Desarrollo histórico de la Programación Lineal

Transcripción

1 Desarrollo histórico de la Programación Lineal La PL fue formalmente concebida en 1947, aunque sus principios pueden remontarse tan lejos como se quiera dentro del campo científico. Por ejemplo, los trabajos de Fourier en 1823 y de la Valle Poussin en 1911 pueden relacionarse con la PL, sin embargo, estos fueron casos aislados. La creación de las bases matemáticas que le dieron origen, aparte del álgebra lineal, ocurrió a principios del siglo XX. En 1928, el conocido matemático John von Neumann publicó el Teorema Central de la Teoría de Juegos; aunque el intento original de la teoría era ajeno a la PL, más tarde se demostró que estaban muy relacionadas entre sí, especialmente en el concepto de dualidad. En 1944, John von Neumann y Oscar Morgenstern publicaron la Teoría de Juegos y el Comportamiento Económico, en donde se demostró el interés existente por la Economía y la Teoría de Juegos. Por otra parte, en 1932 Wassily W Leontief propuso un análisis entrada-salida al cual llamó el Modelo Interindustrial Entrada-salida de la Economía Norteamericana. Dicho modelo consistía en un conjunto de restricciones lineales, aunque a diferencia de la PL, no tenía una función objetivo a ser optimizada. El enfoque general de la PL se consideró seriamente a finales de los treinta y principios de los cuarenta, cuando se formularon y resolvieron varios tipos de problemas de PL. El matemático y economista soviético L.V. Kantorovich formuló y resolvió un problema de PL relacionado con la planeación de la producción. En 1941, Hitchcock propuso el problema especial de la PL conocido como de Transporte. G.J. Stigler presentó en 1945 otro tipo diferente de problema de PL llamado el problema de la dieta. Durante la Segunda Guerra Mundial, el grupo de Investigación de Operaciones Militares trabajó con una gran variedad de problemas relacionados con PL, aunque, es importante aclarar que no fueron conocidos como tales, es decir, la PL no tuvo su origen formal durante la Segunda Guerra Mundial, sino algunos años más tarde. Un poco después de la Segunda Guerra Mundial, la Fuerza Aérea de los EUA reunió un grupo de científicos para investigar la factibilidad de aplicar herramientas matemáticas a problemas militares relacionados con la planeación y programación presupuestal. La gran diversidad de problemas relacionados con la Diana Cobos 1

2 logística militar era en aquellos tiempos una gran preocupación. Entre los miembros del grupo investigador estaba George B. Dantzing, quien es posiblemente la persona más reconocida en la iniciación y el desarrollo de la PL. La primera aportación trascendental de Dantzing a la PL fue reconocer la posibilidad de que la mayoría de las relaciones en la planeación real o aplicada pueden ser reformuladas como un sistema de desigualdades lineales, y la segunda fue expresar el criterio de selección para los planes buenos u óptimos en términos de objetivos específicos, y no en términos de reglas heurísticas o cualitativas. Estas ideas de Dantzing llevaron a la Fuerza Aérea a bautizar al grupo de científicos investigadores como el proyecto SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs). El proyecto SCOOP inició actividades en Junio de 1947 y dos meses más tarde Danzting y sus asociados no solamente habían desarrollado el modelo general del problema de PL, sino también un método general de solución para tal modelo llamado el Método Simplex. Diana Cobos 2

3 El Desarrollo Histórico de la Programación Lineal * 1823 Trabajos de Fourier * 1911 Trabajos de la Valle Poussin * 1928 El matemático John von Neumann publicó el teorema central de la Teoría de Juegos, la cuál está relacionada con la PL en el concepto de dualidad. * 1932 Wassily W. Leontief propuso el modelo interindustrial entrada-salida de la Economía Norteamericana, el cual consistía en un conjunto de restricciones lineales, aunque sin función objetivo a ser optimizada. * A finales de los treintas y principios de los cuarentas, se formularon y resolvieron varios tipos de problemas de PL. El matemático y economista soviético L.V. Kantorovich formuló y resolvió un problema de PL relacionado con la planeación de la producción. * 1941 Hitchcock propuso el modelo de transporte. * 1944 John von Neumann y Oscar Morgenstern publicaron la Teoría de Juegos y el Comportamiento Económico, en donde se demostró el interés por la economía y la teoría de juegos y por ende por la PL. * 1945 G.J. Stigler presentó el problema de la dieta. * Durante la segunda Guerra Mundial, el Grupo de Investigación de Operaciones Militares trabajó con una gran variedad de problemas relacionados con PL. * 1947 Fue formalmente concebida la PL. Diana Cobos 3

4 Qué es la Investigación de Operaciones? La Investigación de Operaciones nació en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial, cuando fue reunido un grupo multidisciplinario de científicos denominado "Grupo de Investigación de Operaciones Militares" Objetivo original Buscar soluciones a los problemas tanto tácticos como estratégicos de los aliados Qué tipo de problemas se resolvían con IO? Encontrar la profundidad óptima para detonar la carga antisubmarina. Seleccionar la localización óptima del armamento. Determinar el tamaño óptimo de los convoyes militares. Obtener el programa de ataque para minimizar el daño del enemigo. Qué sucedió terminada la guerra? El conocimiento ganado durante la guerra se estructuró, llegándose a especificar técnicas de solución vinculadas con problemas de: * Control de Inventarios * Asignación de Recursos * Programación Lineal * Líneas de Espera, etc. Algunos importantes promotores de la IO C. W. Churchman R. L. Ackoff R. Bellman Diana Cobos 4

5 Definición de Investigación de Operaciones La Investigación de Operaciones es el desarrollo, la solución y el análisis de modelos cuantitativos para apoyar a la toma de decisiones en problemas complejos de sistemas reales. Modelo Es una representación abstracta y particular de la realidad Qué tipo de problemas resuelve la IO? La IO ha desarrollado modelos específicos para solucionar problemas generales como los de inventarios, líneas de espera, reemplazo, mantenimiento, asignación de recursos etc. Qué es la Programación Lineal? La PL puede definirse desde el punto de vista primo y dual. Punto de vista primo. Herramienta cuantitativa para resolver problemas de programación de actividades. Punto de vista dual. Técnica cuantitativa para solucionar problemas de asignación de recursos. Programación porque es un proceso sistemático mediante el cual se diseña un determinado curso de acción. Lineal refleja el requisito de que todas las relaciones involucradas en el sistema deben ser representadas por funciones lineales. Diana Cobos 5

6 Un problema de programación de actividades Consiste en determinar el nivel y el tiempo de un conjunto de actividades interdependientes, llamado plan o programa, para llevar un sistema de su estado actual a un objetivo especificado. Un problema de asignación de recursos Estriba en encontrar la distribución de un conjunto de recursos disponibles, entre actividades interdependientes que compiten por ello, para alcanzar un objetivo. La Programación Lineal Pretende fundamentalmente encontrar mediante la utilización de funciones lineales, un programa óptimo de actividades interdependientes a realizar considerando la limitación en los recursos disponibles para efectuarlas. Diana Cobos 6

7 Aplicaciones de la Programación Lineal 1.- Aplicaciones Financieras 1.1 Selección de un portafolios de inversión. 1.2 Estrategia de mezcla financiera 2.- Aplicaciones a la Mercadotecnia 2.1 Elaboración de una campaña publicitaria 2.2 Obtención de una estrategia de ventas 3.- Aplicaciones en Producción 3.1 Programación de la producción 3.2 Asignación de mano de obra. 4.- Aplicaciones Tradicionales 4.1 El problema del transporte 4.2 El problema de asignación 4.3 El problema de mezclado 4.4 Problemas de inventarios 4.5 El problema de la dieta. 4.6 El problema del horario Diana Cobos 7