HERRAMIENTAS CAD EN EL ANÁLISIS DE MEMS

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1 HERRAMIENTAS CAD EN EL ANÁLISIS DE MEMS David Camilo Olea, David Urrea Uribe, Andrés Eduardo Gaona uniandes.edu.co Universidad de los Andes Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Maestría en Ingeniería Electrónica y de Computadores Resumen: en este artículo son presentadas dos herramientas para diseño y simulación de dispositivos a escalas micro y nanométricas. La primera de ellas está hecha bajo MatLab y usa SUGAR para describir y simular diferentes sistemas electromecánicos, con elementos básicos en MEMS como cantilevers, gaps y bases entre otras. La segunda es una herramienta que realiza análisis de estado estacionario para cantilevers con un extremo fijo ante diferentes fuerzas aplicadas. Para ambas aplicaciones son mostrados ejemplos de simulación con sus respectivos resultados. Palabras clave: cantilever, simulación, microsistemas, herramientas CAD, SUGAR, Cantisoft. 1. INTRODUCCIÓN En los últimos años han sido desarrolladas múltiples técnicas de fabricación a escalas micrométricas y nanométricas (micromaquinado de superficie, impresión -D, LIGA, maquinado con electrodescargas entre otras) [1], que han hecho posible el desarrollo de sensores, actuadores, componentes pasivos o combinaciones de los anteriores, con características mecánicas y eléctricas especiales. En general, a la reunión de las aplicaciones anteriores se les denomina sistemas microelectromecánicos (MEMS) [1],[]. Debido al creciente interés en el estudio, investigación y desarrollo de MEMS, ha surgido la necesidad de crear diferentes herramientas de simulación y síntesis CAD (computer aided design) []-[6] que faciliten operaciones de modelamiento, diseño e implementación para ésta clase de sistemas. En la actualidad, existe una amplia gama de opciones que van desde herramientas que simulan procesos de fabricación tales como de grabado (ACES Anisotropic Crystalline Etch Simulation y Caltech SEGS -d Anisotropic Etch Simulation on-line ) y litografía (PROLITH)), hasta aquellas que realizan análisis mecánico, eléctrico o mixto de estructuras como ANSYS, SUGAR[]-[5], CoventorWare o NODAS [6], [7]. Los desarrollos de herramientas CAD en MEMS hasta el momento se deben en gran parte a labores investigativas realizadas en universidades, por ejemplo Berkeley (SUGAR), Illinois (ACES) o Carnegie Mellon (NODAS); de donde han surgido para luego, en algunos casos, ser comercializadas. Herramientas como SUGAR y NODAS son de acceso libre pero requieren de otras plataformas software para su funcionamiento como son Matlab y Saber; respectivamente. A continuación son presentadas algunas consideraciones de interés sobre algunas de las herramientas CAD de mercado: SUGAR: es un paquete construido sobre MatLab, que utiliza análisis nodal y nodal modificado para modelar sistemas eléctricos y mecánicos. Los elementos mecánicos son construidos a partir de componetes como beams, gap electrostáticos y elementos para formar circuitos. NODAS: proporciona una biblioteca de componentes parametrizados entre los cuales se incluyen beams, anclajes, peines electrostáticos verticales y horizontales y gaps, que pueden ser interconectados para formar MEMS. Los parámetros de salida pueden utilizarse para realizar simulaciones electromecánicas con el simulador Saber.. DESARROLLO DE APLICACIONES CAD A continuación se explican aspectos relevantes y se profundiza en el manejo de SUGAR, como elemento de diseño y simulación de estructuras basadas en elementos acoplados comunes en microsistemas. Además es reseñada una herramienta nueva para diseño y simulación del comportamiento de cantilevers..1 SUGAR como elemento de diseño de MEMS La arquitectura básica empleada para realizar simulaciones usando SUGAR es mostrada en la Fig. 1, donde se nota que el sistema completo es hecho y ejecutado desde MatLab. El primer bloque; interfaz gráfica, es el encargado de tomar datos suministrados por el usuario o diseñador de MEMS, sobre las características del sistema. Fig. 1 Arquitectura del sistema de diseño y simulación en MatLab La Fig. muestra la interfaz gráfica donde es posible crear diferentes elementos como beams, gaps electrostáticos, resistencias e interconectarlos a través de nodos, además es

2 posible modificar características físicas (altura, ancho, material) de cada uno de estos elementos. Fig. Definición de materiales Fig. Interfaz gráfica al usuario También se pueden aplicar fuerzas y voltajes entre nodos y colocar puntos de prueba para evaluar el comportamiento del sistema. La fig. muestra un caso en el cual ha sido definido un beam, un gap, tres nodos (anclajes) y es aplicado un voltaje entre los nodos B y C. 6 x 1-5 Con los anteriores archivos, SUGAR crea matrices de rigidez [K] (stiffness), masa [m] y amortiguamiento [c] de cada bloque estructural. Las matrices creadas son los coeficientes de la ecuación (1) de movimiento que describe la dinámica del comportamiento del sistema [], [5]. { F } = [ m]{. q& } + [ c]{. q& } + [ K]{}. q & (1) = x n y n n es un vector columna de 1xN y N es el número de nodos. donde el desplazamiento nodal { q} { x y θ... θ } A B.1.1. Procedimientos Teóricos de cálculo usados por SUGAR Los algoritmos implementados en SUGAR básicamente buscan resolver la ecuación (1) para encontrar la respuesta del sistema. Se distinguen dos algoritmos básicos: análisis DC y de estado estable [], [5] x 1 - Fig. Ejemplo de un sistema descrito en la herramienta La descripción del sistema completo va a generar un archivo netlist que será interpretado por SUGAR (Fig. 1), en donde se especifican características como geometrías, voltajes o fuerzas aplicadas. Cada vez que se modifique el sistema automáticamente son hechos los cambios necesarios en el archivo.net. Además del archivo.net, SUGAR requiere de las características de los materiales utilizados como Modulo de Young, permitividad, viscosidad y densidad entre otros. Los materiales se pueden agregar y/o modificar de acuerdo a las exigencias del sistema, en la parte de Editar Materiales de la Fig. 1, la cual desplegará una ventana como la mostrada en la Fig., en la cual es posible suministrar al programa las diferentes constantes de los materiales utilizados. Análisis DC: encuentra la posición de equilibrio de un MEMS dependiendo de las fuerzas mecánicas o voltajes aplicados. La posición de equilibrio se encuentra usando la ecuación (), donde la fuerza electrostática y la rigidez del sistema producen funciones no lineales de desplazamiento, lo que conlleva a aplicar el método numérico de Newton-Raphson para solucionar la ecuación (). ({ q} ) = [ K ] { q} { F} = f () El método consiste en tomar un valor semilla q y con la ecuación () aproximarse a la solución por iteraciones hasta el valor de tolerancia ζ sea el deseado, dado por la ecuación (). 1 { q } = { q } [ f ({ q })] [ f ({ q })] n+ 1 n n n () { } { q } ζ q 1 () n+ n Estado estable: este algoritmo busca la respuesta del sistema ante fuerzas de excitación sinusoidal y amortiguamiento.

3 .. Cantisoft Simulador de Cantilevers Como ambiente de desarrollo se utilizó Visual C++ 6.; la aplicación sigue la arquitectura de cuadros de diálogo y permite calcular la deflexión de un cantilever de longitud definida ante distintas cargas aplicadas; es posible aplicar un máximo de 1 cargas simultáneamente al cantilever, y cada una de ellas puede ser de uno de tres tipos: Carga puntual Carga uniformemente distribuida Carga uniformemente variable con su máximo en el extremo fijo del cantilever Al aplicar cada fuerza, el programa realiza los cálculos según las fórmulas dadas en siguiente sección. Para cada punto del cantilever que se presenta en pantalla (Fig. 5), se obtiene el desplazamiento punto a punto y estos datos son guardados en un vector para cada carga. Finalmente se suman los vectores para obtener el desplazamiento total producido por todas las fuerzas aplicadas. La presentación inicial del programa se muestra en la Fig. 5. Fig. 7 Características de las cargas aplicadas Con cada carga que se adiciona, se muestra en la ventana de dibujo el cantilever y una representación de las cargas que actúan sobre él. Al lado derecho, se presenta una lista con las cargas aplicadas y los parámetros definidos, tal como lo muestra la Fig. 8. En el menú superior y la opción simulación se despliegan los resultados del problema desarrollado (posición inicial y final del cantilever). Fig. 8 Ventana de ejemplo de un cantilever con diferentes cargas Figura 5 Interfaz gráfica al usuario Mediante el botón Cantilever se presentan los parámetros del cantilever, los cuales pueden ser modificados por el usuario editándolos en el cuadro de diálogo que se muestra en la Fig Procedimientos Teóricos de cálculo usados por Cantisoft En Cantisoft es realizado un análisis de estado estable del sistema, hallando para cada punto del cantilever el desplazamiento de acuerdo al tipo de carga aplicada [7]-[1]. Para todos los análisis es necesario el momento de inercia del sistema, que depende de la geometría del cantilever y está dado por la ecuación (5). WH I = (5) 1 Fig. 6 Parámetros del cantilever Al dar clic sobre el botón nueva carga en la Fig. 5, se presenta un cuadro de diálogo de la Fig. 7, que permite seleccionar el tipo de carga a aplicar, y definir los parámetros respectivos como presión y el lugar donde se desea aplicar la carga. donde W es el ancho y H la altura del cantilever. Los casos enunciados a continuación son los diferentes tipos de cargas aplicadas a un cantilever y se suministran las ecuaciones usadas para hallar deflexión (y), deflexión máxima (δ máx ) y pendiente en el extremo libre (θ). Las diferentes ecuaciones poseen constantes como longitud del cantilever (l), módulo de Young (E) y momento de inercia (I), definido en (5). Carga concentrada en cualquier punto: la deflexión en cualquier sección del cantilever en términos de x está dada por las ecuación (6), que está dividida en dos ecuaciones debido a que el desplazamiento (y es positivo hacia abajo), depende del lugar donde sea aplicada la carga. Gráficamente se observa en la Fig. 7. Las ecuaciones (7) y (8) muestran la pendiente en el extremo libre y la deflexión máxima.

4 Px Pa ( l x) para < x < a ( x a) para a < x < l Pa θ = (7) EI Pa δ = ( l a) (8) max (6) x 1 - Fig. 9 Cantilever del ejemplo 1 Carga uniformemente distribuida de w -N por unidad de longitud: la deflexión en cualquier sección del cantilever en términos de x, la pendiente en el extremo libre y la deflexión máxima están dadas por las ecuaciones (9)-(11). ( x + 6l lx) wx EI (9) θ = (1) max 8EI (11) Carga uniformemente variable, con el máximo w Newtons por unidad de longitud en el extremo fijo: la deflexión en cualquier sección del cantilever en términos de x, la pendiente en el extremo libre y la deflexión máxima están dadas por las ecuaciones (11)-(1). ( 1l 1l x + 5lx x ) wx 1lEI (1) θ = EI (1) δ max = EI (1). EJEMPLOS DE APLICACION Ejemplo 1: Este ejemplo fue tomado de la sección 7 página 17 de la referencia [1]. Es este se encuentra el cálculo de la presión ejercida sobre un cantilever con sus dos extremos fijos y dimensiones de L=µm, W=5µm y H=6µm. Debido a que al programa se le suministra el dato de fuerza en el punto medio del cantilever (calculado en el ejemplo P=67µN) se encuentra en SUGAR la deflexión máxima del cantilever (dato inicial) de la siguiente forma. Es elaborado en la herramienta de SUGAR el cantilever (Fig. 9) con las especificaciones dadas y la fuerza ejercida en el centro. En la Fig. 1 se muestra el cantilever deformado en estado estable y el resultado coincide con los µm de deflexión en el punto central proporcionados por el problema. x1 - Fig. 1 Cantilever deformado En la Fig. 11 se muestra la curva característicades sistema, en la cual es variada la fuerza aplicada desde hasta 5uN, siguiendo el desplazamiento una tendencia lineal Desplazamiento (um) Fuerza (un) x 1 Fig. 11 Variación de la fuerza aplicada vs. desplazamiento. En el ejemplo es calculada la frecuencia resultante de la vibración la cual dio como resultado 1.6MHz. En la aplicación de SUGAR es vista la frecuencia fundamental del sistema (modo 1) que se presenta en la Fig. 1. En la figura se puede observar que el resultado es el mismo que el hallado teóricamente x 1-5 Mode 1, frequency Hz 1 x 1 - Fig. 1 Frecuencia fundamental, modo 1. En la Fig. 1 es mostrado el análisis de fase y magnitud del sistema.

5 Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) Figura 1. Diagrama de Bode del sistema. Ejemplo : Para hacer una comparación del funcionamiento de las dos herramientas descritas (Sugar y Cantisoft) se realizaron diferentes descripciones de cantilevers, de las cuales se muestran. Con carga distribuida se tomaron los siguientes datos carga=1.1 N/m, L=9um, w=1um, h=um, modulo de young=16gpa. Para este caso los datos teóricos de desplazamiento coincidieron exactamente con los entregados por Cantisoft (8.um), pero dado que en Sugar se hace una aproximación al tomar la carga distribuida como fuerzas discretas sobre 1 trozos del cantilever el resultado no fue el mismo pero si cercano (8.6um). Con carga concentrada (fig. 1) se tomaron los siguientes datos Fuerza=55uN, L=1um, w=1um, h=um, modulo de young=16gpa. En este caso tanto el resultado teorico del desplazamiento, como los entregados por ambas herramientas fueron iguales (17. um). x x 1 - Fig. 1 Grafica de un cantilever con una fuerza concentrada en su extremo final de 55uN.. VENTAJAS Y LIMITACIONES.1 Cantisoft Es un programa que no necesita correr sobre software especializado ya que basta con ejecutar el archivo Cantisoft.exe para que la aplicación funcione. Además el tamaño de la aplicación es reducido, aproximadamente kb. La precisión en el manejo de operaciones es la máxima permitida debido a que se trabajan en formato de precisión doble (tipo double ) de 6 bits. Cada dato emplea en el PC un total de 8 bytes para su representación. Realiza análisis en estado estacionario de cantilevers, calculando deflexiones producidas por las cargas aplicadas a lo largo del cantilever. Permite únicamente simulaciones de comportamiento mecánico del cantilever.. Aplicación SUGAR Ya existen elementos predefinidos básicos como cantilevers y gaps que permiten realizar sistemas electromecánicos sencillos. Pueden definirse una gran cantidad de materiales, ya que basta con modificar el archivo dispuesto para tal fin y que SUGAR interpreta en cada simulación. Es posible realizar análisis de estado estable y frecuencial de los sistemas descritos La precisión en el manejo de datos es buena ya que se manejan datos de tipo float en MatLab. Además las características del sistema son organizados en matrices lo que facilita su manipulación e interpretación. SUGAR no interpreta un dispositivo creado con diferentes capas de materiales sino como elementos independientes. Por tal motivo, es imposible crear estructuras bimorfas que dependan de más de un elemento. Como es necesario correr SUGAR bajo MatLab,es necesario adquirir la licencia de MatLab lo cual incrementa el costo de uso de SUGAR. 5. CONCLUSIONES Fueron entendidos códigos fuentes de SUGAR e instrucciones usadas para elaborar elementos útiles en MEMS, con el fin de crear una interfaz gráfica en el diseño y/o simulación de sistemas de baja o mediana complejidad. Dicha interfaz se encarga de generar automáticamente los archivos necesarios para que SUGAR interprete el sistema descrito por el usuario. Con el programa Cantisoft es posible calcular los resultados de deflexión al aplicar diferentes tipos de carga a un elemento básico en MEMS, como el cantilever. Ésta herramienta fue validada satisfactoriamente mediante la comparación de los resultados de dos ejemplos hechos tanto en SUGAR como en Cantisoft. Hay diversidad de aplicaciones de sistemas electromecánicos en la actualidad, pero las herramientas de simulación y síntesis están aun en desarrollo. De ahí la importancia de trabajar en desarrollos CAD que faciliten el proceso completo de diseño de MEMS. Aunque SUGAR posee limitaciones de componentes mecánicos y eléctricos, con ésta herramienta pueden caracterizarse sistemas simples como cantilevers, peines electrostáticos o diferentes estructuras que combinen elementos básicos como gaps, anclajes o fuerzas.

6 6. TRABAJO FUTURO Incrementar el rango de aplicaciones del programa Cantisoft, debido a la diversidad de efectos que pueden combinarse con el uso de cantilevers, como el piezoeléctico, piezoresistivo o térmico. Realizar además del análisis en estado estable en Cantisoft, análisis de transiente y frecuencia, útiles para entender el comportamiento completo de los sistemas descritos. En este momento los diseñadotes de SUGAR están abriendo el código fuente, luego sería de gran utilidad interpretarlo para agregar más elementos a los ya existentes, para de ésta forma hacer más potente en simulación de MEMS a ésta herramienta. REFERENCIAS [1] M. Gad-el-Hak, The MEMS handbook, University of Notre Dame, CRC Press,. [] S. Senturia, N. Aluru and J. White, Simulating the behavior of MEMS devices: computacional methods needs, IEEE Computacional Science and Engineering, vol., -,1997. [] Pister, K., SUGAR V., www-bsac.eecs.berkeley.edu/~cfm/ mainpage.htm [] J. Clark, N. Zhou and K. Pister, MEMS simulation using SUGAR v.5, Procedings Solid-State Sensors and Actuators Workshop, Hilton Head Island, SC, USA. June 8-11, 1998, pag [5] J. Clark, N. Zhou and K. Pister, Nodal Analysis for MEMS Design Using SUGAR v.5, Technical Proceedings of the 1998 International Conference on Modeling and Simulation of Microsystems, Chapter 7: Discretization, Numerics, Computational Efficiency. [6] Jing, Q. and Fedder, G.K., NODAS 1.-nodal design of actuators and sensors, IEEE/VIUF International Workshop on Bahavioral Modeling and Simulation, Orlando, Fla., October 7 8, [7] [8] F. Beer and E. Johnston, Mecánica de materiales, Mc. Graw Hill, ed, Bogotá, Colombia, 1 [9] S. Timoshenko and J. Gere, Mecánica de materiales, International Thomson Editores, a. ed, México, [1] J. Pelesko, Modeling MEMS and NEMS, Chapman & Hall, Boca Raton, FL,.

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