ÍNDICE. Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos... 13
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- José Manuel Rivas Quintero
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4 00_Principios 10/8/10 09:47 Página 7 ÍNDICE Prólogo... 9 Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos Capítulo 2. MATRICES Y DETERMINANTES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos Capítulo 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos Capítulo 4. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos Capítulo 5. FORMAS CUADRÁTICAS Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos ÍNDICE
5 00_Principios 10/8/10 09:47 Página 9 PRÓLOGO La enseñanza de las matemáticas en los planes de estudios de los nuevos Grados, supone una adecuación de sus capacidades y habilidades formales a las necesidades que eventualmente puedan aparecer a lo largo de su formación. La asignatura de Matemáticas para la economía: Álgebra que se imparte en el Grado de Economía en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) es cuatrimestral, y de carácter formativo básico. El desarrollo del programa correspondiente a las Matemáticas para la economía: álgebra se recoge en cinco capítulos. En cada capítulo se tratan los aspectos más relevantes de la materia objeto de estudio. Los capítulos, 1 espacios vectoriales, 2 matrices y determinantes y 3 sistemas de ecuaciones lineales, forman una unidad temática básica, de igual forma que los capítulos 4 diagonallización de matrices y finalmente el capítulo 5 las formas cuadráticas. Para facilitar la adquisición de las competencias previstas para esta materia cada capítulo tiene la misma estructura. Los conceptos teóricos se ponen en valor mediante numerosos ejemplos prácticos, que aplicados al ámbito de la economía, tratando de clarificar y hacer más comprensible las dificultades de carácter matemático con que se encuentra el alumno. Se ha procurado, en la medida de lo posible, introducir algunas aplicaciones a la economía. Se pretende con ello que el estudiante aprecie la necesidad de utilizar las matemáticas para resolver los problemas reales que, en cada momento, se plantean en el mundo económico. La intención de este libro, que ha sido elaborado por un equipo docente de la Universidad Nacional de Educación a Distancia, experto en matemáticas y en métodos cuantitativos para la economía y empresa, es que sirva para la formación matemática de los alumnos que inician sus estudios en la ciencia económica. LOS AUTORES 9 PRÓLOGO
6 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin1 Capítulo 1 ESPACIOS VECTORIALES CONCEPTOS TEÓRICOS ESPACIO VECTORIAL Un conjunto E = {a, b, c,...} de elementos (llamados vectores) se dice que constituyen un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K (que generalmente es el cuerpo de lo reales) si se cumplen: LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA I. En E se define una ley de composición interna que designamos +, tal que (E, +) tiene estructura de grupo abeliano. LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA II. Siendo λ, μ y a, se define una ley de composición externa, que notamos, que satisface las siguientes propiedades. λ (μ a) = (λμ) a. λ (a + b) = λ a + λ b. (λ + μ) a = λ a + μ a. 1 a = a (1 es la unidad de ). VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES Dados los vectores,..., a n, se dice que son linealmente dependientes si existen, λ 2,..., λ n, tales que a λ n a n (vector cero), no siendo nulas todas las λ i. 11 ESPACIOS VECTORIALES
7 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin2 VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES En caso contrario, los vectores son linealmente independientes. Si el vector a se puede obtener a = a λ n a n se dice que es combinación lineal de los,..., a n. SISTEMA GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL Si todos los vectores de un espacio vectorial E se pueden obtener como combinación lineal de los vectores,..., a m, se dice que estos m vectores forman un sistema generador del espacio vectorial E. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Si los vectores que forman un sistema generador son linealmente independientes, constituyen una base de E. DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL Todas las bases de un mismo espacio vectorial constan del mismo número de vectores, que es la dimensión del espacio vectorial considerado. SUBESPACIO VECTORIAL O VARIEDAD LINEAL Un subconjunto E del espacio vectorial E se llama subespacio vectorial o variedad lineal si E es a su vez, un espacio vectorial, con las mismas leyes de composición de E. 12 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
8 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin3 EJERCICIOS RESUELTOS 1 Verificar que el conjunto formado por los n-tuplos (,..., a 3 ), con las operaciones (, a 3..., a n ) + (b 1, b 2, b 3..., b n ) = = ( + b 1 + b 2, a 3 + b 3..., a n + b n ) y siendo λ, λ(, a 3..., a n ) = (λ, λa 2, λa 3..., λa n ) constituye un espacio vectorial. Procediendo como en el Ejemplo 1, del libro de teoría, se verifica, sin dificultad, que el conjunto dado tiene estructura de espacio vectorial. 2 Demostrar que el conjunto de los polinomios de coeficientes números racionales, de grado igual o menor que n, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números racionales, con las operaciones, suma ordinaria de polinomios y producto por un número. Procediendo como en ejercicios anteriores, se comprueba que la suma de polinomios p(x) = a 0 x n + x n 1 + a 2 x n a n 2 x 2 + a n 1 x + a n dota al conjunto de los polinomios de estructura de grupo abeliano. Es inmediato comprobar, tambien, que si k Q, la ley k p(x) verifica las cuatro propiedades de la ley exterior. 3 Dados los vectores del espacio bidimensional = (4, 2) = (3, 1), a 3 = (6, 4) son linealmente dependientes? Si son linealmente dependientes, se tiene que cumplir que a 2 a 3 no siendo nulos simultáneamente, λ 2 y λ ESPACIOS VECTORIALES
9 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin4 Entonces (4, 2) (3, 1) (6, 4) = (0, 0) o bien [(4 + 3λ 2 + 6λ 3 ), (2 + 4λ 3 )] = (0, 0) o bien 4λ1 + 3λ2 + 6λ3 2λ1 + λ2 + 4λ3 Sistema compatible indeterminado que admite la solución, no trivial, si hacemos λ 3 = 1: nos proporciona = 3λ 3 y λ 2 = 2λ 3 = 3, λ 2 = 2, λ 3 = 1 3 (4, 2) 2(3, 1) (6, 4) = (0, 0) esto es, existen tres números 3, 2 y 1, no todos cero, que hacen la suma igual al vector cero; luego los tres vectores dados son linealmente dependientes. Nota: Tres vectores en 2 son siempre L.D. ya que el número máximo de vectores L.I. es 2. 4 Dados los vectores del espacio tridimensional = (1, 5, 2) = (2, 1, 1), a 3 = (3, 1, 1) son linealmente dependientes? Si son linealmente dependientes, existen tres números, λ 2 y λ 3, no todos cero, tales que o bien a 2 a 3 (1, 5, 2) (2, 1, 1) (3, 1, 1) = (0, 0, 0) 14 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
10 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin5 de donde + 2λ 2 + 3λ Sistema homogéneo que, como solo admite la solución trivial = λ 2 = λ 3 Por tanto, como no existen tres números no todos cero que verifiquen a 2 a 3 luego los vectores son linealmente independientes. 5 Los vectores del ejercicio 4 son un sistema generador de los vectores del espacio tridimensional? Sea un vector genérico u = (x, y, z) del espacio tridimensional; si los vectores = (1, 5, 2) = (2, 1, 1) y a 3 = (3, 1, 1) son un sistema generador, para todo x, y, z, se debe cumplir que existan, λ 2 y λ 3 tales que: o sea, o bien a 2 a 3 = u (1, 5, 2) (2, 1, 1) (3, 1, 1) = (x, y, z) + 2λ 2 + 3λ 3 = x 5 = y 2 = z 15 ESPACIOS VECTORIALES
11 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin6 Sistema compatible y determinado, ya que Por tanto, sean cualesquiera x, y, z, existen siempre tres números, λ 2 y λ 3 que permiten expresar el vector U = (x, y, z) como combinación lineal de y a 3, lo que indica que estos tres vectores forman un sistema generador del espacio tridimensional. 6 Los vectores y a 3 de los ejercicios anteriores, forman una base del espacio tridimensiona 3? En el problema 5 se ha visto que formaban un sistema generador y en el problema 4 se comprobó que eran linealmente independientes, luego los vectores, a 2 y a 3 constituyen una base de L 3. 7 Dada la base del espacio vectorial E 3 : = (1, 5, 2) = (2, 1, 1) y a 3 = (3, 1, 1), hallar en dicha base las coordenadas del vector b = (3, 8, 2). Sean x 1, x 2 y x 3 las coordenadad de b en la base dada; entonces: que proporciona el sistema: x 1 (1, 5, 2) + x 2 (2, 1, 1) + x 3 (3. 1, 1) = (3, 8, 2) Sistema que, resuelto, proporciona x1 + 2x2 + 3x3 = 3 5x1 + x2 + x3 = 8 2x1 + x2 + x3 = 2 x 1 = 2, x 2 = 7, x 3 = 5 Las coordenadas de b en la base formada por y a 3 son (2, 7, 5). 16 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
12 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin7 8 Dados los vectores del espacio de cuatro dimensiones de 4 : a = (3, 1, 5, 0); b = (6, 2, 9, 1); c = (3, 1, 6, 1); d = ( 3, 1, 2, 3) determinar la dimensión del subespacio vectorial engendrado por ellos y una base de dicho subespacio vectorial. Es sabido que la dimensión del subespacio vectorial engendrado por varios vectores dados es igual al rango de la matriz que tiene por columnas (o por filas) a los vectores dados. Así, pues, en nuestro problema bastará hallar el rango de la matriz: El menor A = es distinto de cero. Luego r(a) 2 Como todos los menores de tercer orden que se pueden hallar orlando el anterior son nulos (obsérvese que la primera columna se obtiene multiplicando por 3 a la segunda), concluimos que: r(a) = 2 y, por tanto, la dimensión del subespacio vectorial es también Como el menor está formado por elementos de los dos primeros vectores, dichos dos vectores son linealmente independientes y constituyen una 6 9 base. 17 ESPACIOS VECTORIALES
13 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin8 9 Determinar las ecuaciones paramétricas de la variedad lineal engendrada por los vectores del ejercicio anterior. Como una base de dicha variedad lineal o subespacio vectorial era: a = (3, 1, 5, 0); b = (6, 2, 9, 1) y todo vector v = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) perteneciente a dicha variedad lineal debe poder obtenerse como combinación lineal de los vectores que forman la base considerada, esto es: tendremos: de donde: v = λa + μb, λ, μ (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = λ(3, 1, 5, 0) + μ(6, 2, 9, 1) x x x x que son las ecuaciones paramétricas pedidas = 3λ + 6μ = λ 2μ = 5λ + 9μ = μ 10 Sabiendo que el vector (0, y 2, 1, y 4 ) pertenece a la variedad lineal engendrada por los vectores del ejercicio 8, hallar y 2 e y 4. Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas obtenidas en el ejercicio anterior, n. o 9, como y 1, y 3 = 1, se tiene: sistema que, resuelto, proporciona λ = 2, μ = 1. Con estos valores: y 2 = λ 2μ = 2 2 ( 1) y 4 = μ = 1 0 = 3λ + 6μ 1= 5λ + 9μ 18 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
14 01_Cap01 10/8/10 09:49 Págin9 11 Dados los vectores: obtener a = (2, 3, 4, 1, 1); b = (3, 4, 7, 2, 1); c = (1, 3, 1, 1, 8); d = (0, 5, 5, 1, 4) 1. La dimensión de la variedad lineal engendrada por ellos. 2. Una base de dicha variedad lineal. 3. Sabiendo que el vector (8, 4, 3, y 4, y 5 ) pertenece a dicha variedad lineal, calcular y 4 e y 5. Formando la matriz se obtiene A = y como todos los menores de cuarto orden que se pueden formar orlando a dicho menor son nulos, resulta r(a) = 3, y, por tanto, también es 3 la dimensión de la variedad lineal: a = (2, 3, 4, 1, 1); b = (3, 4, 7, 2, 1); d = (0, 5, 5, 1, 4) Las ecuaciones paramétricas serán (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = λa + μb + μd x x x x x = 2λ + 3μ = 3λ + 4μ+ 5v = 4λ + 7μ+ 5v = λ 2μ v = λ μ+ 4v 19 ESPACIOS VECTORIALES
15 01_Cap01 10/8/10 09:49 Página 20 Como y 1 = 8, y 2 = 4, y 3 = 3, se tiene 8= 2λ + 3μ 4= 3λ + 4μ+ 5v 3= 4λ + 7μ+ 5v sistema que, resuelto, proporciona: λ = 1, μ = 2, v = 3 y de aquí: y y 4 5 = λ 2μ v = 2 = λ μ+ 4v = Determinar x e y para que el vector v = (3, 2, x, y) pertenezca a la variedad lineal engendrda por (1, 4, 5, 2) y (1, 2, 3, 1). Para que v pertenezca a la referida variedad lineal, con λ, μ de donde λ(1, 4, 5, 2) + μ(1, 2, 3, 1) = (3, 2, x. y) λ + μ = 3 4λ + 2μ = 2 5λ + 3μ = x 2λ + μ = y De las primeras: λ = 2, μ = 5, que sustituidos en la tercera y la cuarta: x = 5 ( 2) + 3 5= 25 y = 2 ( 2) + 1 5= 1 20 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
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