Continuidad de funciones

Transcripción

1 Apuntes Tema 3 Continuidad de funciones

2 3.1 Continuidad de funciones Def.: Dada una función f(x), diremos que es continua en x = a, si cumple la siguiente condición: En caso de que no cumpla esta condición, la función será discontinua. Para analizar los tipos de discontinuidades, sólo nos interesarán los límites laterales, no tendremos en cuenta para nada el valor de la función en dicho punto. Tipos de discontinuidades Discontinuidad evitable: los límites laterales de la función son iguales. x 2 x

3 Discontinuidad no evitable de 1ª especie: los límites laterales existen, pero no son iguales. x 2 x 2 + Discontinuidad no evitable de 2ª especie: se da cuando al menos uno de los dos límites laterales no existe, es decir, vale. x 2 x

4 Ejemplos: 1. Estudia la continuidad de f(x) = 2 x en x = 0 y en x = 2. x 2 2x En x = 0 En x = 2 2. Estudia la continuidad de f(x) = 4 ln x en x = 0 y en x = 4. En x = 0 En x = 4 31

5 3.2 Propiedades de las funciones continuas 1. Las funciones polinómicas, las del tipo y = sen x o y = cos x, las funciones exponenciales sencillas (y = a x, a R + ) son continuas en todo R. 2. La suma, diferencia y producto de funciones continuas es una función continua. El cociente de dos funciones continuas también es una función continua, excepto para los valores que anulan el denominador. 3. Siempre que f sea continua en x = a y g continua en x = f(a), la función compuesta y = g (f(x)) será continua en x = a. Ejemplo: Estudia la continuidad de la función f(x) = e x2 5x. Consecuencias de 3.: Las discontinuidades de a f(x), sen f(x), cos f(x) son, a lo sumo, las de la función y = f(x). Ejercicios 1. Estudia a fondo la continuidad de la función: f(x) = { 2x si x < 0 x si x Estudia a fondo la continuidad de la función: f(x) = { 1 x x + 1 x + 2 si x < 1. si x 1 3. Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en todo R: f(x) = { ax3 3x 2 + a x + 2 si x < 1 x 2 ax + 1 si x 1. 32

6 3.3 Teorema de Bolzano Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) (f(a) f(b) < 0) c (a, b) / f(c) = 0. Ejemplo: Dada la función f(x) = x 4 4x 2 1, tiene alguna raíz negativa? 33

7 Si la función no es continua en [a, b] no tiene porqué existir ningún punto de corte con el eje OX. Ejemplo: Razona si la función f(x) = tg x tiene algún cero en un punto interior del intervalo cerrado [0, ]. Ejercicios: 1. Demuestra que al menos existe un número real para el cual se verifica la ecuación: x 2 + e x = 1 sen x. 2. La ecuación (x + 1) ln x = 5 tiene una solución en el intervalo [3, 4]. 3. Determina en un intervalo de longitud 0.1 en el que esté comprendida una solución de la ecuación 2x + 1 = sen x. 34

8 Ejercicios x + 1 x < 3 1. Estudia la continuidad y representa la siguiente función:f(x) = { x 2 /8 3 x 4. 0 x > 4 2. Determina el valor que ha de tener k R, para que la siguiente función sea continua: f(x) = { x2 + kx x < 1 x + 2 x Calcula el valor que ha de tener m para que sea continua en x = 1 la función f(x) = { Ln x x 1 x 3 + mx x < Estudia la continuidad de la función definida por: f(x) = { e1 x x < 0 1 x = 0. e x 1 x > 0 5. Dada la ecuación x = x, es posible saber sin resolverla, que tiene solución en el intervalo (0, 1). Explica razonadamente qué teorema o teoremas sobre funciones continuas pueden asegurar tal cosa. 6. Demuestra que la ecuación x 3 3x + 1 = 0 tiene al menos una solución 7. Comprueba que las funciones f(x) = x 4 y g(x) = 4x tienen al menos un punto de corte 8. Estudia la continuidad y comportamiento (límites laterales) en el entorno de los puntos de discontinuidad de la función f(x) = 9. Prueba que f(x) = 2cos x y g(x) = x 2 se cortan. x 2 2x + n 1 1 x. 10. La función f(x) = posee una discontinuidad evitable en x = 2 para x 3 + mx 2 14x ciertos valores de m y n. Hállalos razonadamente y analiza el resto de discontinuidades que puedan presentarse. 11. Comprueba que la función f(x) = tg x tiene valores de distinto signo en los extremos del intervalo [ /4, 3 /4]; sin embargo, tg(x) no se anula en ese intervalo. Contradice esto al teorema de Bolzano? Cuál es la explicación? 12. Estudia los valores de a y b para que la siguiente función sea continua en R f(x) = 3x + 2 si x < 0 { x 2 + 2a cosx si 0 x π. ax 2 + b si x > π 13. Determina los valores de a y b para que f(x) sea continua en todo su dominio f(x) = xln(x + 1) + a si x > 0 { b si x = 0. sen (πx) si x < 0 x 35

9 14. Determina una función continua definida en todo R que coincida con la función (1 cos x)sen x f(x) = en el dominio de ésta última. x Estudia la continuidad de la función f(x) = x + 2 x 2 indicando, si los hubiera, los tipos de discontinuidad (expresa previamente la función a trozos sin valor absoluto) 16. Determina el valor de a para que sea continua la función f(x) = { sen (ax) e x x 2 + x 5x si x < 0 si x = 0. si x > Halla el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas: Ln x a) f(x) = { si x 1 x 1 a si x = 0. ax si 0 x 8 b) f(x) = { x 2 32 si x > 8. x 4 36

10 Ficha de Repaso 1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x) = x2 + x x 2 x (Sol.: disc evitable en x = 0 y de 2ª especie en x = 1) b) f(x) = { x si x < 0 x 2 x + 1 si x 0 (Sol.: continua en R) c) f(x) = { e 2 x ( x+1 2 ) 2 x 2 1 si x 1 si x > 1 (Sol.: continua en R) d) f(x) = x 1 1 x 2 Ln x 1 si x < 0 e) f(x) = { x 2 si x 0 x 2 (Sol.: disc evitable en x = 2, cont en [1, 2) (2, ) (Sol.: discontinua con salto en x = 0 y x = 2) 2. Determina el valor de los parámetros para que f sea continua: 1 si x 0 e a) f(x) = { x a cos x + b si 0 x π sen x ax si x > π (Sol.: a = 1, b = π 1 ) π 2 π sen x si x 0 b) f(x) = { x 2 + ax + b si x > 0 (Sol.: b = 5 y a cualquier valor real) c) f(x) = { ex 1 si x < 1 (x + a) 2 si x 1 a 4x si x 2 d) f(x) = { x 2 5 si 2 < x < 1 bx + 3 si x 1 (Sol.: a = 0, y a = - 2) (Sol.: a = - 9, y b = - 7) 37