MODELADO DE SISTEMAS

Transcripción

1 MODELADO DE SISTEMAS OBJETIVOS Introducir el concepto de modelo matemático y función de transferencia. Partiendo de los sistemas físicos se desarrolla el modelo matemático en forma de función de transferencia de un sistema. Representación de sistemas mediante diagramas de bloques y de flujo de señal. Esta parte se completa con una relación de ejemplos de sistemas simples que constituyen componentes de los sistemas más complejos.

2 MODELADO DE SISTEMAS Modelos matemáticos en ecuaciones diferenciales. Linealización. Función de Transferencia. Diagramas de Bloques. Método de Mason.

3 Bibliografía Ogata, K., "Ingeniería de control moderna", Ed. Prentice-Hall. Capítulos 3 y 4 Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed. Addison-Wesley. Capítulo Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed. Prentice Hall. Capítulo 4 F. Matía y A. Jiménez, Teoría de Sistemas, Sección de Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid Capítulo 3

4 CONCEPTO DE MODELO Concepto de modelo

5 CONCEPTO DE MODELO MODELO (Definición RAE) : 4. m. Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento. Casi siempre, los modelos son aproimaciones más o menos precisas del proceso. Depende de qué se tenga en cuenta y qué se desprecia en el modelo (ej. A veces se desprecia el rozamiento del aire, etc.)

6 Concepto de Modelo de un Sistema Modelo: Representa o sustituye a la realidad o a un sistema o realidad física en algunos aspectos. Modelo matemático de un sistema: conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con eactitud, o al menos, razonablemente bien. La dinámica de muchos sistemas se describe mediante ecuaciones diferenciales lineales. Ej. d ddy = dt dt dt Las variables son señales de tiempo continuo.

7 Modelos matemáticos Los sistemas lineales de tiempo continuo se describen por ecuaciones diferenciales.

8 Modelos matemáticos. Ejemplos di ( t ) u c ( t ) + R i ( t ) + L = u ( t ) dt du c ( t ) C = i ( t ) dt du c ( t ) d u c ( t ) R C + LC + u ( ) ( ) c t = u t dt dt

9 Modelos matemáticos. Ejemplos Desplazamiento, t ( ) Masa, m = cte Const.elastica, K Coef.viscoso, f Fuerza, ut ( ) d t u ( t ) = K ( t ) + f + dt ( ) d ( t ) M dt

10 Modelos matemáticos. Ejemplos c du ( t) duc ( t) LC + RC + uc( t) = ut ( ) dt dt d ( t) dt ( ) M + f + K t ( ) = ut ( ) dt dt dy t dyt ( ) ( ) a + b + c yt ( ) = ut ( ) dt dt

11 Modelado de Sistemas Mecánicos Sistemas mecánicos de translación

12 Modelado de Sistemas Mecánicos Sistemas mecánicos de rotación

13 Modelado de Sistemas Mecánicos Ejes de engranajes

14 Modelado de Sistemas Eléctricos

15 Modelado de Sistemas Electromecánicos

16 Modelado de Sistemas Hidráulicos

17 Modelado de Sistemas Químicos

18 Modelado de Sistemas Térmicos

19 Sistemas mecánicos

20 Sistemas mecánicos

21 Sistemas eléctricos

22 Otros sistemas

23 Linealización Concepto de linealidad Principio de superposición: u 1 (t) G y 1 (t) au 1 (t)+bu (t) u (t) y (t) G G ay 1 (t)+by (t) Los sistemas físicos reales no suelen ser lineales

24 Linealización y = f ( ) No lineal df ( ) 1 d f ( ) ( ) ( ) ( )... d! d y f y y + a 1 y a 1 Punto de equilibrio : derivadas temporales cero yɺ uɺ = ɺɺ y = uɺɺ =... = =... =

25 Linealización Apuntes de Análisis Dinámico de Sistemas, ISA Univ. Oviedo

26 Linealización y = f (,.. ) No lineal 1 n y y y y y + ( ) + ( ) ( ) n 1 1 y a + a a Lineal n n n n Las i representan tanto variables como derivadas

27 Linealización. Concepto de punto de equilibrio Se linealiza en torno a un punto de equilibrio: Las variaciones de las variables son nulas. Lineal a a a y y y y y y No lineal f y n n n n n n =... ) (... ) ( ) ( ).., ( ),,...,, ( 1 y n Universidad Carlos III de Madrid

28 Linealización La ecuación linealizada no es única, depende del punto en que se haga la linealización Las variables de la ecuación linealizada representan incrementos respecto al punto de equilibrio Para simplificar la notación no se suelen representar las variables como incrementos Es más sencillo linealizar las ecuaciones término a término Diferencias de comportamiento entre el modelo linealizado y el real Forma de la función a linealizar. Las diferencias aumentan al alejarse del punto de equilibrio.

29 Ejemplo Linealizar el sistema dado por la ecuación diferencial: Función de Transferencia para sistemas de tiempo continuo Las variables son: La aproimación de Taylor es: Resolviendo las derivadas: La solución queda:

30 Ejemplos de Linealización q ( t ) q ( t ) = A e q ( t ) = C h ( t ) s s dh ( t ) dt q ( t ) q ( t ) = A hɺ ( t ) e 1 q s ( t ) = C h ( t ) h s

31 Ejemplos de Linealización m d dt = mg i