Conjuntos - Otra Forma Para Contar

Transcripción

1 Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez AFAMaC-Matemáticas Cesar A. Barreto - Gabriel D. Uribe Septiembre 5 de 2010

2 Definiciones y Notación Definición Un conjunto es una colección de objetos que está bien definida. A los objetos que están en el conjunto se les denomina elementos del conjunto. Y se dirá que un conjunto está bien definido si existe una forma de determinar si un elemento pertenece o no al conjunto. Determine cuáles de los siguientes conjuntos están bien definidos La colección formada por todos los estudiantes de un grado particular de cierta escuela. Una colección de las mejores frutas del pais. La colección de los números primos. La colección de los pollos gordos de la región oeste.

7 Determinación de un Conjunto Por Extensión: Diremos que un conjunto está determinado por extensión cuando son mencionados uno a uno todos los elementos del conjunto. El conjunto de todos los números pares entre 5 y 19. Entonces A = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} Por Compresión: Diremos que un conjunto está determinado por comprensión cuando todos sus elementos satisfacen una característica común. El conjunto de todos los números mayores que 5 pero menores que 60. A = {x : 5 < x < 60}

11 Conjunto Universal y Conjunto Vacío Definición (Conjunto Universal) Definimos al conjunto que contiene a todos los posibles elementos de cualquier conjunto que deseamos considerar, como el Conjunto Universal y lo denotaremos con la letra U. Así, si hablamos de números primos, entonces U es el conjunto de los números enteros. El conjunto universal puede mencionarse expĺıcitamente, aunque en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto en el que se esta trabajando. Definición (Conjunto Vacío) Existe un conjunto que no posee ningún elemento, este conjunto es llamado Conjunto Vacío y se representa mediante el simbolo ó { }.

12 Conjunto Universal y Conjunto Vacío Definición (Conjunto Universal) Definimos al conjunto que contiene a todos los posibles elementos de cualquier conjunto que deseamos considerar, como el Conjunto Universal y lo denotaremos con la letra U. Así, si hablamos de números primos, entonces U es el conjunto de los números enteros. El conjunto universal puede mencionarse expĺıcitamente, aunque en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto en el que se esta trabajando. Definición (Conjunto Vacío) Existe un conjunto que no posee ningún elemento, este conjunto es llamado Conjunto Vacío y se representa mediante el simbolo ó { }.

13 Pertenencia y Contenencia Definición (Pertenencia) Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto A, si este satisface todas las condiciones que definen al conjunto, se denotará por x A y así mismo si el elemento no pertenece al conjunto se denotará por x / A. Por ejemplo, si A = {x : x Es un número Natural}, entonces, vemos que el 3 / A, ya que este es un entero negativo, mientras que 23 A. Definición (Contenencia) Se dice que un conjunto A está contenido o es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y se denota por A B. Si A = {2, 3, 5} y B = {x : x 1}, entonces, tenemos que A B.

14 Pertenencia y Contenencia Definición (Pertenencia) Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto A, si este satisface todas las condiciones que definen al conjunto, se denotará por x A y así mismo si el elemento no pertenece al conjunto se denotará por x / A. Por ejemplo, si A = {x : x Es un número Natural}, entonces, vemos que el 3 / A, ya que este es un entero negativo, mientras que 23 A. Definición (Contenencia) Se dice que un conjunto A está contenido o es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y se denota por A B. Si A = {2, 3, 5} y B = {x : x 1}, entonces, tenemos que A B.

15 Ejemplo: Sean U = {a, b, c, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, { }} A = {c, {a}, {b, c}}, B = {a, b, {c}, {a, b, c}} y C = {{a, b}, {a, c}, {b, c}, { }, }. Determine si los siguientes enunciados son Falsos o Verdaderos: {b, c} A { } C B {a, b} C {a, b} B {c} A c B {{a, c}, {b, c}} C

23 Igualdad de Conjuntos Definición Diremos que el conjunto A es igual al conjunto B si poseen exactamente los mismos elementos. En términos de contenencias diremos que A y B son iguales si y solo si A B y B A. Si tomamos A = {x : x es un número primo menor que 11} y B = {2, 3, 5, 7}, entonces, A = B.

24 Igualdad de Conjuntos Definición Diremos que el conjunto A es igual al conjunto B si poseen exactamente los mismos elementos. En términos de contenencias diremos que A y B son iguales si y solo si A B y B A. Si tomamos A = {x : x es un número primo menor que 11} y B = {2, 3, 5, 7}, entonces, A = B.

25 Complemento Definición Sea A un conjunto y U el conjunto universal, si A U, llamaremos complemento de A, a aquel conjunto que posee todos los elementos que que pertenecen al conjunto universal pero no pretenecn al conjunto A y lo denotaremos por A c. Sea U = {x : x es un número Entero} el conjunto universal y A = {x : x es un número impar} un subconjuto de U, entonces, el complemento será A c = {x : x es un número par}.

26 Complemento Definición Sea A un conjunto y U el conjunto universal, si A U, llamaremos complemento de A, a aquel conjunto que posee todos los elementos que que pertenecen al conjunto universal pero no pretenecn al conjunto A y lo denotaremos por A c. Sea U = {x : x es un número Entero} el conjunto universal y A = {x : x es un número impar} un subconjuto de U, entonces, el complemento será A c = {x : x es un número par}.

27 Diagramas de Venn Los Diagramas de Venn son ilustraciones que muestran gráficamente la agrupación de elementos mediante círculos u óvalos. La posición que ellos tienen en el plano, muestra la relación que existe entre los conjuntos. Frecuentemente se usa para representar un máximo de tres conjuntos, la cual define un total de 7 áreas diferentes de intersección; tal como se muestra en la siguiente figura:

28 Relaciones Entre Conjuntos Unión de A con B: Denotaremos por A B al conjunto que posee todos los elementos del conjunto A junto con todos los elementos del conjunto B. Diremos que un elemento x A B, si x A o x B. A B U Intersección de A con B: Denotaremos por A B al conjunto que posee todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al mismo tiempo al conjunto B. Diremos que un elemento x A B, si x A y x B. A B U

29 Relaciones Entre Conjuntos A Subconjunto de B: Diremos que A es subconjunto de B, denotado por A B si todos los elementos del conjunto A son también elementos del conjunto B. Diremos que si A B, entonces, para todo x A tenemos que x B. A B U Complemento de A: Denotaremos por A c al conjunto que posee todos los elementos que no pertenecen al conjunto A. Diremos que si x A c, entonces, x / A. A U

30 Relaciones entre Conjuntos La Diferencia entre dos conjuntos A y B denotada por A B al conjunto de todos lo elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B, lo reprsentaremos mediante un diagrama de ven como se muestra a continuación: La Diferencia entre dos conjuntos B y A denotada por B A al conjunto de todos lo elementos que pertenecen al conjunto B, pero no pertenecen al conjunto A, lo reprsentaremos mediante un diagrama de ven como se muestra a continuación: A B U A B U

31 Leyes de Morgan A continuación mostraremos las dos leyes de De Morgan, llamadas asi en honor al al lógico britanico Augustus De Morgan ( ). Ley 1 de De Morgan Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: Ley 2 de De Morgan (A B) c = A c B c Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces: (A B) c = A c B c

32 Números Cardinales En la vida cotidiana algunas veces es necesario representar ciertos problemas a través de conjuntos debido a que la información que se desea analizar está dada por el número de elementos de subconjuntos del conjunto incial, es por esto, que damos dos herramientas para la solución de estos problemas. Una de ellas es a partir de una fórmula y la otra mediante la representación en diagramas de Venn. Denotaremos por n(a) al cardinal del conjunto A, es decir, al número de elementos que posee el conjunto.

33 Con Diagramas de Venn Se seleccionaron 55 personas para preguntarles acerca de sus vacaciones de fin de año, ellos respondieron lo siguiente: 17 estuvieron viajando fuera a los Estados Unidos. 17 estuvieron viajando fuera del país. 23 hicieron turismo interno. 6 viajaron a Estados Unidos y también estuvieron fuera del país. 8 viajaron a los Estados Unidos e hicieron turismo interno. 10 viajaron fuera del país e hicieron turismo interno. 2 No salieron de vacaciones. Realizar un Diagrama de Venn para representar este problema y a partir de este contestar las siguientes preguntas: i. Cuántas personas hicieron únicamente un plan de vacaciones? ii. Cuántas personas solo estuvieron haciendo turismo interno?

34 Formula para los Números Cardinales Para dos conjuntos A y B cualesquiera, se satisface la siguiente igualdad: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Utilice un Diagrama de Venn y la información que se da a continuación, para ubicar el número de elementos en la región correspondiente. n(a) = 32, n(b) = 25, n(a B) = 53 y n(b c ) = 37

35 Formula para los Números Cardinales Para dos conjuntos A y B cualesquiera, se satisface la siguiente igualdad: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Utilice un Diagrama de Venn y la información que se da a continuación, para ubicar el número de elementos en la región correspondiente. n(a) = 32, n(b) = 25, n(a B) = 53 y n(b c ) = 37