VECTORES EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS

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1 VECTORES EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología Profesor: Jorge Escribano Colegio Inmaculada Niña Granada

2 TEMA 11.- VECTORES EN EL ESPACIO 1.- INTRODUCCIÓN Un vector fijo AB del espacio (también lo era en el plano) es un segmento orientado que tiene su origen en un punto A y su extremo en otro punto B. Estos vectores quedan determinado, al igual que pasaba con lo vectores del plano, por: Módulo = Longitud Dirección = la de la recta que pasa por los dos puntos Sentido = el dado por el recorrido de A a B Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Cada conjunto formado por todos los vectores equipolentes entre sí se llama un vector libre, u : 3 Al conjunto formado por todos los vectores del espacio le llamaremos V, y en ese conjunto se definen dos operaciones ya conocidas para los vectores del plano: Suma (o resta): Matemáticas II: Vectores

3 Producto por un número: Este conjunto de vectores con estas dos operaciones cumplen las siguientes propiedades: a) Asociativa: ( u + v) + w = u + ( v + w) b) Conmutativa: u + v = v + u c) Elemento neutro respecto de la suma: u + 0 = u d) Elemento simétrico respecto de la suma: u + ( u) = 0 e) Distributiva del producto respecto de la suma: ( α + β ) u = α u + β u f) Distributiva de la suma respecto del producto: α ( u + v) = α u + α v g) Asociativa del producto: α ( β u) = ( α β ) u h) Elemento neutro respecto del producto: 1 u = u Con todas estas propiedades se dice que el conjunto vectorial. 3 V tiene estructura de espacio 2.- DEPENDENCIA LINEAL. BASES Y COORDENADAS DE UN VECTOR Se dice que un vector v 3 de V es una combinación lineal de los vectores u1, u2, u3,..., un si existen números reales a1, a2, a3,..., a n tales que v = a u + a u + a u + + a u n n Un conjunto de vectores { u1, u2, u3,..., un} se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario, se dice que son linealmente independientes. Así, por ejemplo, dos vectores proporcionales son linealmente dependientes; o tres vectores que no estén en el mismo plano son linealmente independientes Matemáticas II: Vectores

4 Nota: n vectores son linealmente independientes si el rango de la matriz que forman es n Una base del espacio vectorial linealmente independientes. Dada una base cualquiera B { u1, u2, u3} 3 V es un conjunto formado por tres vectores = del espacio, cualquier otro vector v se podrá poner como combinación lineal de sus elementos, es decir: v = a u + a u + a u A los coeficientes de esa combinación lineal se les llama coordenadas del vector v respecto de la base B, y se expresa: v B = a, a, a ( ) Un mismo vector puede tener distintas coordenadas según respecto a qué base nos estemos refiriendo. Si los vectores de una base son perpendiculares entre sí se dice que es una base ortogonal, y si además tienen la misma longitud (que se toma como la unidad) se dice que es una base ortonormal. De entre todas las bases ortonormales posibles en el espacio tomaremos, por simplicidad de cálculo, la base B = i(1,0,0), j(0,1,0), k (0,0,1) { } 3 A esta base se le llama base canónica de V Así, a partir de ahora, cuando hablemos de un vector siempre lo expresaremos en coordenadas respecto de la base canónica: u(1, 2,1) = 1 i + 2 j + 1 k Todo esto permite redefinir las operaciones de suma y diferencia de vectores y producto por un número con coordenadas: 3 a) u( u1, u2, u3), v( v1, v2, v3) V u ± v = u ± v u ± v u ± v 3 b) u( u1, u2, u3) V, k R k u = k u k u k u (,, ) (,, ) Matemáticas II: Vectores

5 Ejemplo: Dados los vectores u(1,1,0), v ( 0,1, 2 ), w( 4,0, 1) a) Calcular el vector 2u 3v b) Comprobar que forman una base de V e c) Calcular las coordenadas del vector ( 23,1, 1) 3 : respecto a dicha base Solución: a) 2u 3v = 2(1,1, 0) 3( 0,1, 2) = ( 2, 2, 0) ( 0,3, 6) = ( 2, 1, 6) b) Como son tres vectores comprobamos si son linealmente independientes, y para ello calculamos el rango de la matriz: Como = 9 0 Rg( A) = independientes y por tanto forman una base de c) El vector e ( 23,1, 1) de la base, es decir: 23,1, 1 = a(1,1, 0) + b 0,1, 2 + c 4, 0, 1 ( ) ( ) ( ) De donde obtenemos el sistema: a = 3, b = -2 y c = 5 luego son tres vectores linealmente 3 V. se podrá poner como combinación lineal de los vectores a + 4c = 23 a + b = 1, y resolviéndolo sale 2b c = 1 Por lo que el vector e es el vector ( 3, 2,5) respecto de la base B { u, v, w} = Ejercicios: 1.- Dados los vectores u( 3,5,1), v(7,4, 2), calcular las coordenadas de: a) 2 u b) v c) 2 u + v d) u v e)5u 3v u( 1, 2,0), v(0, 1,3), w 1,0, 5, x( 1,1,0), calcular los 2.- Dados los vectores: ( ) valores de a, b y c para que se cumpla: au + bv + cw = x Matemáticas II: Vectores

6 3.- Comprobar que los vectores u(2,1, 0), v( 3, 1, 0 ), w( 1,1,1 ) 3 V. Calcular las coordenadas del vector e(3,1,7) en dicha base. forman una base de 3.- PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Se define el producto escalar de dos vectores de módulos por el coseno del ángulo que forman: u v = u v cos ( u, v) 3 V como el producto de sus Es importante destacar que el producto escalar de dos vectores da como resultado un número (positivo o negativo según el ángulo que formen sea agudo u obtuso), y no un vector. Geométricamente, el valor absoluto del producto escalar de dos vectores es el módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él Propiedades del Producto Escalar a) u v = v u b) u ( v + w) = u v + u w c) k ( u v) = ( k u) v d) u u 0 e) u v u v = 0 u f ) u // v u v = ± u v v 2 g) u u = u 1 1 u = v 2 2 u = v h) Expresión analítica del producto escalar: u v = u v + u v + u v Matemáticas II: Vectores

7 De estas dos últimas propiedades se deduce además la fórmula práctica para calcular el módulo de un vector: u = u + u + u Ejemplo: Dados los vectores u ( 3, 4,0 ), v ( 1, 1, 2), calcular: a) Su producto escalar b) El ángulo que forman c) Un vector paralelo a u y unitario w m,1,3 d) Calcular m para que el vector ( ) Solución: a) El producto escalar será: u v ( ) ( ) sea ortogonal a v = 3, 4, 0 1, 1, 2 = 3+ 4 = 7 b) Para calcular el ángulo que forman usamos la fórmula: ( ) ( u v 7 u v = u v cos u, v cos u, v) = = = 0'57 u v 5 6 u, v = 55'14º c) Para calcular Un vector paralelo a u y unitario basta con dividirlo por su 3 4 módulo: u =,,0 5 5 d) Para que el vector w sea ortogonal a v, su producto escalar ha de ser 0, por lo que: v w = 0 1, 1, 2 m,1,3 = 0 m + 5 = 0 m = 5 ( ) ( ) Matemáticas II: Vectores

8 EJERCICIOS 1.- Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son una base de {( 1, 2,1 ),( 1,0,1 ),( 2, 2, 2 )} ; B ( 1,1,1 ),( 1,0,1 ),( 1,1,0 ),( 0,0,1) ( 0, 1,2 ),( 3, 4,5 ) ; D 3, 2,1, 1, 2, 1, 1,0,1 { } { } {( ) ( ) ( )} A = = C = = 3 V? 2.- Calcular los valores de a para que el siguiente conjunto de vectores formen una base: S = 1,1,1, a,1,1, 1, a,0 {( ) ( ) ( )} 3.- Calcula las coordenadas del vector ( 7,11,14) ( 3, 2,5 ), ( 2, 4,7 ), B = u u u ( 1, 3,3 ) { } v respecto de la base 4.- Dados los vectores u ( 1, m,1 ), v ( 2,4, m) a) Sean paralelos b) Sean ortogonales 5.-. Dados los vectores: u ( 1, 2, 2 ), v ( 8,0,6) a) El ángulo que forman b) Un vector paralelo a v y de módulo 2 c) Un vector ortogonal a u y unitario, calcular m para que:, calcular: Matemáticas II: Vectores

9 TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN 3 y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u3} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas coordenadas en la base B. 3 Vamos a considerar un punto O del espacio ( R ) De la misma manera, a cada vector u le asociamos un punto que será el extremo del vector al hacer coincidir su origen con O. 3 Se llama sistema de referencia de R al conjunto formado por el punto O (llamado origen del sistema de referencia) y la base B, es decir; S. R. = O, u, u, u { } Y llamaremos coordenadas del punto P respecto a dicho sistema de referencia a las coordenadas del vector OP respecto de la base correspondiente. Dicha relación entre puntos y vectores en el espacio cumple una serie de propiedades: a) PP = 0 b) PQ = QP c) PQ + QR = PR d) P, Q R v V / v = PQ e) P R, v V, Q R / PQ = v Al conjunto de todos los puntos de espacio relacionados con el conjunto de vectores de 3 esta forma se le llama espacio afín R. El sistema de referencia que usaremos a partir de este momento será el formado por el punto O(0.0.0) y la base canónica B { i(1,0,0), j(0,1,0), k(0,0,1) } =. A dicho sistema de referencia se le llama sistema de referencia afín canónico. Es decir, el que un punto P tenga de coordenadas (1,-2,3) respecto del sistema de referencia significa que el vector OP tiene de coordenadas (1,-2,3) respecto de la base canónica. Es muy importante por tanto dejar claro cuando estamos trabajando con el vector (1,-2,3) y cuando con el punto (1,-2,3). (Pondremos u ó P) Matemáticas II: Rectas y Planos

10 A las rectas que pasan por el origen del sistema de referencia y llevan la dirección de los vectores de la base canónica les llamaremos ejes de coordenadas (eje X, eje Y, eje Z) y al O centro u origen de coordenadas. Gráficamente: 2.- APLICACIONES 2.1. Vector que une dos puntos Dados dos puntos del espacio P( p1, p2, p3), Q( q1, q2, q 3), sus vectores asociados serán OP( p, p, p ), OQ( q, q, q ) Como se ve en la figura, se observa que OQ = OP + PQ, de donde: PQ = OQ OP = ( q, q, q ) ( p, p, p ) PQ = ( q p, q p, q p ) Por ejemplo, si P(3,-5,8) y Q(1,7,-4), el vector PQ será: PQ = ( 1 3, 7 + 5, 4 8) = ( 2, 12,12) Matemáticas II: Rectas y Planos

11 2.2.- Punto medio de un segmento Sean dos puntos del espacio P( p1, p2, p3), Q( q1, q2, q 3), y sea M ( x, y, z ) el punto medio del segmento que une P y Q: Como M es el punto medio de P y Q: PM = 1 2 PQ Además, como se observa en el dibujo: 1 OM = OP + PM = OP + PQ 2 Y por tanto: 1 OM = ( p1, p2, p3) ( q1 p1, q2 p2, q3 p3) 2 M p + q p + q p + q =,, Así, el punto medio del segmento determinado por los puntos P(4,-1,2) y Q(2,3,-8) es el punto M 4 + 2, 1+ 3, 2 8 = ( 3,1, 3) Simétrico de un punto respecto a otro El simétrico de un punto P( p1, p2, p 3) respecto de otro punto Q( q1, q2, q 3) es P '( x, y, z ) si Q es el punto medio de P y P: Y de la fórmula del punto medio obtenemos: p1 + x p2 + y p3 + z q1 = ; q2 = ; q3 = Fórmulas de las que es fácil despejar las coordenadas x, y, z del punto P. Así, si P(5,-1,2) y Q(7,0,3), para calcular P '( x, y, z ) usamos: 5 + x 1+ y 2 + z 7 = x = 9 ; 0 = y = 1 ; 3 = z = Y por tanto P '( 9,1,4 ) Matemáticas II: Rectas y Planos

12 Ejercicio: Dado el triángulo de vértices A(1,-3,5), B(0,7,2), C(-1,5,6), calcular: a) El perímetro de dicho triángulo b) Los puntos medios de los lados c) El simétrico de A respecto del punto medio de B y C 3.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO Una recta viene determinada por un punto por el que pase y un vector que indique su dirección llamado vector director. Sea P ( p, p, p ) un punto por el que pasa la recta y sea u ( u, u, u ) director su vector Si X(x,y,z) es otro punto cualquiera de la recta, entonces el vector PX es paralelo al vector u y por tanto se podrá expresar como: PX = λu Por otra parte, el vector OX es la suma de OP y PX, con lo que se obtiene: OX = OP + λu Donde λ representa un número real cualquiera que variará dependiendo del punto X de la recta. La ecuación anterior se llama ecuación vectorial de la recta. Si expresamos dicha ecuación en coordenadas: x, y, z = p, p, p + λ u, u, u, de donde obtenemos tres ecuaciones: ( ) ( ) ( ) x p u = 1 + λ 1 = 2 + λ 2 3 λ 3 y p u z = p + u que son las ecuaciones paramétricas de la recta Matemáticas II: Rectas y Planos

13 Despejando λ de cada ecuación se obtiene: x p y p z p = = = u u u 1 2 λ ; λ ; λ x p1 y p2 z p3 De donde: = = u u u que es la ecuación continua de la recta. 3 Si igualamos dos de las ecuaciones anteriores y luego otras dos, obtenemos dos ecuaciones del tipo: Ax + By + Cz + D = 0 A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 Que son las ecuaciones generales implícitas de la recta. Ejemplo: Calcular las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1,-2,4) y cuyo vector u 2, 1,3 director es ( ) Solución: Ecuación vectorial: OX = OA + λu Ecuaciones paramétricas: x = 1+ 2λ y = 2 λ z = 4 + 3λ Ecuación continua: x 1 y + 2 z 4 = = Multiplicando en cruz las dos primeras y las dos terceras obtenemos las: Ecuaciones generales: x + 2y + 3 = 0 3y + z + 2 = 0 Nota: Para pasar de las ecuaciones generales a las paramétricas, o bien se le da a una incógnita el valor de λ y se despejan las otras dos, o bien se calculan dos puntos de la recta y se toma el vector que los une como vector director Matemáticas II: Rectas y Planos

14 Ejercicios: 1.- Calcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por P(3,-1,4) y cuyo vector u 2, 5,0 director es ( ) 2.- Calcula todas las ecuaciones de los ejes de coordenadas 3.- Calcular las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(1,7,3) y B(2,-1,-8). 4.- Comprueba si los puntos A(-1,2.-3), B(-3,4,-6) y C(5,-4,-6) están alineados y calcula las ecuaciones de la recta que los contiene. 5.- Calcula un punto y un vector director de las siguientes rectas: x = 3λ x z + 2 2x + y = 3 a) r y = λ b) s = y 2 = c) t 2 3 2x z = 1 z = 1 4λ 6.- Pasa a ecuaciones generales las siguientes rectas: x = 2 + 3λ x 3 y + 1 a) r y = 5 b) s = = z 2 4 z = 1+ λ Obtén dos puntos y dos vectores directores de cada una de ellas 7.- Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta 2x + y z = 0 r x y + 2z + 1 = Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-1,-2,0) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(0,-3,1) y C(1,1,0) 9.- Calcula la recta que pasa por el punto P(2,-2,-3) y es paralela a la recta x y = 0 r x + z = Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(1,-2,0) y B(3,2,4) y es paralela al eje OY. Pertenece el punto C(2,-1,3) a dicha recta? Nota: Si nos fijamos en los ejercicios anteriores, para calcular una recta necesitamos: Un punto y un vector director o Dos puntos o Un punto y una recta paralela Matemáticas II: Rectas y Planos

15 4.- ECUACIONES DE UN PLANO EN EL ESPACIO Un plano viene determinado por un punto por el que pase y dos vectores directores (no paralelos entre sí): En la siguiente figura vemos cómo obtener cualquier punto X del plano a partir del punto y los vectores directores: Como se puede ver, el vector PX se puede escribir como combinación lineal de los vectores directores de la forma: PX = λ u + µ v Además, podemos escribir: OX = OP + PX Y por tanto: OX = OP + λ u + µ v que es la ecuación vectorial del plano, donde λ y µ son dos números reales que variarán de acuerdo con el punto concreto del plano. Si expresamos dicha ecuación en coordenadas: x, y, z = p, p, p + λ u, u, u + µ v, v, v, de donde obtenemos tres ecuaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) x p u v = 1 + λ 1 + µ 1 = 2 + λ 2 + µ 2 = 3 + λ 3 + µ 3 y p u v z p u v Matemáticas II: Rectas y Planos

16 que son las ecuaciones paramétricas del plano. Si observamos las ecuaciones anteriores, se trata de un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas, λ y µ: x p u v 1 = λ 1 + µ 1 2 = λ 2 + µ 2 3 = λ 3 + µ 3 y p u v z p u v y la condición para que dicho sistema tenga una única solución es que la matriz de los coeficientes tenga rango 2, y por tanto, que: x p u v y p u v = z p u v Al desarrollar este determinante llegamos a una ecuación del tipo: Ax + By + Cz + D = Que es la ecuación general del plano. 0 Ejemplo: Calcular las ecuaciones del plano que pasa por el punto A(2,3,5) y cuyos vectores u 1, 2, 3 v 1,3,5 directores son ( ) y ( ) Solución: Ecuación vectorial: OX = OA + λ u + µ v Ecuaciones paramétricas: x = 2 λ + µ y = 3 2λ + 3µ z = 5 3λ + 5µ Para calcular la ecuación general desarrollamos el determinante: x y = 0 z ( x ) ( y ) ( z ) ( z ) ( y ) ( x ) = 0 x + 2y z + 1 = Matemáticas II: Rectas y Planos

17 Nota: el orden de las filas o columnas del determinante es indiferente, pues a lo sumo se obtiene la misma ecuación cambiada de signo. También es posible simplificar o cambiar de signo los vectores directores a fin de que los cálculos sean más sencillos. Ejercicios: 1.- Escribe las ecuaciones del plano que pasa por el punto A(1,0,-3) y cuyos u 2, 0,1 v 1, 1,1 vectores directores son ( ) y ( ) 2.- Halla la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1,7,-2), B(4,5,0) y C(6,3,8). Halla otros dos puntos de dicho plano Calcula k para que el punto D(1,k,5) pertenezca a dicho plano. 3.- Calcula las ecuaciones paramétricas del plano π 2x 3y + 3z 1 = Calcula las ecuaciones paramétricas y general de los planos coordenados 6.- Calcula la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2,2,2), B(1,2,-1) y en el u 3, 2,1 que un vector director es ( ) 7.- Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(3,1,-1) y B(2,0,3) y es y + 1 z 3 paralelo a la recta r x 2 = = Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto P(-2,-3,2) y contiene a la x = 2 + 3t recta r y = t z = 1 t 9.- Halla la ecuación del plano que contiene a la recta x = 2λ paralelo a la recta s y = 1+ λ z = 1 + λ x + 1 y r = = z 2 2 y es 10.- Determina si los siguientes puntos pertenecen o no a un mismo plano y, en caso afirmativo, calcula su ecuación: a) A(2,1,-5), B(1,0,-2), C(-1,2,0). D(-2,0,5) b) A(1,1,1), B(-1,2,1), C(2,.1,1), D(-2,2,2) Matemáticas II: Rectas y Planos

18 5.- VECTOR NORMAL A UN PLANO El inconveniente que tiene un plano es que necesitamos trabajar con dos vectores directores en lugar de uno sólo, que es lo que sucedía en la recta. Se trata de encontrar un vector que resuma por sí solo la información contenida en los dos vectores directores. Este vector va a ser un vector perpendicular al plano, es decir, un vector ortogonal a la vez a los dos vectores directores (su producto escalar ha de ser cero). Por supuesto hay muchos vectores perpendiculares a un plano (todos ellos paralelos entre sí). Dado el plano de ecuación π Ax + By + Cz + D = 0, vamos a demostrar que el vector n ( A, B, C) es perpendicular a él. Para ello basta demostrar que es ortogonal a cualquier vector PQ determinado por dos puntos del plano: n PQ = A B C q p q p q p = A q p + B q p + C q p = (,, ) ( 1 1, 2 2, 3 3) ( 1 1 ) ( 2 2 ) ( 3 3 ) ( ) = Aq Ap + Bq Bp + Cq Cp = Aq + Bq + Cq Ap + Bp + Cp = como P y Q están en el plano cumplen su ecuación y por tanto = D ( D) = 0 Al vector n ( A, B, C) sencillo de calcular. se le llama vector normal del plano, y como se puede ver es muy Lógicamente, todos los planos paralelos entre sí tienen el mismo vector normal (o proporcional). Conociendo pues el vector normal de un plano y un punto por el que pase, podremos determinar de manera sencilla dicho plano: Matemáticas II: Rectas y Planos

19 Ejemplo: Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto A(-2,3,5) y cuyo vector normal es n 1, 3,2 ( ) Solución: Todos los planos con ese vector normal tienen de ecuación x - 3y + 2z + D = 0 Para calcular aquél que pasa por ese punto en concreto, basta sustituir el punto en la ecuación para sacar D: D = 0 D = 1 Luego el plano pedido es: π x 3y + 2z + 1 = 0 Nota: es muy importante no confundir jamás el vector normal del plano con sus vectores directores, pues la ecuación del plano se calcula de manera muy diferente con uno u otros. 6.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO Dos rectas en el espacio pueden estar colocadas de las siguientes formas: 1) Supongamos que tenemos ambas rectas en ecuaciones de las que es fácil obtener sus puntos y sus vectores directores (por ejemplo, continua o paramétricas): x = p + λ u x = q + µ v r y = p + λ u s y = q + µ v z p λ u = + z = q + µ v a) Si u v (se ve a ojo) significa que las rectas o son paralelas o son coincidentes. Para saberlo, tomamos un punto de una de ellas y lo sustituimos en la otra. Si no está, serán paralelas, y si está, serán coincidentes. b) Si u v, entonces las rectas serán secantes o se cruzarán. Para distinguirlo resolvemos el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas ( λ y µ) que se obtiene al igualar sus ecuaciones paramétricas. En caso de que tenga solución serán Matemáticas II: Rectas y Planos

20 secantes y de paso obtendremos el punto de corte. Si el sistema es incompatible, las dos rectas se cruzan. En resumen: P s coincidentes u v P s paralelas S. C. D secantes u v S. I. secruzan Existe otra forma sencilla de distinguir el caso b): Si las rectas son secantes los vectores u, v y PQ estarán en el mismo plano y por tanto serán linealmente dependientes, y por lo visto en el tema anterior, debe cumplirse que: q p u v q p u v = q p u v En caso contrario serán dos rectas que se cruzan. 2) Supongamos ahora que las rectas vienen dadas en sus ecuaciones generales. Siempre podemos pasarlas a paramétricas, pero una opción en principio más sencilla es resolver el sistema formado por las cuatro ecuaciones generales de las dos rectas. Si el sistema es Compatible Determinado, las rectas son secantes. Si el sistema es Compatible Indeterminado, las rectas son coincidentes. Si el sistema es Incompatible, las rectas o bien son paralelas o bien se cruzan. En este caso las pasaremos a paramétricas y observamos si los vectores directores son paralelos (rectas paralelas) o no (se cruzan). Ejemplo 1: Estudiar la posición relativa de las rectas: x = 3 5λ x 1 y 4 z r y = 2 + λ s = = z = 5 λ Solución: Matemáticas II: Rectas y Planos

21 Como los vectores directores u ( 5,1, 1 ), v ( 10, 2, 2) tienen sus coordenadas proporcionales son paralelos. Por tanto las rectas o son coincidentes o son paralelas. Tomamos un punto por ejemplo de la recta r y miramos si pertenece a s (sustituyendo en las ecuaciones paramétricas): P(3,2,5) P s y por tanto las rectas son paralelas. Ejemplo 2: Estudiar la posición relativa de las rectas: x = 2 3λ x = 1 µ r y = 3+ 5λ s y = 2µ z λ = z = 5 Solución: Como los vectores directores u ( 3,5,1 ), v ( 1, 2,5) no tienen sus coordenadas proporcionales no son paralelos. Por tanto las rectas o son secante o se cruzan. Como un punto de r es P(2,3,0) y un punto de s es Q(1,0,5), el vector que los une será PQ 1, 3,5, y ahora calculamos el determinante: ( ) = = Y por tanto las rectas se cortan en un punto (secantes). Para calcular el punto de corte igualamos sus ecuaciones paramétricas y resolvemos el sistema: 2 3λ = 1 µ 3+ 5λ = 2µ λ = 5, µ = 14 λ = 5 Y al sustituir λ en la ecuación de r o µ en la ecuación de s obtenemos el punto de corte A(-13,28,5) Matemáticas II: Rectas y Planos

22 Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas: x = 2 3λ x = λ x 1 x y z = 0 a) r y = 3 + 5λ s = y = z 5 b) r y = 1+ 2λ s 1 2x y 1 z λ = = z = 1 λ x + y z = 2 x 2y 2z = 3 c) r s 2x z = 3 2x 3y = POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO Dos planos en el espacio pueden ser: Supongamos los dos planos en ecuaciones generales (si no lo más cómodo es pasarlos a dichas ecuaciones): π Ax + By + Cz + D = 0 ; π ' A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 Si son paralelos o coincidentes sus vectores normales son iguales (o proporcionales) y si no son secantes (se cortan en una recta). Por tanto: Si Si Si A B C D = = = A' B ' C ' D ' A B C D = = A' B ' C ' D ' coincidentes paralelos A B C A' B ' C ' secantes En caso de ser secantes, la recta en la que se cortan es justamente la formada por las dos ecuaciones de los planos, que serían las ecuaciones generales de la recta Matemáticas II: Rectas y Planos

23 Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de planos: a) π 2x + y z = 0, π ' 4x 2y + 2z 1 = 0 x = λ + µ b) π y = 1 λ, π ' x 2y + z = 1 z = 2 2λ + µ 8.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO Las posiciones de una recta y un plano en el espacio pueden ser: La mejor manera para obtener su posición relativa es resolver el sistema formado por la ecuación general del plano y las ecuaciones generales de la recta (tres ecuaciones y tres incógnitas) o bien por la ecuación general del plano y las ecuaciones paramétricas de la recta (sustituyendo los valores de x, y, z en la ecuación del plano). En ambos casos: Si el sistema es Compatible Determinado, la recta corta al plano en un punto Si el sistema es Compatible Indeterminado, la recta está contenida en el plano Si el sistema es Incompatible, la recta es paralela al plano Ejemplo : Estudiar la posición relativa de: x = 1+ λ r y = λ, π 3x y + z = 0 z = 3 λ Matemáticas II: Rectas y Planos

24 Solución: Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano: ( ) ( ) 3 1+ λ 2 + 2λ + 3 λ = λ + 2 2λ + 3 λ = 0 8 = 0 Esta contradicción indica que el sistema no tiene solución y por tanto la recta es paralela al plano. Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos y rectas: x 1 y 1 z 3 a) r = =, π 2x 2y + z = x + y z 1 = 0 b) r, π 3x y + 3z 5 = 0 2x + z 3 = 0 x = 5 + 7λ x = λ c) r y = 2, π y = 11+ 2λ + µ z 3 = z = µ 9.- POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS EN EL ESPACIO Tres planos en el espacio pueden estar situados de las siguientes maneras: Matemáticas II: Rectas y Planos

25 Los casos en los que hay planos coincidentes o paralelos son fáciles de ver a ojo en las ecuaciones de éstos. Si no hay planos paralelos o coincidentes nos quedan sólo los tres últimos casos. Para ello resolvemos (aunque basta con discutir, por Rouché) el sistema formado por las tres ecuaciones de los planos: π Ax + By + Cz + D = 0 π ' A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 π '' A'' x + B '' y + C '' z + D '' = 0 Si el sistema es Compatible Determinado, son tres planos que se cortan en un punto (que será la solución del sistema) Si el sistema es Compatible indeterminado, son tres planos que se cortan en una recta (cuyas ecuaciones son generales son las formadas por dos de los planos) Si el sistema es Incompatible, son tres planos que se cortan dos a dos en una recta. Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos: a) π 2x 3y + 2z = 7 ; π ' 3x + y z = 5 ; π '' 2x 2y + 3z = 7 b) π x y z = 0 ; π ' x + 2y 3z 1 = 0 ; π '' x 2y + 3z + 2 = Matemáticas II: Rectas y Planos

26 EJERCICIOS 1.- Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por A(1,-2,2) y es paralela a la recta 2x y + z 8 = 0 r x y + 2z 9 = Comprueba que los puntos A(1,2,-1), B(1,3,-3) y C(1,0,3) están alineados y calcula la recta que los contiene. 3.- Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta A(2,2,2) x = 1+ λ r y = λ z = λ y al punto 4.- Calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano π 2x + 2y 4z 6 = 0 y que pasa por el punto P(-2,3,4) 5.- Calcula la ecuación del plano que pasa por A(-1,0,2), es perpendicular al plano x 1 z π 2x + y + z 5 = 0 y es paralelo a la recta r = y + 1 = Halla el plano paralelo a π x 2y + 3z 5 = 0 y que pasa por A(1,0,-1) 7.- Halla el plano perpendicular a π x y + 3z 4 = 0 y que contiene a la recta x = 1+ t r y = 2 t z = 3 + 2t 8.- Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas x = 1+ 2λ y 1 z 4 r x 2 = =, s y = 2 + λ 2 1 z = 3λ 9.- Calcula la ecuación del plano perpendicular a la recta pasa por el punto P(2,-1,3) x 2y 3 = 0 r y + z + 2 = 0 y que 10.- Los puntos A(1,3,-4), B(2,6,7) y C(5,-1,2) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Calcula el cuarto vértice D. (Ten en cuenta que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio) Calcula además la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo Matemáticas II: Rectas y Planos

27 11.- Estudia la posición relativa de las rectas x = 2 2λ x y 2 z 1 r = =, s y = 2λ z = 5 6λ 12.- Dadas las rectas x 1 x 2z 5 = 0 r = y = z 2, s 2 x 2y 11 = 0 a) Comprueba que son paralelas b) Halla la ecuación del plano que contiene a r y a s 13.- Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0) y D(-1,2,1)? En caso afirmativo, calcula la ecuación del plano que los contiene Estudia la posición relativa de las siguientes rectas: x 1 y + 2 z 1 x + 2 y 3 z 1 a) r = = ; s = = x 1 y 1 x 4 z 5 b) r = = z 2 ; s = y 4 = x z + 1 x 2y 1 = 0 c) r = y 1 = ; s 2 3 3y z + 1 = 0 x = 3 + 4λ x 1 y z d) r = = ; s y = 3 + 6λ z = 4 + 8λ 15.- Calcula el valor de a para que las siguientes rectas sean secantes y calcula su punto de corte: r x = y = z a ; 1 3 x = + λ 2 2 s y = 3 2λ z = Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas: x = 5 + 4λ x y 1 z + 3 r y = 3+ λ ; s = = m 3 n z = λ Calcula la ecuación del plano que las contiene Matemáticas II: Rectas y Planos

28 17.- Estudia la posición relativa de los tres planos en cada caso: a) π x + 2y z 3 = 0 ; π 3y + 2z 1 = 0 ; π x + y + z 2 = b) π 2x y + z 3 = 0 ; π x y + z 2 = 0 ; π 3x y + z 4 = c) π x + y z 1 = 0 ; π x + 3y z + 2 = 0 ; π 2x + 2y 2z + 3 = x = λ d) π1 x y + z 1 = 0 ; π 2 y = 3λ + 2µ ; π 3 2x + 2y 3z + 4 = 0 z = µ 18.- Calcula m y n para que los planos π mx + y 3z 1 = 0 ; π ' 2x + ny z 3 = 0 sean paralelos. Pueden ser coincidentes? 19.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-3,0) y es paralela a la recta determinada por la intersección de los planos: x = 1+ t + s π 2x 3y + z = 0 ; π ' y = t s z = 2 + 2t + s 20.- Calcula el valor de m para que los puntos A(0,1,2), B(1,0,3), C(1,m,1) y D(m,-1,2m) pertenezcan a un mismo plano y calcula su ecuación Estudia la posición relativa del plano π x y + 2z 1 = 0 con cada una de las siguientes rectas: x = 1+ λ x = 1+ 2λ x y a) r y = 2λ b) s = = z 1 c) t y = 4λ 2 4 z 3λ = z = λ 22.- Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los valores de m: π x + y = 1 ; π ' my + z = 0 ; π '' x + (1 + m) y + mz = m Estudia, según los valores de a, la posición relativa del plano π x + ay z = 1 y la recta 2x + y az = 2 r x y z = a Matemáticas II: Rectas y Planos

29 TEMA 13.- PROBLEMAS MÉTRICOS 1.- ÁNGULOS a) Ángulo entre dos vectores Recordamos la fórmula que se obtenía del producto escalar: cos ( u, v) = u v u v Nota: el valor absoluto del denominador es para que el ángulo salga entre 0º y 90º b) Ángulo entre dos rectas Es el ángulo que forman sus vectores directores (si son paralelas o coincidentes dicho ángulo es de 0º ó 180º) c) Ángulo entre dos planos Es el ángulo que forman sus vectores normales: cos ( n, n' ) = n n' n n' d) Ángulo entre recta y plano Es el ángulo complementario del que forman el vector director de la recta con el vector normal del plano: cos β = u n u n α = 90º β Matemáticas II: Problemas Métricos

30 También se puede calcular usando la relación entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios, y por tanto: sen α = u n u n Y obtener directamente de aquí el ángulo deseado. Ejercicio: Calcular los ángulos formados por: x 3 y + 1 2x + 3y 5z + 4 = 0 a) r = = z ; s 5 3 x 2y + 5 = 0 b) π x 2y + 4z = 0 ; π ' 2x y + 3 = 0 x 3 y + 1 z 1 c) r = = ; π 2x 5y + 7z 11 = Consecuencias: Aunque son detalles que hemos visto anteriormente, conviene destacarlos de manera especial con objeto de tenerlos muy en cuenta a la hora de resolver los distintos ejercicios: u1 u2 u3 a) Dos rectas son paralelas u v = = v1 v2 v3 b) Dos rectas son perpendiculares u v u v = 0 A B C c) Dos planos son paralelos n n ' = = A' B ' C ' d) Dos planos son perpendiculares n n ' n n ' = 0 e) Una recta y un plano son paralelos u n u n = 0 u1 u2 u3 f) Una recta y un plano son perpendiculares u n = = A B C Matemáticas II: Problemas Métricos

31 2.- DISTANCIAS a) Distancia entre dos puntos Como el módulo de un vector indica su longitud, la distancia entre dos puntos se calcula obteniendo el módulo del vector que los une: d( P, Q) = PQ b) Distancia de un punto a una recta En primer lugar se calcula un plano perpendicular a la recta r que pase por P. Para ello se usa el vector director de la recta como vector normal del plano. Luego se calcula el punto de corte de dicho plano con la recta r, obteniendo el punto M. Por último, la distancia será la longitud del vector que une P con M: d( P, r) = d( P, M ) = PM (Por supuesto, conviene primero comprobar que el punto no está en la recta, porque sino la distancia sería 0) Ejemplo: Calcular la distancia del punto P(5,-1,6) a la recta x = 1 2λ r y = λ z = 5 + λ Matemáticas II: Problemas Métricos

32 Solución: El vector director de la recta r es u ( 2, 1,1) plano perpendicular a ella. Calculamos el que pasa por P:, que será el vector normal de cualquier π 2x y + z + D = D = 0 D = 3 Luego el plano buscado será: π 2x y + z + 3 = 0 Calculamos ahora el punto de corte de con r (resolviendo por ejemplo el sistema entre las ecuaciones paramétricas de r y la ecuación general de ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2λ λ λ + 3 = λ + λ λ + 3 = 0 λ = 1 Y al sustituir en la recta obtenemos el punto M(3,1,4) El vector PM será entonces PM (2, 2, 2) y la distancia será: d( P, r) = d( P, M ) = PM = 12 c) Distancia de un punto a un plano En primer lugar se calcula una recta perpendicular al plano que pase por P. Para ello usamos el vector normal del plano como vector director de dicha recta. Calculamos el punto de corte de dicho recta r con el plano, obteniendo el punto M. Por último, la distancia será la longitud del vector que une P con M: d( P, π ) = d( P, M ) = PM Importante: Se puede demostrar también que, dado un punto P( x0, y0, z 0) y un plano π Ax + By + Cz + D = 0, la distancia de P a viene dada por la fórmula: d( P, π ) = Ax + By + Cz + D A + B + C Matemáticas II: Problemas Métricos

33 Ejemplo: Calcular la distancia del punto P(-1,1,3) al plano π 2x y + 2z + 1 = 0 Solución: El vector normal del plano es n ( 2, 1, 2) P será: x = 1+ 2λ r y = 1 λ z = 3 + 2λ Y calculando el punto de corte: ( ) ( ) ( ), luego la recta perpendicular a que pasa por λ 1 λ λ + 1 = λ 1+ λ λ + 1 = 0 4 9λ = 4 λ = 9 Y por tanto el punto de corte será M ,, De donde la distancia será: d( P, π ) = d( P, M ) = PM =,, = = = Usando la fórmula sería: 2( 1) d( P, π ) = = d) Distancia entre dos planos paralelos Obviamente, si no fuesen paralelos, no habría distancia. Basta con coger un punto cualquiera de uno de los planos y calcular su distancia al otro usando cualquiera de los dos procedimientos explicados en c) e) Distancia entre recta y plano Suponemos la recta paralela al plano para que haya distancia. Basta con coger un punto cualquiera de la recta y calcular su distancia al plano usando cualquiera de los dos procedimientos explicados en c) Matemáticas II: Problemas Métricos

34 f) Distancia entre dos rectas paralelas Basta con coger un punto cualquiera de una de las rectas y calcular su distancia a la otra recta usando el procedimiento explicado en b). g) Distancia entre dos rectas que se cruzan Supongamos que ambas rectas vienen expresadas en ecuaciones paramétricas (si no fuese así, se pasarían a paramétricas): x = p + λ u x = q + µ v r y = p + λ u s y = q + µ v z p λ u = + z = q + µ v Un punto genérico de la recta r será de la forma R ( p1 λu1, p2 λu2, p3 λu3 ) punto genérico de la recta s será de la forma S ( q + µ v, q + µ v, q + µ v ) , y un Por tanto, un vector genérico que una un punto de cada recta será de la forma: RS q v p u q v p u q v p u ( + µ λ, + µ λ, + µ λ ) El vector anterior tiene de especial que empieza en un punto de R y acaba en un punto de S. Para que dicho vector nos sirva para medir la distancia entre las rectas, es necesario que sea perpendicular a las dos rectas, es decir, ortogonal a sus vectores directores, y por tanto debe cumplir que: RS u = 0 RS v = 0 Esto da lugar a un sistema de dos ecuaciones en las que las dos incógnitas son λ y µ. Al resolverlo obtendremos un punto de r, R, y un punto de s, S, que son justamente los puntos por donde pasaría una recta perpendicular a ambas rectas y que corte a las dos, y nos sirven por tanto para medir la distancia buscada: d( r, s) = RS Matemáticas II: Problemas Métricos

35 Ejemplo: Calcular la distancia entre las rectas x = 5 + λ x = 4 + 3µ r y = 1 s y = 3 µ z 8 2λ = + z = 5 + 4µ Solución: Primero hay que ver que se cruzan (se deja como ejercicio para el alumno) Sean R ( 5 λ, 1,8 2 λ ), S ( 4 3 µ,3 µ, 5 4µ ) las rectas dos puntos genéricos de cada una de Un vector que los una será: RS µ λ µ µ λ λ µ µ λ µ ( ,3 + 1, ) = ( 1 + 3, 4, ) Y para que sea perpendicular a ambas rectas: RS u = 0 1 λ + 3 µ, 4 µ, 3 2λ + 4µ 1, 0, 2 = 0 7 5λ + 11µ = 0 RS v = 0 1 λ + 3 µ, 4 µ, 3 2λ + 4µ 3, 1, 4 = λ + 26µ = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Y resolviendo el sistema se obtiene λ = 3, µ = 2 Y por tanto los puntos serán R(8,-1,14) y S(10,1,13) y el vector RS ( 2, 2, 1) De donde d( r, s) = RS = 3 Importante: Este procedimiento como tal es muy útil no sólo para calcular la distancia entre rectas que se cruzan, sino para calcular una recta que sea perpendicular a la vez a las dos rectas y que corte a ambas, que es un tipo de ejercicio muy habitual. También sirve para calcular el punto de una de las dos rectas más próximo a la otra, lo que también es un ejercicio habitual. Otro procedimiento para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan consisten en calcular un plano paralelo a una de ellas (s) que contenga a la otra (r). Esto se hace tomando como vectores directores del plano los de las rectas y como punto cualquiera de r. Después se calcula la distancia de un punto de s al plano calculado: Matemáticas II: Problemas Métricos

36 Este procedimiento es más rápido que el anterior, pero no nos proporciona los puntos de la recta perpendicular común a las dos rectas. Queda como ejercicio resolver el ejemplo anterior usando este segundo procedimiento. 3.- SIMÉTRICOS a) Simétrico de un punto respecto a otro Recordamos que para calcular el simétrico de un punto respecto a otro se usaba la fórmula del punto medio: p1 + x q1 = 2 p2 + y q2 = 2 p3 + z q3 = 2 b) Simétrico de un punto respecto a un plano Primero se calcula la recta perpendicular al plano que pase por el punto P. Luego el punto de corte de dicha recta con el plano, M. Por último el simétrico de P respecto de M Matemáticas II: Problemas Métricos

37 c) Simétrico de un punto respecto a una recta Primero calculamos el plano perpendicular a la recta r que pase por P. Calculamos el punto de corte de dicho plano con la recta, M Por último el simétrico de P respecto de M Ejercicios: 1.- Calcula la distancia del punto P(1,2,-1) a la recta x y + z = 0 r y + z + 1 = Estudia la posición relativa de las rectas x = 2 4λ x 1 y + 2 z 1 r = =, s y = 6λ z = 1 8λ y calcula la distancia entre ellas. 3.- Sean los puntos A(2,3,0), B(0,0,1), C(0,1,0) y D(1,2,1). Halla la distancia del punto A al plano determinado por los puntos B, C y D. 4.- Calcula la distancia entre los planos π x + y + x = 0, π ' x + y + x 3 = Calcula la recta perpendicular común a las rectas: x = 1 x 7 z 7 r y = 5 + λ, s = y + 5 = 3 0 z = λ 6.- Halla la distancia de la recta 3x 4y 6 = 0 r 7y 3z 3 = 0 al plano π 3x 4 y 3 = Matemáticas II: Problemas Métricos

38 7.- Halla razonadamente los puntos de las rectas x = λ x 3 r = y = z 1 y s y = λ 2 z = λ que estén a mínima distancia y calcula dicha distancia. 8.- Halla el punto del plano π x y + z = 1 que está más próximo al punto P(1,0,1) 9.- Halla los puntos simétricos de P(1,2,3) respecto de: a) El plano π x 3y 2z + 4 = 0 b) La recta x y + 3 = 0 r 4x z = Halla la ecuación del plano cuyo punto más próximo al origen es (1,3,2) 4.- PRODUCTO VECTORIAL Dados dos vectores u ( u, u, u ), v ( v, v, v ) vector u v que se obtiene como: cualesquiera, su producto vectorial es otro Donde i, j, k i j k u v = u u u v v v son los vectores de la base canónica. Por ejemplo: i j k u 1, 1, 2, v 1, 2, 3 u v = = 3i 2 j + 2k k + 3 j 4i = ( ) ( ) Es decir, u v = ( 1,1,1) = i + j + k = ( 1,1,1 ) Matemáticas II: Problemas Métricos

39 Propiedades: a) El vector u v es perpendicular a ambos vectores, es decir, u v u ; u v v b) Su sentido viene determinado por la regla del tornillo: Y por tanto se cumple que u v = v u ( ) c) u v = u v sen u, v Esto significa que el módulo del vector producto vectorial es el área del paralelogramo que forman los dos vectores u y v, es decir, el área del recinto sombreado de la figura: d) u u = 0 e) Si dos vectores u y v son paralelos, entonces u v = 0 Aplicaciones geométricas del Producto Vectorial a) Área de un triángulo El área de un triángulo de vértices A, B y C será la mitad del módulo del producto vectorial de los dos vectores que podemos formar con dichos puntos: 1 A= AB AC Matemáticas II: Problemas Métricos

40 b) Ecuación general de un plano Si de un plano conocemos un punto y sus dos vectores directores, podemos calcular directamente su vector normal haciendo el producto vectorial de sus vectores directores, ya que éste es perpendicular a ambos. Con ese vector normal y el punto ya es fácil calcular la ecuación del plano. (en general, el producto vectorial servirá siempre que haga falta un vector ortogonal a otros dos) c) Distancia de un punto a una recta Como el área del paralelogramo es Área = u AP Y también es Área = u d Se deduce fácilmente que la distancia del punto P a la recta r será: u AP d = u, 5.- PRODUCTO MIXTO Dados tres vectores cualesquiera, u, v, w u, v, w = u v w [ ] ( ), se define su producto mixto [ u, v, w ] como: Es decir, es el producto escalar del primer vector por el vector producto vectorial de los otros dos. Es importante destacar que el producto mixto de tres vectores es un número. Es fácil ver que, en la práctica, para calcular el producto mixto de tres vectores se calcula el determinante de la matriz que forman, es decir: Matemáticas II: Problemas Métricos

41 u u u u v w = v v v [,, ] w w w Así por ejemplo, el producto mixto de los vectores u ( 2,3, 4 ), v ( 0,2,1 ), w( 3, 2,1) u, v, w = = = 15 [ ] será: Geométricamente, el producto mixto de tres vectores representa el volumen del parelelepípedo construido sobre ellos: V [ u, v, w] = (por supuesto si sale negativo se pone positivo) Conviene tener en cuenta que si cambiamos el orden de los vectores al hacer su producto mixto, lo único que cambiará, a lo sumo, es su signo. (Propiedades de determinantes). Aplicaciones geométricas del Producto Mixto a) Volumen de un Tetraedro V 1 = 6 AB, AC, AD Matemáticas II: Problemas Métricos

42 b) Condición para que cuatro puntos sean coplanarios Para que cuatro puntos A, B, C y D estén en el mismo plano, el volumen del paralelepípedo o del tetraedro construido sobre ellos sería 0. Por tanto, cuatro puntos son coplanarios si: AB, AC, AD = 0 (Recordemos que es la misma condición que se cumplía para que tres vectores fueran linealmente dependientes) c) Distancia entre dos rectas que se cruzan Si r y s son dos rectas que se cruzan y P y Q, u, v sus puntos y vectores directores respectivos, en la figura anterior se observa que: El volumen del paralelepípedo es V = u, v, PQ Por otra parte también es V = Área Base altura = u v h Y por tanto, si igualamos y despejamos h: d( r, s) = h = u, v, PQ u v Fórmula que nos permite calcular fácilmente la distancia entre dos rectas que se cruzan Matemáticas II: Problemas Métricos

43 Ejercicios: 1.- Calcula un vector ortogonal a los vectores u ( 1, 2,5) y v ( 4,0, 5). Calcula además la ecuación del plano que tiene a esos vectores como directores y pasa por el punto A(3,2,-1) 2.- Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(2,1,-1), B(5,8,-5) y C(6,2,-1) 3.- Halla, usando el producto vectorial, la distancia del punto P(1,3,-1) a la recta x y = 0 r x + y z = Calcula m para que el producto vectorial de los vectores u ( m,3,1) y v ( 4,1, m) sea el vector w( 5, 0, 10) 5.- Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos O(0,0,0), A(-1,0,3), B(2,1,-1) y C(-3,2,0) 6.- Dados los puntos A(3,0,0), B(0,2,0), C(0,0,6) y D(-2,3,1), calcula: a) El área del triángulo de vértices A, B y C b) El volumen del tetraedro que forman c) La distancia del punto D al plano determinado por A, B y C 7.- Calcula para que los puntos A(1,2,-1), B(0,3,4), C(1,2,-2) y D(3,2,) sean coplanarios y calcula la ecuación del plano que los contiene. 8.- x y 1 z + 1 Dada la recta r = = y el plano π x + 3y 3z + 3 = 0, calcula: a) El plano que contiene a r y es perpendicular a b) El volumen del tetraedro determinado por el plano y los planos coordenados. 9.- Calcula, usando el producto mixto, la distancia entre las rectas x = 1+ λ x = 5 3µ r y = λ, s y = 8 + µ z 1 λ = + z = 3+ µ x + 1 y 2 z Dada la recta r = = y los puntos A(2,-1,1) y B(3,0,-2), encuentra los puntos P de r para los cuales el triángulo ABP es rectángulo con hipotenusa AB. Halla, en esos casos, el área del triángulo Matemáticas II: Problemas Métricos

44 11.- Calcula el valor de m para que el triángulo de vértices A(-m,0,m), B(0,1,m+1) y C(2-m,-m,0) tenga por área u 12.- Sean los puntos A(1,2,1), B(2,3,1), C(-1,4,3) y D(0,5,3) a) Demuestra que están en el mismo plano y calcula su ecuación b) Comprueba que forman un rectángulo c) Calcula el área de dicho rectángulo 13.- Un cubo tiene dos de sus aristas sobre las rectas x = 1+ 2λ x y 8 z 6 r y = 2 6λ, s = = z = 1 λ Calcula su volumen 14.- Las trayectorias de dos aviones vienen dadas por las rectas: x = 1+ λ x = 1 µ t1 y = 1 λ, t2 y = µ z 1 2λ = + z = 2 Estudia la posición relativa de ambas trayectorias y calcula la distancia mínima entre ambas Un cubo tiene cuatro de sus vértices en los puntos O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0) y C(a,a,a). a) Represéntalo gráficamente b) Calcula la distancia entre su diagonal principal (recta que pasa por O y C) y la diagonal de su base (recta que pasa por A y B) Matemáticas II: Problemas Métricos

45 GEOMETRIA 1.- Dado el vector AB: (2,-1,3) y el punto 8(3,1,2) halla las coordenadas del punto A. Sol: A :(1,2,-1) 2.- Comprobar si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A(1,2,-1), B(0,3,1), C(1,1,1) y D(0,2,5). En caso negativo, hallar las coordenadas del punto D' para que AB y CD' sean equipolentes. Sol: D,:(0,2,3) 3.- Dados los puntos A(1,0,1) y8(3,2,2) hallar las coordenadas del vector AB y su módulo. Sol: AB(2,2,t) IABF3 4.- Dados los puntos A(3,0,5) y8(3,4,7), hallar las coordenadas del prnto medio del segmento que determinan. Sol: (3,2,6) 5.- Las coordenadas de dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,1,-1). Las coordenadas del centro M son M(2,2,2). Hallar las coordenadas de los vértices C y D. Sol: C(3,3,3), D(4,3,s) 6.- Dados los vértices A(3,0,1) y B(0,3,1) que determinan el segmento AB. Hallar las coordenadas de los puntos que dmden el segmento AB en tres partes iguales. Sol: (2,1,1),(I,2,I) 7.- Las coordenadas de los puntos medios de'los lados de un triángulo ABC son M(1,1,0), N(2,2,1) y P(3,2,0). Hallar las coordenadas los vértices A, B y C. Sol: (2,1,-l),(0,1,1),(4,3,1) N, 8.- En un triangulo ABC el baricentro es (2,4,2) el punto medio de BC es M(3,6,3) y el punto medio de AC es N(2,5,1). Hallar las coordenadas de los vértices A, B y C. Sol: A(0,0,0), B(2,2,4), c(4,r0,2) 1.f o Hallar el baricentro de un tetraedro de vértices A(1,3,1), BQ.,, ), C(0,1,-1) y D(1,-1,4). Sol: (r,1,2) Hallar las ecuaciones de las medianas del triangulo de vértices A(1,2,0), B(1,0,2) y C(I,2,2). S ol : { (x- 1 )/ 0:y I 2:(z-2)A 1 ; (x- I /0 :(y -21 I:z/ -2; (x- 1 /0:(y -r) I 1:(z-rl I 11.- Hallar las coordenadas del baricentro del triangulo ABC del ejercicio anterior así como el baricentro del triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triangulo anterior. [Cómo son arnbos baricentros?. Sol: (1,4/3,4/3); Son el mismo. 12., Dados los puntos A(2,1,2) y B(6,-3,-2) hallar tres puntos P, Q y R que iirri - al segmento AB en cuatro partes iguales. Sol. (3,0,1),(4,-1,0),(5,-2,-l) 13.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,I,-l) y 8(3,0,1). Estudiar si el punto C(1,0,2) está alineado con Ay B Sol: (x-3)111ll:(z-l)/2; C no está en AB 14.- Comprobar si los puntos A(1,2,3),B(4,1,3) y C(7,0,3) están alineados. Sol. Sí 15.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2,1) y lleva la dirección del vect{ j!

46 Sol: {>c0;11} i-j y *: 16.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,2,I) y tiene por vectores directores v : 3j+k. Sol. x+y-3r Halla la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos A(1,0,0), B(0,2,0) y C(0,0,3). Sol. xl l+yl2+z/3:l 18.- Comprobar si los planos que pasan por los puntos A(2,0,0), B(0,-1,0) y C(0,0,3); y por los puntos A(-4,0,0), 8'(0,2,0) y C'(0,0,-6) tienen el mismo vector normal. Sol: Sí tl.- Co-probar si los puntos A(1,1,1), B(0,1,-l), C(1,0,3), D(2,1,-1) y E(0,0,0) son coplanarios. Sol:No 20.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta )r-=t; y:2-t; z=1+t y por el punto A(1,0,-l). Sol:5x+4y-2:$ 21.- Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,4,1) y por la recta de ecuaciones: (xllt : (V-2)12: z/1. Sol: El punto A pertdnece alarecta, no existe ese plano 2l.-Hallar la ecuación del plano que corta a los ejes coordenados en puntos situados a distancia 2 del origen. Sol: x+y+z-2: Qué relación se ha de verificar entre los parárnetros a, b y cpara que los puntos A(1,1,1), B(0,2,-l), C(2,1,0) y D(4b,c) sean coplanarios? Sol: a*3b*c: Determina la ecuación de la recta que: a) Está contenida en los planos: n1= r-y*2:i; n2= 2x+y:0 b) Pasa por el punto A(0,1,0) y es paralela a los planos: nl. 2x-ryr2-2:O y n2 x-ryrz='2. c) Pasa por los puntos de corte del plano 2x+3y-64 con los ejes de coordenadas. Sol: a) {x-y+rl;2x+50};b) {2x+y+z-l:O'xfy*rl}; c) {r0; 2x+3y:6} 25.- Determina la ecuación del plano que. a) Corta al eje OX en el punto de abscisa 3 y es paralelo alplanoyz. b) Contiene alarectax/z: $-Iyl: (z+lyl y al punto P(2,1,0). c) Contiene a las rectas (x-1)12: (y-zyl : z/-i ylaxá4:yl-2: (z+112. d) Contiene alarecta = {x+1l:0; 2x-y+3nI} y es paralelo al plano p= x-yfz:l. Sol: a) x:3;b) x-221; c) x-y*z*1:0; d) Imposible 26.- Estudia la posición de los siguientes pares de rectas: a) 11: {x:l-2t, y-4-t, r3+t\, 12 (x-ll2 : (y+z)ll : zj-l b) 11: {x:0,y:1,zn}; 12 {x=-2-tt,y:-f,rl+t} c) 11: {r+, y:z+t, F-t}; tz'.xll: (y-ly2: (z+2li Sol: a) Paralelas; b) Se cruzan; c) Se cortan 27.- Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los valores de los parámetros que se indican: a) ax-y b) x+y+2r0 2x-2y+4az:O mx-y:o 3x*mz:O