CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS

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1 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios MEMÁICS BÁSICS DEERMINNES CONCEPO DE DEERMINNE DEFINICIÓN Se u mtriz cudrd de orde. Se defie como ermite de (deotdo como, ( ) ó ) l sum de los productos (sigdos) formdos por -fctores que se obtiee l multiplicr -elemetos de l mtriz de tl form que cd producto coteg u sólo elemeto de cd fil y colum de. Esto sigific que u ermite es u vlor umérico κ que está relciodo co u mtriz cudrd y que sigue cierts regls pr su cálculo. ( ) κ Dos mtrices diferetes (tto e orde como e elemetos) puede teer igul ermite. Nótese como l otció de ermite o preset los corchetes ( difereci de ls mtrices) sio sólo líes. CÁLCULO DE DEERMINNES DE SEGUNDO Y ERCER ORDEN. REGL DE SRRUS Pr clculr ermites de segudo y tercer grdo el método más simple es el de multiplicció digol, mejor coocido como Regl de Srrus. Est regl estblece que pr u mtriz de segudo orde de l siguiete mer:, su ermite se clcul ( ) esto sigific que el ermite de segudo orde es el producto de los elemetos de l digol pricipl meos el producto de los elemetos de l digol secudri. ) ( ) ( )

2 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) L regl de Srrus plicd u mtriz de tercer orde ermite se clcul como:, estblece que su ( ) esto sigific que el ermite de segudo orde es l sum de los productos de los elemetos de l digol pricipl y sus dos prlels, meos l sum de los productos de los elemetos de l digol secudri y sus dos prlels. ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( )( 9)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( 9)( ) 9 PROPIEDDES DE LOS DEERMINNES. Si todos los elemetos de u colum o de u regló so cero, etoces el ermite es cero. ) ( ) ( )

3 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios 9 ) ( 9)( ) ( ). El ermite de l mtriz es igul l ermite de l mtriz ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ). Si cd elemeto de u regló o u colum es multiplicdo por u esclr k, el ermite es tmbié multiplicdo por k. ( ) ( ) Multiplicdo el primer regló por k 9 ( ) ( )( 9) Multiplicdo l primer colum por k e geerl: ( ) ( ) k k k k k k k. Si se itercmbi dos regloes o (colums) el sigo del ermite cmbi. ( ) ( ) itercmbido regloes:

4 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios ( ) ( ) itercmbido colums: ( ) ( ). Si u regló (o colum) se trsld p regloes (o colums) etoces el ermite obteido es igul : ( ) p ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) si se mueve l primer colum, dos posicioes, etoces: ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) si se mueve el primer regló, u posició, se tiee: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ). Si dos regloes o dos colums so igules, etoces el ermite es cero. ) ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ). U ermite o cmbi de vlor si todos los elemetos de u regló (o colum) le so sumdos o restdos los elemetos de otro regló (o colum) multiplicdos por u esclr: i i i j j j k k k k k k

5 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios ( ) ( ) sumdo l primer colum l segud multiplicd por : ( ) ( ) 9( ) ( ) 9 l segudo regló de se le rest tres veces el primer regló: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Est propiedd es muy empled pr obteer ceros y sí simplificr el cálculo del ermite. ( ) ( ) ( ) MENOR DE UN ELEMENO Se u ermite de orde, correspodiete u mtriz : ( ) Se defie el meor de u elemeto j. Si se deot como l ermite que result de elimir el regló i y l colum M tl ermite, se tiee: M j j j j j i Ddo el ermite:

6 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios lguos meores so: M M M Ddo el ermite: 9 Ecotrr el meor M Solució: 9 M 9 COFCOR DE UN ELEMENO Se defie el cofctor de u elemeto, el cul se deot i j ( ) M, como: es decir, el cofctor es igul l meor multiplicdo por ó subídices es pr o impr, respectivmete. Clculr los cofctores del siguiete ermite: ( ) Solució:, depediedo si l sum de los dos

7 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios Clculr los cofctores de los elemetos correspodietes l primer regló del siguiete ermite: ( ) Solució. ( ) El ermite de u mtriz de culquier orde puede obteerse medite l sum de los productos de los elemetos de culquier regló o colum por sus respectivos cofctores: Pr el regló k o l colum l. ( ) kjkj j i il il sí, pr u ermite de tercer orde, se tiee: ( ) esto sigific que se elige el primer regló y se sum los elemetos por sus respectivos cofctores. Este procedimieto tmbié puede plicrse colums, por ejemplo, pr el cso terior: ( ) esto sigific que se elige l tercer colum y se sum los elemetos por sus respectivos cofctores. Clculr el siguiete ermite plicdo cofctores:

8 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios ( ) omdo el primer regló se tiee: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 9 hor, tomdo l segud colum se tiee: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 9 ( ) ( ) 9 Cudo prece vrios ceros e u regló o e u colum, fi de simplificr el cálculo de u ermite, es coveiete utilizr ese regló o colum. ( ) clculdo el cofctor y tomdo el segudo regló se tiee: 9 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) MRIZ DJUN Si es u mtriz cudrd y es el cofctor de deotd dj, como l mtriz de cofctores de su trspuest., se defie l mtriz djut de, dj Esto sigific que pr ecotrr l mtriz djut primero se trspoe l mtriz y después, co bse e ell, se clcul l mtriz de cofctores. Obteer l mtriz djut de:

9 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios 9 L mtriz trspuest es: L mtriz de cofctores de l mtriz trspuest es: dj Ecotrr l mtriz djut de: Solució. dj MRIZ INVERS MRIZ INVERS POR EL MÉODO DE L DJUN E el álgebr mtricil, l divisió o está defiid. L iversió de mtrices es l cotrprte de l divisió e álgebr. L ivers de u mtriz está defiid como quell mtriz, que multiplicd por l origil d por resultdo l mtriz iidd, se deot como : I esto se cumple siempre y cudo ( ). L mtriz ivers se obtiee e su form clásic, de l siguiete mer:

10 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios ( ) ( ) dj El procedimieto pr obteer l mtriz ivers de u mtriz por el método de l djut es el siguiete: Se clcul el ermite de. Si ( ) etoces tiee mtriz ivers (e cso cotrrio se dice que es u mtriz sigulr) Se obtiee l trspuest de, es decir, Se clcul l mtriz de cofctores de, ddo lugr l mtriz djut de, esto es, dj Se form el producto ( ) dj. Obteer l mtriz ivers de: Solució. ( ) ( ) dj dj Comprobció: I Obteer l mtriz ivers de:

11 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios Solució. ( ) dj dj Comprobció: I L ivers de u mtriz digol se obtiee ivirtiedo sus térmios, esto es, si:

12 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios L ivers de u producto de mtrices se obtiee de l siguiete regl: ( ) B B SOLUCIÓN DE SISEMS DE ECUCIONES LINELES Muchos problems de l vid rel oblig resolver simultáemete vris ecucioes lieles pr hllr ls solucioes comues tods ells. mbié result muy útiles e geometrí (ls ecucioes lieles se iterpret como rects y plos, y resolver u sistem equivle estudir l posició reltiv de ests figurs geométrics e el plo o e el espcio). U sistem de ecucioes lieles es u cojuto de ecucioes lieles que se puede escribir de form trdiciol sí : m m m m b b b U sistem sí epresdo tiee m ecucioes y icógits, dode so los coeficietes reles del sistem, los vlores m b so los térmios idepedietes del sistem y ls icógits i so ls vribles del sistem. L solució del sistem es u cojuto ordedo de úmeros reles s s s,,, tles que l sustituir e ls icógits stisfce l vez ls m ecucioes del sistem. Este mismo sistem de ecucioes lieles e otció mtricil tiee est form : [ ] [ ] [ ] B m m m m b b b dode: [ ] es u mtriz de coeficietes

13 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios [ ] B es u vector de costtes [ ] es u vector de icógits MÉODO DE L MRIZ INVERS Se l ecució mtricil: [ ] [ ] [ ] B que deot u sistem de ecucioes lieles. Est ecució puede ser resuelt pr [ ], premultiplicdo [ ] por su ivers, y pr o lterr el resultdo, tmbié se premultiplic [ ] B por l ivers de [ ] : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B, esto es: [ ] [ ] [ ] B Resolver los siguietes sistems de ecucioes: ) Solució. ( ) dj dj [ ] [ ] [ ] B ;

14 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios y z ) y z y z Solució. ( ) dj dj [ ] [ ] [ ] B ; y ; z REGL DE CRMER L regl de Crmer es plicble pr quellos sistems que tiee igul úmero de ecucioes que de icógits ( m) y el ermite de l mtriz de coeficietes es distito de cero. Es decir, pr sistems de que tiee siempre u solució úic (comptibles ermidos).

15 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios El vlor de cd icógit b b b j se obtiee de u cociete cuyo deomidor es el ermite de l mtriz de coeficietes y cuyo umerdor es el ermite que se obtiee l cmbir l colum j del ermite de l mtriz de coeficietes por l colum de los térmios idepedietes. Resolver los siguietes sistems de ecucioes: ) Solució. Pr clculr, se sustituye los térmios idepedietes e l primer colum: 9 Pr clculr, se sustituye los térmios idepedietes e l segud colum: 9 ; y z ) y z 9y z 9 Solució: 9 Pr clculr, se sustituye los térmios idepedietes e l primer colum: 9 9 9

16 Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios Pr clculr y, se sustituye los térmios idepedietes e l segud colum: 9 y y Pr clculr z, se sustituye los térmios idepedietes e l tercer colum: 9 9 z z ; y ; z

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