EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 3

Transcripción

1 EJECICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL (Asignatura VCAF) HOJA 3 Ejercicio 1:Demostrar que en un espacio con el producto escalar, para cualesquiera elementos x, y, z tiene lugar la identidad de Apolonio, que es la siguiente: kz xk + kz yk = 1 kx yk + z x+y Como la norma proviene de un producto escalar, si desarrollamos tenemos lo siguiente: ³p ³p kz xk + kz yk = hz x, z xi + hz y, z yi = = hz x, z xi + hz y, z yi = hz, z xi + hz, z yi hx, z xi hy, z yi = = hz,zi hz,xi hx, zi + hx, xi + hz, zi hz, yi hy, zi + hy, yi + hx, yi hx, yi = = 1hx, xi + 1hy, yi hx, yi +hz, zi hz,xi + 1hx, xi + 1 hy, yi hz,yi+hx, yi = 1 kx yk +(hz, zi hz,xi+ 1hx, xi+ 1hy, yi hz,yi+ 1 hx, yi) or otro lado si desarrollamos la norma tenemos lo siguiente: z x+y = hz x+y x+y x+y,z i = hz, zi hz, i h x+y x+y,zi + h, x+y i = = hz,zi hz,xi + 1hx, xi + 1hy, yi hz,yi + 1 hx, yi Y como podemos observar coincide con lo que nos había salido anteriormente, luego se tiene la igualdad Ejercicio :Demostrar que en el espacio C[0, 1] no se puede introducir el producto escalar coordinado con la norma de este espacio Como estamos considerando C[0, 1] en el producto escalar coordinado vendría dado por la siguiente expresión hx, yi = 1 kx + yk kx yk ª Vemos que si la norma es kk C[0,1] entonces no obtenemos un producto escalar según la definición, antes dada Vemos que no se cumple la siguiente propiedad hx + y, zi = hx, zi + hy, zi Sea x = x(t) t 1,y= y(t) 1,z= z(t) t or un lado tenemos ½ hx + y, zi = 1 max x(t)+y(t)+z(t) max x(t)+y(t) z(t) = t [0,1] t [0,1] ½ = 1 max 0 max t [0,1] t [0,1] t 1+1+t = 1 ( ) = or otro lado ½ hx, zi + hy, zi = 1 max x(t)+z(t) max x(t) z(t) + t [0,1] t [0,1] 1

2 ½ + 1 max y(t)+z(t) max y(t) z(t) = 1[ max max t [0,1] t [0,1] t [0,1] t [0,1] t max 1 t [0,1] t max t [0,1] 1+t ]= 1 (1 1+0) 6= Luego no se cumple esta propiedad del producto escalar y por tanto no es un producto escalar Ejercicio 3:Demostrar que en el espacio l 1 no se puede introducir el producto escalar coordinado con la norma de este espacio Si se pudiera introducir el producto escalar coordinado con la norma de l 1,se tendría que verificar la identidad de paralelogramo, que dice: kx + yk + kx yk =(kxk + kyk ) Sea x =(1, 0,, 0, ),y=(0, 1,, 0, ) entonces se verifica lo siguiente: kx + yk 1 = kx yk 1 = kxk 1 = kyk 1 =1 Luego 8=, pero esto es una contradicción luego esta norma no verifica la identidad del paralelogramo Ejercicio :En el espacio lineal (C[a, b], kk ) de funciones continuas sobre el intervalo, tomamos hx, yi = b x(t)y(t)dt a Es de Hilbert este espacio? No, es de Hilbert, por el ejercicio de la hoja 1, sabemos que (C[a, b], kk ) no es de Banach, entonces si vemos que la norma inducida por este producto escalar coincide con kk ya sabríamos que no es de Hilbert kk h,i = p hx, xi = s b a x(t)y(t)dt = s b a x(t) dt = kk Ejercicio 5:En el espacio lineal de sucesiones x =(x 1,x,) tales que x k <, tomamos hx, yi = λ k x k y k donde 0 <λ k < 1 Es de Hilbert este espacio? En general, no, es de Hilbert, consideramos la serie λ k tal que sea convergente yportantodadoε>0 existe n 0 N tal que λ k <ε k=n 0 +1

3 Consideramos ahora la sucesión x n =(1,, 1, 0,, 0, ) donde son uno las n primeras coordenadas Entonces para todo m, n > n 0 se tiene que: kx m x n k = m λ k < λ k <ε Luego esta sucesión es de Cauchy k=n k=n or otro lado esta sucesión no converge luego este espacio no es completo, entonces no es Hilbert Ejercicio 6:Demostrar que un espacio de Hilbert es estrictamente normado ara verlo utilizamos el criterio del ejercicio 6 de la hoja Supongamos x, y s con x 6= y, es decir, kxk = kyk =1 Si kαx +(1 α)yk =1 α [0, 1] kαx +(1 α)yk =1 hαx +(1 α)y, αx +(1 α)yi =1 hαx, αxi + h(1 α)y, (1 α)yi +hαx, (1 α)yi =1 α hx, xi +(1 α) hy, yi +α(1 α)hx, yi =1 Como kxk = kyk =1= de lo anterior se obtiene lo siguiente α +(1 α) +α(1 α)hx, yi =1 hx, yi = 1 α (1 α) =1 α(1 α) = hx, yi =1= cos ψ = hx,yi =1= ψ =0+πk = x = y pero esto es kxkkyk una contradicción ya que estabamos suponiendo que x 6= y entonces es estrictamente normado Ejercicio 7:Sea que x n,y n pertenecenalabolaunitariacerradab(0, 1) en un espacio de Hilbert H y hx n,y n i 1 para n Demostrar que kx n y n k 1 donde n Como x n B(0, 1) y y n B(0, 1) = kx n k 1 y ky n k 1 hx n,x n i 1 y hy n,y n i 1 Vemos que kx n y n k 0, yaqueestoimplicaquekx n y n k 0 entonces kx n y n k = hx n y n,x n y n i = hx n,x n i+hy n,y n i hx n,y n i 1+1 hx n,y n i 0, ya que hx n,y n i 1 Ejercicio ½ 8:En el espacio l consideramos el conjunto M = x l,x=(x 1,x,): x k =0 Demostrar que M es un subespacio vectorial denso en l 1) Vemos que M es una variedad lineal Vemos que si x, y M = x + y M (x k + y k )= x k + y k =0= x + y M Vemos que si x M = λx M 3

4 λx k = λ x k =0= λx M ) Vemos que es denso en l ara ello consideramos la función la función lineal L : l tal que L(x) = x k (L no es continua) or un resultado visto en clase KerL o es cerrado ó es denso, ya que M = KerL es un hiperplano en l Vemos que no es cerrado entonces tiene que ser denso Sea e 1 =(1, 0, ) se tiene que e 1 pertenece a la clausura de M, ya que si considero la sucesión x (k) = e 1 1(e k e k )= x (k) M y x (k) e 1 con la norma kk Vemos esto último que x (k) e 1 con la norma kk Basta ver que x (k) e 1 0 ero 1 (e k e k ) = pertenece a la clausura de M ero denso k n=1 1 k = 1 k 0 cuando k = efectivamente e 1 e k 1 =16= 0= e 1 / M LuegoM no es cerrado entonces tiene que ser Ejercicio 9:En el espacio l poner un ejemplo de un conjunto M tal, que el conjunto M + M no coincide con todo el l ½ Considero el conjunto M = x l : x k =0 para demostrar que M + M 6= l probamos antes que M coincide con el espacio ortonormal de la clausura de M or un lado sabemos que M está contenido en la clausura de M = El ortonormal de la clausura de M está contenido en M or otro lado si x M = hx, yi =0 y M Además si y 0 pertenece a la clausura de M = {y n } M tal que {y n } y 0 Como {y n } M = hy n,xi =0 n N = hy 0,xi = hlim y n,xi = limhy n,xi = 0 = x pertenece al espacio ortonormal de la clausura de M = M = M =(l ) = {0}, ya que por el ejercicio anterior la clausura de M coincide con l = M + M 6= l Ejercicio 10:En el espacio (C[, 1], kk ) consideramos el conjunto M de funciones x(t) iguales a cero para t 0 a)demostrar que M es un subespacio de (C[, 1], kk ) Esto es claro ya que Si x, y M = x y M ya que (x y)(t) =x(t) y(t) =0 t 0

5 Si x Ma L = (ax)(t) =ax(t) =0 t 0 t 0 b) Describir el subespacio M M = {x(t) C[, 1] : x(t) =0para t 0} el producto escalar asociado será: hx, yi = 1 kx + yk kx yk ª = ½ 1 = 1 x(t)+y(t) 1 x(t) y(t) =0 1 x(t) + y(t) +x(t)y(t) [x(t) + y(t) x(t)y(t)] = 0 1 x(t)y(t) =0 1 x(t)y(t) =0= como x(t) =0si t 0= y(t) =0si c) Todo elemento x del espacio (C[, 1], kk ), admite una única representación de la forma, x = u + v, donde u M, v M? No se cumple Si tomo la función x(t) =1-1 1 Si se cumpliera entonces existirían y Mz M tal que x = y + z Como y M = y 0 en [0, 1] = z =0en [, 0] ya que z C[, 1] Luego no se cumple Ejercicio 11:Sea M un conjunto convexo cerrado en un espacio de Hilbert H Demostrar que en M, existe y es único, un elemento de norma mínima 1) Vemos la existencia: Si 0 M ya estaría porque el 0 lo sería Si 0 / M 5

6 Sea d(0,m)=d entonces existe {y n } n N M tal que ky n k d Como M es convexo entonces y n+y m M entonces ky n + y m k d or la identidad del paralelogramo tenemos que: (ky n k + ky m k )=ky n + y m k + ky n y m k = (ky n k + ky m k ) d + ky n y m k Como ky n k d entonces haciendo n, m tenemos d d + lim ky n y m k n,m = ky n y m k 0 cuando n, m = {y n } n N es de Cauchy entonces {y n } y ysetienekyk =limky n k = d Luego y M yeselqueestaalamínimadistanciade0 luego y es el elemento de norma mínima ) Vemos la unicidad: Supongamos que existen x, y tales que m = kxk = kyk = normamínimaentonces consideramos el segmento que los une, sabemos que está contenido en M, por que este es convexo, y se tiene que α [0, 1] se verifica que kαx +(1 α)yk = α kxk + (1 α) kyk = αm +(1 α)m = m pero como m es la norma mínima = kαx +(1 α)yk = m or otro lado kαx +(1 α)yk = m hαx +(1 α)y, αx +(1 α)yi = m hαx, αxi + h(1 α)y, (1 α)yi +hαx, (1 α)yi = m α hx, xi +(1 α) hy, yi +α(1 α)hx, yi = m hx, yi = m α m m α m +αm = m α(1 α) Luego hx y, x yi = hx, xi + hy, yi hx, yi = m + m m =0 x y =0 x = y, luegoesúnico Ejercicio 1:En el espacio l construir un conjunto cerrado, en el cual no hay elemento de norma mínima Considero el conjunto M = x n l : x n =(0, 0,, 0, 1+ 1, 0, )ª, donde la n únicacoordenadadistintadeceroeslan-ésima Es claro que M l Vemos que M es cerrado El límite de una subsucesión de M tiene que ser 0 por como está definido M ero es claro que kxk > 1 x M LuegoM no tiene subsucesiones convergentes, por tanto M no tiene puntos de acumulación entonces M = M M 0 = M Luego M es cerrado Vemos que no hay elemento de norma mínima kx n k =1+ 1 = inf {kxk n : x M} =1 ero no existe x M tal que kxk =1 Luegonoexisteelelementodenorma mínima 6

7 Ejercicio 13:Demostrar que en un espacio de Hilbert toda sucesión de conjuntos acotados, cerrados, convexos, encajados, no vacios posee una intersección no vacia Sea a k M k tal que ka k k =min{kxk : x M k } or la identidad del paralelogramo tenemos: (ka k k + ka n k )=ka k + a n k + ka k a n k ( ) odemos suponer sin pérdida de generalidad que n>kcomo M k es convexo se tiene que a k+a n M k = a k+a n ka k k = ka k + a n k ka k k or el enunciado sabemos que M n M k ya que n>k= a n M k = ka n k ka k k Como {ka k k} es creciente y acotada (por que los M i son acotados) entonces ka k k A, por ( ) sabemos que: (ka k k + ka n k ) = ka k k + ka k a n k ycomoka k k ka n k entonces ka n k ka k k + ka k a n k Si hacemos k (y por tanto n )entoncesa A + lim ka k a n k entonces {a k } es de Cauch entonces {a k } a Luego a M k = M k k N entonces a T M k k N Ejercicio 1:En el espacio C[0, 1] construir una sucesión de conjuntos acotados, convexos, cerrados, encajados, no vacios que posea una intersección vacia Sea M n = x(t) C[0, 1] : kxk 1,x(0) = 0,x(t) =1para 1 t 1ª n M n es acotado es claro Vemos que es convexo Esto es claro ya que si x, y M n = α [0, 1] kαx +(1 α)yk α kxk + +(1 α) kyk 1, αx(0)+(1 α)y(0) = 0,αx(t)+(1 α)y(t) =1para 1 t 1 n Vemos que es cerrado Si x n es una sucesión de M n tal que x n x = kxk = kx x n + x n k kx x n k + kx n k 1 haciendo n kxk 1 Como n N x n (0) = 0 = x(0) = 0 Como n N x n (t) =1para 1 t 1= x(t) =1para 1 t 1 n n Luego x M n = n N M n es cerrado Vemos que son encajados si x M n+1 = kxk 1, x(0) = 0,x(t) =1para 1 t 1 n+1 Entonces, en particular, como 1 1 se tiene x(t) =1para 1 t 1, por n n+1 n tanto x M n Vemos que T A n = { } n N Supongamos que x T A n = x A n n N, luego en particular x verifica n N la siguiente propiedad x(t) =1para 1 n t 1 entonces como esto es n N 7

8 Haciendo n se tendría que x(t) =1si t (0, 1], pero por otro lado x(0) = 0, pero x no sería continua luego x C[0, 1] pero esto es una contradicción, por tanto no existe x T A n,luego T A n = { } n N n N 8