Instituto de Ayuda Politécnica

Transcripción

1 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) Poducto ente vectoes. Hay fenómenos en la natualeza que se explican de una manea muy concisa con el poducto ente vectoes, po ejemplo, el tabajo mecánico que se genea al aplica una fueza sobe un objeto deteminado y povoca el movimiento del mismo, la toca que se poduce sobe un eje de otación al aplica una fueza sobe un punto del objeto que ota. En lo sucesivo del texto se daán algunas aplicaciones adicionales. Son dos los poductos que analizaemos: el poducto escala, y el poducto vectoial Poducto escala. Es el poducto ealizado ente dos vectoes y que da como esultado un escala (númeo eal). Haemos la deducción de las ecuaciones que nos ayudaán a esolve los ejecicios elacionados con el poducto escala. En la figua 169 se muestan los vectoes y, y la difeencia que existe ente ellos. - θ Figua 169 Sabemos de la ley del coseno que de allí ealizamos las simplificaciones algebaicas necesaias + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (17) La ecuación 17 nos muesta la elación matemática ente las magnitudes de los vectoes, el ángulo que se foma ente ellos y el poducto escala ente sí 1. 1 Debido a que el símbolo que epesenta al poducto escala es un punto, se suele denomina también a este poducto como PRODUCTO PUNTO. Debido a que el esultado se lo obtuvo de una intepetación geomética, a este esultado se lo suele llama poducto escala en la foma geomética. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

2 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 hoa veemos el efecto que causa la vaiación del ángulo en el poducto escala, debido a que la magnitud es un valo siempe positivo. Si los vectoes tienen la misma diección, entonces el ángulo ente ellos es ceo, y tendíamos Cos0º ( 1) (18) Este último esultado nos indica que se obtiene el máximo valo posible paa el poducto escala ente dos vectoes cualesquiea, o sea el poducto escala es igual al poducto de los módulos. Si tenemos a un vecto multiplicado po sí mismo el esultado seía, entonces, (19) La ecuación 19 indica que el poducto escala de un vecto po sí mismo es igual al cuadado de la magnitud del vecto. Este último esultado nos ayuda a deduci el valo a obtene po el poducto de los vectoes unitaios de efeencia î, ĵ y. iˆ iˆ iˆ ˆj ˆj ˆj Si ahoa el ángulo ente los vectoes es 90º, tenemos que los vectoes son pependiculaes, y el poducto escala es igual a: Cos90º ( 0) 0 (0) La ecuación 0 nos indica que paa que dos vectoes sean pependiculaes (u otogonales), el poducto escala ente dichos vectoes es ceo, y vicevesa, si el poducto de dos vectoes es ceo, entonces los vectoes son pependiculaes EJERCICIOS RESUELTOS 1. Demueste que el poducto escala ente dos vectoes cualesquiea es conmutativo. Sean los vectoes M y N no nulos y que foman ente sí un ángulo cualquiea distinto de ceo y de noventa gados, entonces el poducto ente ellos seá este esultado obtenido, el poducto escala (o punto) ente dos vectoes pependiculaes es ceo, se lo suele denomina CONDICIÓN DE PERPENDICULRIDD. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

3 Si ealizamos el poducto con el oden invetido, tendíamos Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 M N M N cosθ N M N M cosθ Debido a que los poductos de las magnitudes de los vectoes son las mismas en un oden u oto, po tatase de númeos eales POSITIOS, y el ángulo es el mismo, se puede conclui que el poducto escala ente dos vectoes es conmutativo, es deci M N N M.. Demueste que el poducto escala ente dos vectoes F y G es igual a FxGx + FyGy + FzGz. los vectoes F y G los podemos epesenta en función de sus componentes otogonales, esto es, F Fxiˆ + Fyj ˆ + Fz G Gxiˆ + Gyj ˆ + Gz y el poducto escala seá igual a: F G ( Fxiˆ + Fyj ˆ + Fz) ( Gxiˆ + Gyj ˆ + Gz) F G FxGx + FyGx ( iˆ iˆ ) + FxGy( iˆ ˆj ) + FxGz( iˆ ) ( ˆj iˆ ) + FyGy( ˆj ˆj ) + FyGz( ˆj ) ( iˆ ) + FzGy( ˆj ) + FzGz( ) FzGx F G FxGx(1) + FxGy(0) + FxGz(0) + FyGx(0) + FyGy(1) + FyGz(0) + FzGx(0) + FzGy(0) + FzGz(0) F G FxGx + FyGy + FzGz + Y finalmente obtenemos el esultado que debíamos demosta.. Calcula el poducto escala de los vectoes î + 5 ĵ - y -î + 0 ĵ +. Utilizamos la ecuación deducida en el ejecicio anteio. (-) + 5(0) + (-1)() Encuente el ángulo fomado ente los vectoes y del ejecicio anteio. Utilizamos la definición de poducto escala en foma geomética Po se el esultado obtenido a pati de un poceso algebaico suele denomináselo, también poducto escala en la foma algebaica. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

4 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 cosθ Ecuación de la que ya conocemos el esultado de, po lo que sólo falta aveigua cuál es la magnitud de los vectoes y l eemplaza los valoes ya calculados despejamos el ángulo. 10 cosθ θ cos cosθ 10 0 θ 11.1º La figua 170 muesta a los dos vectoes y el ángulo fomado ente ellos. y º x z Figua Encuente la poyección escala del vecto en la diección del vecto. La poyección de un vecto sobe oto es la somba de un vecto que se foma en oto, y se la obtiene al baja una línea pependicula desde el fin de un vecto sobe la línea que sopota al oto vecto, obseve la figua 171. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

5 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) º Poy Figua 171 Se puede obseva en la figua que se foma un tiángulo ente la magnitud del vecto, la poyección del vecto sobe la diección del vecto y el ángulo ϕ. cos ϕ P oy Si eemplazamos este esultado en la ecuación del poducto escala tenemos cosϕ P oy P oy P oy Po lo tanto podemos conclui que la poyección escala de un vecto en la diección de oto está dada po el poducto escala de los dos vectoes dividido ente la magnitud del vecto que sopota la poyección. Con este último esultado podemos enconta ya el esultado que estábamos buscando. P oy P oy El signo negativo quiee deci que la poyección tiene la diección opuesta al vecto que sopota la poyección. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

6 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) Poducto vectoial. Es el poducto ente dos vectoes que da como esultado oto vecto, y se lo epesenta como. Este vecto pesenta la caacteística de que es pependicula a los vectoes que lo fomaon. En la figua 17 se muesta los vectoes iniciales y los posibles esultados. n m Figua 17 Fíjese que tanto el vecto que está con azul, como el de colo ojo son pependiculaes a los dos vectoes que están en el plano, peo el poducto vectoial sólo da como esultado a uno de los dos vectoes. La egla de la mano deecha es la que nos da la diección del vecto. Esta egla indica que debemos coloca la mano deecha en el pime vecto, en este caso si el poducto vectoial es m n, la mano la colocamos en el vecto m, luego ceamos la mano hacia el segundo vecto, en este caso n, el pulga extendido es quien da la diección del vecto m n (Revise la figua 76 paa tene un poco más de claidad con una situación eal). En la figua, el vecto ojo epesenta al poducto m n, mientas que el vecto azul epesenta al vecto n m. La magnitud del poducto vectoial se la puede defini como el áea del paalelogamo que foman los vectoes, fíjese en la figua 17. F G G F Figua 17 El áea del paalelogamo está dado po el poducto de la base po la altua del paalelogamo, obseve los datos pesentados en la figua 17. F θ G F h G Figua 17 Debido a que el símbolo que epesenta al poducto vectoial es una cuz,, también es común llama a este poducto como PRODUCTO CRUZ. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

7 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 La base es la magnitud del vecto F y la altua la podemos calcula po medio de la función seno h senθ G h G senθ Áea b*h F G senθ po lo tanto la magnitud del poducto vectoial de los vectoes F y G está dada po F G F G senθ ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

8 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Encuente el áea del tiángulo fomado po los vectoes î + 5 ĵ - y -î + 0 ĵ +. En la figua se muestan a los vectoes y. Si gaficamos sólo a los vectoes y fomamos con ellos un paalelogamo obsevaemos que el tiángulo tiene la mitad del áea que la del paalelogamo, sea éste el tiángulo que fomemos con la diagonal mayo o con la diagonal meno del paalelogamo. y x z Figua 175 En la figua 176 se puede obseva al paalelogamo fomado po los dos vectoes, y. h 11.1º Figua 176 demás, se muesta la altua del paalelogamo. El ángulo que foma el vecto con la línea sobe la que eposa el vecto es el suplemento del ángulo fomado po los dos vectoes, esto es, 180º º 67.79º. El áea del paalelogamo es Áea Sen67.79º Áea 0 5sen 67.79º Áea.5 u h h ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

9 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 En la figua se pueba que el áea del tiángulo (sea el meno) es la mitad de la del paalelogamo. Po tanto el áea del paalelogamo es 1.5 u. Figua 177 fomado po la diagonal mayo del paalelogamo, o po la Como se expesó al defini el poducto vectoial, el poducto de los dos vectoes da como esultado oto vecto. La foma en que calculaemos a este vecto se fundamenta en la teoía de matices y deteminantes, azón po la que no demostaemos el oigen de la siguiente opeación iˆ x x ˆj y y z z ( yz zy) iˆ ( xz zx) ˆj + ( xy yx). Encuente el poducto vectoial ente los vectoes î + 5 ĵ - y -î + 0 ĵ +. Usaemos la fómula expesada en el páafo anteio iˆ ˆj [ 5* ( 1) *0] iˆ [ * ( 1)( ) ] ˆj + [ *0 5* ( ) ] 0ˆ i 10 ˆj + 10 Con este esultado compobaemos si el esultado del ejecicio anteio coesponde, esto es, el áea del paalelogamo es Po tanto el esultado anteio coesponde con la opeación matemática que acabamos de defini 5. 5 Paa que tenga una mejo compensión sobe la teoía de matices y deteminantes consulte un texto de álgeba lineal, o de álgeba pevia al cálculo. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

10 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) Encuente un vecto que sea pependicula a los vectoes P y Qˆ mostados en la figua 178. y Q P 5 x 5 z Figua 178 Po definición el vecto que es pependicula a otos dos, es el que esulta del poducto vectoial ente dichos vectoes. Los vectoes P y Q son y el vecto que esulta del poducto vectoial de los dos es P Q 5 5 P Q P Q 0ˆ i 15 ˆj + 15 ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial iˆ 0 ˆj 5 5 P 0 iˆ + 5 ˆj + 5 Q iˆ + 5 ˆj + 5 ( 5*5 5*5) iˆ [ 0 *5 5( ) ] ˆj + [ 0*5 5( ) ] Compobaemos ahoa que el nuevo vecto, P Q, es pependicula al vecto P y al vecto Q. Sea P Q R, entonces se debe cumpli que el poducto escala (punto) del vecto P con el vecto R debe se ceo P R 0 *0 + 5( 15) + 5( 15) 0 De igual manea, debe cumplise que el poducto escala ente el vecto Q y el vecto R debe se ceo, po la condición de pependiculaidad. Q R ( )*0 + 5( 15) + 5( 15) 0 Con esto último compobamos que el vecto R es efectivamente el vecto pependicula a los vectoes P y Q. 1.. Poducto escala y vectoial.

11 . El poducto ( ) C da como un escala (un númeo). a) ERDDERO b) FLSO Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 El poducto es ya un númeo, y un númeo no se puede multiplica escalamente po un vecto. El poducto escala es exclusivo de los vectoes. La afimación es falsa. 5. La poyección escala de la suma de los tes vectoes de la pate supeio inscitos en la cicunfeencia, sobe la suma de los dos vectoes estantes es R, donde R es el adio de la cicunfeencia. a) ERDDERO b) FLSO Falso poque la poyección es: P oy Riˆ Riˆ P oy R P oy R 6. La poyección vectoial es igual al poducto escala de los vectoes unitaios de los vectoes dados, multiplicados po el unitaio del vecto sobe el que se ealiza la poyección. a) ERDDERO b) FLSO Falso poque la poyección vectoial está dada po: P oy P oy P oy µ µ De donde se sabe además que el vecto unitaio de cualquie vecto está dado po µ tenemos, po tanto, P oy P oy P oy P oy µ ( µ ) µ ( µ µ ) µ 7. Si los ángulos diectoes son menoes a 90, la suma de estos es 180. a) ERDDERO b) FLSO 8. Cuando la poyección de un vecto sobe oto es ceo, los vectoes son pependiculaes ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

12 a) ERDDERO b) FLSO Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

13 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 edadeo poque la poyección de un vecto sobe oto depende del poducto escala, y el poducto escala es ceo cuando los vectoes son pependiculaes ente sí. 9. La poyección de un vecto sobe oto,, puede en algún momento se igual a la poyección del vecto sobe el vecto. a) ERDDERO b) FLSO edadeo, cuando los vectoes tienen la misma magnitud. 10. Una patícula pasa de un punto de coodenadas (,-,1) al punto (-1,,). El ángulo que foma el desplazamiento efectuado con el vecto de posición inicial de la patícula es: a) 10. b) 5.7 c) 75. d) 10.7 e) 11.8 Un vecto que sale de un punto y llega a oto, se lo detemina estando el punto inicial (P 0 ) del final (P f ), esto es, P f P 0 (-i + j + k) (i - j + k) - i + 6j + k Paa detemina el ángulo ente dos vectoes, utilizamos la definición de poducto escala Respuesta: e) P 0 P 0 P0 P θ 1.18 ( 6) * * + * Un vecto foma un ángulo de 0 con el eje x y 80 con el eje Y; oto vecto,, foma un ángulo de 0 con el eje x y 60 con el eje Y. Encuente el ángulo ente y. a) 10.0 b) 0. c) 1. d) 8. e) 11. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

14 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 De la definición de poducto escala podemos deduci una ecuación paa enconta el ángulo ente dos vectoes. µ µ Como se puede ve en la ecuación anteio el ángulo ente dos vectoes se lo puede calcula, ya sea que se conozca a los dos vectoes o a sus unitaios. En este caso, el poblema pesenta datos de tal manea que sólo se pueden obtene los unitaios de y. Recuede que µ cosαi + cosβj + cosγk, y como el módulo del vecto unitaio es 1, se deduce que 1 cos α + cos β + cos γ. Paa el vecto se tiene que 1 Cos α + Cos β + Cos γ 1 ( Cos 0 ) + ( Cos80 ) + Cos γ Paa el vecto Cos γ Cosγ Cos α + Cos β + Cos γ 1 ( Cos 0 ) + ( Cos680 ) Cos γ Cosγ 0 + Cos γ De los esultados anteioes ya podemos obtene el ángulo ente los vectoes y. µ µ (Cos 0 i + Cos 80 j + Cos γ) (Cos 0 i + Cos 60 j + Cos γ) (Cos 0 )(Cos 0 ) + (Cos 80 )(Cos 60) + (0.619)(0) θ Cos -1 (0.75) 1. Respuesta: c) 1. Obtenga un vecto unitaio que esté diigido en el sentido del vecto ( )C, donde i 5j + k; i + j + k; C i j 5k. a) (-/5 )i + (/5 )j + (1/ )k b) (-1/ 1 )i + (/ 1 )j + (/ 1 )k c) (1/ 1 )i - (/ 1 )j - (/ 1 )k d) (/5 )i - (/5 )j - (1/ )k e) (/ 9 )i - (/ 9 )j + (/ 9 )k ()-5()+() -1 ( )C -i + j + 5k El vecto unitaio de ( )C es ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

15 Respuesta: a) Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 µ µ µ µ ( ) C ( ) C ( ) C 5 iˆ + ˆj iˆ + ˆj + 5 * 5 * 5 iˆ + ˆj ˆ ˆ ˆ 5 5 ( ) C i + j + k 5 5 * 1. Dados los vectoes i + j + k y i j + 6k, detemine el vecto que epesenta a la poyección del vecto sobe. a) (8/9)i - (1/9)j + (/9)k b) 8i - 1j + k c) (8/7)i - (1/7)j + (/7)k d) (/9)i - (/9)j + (6/9)k e) (/7)i - (/7)j + (6/7)k La poyección vectoial de un vecto sobe oto, está dada po Respuesta: a) P oy P oy P oy P oy µ * + * ( ) + 1* 6 ˆ i ˆj ( ˆ i ˆj + 6 ) 9 8ˆ i 1 ˆj Encuente un vecto unitaio que esté en el plano fomado po los vectoes i + j y j + k y que sea pependicula al vecto C - i + j. a) (/ 1)i (/ 1)j + (1/ 1)k b) -(/ 1)i (1/ 1)j + (6/ 1)k c) -(1/ 5)i + (/ 5)j d) (1/ )i + (1/ )j + (1/ )k e) (i j + k)/ Si se pactica el poducto vectoial ente el vecto y, se obtendá un vecto que seá pependicula al vecto, al vecto y al plano que contiene a ambos vectoes. éase la figua mostada a continuación y se podá compende mejo lo antes dicho. x Si a continuación se pactica el poducto vectoial ente el esultado anteio,(x), y el vecto C este nuevo vecto seá pependicula al vecto C y al vecto x, peo al se pependicula al vecto x estaá en el plano que contiene a y a poque x también es pependicula a y a, obseve el segundo gáfico paa que compenda mejo lo antes dicho. ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

16 Po tanto, podemos conclui que el tiple poducto vectoial da como esultado un vecto paalelo a los dos vectoes del pime poducto vectoial. Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 C x iˆ ˆj x ( * 0*1) iˆ ( 1* 0*0) ˆj + ( 1*1 *0) x x ˆ i ˆj + (x)xc ( x) iˆ xc 1 ˆj 1 0 ( x) xc ( * 0 1* ) iˆ ( * 0 1* ( 1) ) ˆj + ( * ( ) * ( 1) ) ( x) xc ˆ i ˆj + 6 Una vez desaollado el tiple poducto vectoial, encontamos el vecto unitaio del esultado del tiple poducto vectoial. µ µ ( x) xc ( x) xc i j + 6k i j + 6k 1 Respuesta: b) 15. Detemine la altua del paalelepípedo fomado po los vectoes, y C, si la base está fomada po los vectoes y. i + j + k; i + j k y C i + j + k a) 0. b) 0.65 c) 1.6 d).0 e) 6. Pimeo haemos un gáfico que pesente el pisma que se foma con los vectoes, y C. Si multiplicamos vectoialmente a los vectoes y, se obtendá un vecto pependicula al plano que contiene a dichos vectoes, gafiquemos este nuevo vecto en el gáfico anteio. h C x Del gáfico se puede obseva que el vecto x está en la misma diección que h. El valo de h es la poyección de C sobe x, esto es, h C ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

17 C ( x) h x i j k x x 5ˆ i + ˆj + k x 8 1* ( 5) + 1* + * h 8 h 0.65 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 Respuesta: b) ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

18 16. Encuente un vecto pependicula al plano sombeado. a) 16i + 16j b) - /i + /j + /k c) /i + /k d) /i + /j e) i + j + k Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 z y El poducto vectoial da como esultado a un vecto pependicula a los dos vectoes con los que se hizo la opeación, y al plano que los contiene. Tomemos, entonces, un pa de vectoes del plano sombeado que salgan del mismo punto. Tomaemos como efeencia al punto infeio izquiedo, del cual saldán dos vectoes, M y N. M 0i + j + 0k N -i + 0j + k El poducto vectoial ente los dos vectoes es: iˆ ˆj MxN MxN 0 0 ( * 0 * 0) iˆ ( 0 * 0 * ( ) ) ˆj + ( 0 * 0 * ( ) ) MxN 16ˆ i x x N M z y 17. Sean los vectoes i + j 5k y - i j + bk, detemine el valo de b de tal foma que y sean otogonales. a) 0.5 b) c) d) e) 6 Dos vectoes son otogonales (pependiculaes) si el poducto escala ente ellos es ceo. 0 (-) + (-) 5b - 6 5b b b - Respuesta: c) 18. Paa el gáfico de la figua, detemine el valo del ángulo sombeado. a) 90 b) 7 c) 67 ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial x z y

19 d) 60 e) 55 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 z Obtenemos los vectoes que foman al ángulo sombeado, digamos que uno de ellos sea el vecto P y el oto sea Q. P Q P i + 0j k Q 0i + j k y El ángulo ente dos vectoes podemos deteminalo po la definición de poducto escala. x P Q P Q P Q P Q ( ˆ i + 0 ˆj ) ( 0ˆ i + ˆj ) *0 + 0* θ Cos 5 1 θ ( ) *( ) Respuesta: d) 19. Sean los vectoes a -i + j + 5k; b i j + k. Detemine la poyección del vecto a x b sobe el eje positivo de las y. a) b) 6 c) 8 d) 0 e) La poyección de un vecto sobe uno de los ejes coodenados es la componente del vecto en ese eje. axb iˆ axb ˆj 5 ( * 5* ( ) ) iˆ (( ) * 5* ) ˆj + (( ) * ( ) * ) axb 19ˆ i + 6 ˆj 8 Po tanto, la poyección de axb sobe el eje y es 6. Respuesta: b) ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

20 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) Sean los vectoes a i + k; b i + j y c - 5i + j k. Obtenga el esultado de (a x b) c. a) 8 b) 8 c) 50 d) e) 10 Respuesta: c) iˆ axb ˆj 0 0 axb - 6i + 1j + (axb) C (- 6i + 1j + ) (- 5i + j - k) (axb) C (axb) C Detemine el áea del plano fomado po los vectoes a, b y c. a) 7.50 u b).0 u c) u d) u e) 1.0 u La magnitud del poducto cuz (poducto vectoial) es igual al áea del paalelogamo que foman dos vectoes, po tanto, el áea de un tiángulo es el módulo del poducto vectoial de dos vectoes cualesquiea, petenecientes al plano, dividido ente. Los vectoes deben sali desde el mismo punto. Tomaemos como efeencia al punto supeio izquiedo de la caa fontal del pisma. Sea M c y N- b Mi 6j + 0k Ni + 0j k MxN 18i + 1j + k MxN Áea del tiángulo u. Respuesta: d) z c 6 y b a x ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

21 ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) Paa el gáfico de la figua, detemine el ángulo (meno de 90 ) que foman el plano sombeado y el plano x y. a) b) c) 68 d) 7 e) 8 x axb i + 0j + 0k c0i + 0j + k ( axb) c axb c 1 θ Cos θ Respuesta: c) No existe opeación vectoial que pueda calcula diectamente el ángulo ente dos planos, peo sí ente dos vectoes. El ángulo ente dos planos es el mismo ángulo que foman sus vectoes otogonales. Un vecto pependicula al plano sombeado lo calculamos po medio del poducto vectoial de dos vectoes que petenezcan al plano. Un vecto pependicula al plano x y es cualquie vecto en el eje z. Tomaemos como efeencia el punto infeio izquiedo de la caa fontal del pisma, paa la obtención de los dos vectoes que petenezcan al plano sombeado. a - 5i + j + 0k b 0i + j + 8k. Sean los vectoes a 5i j + k y b i + 5j + 6k, entonces la poyección del vecto a sobe el vecto b es: a).6 b). c).8 d). e) 1. Poy a b Poy a b Poy a b a b b b z a 5 8 y x z 5 8 y

22 Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 Respuesta: d). Considee la línea que une los puntos extemos de los vectoes i j k y - i + j k. Cuál de las siguientes opciones es vedadea? a) La línea es paalela al plano YZ. b) La línea es pependicula al plano YZ. c) La longitud de la línea es 10 unidades. d) La línea es paalela al plano XY. e) Ninguna de las anteioes. Pimeo epesentamos gáficamente los dos vectoes, luego ealizamos la opeación. Un vecto que va de un punto a oto, se lo obtiene estando el punto inicial del final. y i + j Debido a que el vecto está en dos dimensiones, se encuenta en el plano que contiene a esas dos dimensiones. Po tanto la línea es paalela al plano XY. z x Respuesta: d) 5. Con los vectoes (i + 6j + k) cm y (i + j + 8k) cm, se foma el tiángulo mostado en la figua. Cuál es el valo de la altua h? a) 5. cm b) 8.6 cm c) 9.7 cm d).7 cm e).5 cm h Se puede obseva del gáfico que la poyección del vecto sobe el vecto, es uno de los catetos del tiángulo ectángulo fomado, mientas que el oto cateto es h, y la hipotenusa es la magnitud de. Luego de obtene la magnitud de y la poyección de sobe, utilizamos el teoema de Pitágoas paa halla h. * + * * P oy ( P oy ) h 9. Respuesta: a) h cm Poy h 6. El vecto es un vecto unitaio que tiene sus tes ángulos diectoes iguales y están ente 0 y 90, mientas que (,-, ), entonces podemos afima que: ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial

23 a) 0 b) c) d) i + j k e) Ninguna de las anteioes Instituto de yuda Politécnica Quisquís 100 ente venida del Ejécito y Gacía Moeno (0) 8705 Si los ángulos diectoes son iguales, se tiene que α β γ ϕ Cos α + Cos β + Cos γ 1 Cos ϕ + Cos ϕ + Cos ϕ 1 Cos ϕ 1 1 Cosϕ Como el vecto es unitaio, se lo puede expesa como función de los cosenos diectoes ϕ ˆ ϕ ˆ ˆ Cos i + Cos j + Cosϕ k 1 iˆ + 1 ˆj + 1 l ealiza el poducto escala ente y tenemos: 1 * * 1 ( ) + * ( ) ectoes en tes dimensiones: Poducto escala y vectoial