 4/5 ò ose = 5/4 os = 9/15 = /5 ò se = 5/ tg = 1/9 = 4/ ò otg = /4 17 Dibuj un ángulo tl que sen = /4 m 4 m sen = 6,1/8 = 0,76 os = 5,1/8 = 0,64 tg = 6,1/5,1 = 1,0 0 Dibuj un triángulo retángulo on un ángulo gudo de 40 y proim, midiendo en el dibujo, el vlor del sen, os y tg 5,1 m 6, m 4 m 18 Dibuj un ángulo tl que os = 5/6 40 4,8 m sen 40 = 4/6, = 0,6 os 40 = 4,8/6, = 0,76 tg 40 = 4/4,8 = 0,8 19 lul de form proimd el vlor del sen, os y tg en el siguiente dibujo: 6 m 5 m 1 lul, usndo l luldor, el vlor de ls siguientes rzones trigonométris. Redonde el resultdo 4 deimles. ) sen b) os 68 ) tg d) sen ) 0,599 b) 0,746 ) 1,07 d) 0,764 lul, usndo l luldor, l mplitud del ángulo gudo : ) sen = 0,5765 b) os = 0,907 Grupo Editoril ruño, S.L. SOLUIONRIO
6 ) tg = 1,8940 d) os = 0,786 ) b) 67 7 ) 6 10 d) Elis y su sombr formn un ángulo reto. L sombr mide 1, m y el ángulo on el que se ve l prte superior de su bez desde el etremo de l sombr mide lul l ltur de Elis ' 1, m tg = ò = 1, tg = 1,70 m 1, 4. Reliones entre ls rzones trigonométris Dibuj un triángulo retángulo isóseles. ) uánto miden sus ángulos gudos? b) lul el vlor de l tngente de uno de sus ángulos gudos. P I E N S Y L U L 45 b = 4 m ) Los ángulos miden 90 : = 45 b) tg 45 = 4/4 = 1 45 = 4 m 4 Sbiendo que sen = /5, lul os 5 P L I L T E O R Í Sbiendo que se = 17/8, lul tg Grupo Editoril ruño, S.L. sen + os = 1 ( ) + os = os = 5 tg + 1 = se 17 tg + 1 = ( ) 8 15 tg = 8 TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ
7 6 Sbiendo que tg =, lul sen tg + 1 = se + 1 = se òse = 10 ò se = os = sen 10 tg = ò sen = tg os = os 10 7 lul os 40 sbiendo que se verifi que sen 50 = 0,7660 os 40 = sen 50 = 0, Sbiendo que sen = 1/4, lul ls restntes rzones trigonométris de 1 ose = = 4 sen sen + os = ( ) + os = 1 ò os = os = se = os sen tg = : os otg = = 15 tg Sbiendo que sen 0 = 0,40 y os 0 = 0,997, lul: ) os 70 b) sen 70 ) tg 0 d) tg 70 ) os 70 = sen 0 = 0,40 b) sen 70 = os 0 = 0,997 sen 0 ) tg 0 = = 0,69 os 0 sen 70 d) tg 70 = =,7477 os 70 0 Simplifi l siguiente epresión: os + sen tg sen os + sen tg = os + sen = os os + sen 1 = = se os os Simplifi l siguiente epresión: 1+ tg se 1 + tg se = se se se Grupo Editoril ruño, S.L. 4 SOLUIONRIO
8 Ejeriios y problems 1. Teorem de Tles Sbiendo que = 7,5 m, = 10 m y = 1 m, ll l longitud del segmento. Qué teorem s plido? r s ' b b =,5 m b ' ' 5 Un árbol de 1,6 m proyet un sombr de 1, m. En el mismo sitio, el mismo dí y l mism or, l sombr de un nten de telefoní móvil mide 5 m. uánto mide de lto l nten de telefoní móvil? 1 7,5 10 = 9 m emos plido el teorem de Tles. Sbiendo que = m, = 6 m y = 4,5 m, ll l longitud del ldo. ómo están los triángulos y? 1, 5 1,6 = 69, m 6 El volumen de un esfer es de 7,5 m. ll el volumen de otr esfer en l que el rdio mide el doble. V = 7,5 = 60 m ' m 4,5 m 6 m ' 4,5 6 = 9 m Los triángulos y están en posiión de Tles.. Teorem de Pitágors 7 En un triángulo retángulo l ipotenus mide 7,5 m, y uno de los segmentos en que l divide l ltur orrespondiente mide 6 m. Dibuj el triángulo retángulo y ll l longitud de di ltur. b b' = 6 m = 7,5 m Grupo Editoril ruño, S.L. 4 Un ángulo de un triángulo mide 5 y los ldos que lo formn miden = 6 m y b = 9 m. En otro triángulo semejnte se sbe que un ángulo mide 5 y que uno de los ldos que lo formn mide = 15 m. uánto mide el otro ldo del ángulo de 5? = b b = 6 m = b = 7,5 6 = 1,5 m = 6 1,5 = 9 = m TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 5
9 Ejeriios y problems 8 En un triángulo retángulo l ltur reltiv l ipotenus divide ést en dos segmentos que miden b = m y = 18 m. ll: ) el teto b b) el teto ) b = b = b + = + 18 = 50 m b = 50 b = 40 m b) = = = 0 m b b' = m ' = 18 m = 4 m b =,5 m = b + ò = b = 4,5 = 1,94 m 41 uáles de ls siguientes terns son pitgóris? ) 5, 7 y 9 b) 6, 8 y 10 ) 7, 9 y 11 d)10, 4 y 6 ) 5 + 7? 9 ò No b) = 10 ò Sí ) 7 + 9? 11 ò No d) = 6 ò Sí 9 En un triángulo retángulo los tetos miden 4 m y m. z el dibujo y ll l longitud de l ipotenus y el áre del triángulo retángulo. 4 Dibuj un udrdo de 4 m de ldo y su digonl. ll l longitud de l digonl. Redonde el resultdo un deiml y omprueb el resultdo midiendo on un regl. = m d 4 m = b + ò = b + = 4 + = 5 m 4 Áre = = 6 m b = 4 m d = d = 5,7 m 4 m 40 En un triángulo retángulo l ipotenus mide 4 m, y un teto,,5 m. z el dibujo y ll l longitud del otro teto. Redonde el resultdo dos deimles. 4 Del siguiente ono se sbe que el rdio de l bse mide m y l genertriz mide 5 m. lul el volumen de dio ono. Redonde el resultdo dos deimles. Grupo Editoril ruño, S.L. 6 SOLUIONRIO
10 G = 5 m G = 5 m os = 4/0 = 4/5 ò se = 5/4 tg = 18/4 = /4 ò otg = 4/ R = m R = m 46 lul el vlor del seno, el oseno y l tngente del siguiente ángulo: Se pli el teorem de Pitágors pr llr l ltur R + = G ò = G R = 5 = 4 m V = 1 V = π 4 = 7,70 m 44 lul l digonl de un ortoedro uys rists miden 7,5 m, 4,5 m y,6 m 4,7 m 4 m sen = 4/4,7 = 0,85,4 m os =,4/4,7 = 0,51 tg = 4/,4 = 1,67 D,6 m 47 Dibuj un ángulo gudo tl que os = / 7,5 m 4,5 m m plindo el teorem de Pitágors en el espio: D = 7,5 + 4,5 +,5 D = 9,4 m m 48 Dibuj un ángulo gudo tl que tg = 5/4. Rzones trigonométris o irulres Grupo Editoril ruño, S.L. 45 ll tods ls rzones trigonométris del ángulo en el siguiente triángulo: 18 m 0 m 4 m α sen = 18/0 = /5 ò ose = 5/ 49 4 m 5 m lul l longitud de los tetos en el siguiente triángulo retángulo sbiendo que se verifi que sen 0 = 0,5 y os 0 = 0,8660 TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 7
11 Ejeriios y problems y sen 0 = 0 y 0,5 = ò y = 0,5 0 = 10 m 0 os 0 = 0 0,8660 = ò = 0, = 17, m 0 50 Dibuj los siguientes ángulos y proim midiendo en el dibujo el vlor del seno, el oseno y l tngente.proim el resultdo dos deimles: ) 0 b) 50 ) m 4,9 m sen 0 = 1,7/4,9 = 0,5 os 0 = 4,6/4,9 = 0,94 tg 0 = 1,7/4,6 = 0,7 b) 4,6 m y 1,7 m 5 ) sen b) os ) tg d) sen 16 4 ) 0,6746 b) 0,979 ),1948 d) 0,8 ll, usndo l luldor, l mplitud del ángulo gudo : ) sen = 0,850 b) os = 0,487 ) tg = 0,7 d) os = 0,7970 ) = 58 b) = ) = d) = Reliones entre ls rzones trigonométris 5 54 Sbiendo que sen = 5/1, lul os sen + os = ( ) + os = 1 ò os = 1 1 Sbiendo que os = 9/15, lul tg tg + 1 = se 15 tg + 1 = ( ) 9 4 tg = 7,9 m 6 m 55 Sbiendo que tg = /, lul sen sen 50 = 6/7,9 = 0,76 os 50 = 5/7,9 = 0,6 tg 50 = 6/5 = 1, m ll, usndo l luldor, el vlor de ls siguientes rzones trigonométris. Redonde los resultdos 4 deimles. tg + 1 = se ( ) + 1 = se 1 se = 1 os = 1 1 sen tg = os Grupo Editoril ruño, S.L. 8 SOLUIONRIO
12 1 1 sen = tg os = Sbiendo que os 7 = 0,090, lul sen 18º sen 18 = os 7 = 0,090 Sbiendo que os = 1/5, lul ls restntes rzones trigonométris. 1 se = = 5 os sen + os = 1 1 sen + ( ) = sen = ose = sen 4 4 sen 4 1 tg = : = 4 os otg = tg Simplifi l siguiente epresión: sen os os sen sen os sen 1 + sen = os sen 1 sen sen sen 1 = = 1 1 sen Pr mplir 59 Se tiene un retángulo insrito en un triángulo isóseles, omo se indi en l siguiente figur: Sbiendo que l bse del triángulo es = 6 m, y l ltur, = 9 m, y que l ltur del retángulo es = 4 m, ll uánto mide l bse del retángulo. Los triángulos y son semejntes. 4 9 = 1, m se del retángulo: ( 1,) =,4 m 60 Dibuj dos triángulos equiláteros distintos. Rzon si son semejntes. Grupo Editoril ruño, S.L. = 4 m ' ' m = 9 m Sí son semejntes, porque los ángulos de uno son igules los ángulos del otro. TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 9
13 Ejeriios y problems 61 Los ldos de un triángulo miden = 5 m, b = 7,5 m y = 9 m. ll l medid de los ldos, b y de un triángulo semejnte en el que r = 1,5 = 1,5 = 1,5 5 = 7,5 m b = 1,5 b b = 1,5 7,5 = 11,5 m = 1,5 = 1,5 9 = 1,5 m ) 1 + 1,5 =,5 < = 4 ò Obtusángulo. b) 1,5 + =,5 ò Retángulo. ) +,5 = 10,5 > = 9 ò utángulo. d),5 + 6 = 6,5 ò Retángulo. 65 ll el rdio de l irunfereni irunsrit l siguiente eágono: R 6 64 Un plo de un metro de longitud olodo vertilmente proyet un sombr de un metro. Si el mismo dí, l mism or y en el mismo lugr l sombr de l pirámide Kefrén mide 16 m, lul mentlmente lo que mide de lto l pirámide de Kefrén. L pirámide de Kefrén mide lo mismo que l sombr, es deir, 16 m 6 El rdio de un irunfereni mide metros, y el rdio de otr irunfereni es el triple. lul uánts vees es myor l longitud de l segund irunfereni y el áre del írulo orrespondiente. Longitud: L = L L = L L longitud es el triple. Áre: = = 9 El áre es nueve vees myor. lsifi los siguientes triángulos en utángulos, retángulos y obtusángulos: ) = 1 m, b = 1,5 m, = m b) = 1,5 m, b = m, =,5 m ) = m, b =,5 m, = m d) =,5 m, b = 6 m, = 6,5 m 66 R = 7 m lul l digonl de un ortoedro uys dimensiones son,5 m, 1,5 m y,5 m Se pli el teorem de Pitágors en el espio: D =,5 + 1,5 +,5 D = 4,56 m 67 Dibuj un ángulo gudo que umpl: ) sen = /5 b) os = 5/8 ) m = 7 m En el eágono oinide l longitud del ldo y del rdio de l irunfereni irunsrit; por tnto, R = 7 m D,5 m 5 m 1,5 m,5 m Grupo Editoril ruño, S.L. 0 SOLUIONRIO
14 b) 8 m tg 5 = = 0,700 = 0,700 =,10 m sen 5 = = 0,576,10 = =,66 m 0,576 = 55 5 m 70 ll os y tg sbiendo que sen = /5 68 Dibuj un ángulo gudo que umpl: ) tg = 5/ b) se = 7/4 ) 5 m sen + os = 1 ( ) + os = os = 5 sen tg = os 4 71 lul sen y tg sbiendo que se verifi que os = /5 b) m 7 m sen + os = 1 sen + ( ) = sen = 5 sen 1 tg = os Grupo Editoril ruño, S.L. 69 lul, y en el siguiente triángulo retángulo, sbiendo que tg 5 = 0,700 y sen 5 = 0,576. proim el resultdo dos deimles. 4 m 5 b = m 7 Si tg = 4, lul ls restntes rzones trigonométris. 1 otg = 4 tg + 1 = se = se òse = se = 17 ò os = sen tg = os TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 1
15 Ejeriios y problems sen = tg os = ose = 4 75 lul redondendo utro deimles: ) sen 1 50 b) os 0 ) tg Simplifi l siguiente epresión: os + os sen os + os (1 os ) = = os + os os = = os on luldor 74 lul redondendo utro deimles: ) os b) tg ) sen 9 40 ) 0,719 b) 0,844 ) 0, lul redondendo utro deimles: ) se 50 b) otg ) ose 4 1 ) 1,5557 b),5656 ) 1,4608 ) 0,957 b) 0,741 ) 0,68 Problems 77 Ddo el siguiente dibujo, lul l medid de l ltur del ono grnde. =,5 m R,5 ò r 1,5,5 = 5,4 m r = 1,5 m R =,5 m 78 Los ldos de un triángulo miden = m, b =,5 m y =,5 m. Sbiendo que en otro triángulo semejnte = 5 m, ll l medid de los ldos b y Rzón de semejnz: r = 5 r = =,5 b =,5,5 = 6,5 m =,5,5 = 8,75 m Grupo Editoril ruño, S.L. SOLUIONRIO
16 79 Se tiene un retángulo insrito en un irunfereni, omo se indi en l siguiente figur: Sbiendo que el rdio de l irunfereni es R = 1,5 m y que l ltur del retángulo es =,5 m, ll uánto mide l bse del retángulo. 0,5,75 El triángulo dibujdo es retángulo en porque un ldo es un diámetro y el ángulo opuesto está insrito en un irunfereni y vle l mitd del entrl orrespondiente: 180 / = 90 plindo el teorem de l ltur: =,75 0,5 = 0,8 m se del retángulo: = 0,8 = 1,66 m ) = b + = 18 + = 50 m b) = b ò = b = 18 = 4 m ) b = b ò b = b b = = 0 m d) = ò = = 50 = 40 m e) Áre = b 1 Áre = 0 40 = 600 m 81 8 Un retángulo mide 400 m de perímetro y 500 m de áre. ll el áre de otro retángulo semejnte que mide m de perímetro. P r = P r = =,5 400 = r =,5 500 = m ll l ltur de un triángulo equilátero de 7 m de ldo. Redonde el resultdo dos deimles. Grupo Editoril ruño, S.L. 80 En un triángulo retángulo l ltur reltiv l ipotenus divide ést en dos segmentos que miden b = 18 m y = m. ll: ) l longitud de l ipotenus b) l longitud de l ltur reltiv l ipotenus. ) el teto b d) el teto e) el áre de dio triángulo retángulo. ' = m b b' = 18 m 7 m,5 m +,5 = 7 = 6,06 m 8 ll el áre del siguiente romboide: 5 m m 6 m TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ
17 Ejeriios y problems + = 5 = 4,58 m Áre: 8 4,58 = 6,64 m 5 m D 5 m 84 ll el áre del siguiente trpeio retángulo: m 6,4 m D = D = 7,07 m R = D/ =,54 m 7 m + 4 = 6,4 = 5,00 m 7 + Áre = 5 = 5 m 87 Un nten de rdio proyet un sombr de 57 m. El mismo dí, l mism or y en el mismo lugr, Soni, que mide 1,75 m, proyet un sombr de,0 m. lul l ltur de l nten de rdio.,0 57 ò = 45,4 m 1,75 85 ll el áre de un eágono regulr de 15 m de ldo. Redonde el resultdo dos deimles. 88 ll el volumen de un ono reto en el que el rdio de l bse mide 5 m y l genertriz mide 9 m. Redonde el resultdo dos deimles. 15 m + 7,5 = 15 = 1,99 = 1,00 m 6 15 Áre = 1 = 585 m 7,5 m 15 m G = 9 m R = 5 m 86 ll el rdio de l irunfereni irunsrit l siguiente udrdo: R = 5 m + 5 = 9 = 7,48 m 1 V = 1 V = π 5 7,48 = 195,8 m 89 lul l digonl de un bitión uys dimensiones son 6 m Ò 4 m Ò m Grupo Editoril ruño, S.L. 4 SOLUIONRIO
18 m Se pli el teorem de Pitágors: + = 7,5 = 6,87 m 90 D 6 m 4 m Se pli el teorem de Pitágors en el espio: D = ò D = 7,81 m Dibuj un pirámide regulr udrngulr en l que l rist de l bse mide 5 m y l potem mide 6,5 m. lul su volumen. 9 lul l digonl de un prism reto udrngulr uy bse tiene 8 m de rist y 0 m de ltur. D 0 m Se pli el teorem de Pitágors en el espio: D = D =,98 m 8 m 8 m 6,5 m 9 Se tiene un ilindro insrito en un ono, omo se indi en l siguiente figur: Grupo Editoril ruño, S.L. Se pli el teorem de Pitágors: +,5 = 6,5 = 6 m 1 V = 1 V = 5 6 = 50 m 91 Dibuj un ono reto en el que el rdio de l bse mide m y l genertriz mide 7,5 m. ll su ltur. 5 m m m,5 m G = 7,5 m Sbiendo que l ltur del ono es = 4 m, el rdio del ono es R = 10 m, y que el rdio del ilindro mide r = 4 m, ll uánto mide l ltur del ilindro. iendo un seión se tiene un retángulo insrito en un triángulo isóseles. Los triángulos y son semejntes. 6 ò ò = 14,4 m 10 4 r = 4 m R r = 4 m ' 6 m ' 10 m TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 5
19 Ejeriios y problems 94 Se tiene un ono insrito en un esfer, omo se indi en l siguiente figur: 96 lul el áre del siguiente trono de pirámide: 4 m 1 m r 78 m = 4 m 1 m 18 m 9 m = 4 m 18 m Sbiendo que el rdio de l esfer es R = 9 m y que l ltur del ono es = 14 m, ll uánto mide el rdio de l bse del ono. iendo un seión se tiene un triángulo isóseles insrito en un irunfereni. Se pli el teorem de Pitágors: = = 0 m 1 = 78 = m = 4 = m L = 4 0 = 7 00 m T = = m r 14 m 4 m El triángulo dibujdo es retángulo en porque un ldo es un diámetro y el ángulo opuesto está insrito en un irunfereni y vle l mitd del entrl orrespondiente: 180 / = 90 plindo el teorem de l ltur: r = 14 4 = 56 ò r = 7,48 m r 97 Un árbol form on su sombr un ángulo reto. Si l sombr mide 8,5 m, y el ángulo on el que se ve l prte superior del árbol, desde el etremo de l sombr, mide 50 0, lul l ltur del árbol. tg 50 0 = 8,5 95 ll el rdio de l bse de un ono reto en el que l ltur mide 6 m, y l genertriz, 6,5 m 50 0' 8,5 m = 8,5 tg 50 0 = = 10,1 m 98 Desde un punto en el suelo situdo 0 m del pie de l fd de un edifiio se ve el tejdo del mismo on un ángulo de 50. lul l ltur del edifiio. = 6 m G = 6,5 m R Se pli el teorem de Pitágors: R + 6 = 6,5 R =,5 m R tg 50 = 0 = 0 tg 50 =,84 m 50 0 m Grupo Editoril ruño, S.L. 6 SOLUIONRIO
20 99 lul en un triángulo retángulo el ldo b, siendo = 5,9 m y = 9 b 5,9 m b sen 9 = 5,9 b = 5,9 sen 9 =,7 m 9 56,44 os 56 =,44 = = 6,15 m os 56,44 m 100 lul en un triángulo retángulo el ldo, siendo b =, m y = 1 101, m, sen 1 =, = = 6,14 m sen 1 lul en un triángulo retángulo el ldo, siendo = 6,56 m y = lul en un triángulo retángulo el ldo, siendo b =,8 m y = 5 5,8 tg 5 =,8 = = 5,10 m tg 5 b =,8 m lul en un triángulo retángulo el ángulo, siendo =,65 m y b =, m Grupo Editoril ruño, S.L. os = 6,56 = 6,56 os = 5,50 m 10 6,56 m lul en un triángulo retángulo el ldo, siendo =,44 m y = 56, sen =,65 = 7 59 b =, m =,65 m 105 lul en un triángulo retángulo el ángulo, siendo = 6,59 m y b = 5,4 m TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 7
21 Ejeriios y problems 1 os (1 + os )(1 os ) = 1 + os 1 os 1 os = 6,59 m 5,4 os = 6,59 b = 5,4 m Pr profundizr 109 Se tiene un triángulo isóseles insrito en un irunfereni, omo se indi en l siguiente figur: = lul en un triángulo retángulo el ángulo, siendo b =,68 m y =,1 m b =,68 m Sbiendo que el diámetro de l irunfereni es D = 7 m y que l ltur del triángulo es = 6 m, ll uánto mide l bse del triángulo isóseles. =,1 m 6 m,68 tg =,1 = m 107 Desde un bro se mide on un rdr l distni l im de un montñ, que es de 500 m. El ángulo de elevión on el que se ve l im desde el bro es de 8. lul l ltur de l montñ. 500 m El triángulo dibujdo es retángulo en porque un ldo es un diámetro y el ángulo opuesto está insrito en un irunfereni y vle l mitd del entrl orrespondiente: 180 / = 90 plindo el teorem de l ltur: = 6 1 =,45 m se del triángulo: =,45 = 4,90 m 8 sen 8 = 500 = 500 sen 8 = 117,68 m 108 Simplifi l siguiente epresión: sen 1 os 110 ll el rdio de l irunfereni irunsrit l siguiente triángulo equilátero. R = 8 m Grupo Editoril ruño, S.L. 8 SOLUIONRIO
22 R 4 m = 8 m iendo un seión se tiene un retángulo insrito en un irunfereni. r 1,5 r + 4 = 8 = 6,9 m El rdio es los / de l ltur por un propiedd de ls medins de un triángulo. R = 6,9 = 4,6 m 111 Se tiene un triángulo retángulo uyos ldos miden = 10 m, b = 8 m y = 6 m. En l interpretión geométri del teorem de Pitágors, mbi el udrdo por un semiírulo. lul el áre de los tres semiírulos y omprueb si se sigue verifindo l interpretión geométri del teorem de Pitágors. El triángulo dibujdo es retángulo en porque un ldo es un diámetro y el ángulo opuesto está insrito en un irunfereni y vle l mitd del entrl orrespondiente: 180 / = 90 plindo el teorem de l ltur: r = 6,5 1,5 = 9,75 r =,1 m 11 lul l ltur de un tetredro de rist 6 m 6,5 = 10 m = 6 m 6 m b = 8 m Grupo Editoril ruño, S.L. Áre del semiírulo de rdio = 10 m 1 = π 10 / = 157,08 m Áre del semiírulo de rdio b = 8 m = π 8 / = 100,5 m Áre del semiírulo de rdio = 6 m = π 6 / = 56,55 m + = 100,5 + 56,55 = 157,08 m Vemos que se sigue verifindo l interpretión geométri del teorem de Pitágors. 11 Se tiene un ilindro insrito en un esfer. Sbiendo que el rdio de l esfer es R = 4 m y l ltur del ilindro es = 5 m, ll uánto mide el rdio de l bse del ilindro. En primer lugr tenemos que llr l ltur del triángulo equilátero de l bse, pr poder llr posteriormente 6 m 6 m m m Se pli el teorem de Pitágors: + = 6 = 5,0 m Por l propiedd de ls medins de un triángulo, ésts se ortn en un punto que está / del vértie. Se tiene: TEM 7. SEMEJNZ Y TRIGONOMETRÍ 9
23 Ejeriios y problems = = 5,0 =,47 m Se obtiene otro triángulo retángulo formdo por, y un rist: 6 m Los triángulos y son semejntes porque tienen los ángulos igules; por tnto, los ldos son proporionles: 6 r 8 r =,5 m 114 =,47 m Se pli el teorem de Pitágors: +,47 = 6 = 4,89 m El rdio de l bse de un ono mide m y l ltur mide 8 m. Se ort por un plno prlelo l bse m de l mism. Qué rdio tendrá l irunfereni que emos obtenido en el orte? 115 Eiste lgún ángulo tl que sen = 4/5 y os = /4? Pr que se posible se debe umplir l propiedd fundmentl sen + os = ( ) + ( ) =? No se umple. = 8 m = 6 m r ' r ' R = m Grupo Editoril ruño, S.L. R 40 SOLUIONRIO
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