2.-GEOMETRÍA PLANA O EUCLIDIANA

Transcripción

1 2.-GEOMETRÍA PLANA O EUCLIDIANA 2.2.-Cuadriláteros. Definición, clasificación y notación. Clasificación de los cuadriláteros: Paralelogramos y no paralelogramos. Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se dividen en paralelogramos y no paralelogramos. Una diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos, lo que nos permite construirlos por triangulación. Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos e iguales. Sus diagonales se cortan en sus puntos medios y sus ángulos opuestos son iguales. Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, y trapezoides, si no tienen lados paralelos. Construcción de cuadriláteros. Como hemos visto anteriormente, los cuadriláteros pueden construirse por triangulación, es decir, construyendo los dos triángulos en que quedan divididos por una de sus diagonales. Construcciones: 1. Construcción de un cuadrado conocido el lado. Basta construir perpendiculares por los extremos del lado que se toma como base, y trasladar a éstas, la medida del lado. 2. Construcción de un cuadrado conocida la diagonal. Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro en el punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA. Los puntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los vértices B y D del cuadrado. El ángulo opuesto a la diagonal es recto y los vértices B y D equidistan de A y C, razón por la cual trazamos el arco capaz del ángulo recto respecto a la diagonal y la mediatriz de la misma. Observa cómo el problema es el mismo que hallar las dos soluciones de un triángulo rectángulo isósceles del que conocemos la base. También se puede hacer trazando la diagonal sobre un ángulo de 45º y realizando la misma operación, de manera que el cuadrado quede apoyado por un lado. 1

2 3. Rectángulo, conocidos los lados. Se resuelve igual que en el caso del cuadrado conocido los lados. 4. Rectángulo, conocido lado y diagonal. Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de los lados porque los triángulos son escálenos. 5. Rombo, conocidas diagonales. Las diagonales del rombo son perpendiculares y se cortan en sus puntos medios, de manera que trasladando la medida de una sobre la mediatriz de la otra, haciendo coincidir sus puntos medios, obtenemos la figura. 6. Rombo conocidos lados y diagonal. Trazamos sendos arcos por los extremos de la diagonal con radio la medida del lado, éstos se cortan en los vértices que nos faltan. 7. Rombo conocidos un ángulo y la diagonal. Trazamos el ángulo, y sobre su bisectriz trasladamos la magnitud de la diagonal. La mediatriz de la diagonal corta a los lados del ángulo en los vértices que nos faltan. 2

3 9. Rombo, trazado de la circunferencia inscrita. La circunferencia inscrita de un rombo es tangente a sus cuatro lados. Para trazarla, desde el centro de la figura, (punto medio de las diagonales) trazamos rectas perpendiculares a los cuatro lados, que nos dan los puntos de tangencia. Con centro en el punto medio de las diagonales y radio hasta los puntos de tangencia se puede trazar dicha circunferencia. 10. Rombo conocida la diagonal y el radio de la circunferencia inscrita. Trazamos la circunferencia inscrita sobre una recta cualquiera. Desde el centro de la misma, trazamos un arco con radio la mitad de la diagonal. Este arco corta a la recta en un vértice del rombo. La mediatriz de la diagonal, si la prolongamos y completamos la otra mitad, corta a la recta en otro de los vértices del rombo, obteniendo así la medida de la otra diagonal. Con las diagonales se puede construir la figura. 11. Romboide, lados y un ángulo conocido. 3

4 Basta aplicar las medidas de los lados sobre el ángulo obtenido para tener la mitad de la figura, la otra mitad se obtiene sabiendo que los lados son paralelos dos a dos, o por triangulación, construyendo el triángulo que compone la otra parte de la figura. 12. Romboide, base, altura y un ángulo. Si trazamos la base y una paralela a la altura dada, basta construir el ángulo conocido en los extremos para cerrar la figura. 13. Romboide, dados la diagonal, un lado y un ángulo. Estos tres datos constituyen un triángulo que es la mitad de la figura y que se puede construir. Desde el mismo y tomando como centros los extremos de la diagonal, se trazan arcos con la medida de los lados, que nos definen la otra mitad de la figura. 14. Trapecio rectángulo dada la base mayor, la altura y la diagonal. Sobre un extremo de la base, levantamos una perpendicular con la altura, y trazamos la base paralela. Por el vértice del ángulo recto de la base mayor trazamos un arco con radio la diagonal, que corta a la paralela en el vértice que nos falta. 4

5 15. Trapecio rectángulo dada la base, el lado oblicuo y el ángulo comprendido. Construir el ángulo dado en uno de los extremos de la base, y en el otro extremo el ángulo recto. El lado oblicuo se traslada sobre el primer ángulo y por su extremo superior, si trazamos una paralela a la base, definimos la figura. 16. Trapecio isósceles conocidas las bases y la altura Sobre dos rectas paralelas con la medida de la altura colocamos respectivamente las dos bases, de manera que queden centradas con respecto a un eje perpendicular que pase por sus puntos medios. Basta unir sus extremos para terminar. 17. Trapecio isósceles conocidas las bases y la diagonal. Sobre una recta tomamos la medida de las dos bases, coincidiendo ambas en sus puntos medios. Por los extremos de la menor levantamos perpendiculares. Por los extremos de la mayor trazamos arcos que cortarán a las perpendiculares opuestas en los vértices de la figura. 5

6 18. Trapecio escaleno conocidos sus cuatro lados. Se toma un segmento AB con la medida de la base mayor. Se lleva a partir de un extremo A la medida de la base menor, obteniendo un punto C`, que sirve de centro para trazar un arco con radio uno de los lados oblicuos. Desde el extremo B trazamos otro arco con la medida del otro lado oblicuo, ambos se cortan en C, vértice del trapecio. Con centro en A y radio el primero de los otros dos lados oblicuos, trazamos un arco. Desde el vértice C trazamos un arco ahora con la medida de la base menor, que corta al anterior en D, la figura resultante es la ABCD 19. Trapecio escaleno conocidas las bases y los ángulos de la base mayor. Esta figura se construye trazando un segmento AB con la medida de la base mayor y sus ángulos, que se prolongan. Se lleva a partir de un extremo A la medida de la base menor, obteniendo un punto C`, desde este último punto se traza una paralela al lado del ángulo que parte de A y corta al otro ángulo en uno de los vértices superiores C. Desde ese vértice se traza la paralela a la base que cierra la figura en D, la figura resultante es la ABCD. 6