1. Por extensión o forma constructiva. Se declara individualmente todos los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {a, b, c, d} A = {2, 4, 6, 8}

Transcripción

1 ENCUENTRO # 1 Relación de pertenencia y sub- TEMA: Cálculo Aritmético: Dominios numéricos. conjunto. Operaciones con conjuntos. Conjuntos Concepto 1. Es la reunión, agrupación o colección de objetos o entidades de cualquier naturaleza, pero claramente diferenciados entre sí, a los que se denomina "elementos". Ejemplo Los alumnos de un aula. 2. Las 5 vocales. 3. Los números impares. Nota: Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas: A, B,...; mientras que los elementos del conjunto con letras minúsculas: a, b,...,encerrado dentro de llaves: { }. Ejemplo 1.2. A = {a, b, c, d} Que se lee: "A es un conjunto cuyos elementos son a, b, c, d" Formas de expresar un conjunto 1. Por extensión o forma constructiva. Se declara individualmente todos los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {a, b, c, d} A = {2, 4, 6, 8} 2. Por comprensión o forma simbólica. Se hace mención a la característica o propiedad principal de los elementos que componen al conjunto. Ejemplo 2.1. A = {las vocales} En esta expresión se comprende que es un conjunto cuyos elementos son todas las vocales. Este mismo ejemplo se puede escribir así: A = {x/x es una vocal} Portal de Matemática 1 portaldematematica.com

2 Clasificación de los conjuntos según la cantidad de elementos Conjunto finito: Un conjunto es finito si consta de cierto número de elementos que se pueden contar. Ejemplo 3.1. A = {x/x es un lago de Nicaragua} Conjunto infinito: Un conjunto es infinito cuando el número de sus elementos es infinito, es decir, que no se pueden contar. Ejemplo 3.2. B = {x/x es una estrella en el cielo} Conjuntos numéricos Conjunto de los números naturales Los números naturales son lo que nos permiten contar objetos o cosas. Se simboliza N. Ejemplo 4.1. N = {1, 2, 3,...} Relación entre elementos y conjuntos: Un elemento pertenece ( ) a un conjunto si este forma parte de los elementos que conforman al conjunto y no pertenece ( ) si el elemento no forma parte dicho conjunto. Ejemplo 4.2. Dado el conjunto J = {x/x = 2n n N} 6 J 11 J Conjunto de los números enteros Son los números naturales, sus opuestos y el cero como elemento neutro. Ejemplo 4.3. Z = {..., 3 2, 1, 0, 1, 2, 3...} Portal de Matemática 2 portaldematematica.com

3 Relación entre conjuntos Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todos los elementos del conjunto A están incluidos en el conjunto B, entonces A es subconjunto del conjunto B. Se denota con el símbolo "A B". Nota: Si existe al menos un elemento que pertenece al conjunto A y este elemento no pertenece al conjunto B si dice que A no es subconjunto de B. Se denota A B. Ejemplo 4.4. A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces A B, se lee: "A es subconjunto de B". Alternativamente, en lugar de escribir A B que indica que A está incluido en B, se puede escribir B A que se lee: "B incluye a A". N Z Z = {..., 3 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} }{{} N Z N Conjunto de los Números Fraccionario Q + Es el cociente que resulta de la división de dos números naturales. Q + = { a b, a N b N b 0} Nota: Los números fraccionarios se pueden representar como expresiones decimales finitas o infinitas periódicas positivas. Ejemplo 4.5. a) 2 Q 5 + b) 7 Q 2 + c)1.2 Q + d) 0.45 Q + e) 0.12 Q + f) 2 Q + porque 2 es el cociente de 4, 6, 10, N Q + Z Q + Q + Z Portal de Matemática 3 portaldematematica.com

4 Ejercicio propuesto Completa los espacios en blanco de forma tal que obtengas una proposición verdadera: a) 4 Q + b) 3 4 N c) 7 Q + d) N Q + e) Z Q + f) Q + Z Conjunto de los racionales Q Q = { a ; a Z b Z; b 0} b Nota: Los números racionales se puede representar como expresiones decimales finitas o infinitas periódicas positivas y negativas. Ejemplo 4.6. a) 1 2 Q b) 3.21 Q c) Q d) 2 3 Q e) 2 Q f) 15 Q N Q Z Q Q + Q Conjunto de los Números Irracionales I Son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. Ejemplo 4.7. a) π b) 2 1, c) Número "áureo" Portal de Matemática 4 portaldematematica.com

5 N I Z I Q + I Q I Números Reales R Es la unión de los números racionales con los irracionales. N Z Q R N Q + Q R I R Ejercicio propuesto 1. Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifica las falsas. 4 (a) 2 Z (c) N 5 (b) 2 Q + (d) 2 R (e) N (f) N R (g) Q R (h) Z Q Portal de Matemática 5 portaldematematica.com

6 Operaciones con conjuntos Unión La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A B. A B = {x/x A x B} Nota: A B = B A Ejemplo 5.1. Dados los conjuntos: A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano} A B = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía, durazno, melón, plátano} Intersección La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A B. A B = {x/x A x B} Nota: A B = B A Ejemplo 5.2. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 4, 6}. Determina A B A B = {2, 4} Portal de Matemática 6 portaldematematica.com

7 Diferencia La diferencia de los conjuntos A y B en ese orden es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A B. A B = {x A x B} B A = {x B x A} Nota: A B B A Ejemplo 5.3. Sean los conjuntos: A = {mango,ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} B = {durazno, melón, uva, naranja, sandía, plátano} A B = {mango, ciruela, manzana} B A = {durazno, melón, plátano} Complemento El complemento del conjunto A respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como A c. A c = {x U x A} Nota: El conjunto universo o universal es aquel que está conformado por todos los objetos o elementos de un estudio. Ejemplo 5.4. El conjunto de los números N constituye el conjunto universal de los siguientes conjuntos: B = {x/x = números pares positivos} C = {x/x = números impares positivos} Portal de Matemática 7 portaldematematica.com

8 Ejemplo 5.5. Dado los siguientes conjuntos: U = {mango, kiwi, ciruela, uva, naranja, cereza, manzana, sandía, durazno, limón, melón, plátano} A = {mango, ciruela, uva, naranja, manzana, sandía} A c = {kiwi, pera, cereza, durazno, limón, melón, plátano} Ejercicios propuestos 1. Si A = {8.732; ; 7; 3 2 ; 9} B = {3.283; 9; 13; ; 8.732} C = {3.283; 13; } Calcula: (a) A B (c) A B (e) B C (g) B C (b) A B (d) B A (f) B C (h) C B 2. Dados los conjuntos: D = {x R/x < 2} E = {x R/ Calcula: < x < 5} H = {x R/x 5} (a) D E (c) E H (e) D E (g) E H (b) D E (d) E H (f) E D 3. Si P = {x R : x < 3 } 4 Q = {x R : x > 0} S = {x R : 3 < x 5} Determina: (a) P Q (b) P S (c) P S (d) P Q (e) Q S (f) P Q Portal de Matemática 8 portaldematematica.com