Significados escolares asociados a la derivada de orden superior

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1 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol.20 ASPECTOS NUMÉRICOS Y GRÁFICOS DE LA DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Ricardo Catoral Uriza, Mario Sáchez Aguilar y Jua Gabriel Molia Zavaleta Civestav-IPN, Cicata-IPN. (México) mosachez@ip.mx Campo de ivestigació: pesamieto variacioal. Nivel educativo: superior Palabras clave: derivada de orde superior, gráficas, Newto, iterpolació, pesamieto y leguaje variacioal Resume E este trabajo se muestra alguos resultados de uestras idagacioes sobre los sigificados y represetacioes asociados co la derivada de orde superior. Estos resultados se platea e cotextos uméricos y gráficos; y so el resultado del estudio de alguas propiedades matemáticas, y el aálisis de fuetes primarias como la producció astroómica de Isaac Newto (Newto, 687). El trabajo se iscribe e la líea de ivestigació deomiada Pesamieto y Leguaje Variacioal (PyLV) (Catoral y Farfá, 998). Sigificados escolares asociados a la derivada de orde superior Es evidete que e el discurso matemático escolar, existe ua ruptura e los sigificados que se asocia a las derivadas sucesivas, a partir del orde tres: Mietras que e u cotexto físico, sólo las derivadas primera y seguda tiee asigados los coceptos de velocidad y aceleració; e u cotexto gráfico las relacioes etre las raíces de la derivada de ua fució y las graficas de sus correspodietes derivadas se limita a máximos, míimos y putos de iflexió (Catoral, 2005). Dada esta situació, os hemos efocado e localizar sigificacioes que podría ser asigadas a este cocepto matemático de la derivada. Para tal propósito hemos realizado estudios de corte epistemológico y matemático que os ha geerado distitos resultados que a cotiuació expoemos. Sobre la obra de Isaac Newto: Aspectos uméricos Es claro que Isaac Newto uca trabajó co el cocepto de derivada que coocemos hoy e día, pero es iegable que e su trabajo hace uso de objetos matemáticos co ua estructura umérica muy similar al de la derivada. Veamos u ejemplo: E los trabajos astroómicos de Newto (687) aparece por primera vez u método de iterpolació que posteriormete se publica e Newto (7) bajo el ombre de Methodus Differetialis. Este método llama uestra ateció porque la estructura de su fucioamieto está basada e la idea de diferecia. Eseguida se hace ua breve descripció del método. E esecia, el Methodus Differetialis es u método aritmético de iterpolació. E éste se cosidera u cojuto fiito de putos e u plao A, B, C, D, E, F, etc., a partir de los cuales se traza los segmetos de recta AH, BI, CK, DL, EM y FN. Estos segmetos so perpediculares a otro segmeto de recta HN (ver figura ). 554

2 Cosideració de aspectos socioepistemológicos e el aálisis y el rediseño del discurso matemático escolar Figura. Gráfico que ilustra el Methodus Differetialis tomada de Newto (687). El objetivo pricipal de este método es ecotrar la logitud o altura correspodiete a algú puto descoocido, que se ecuetre e algua posició itermedia, etre los putos A, B, C, D, E, F. E la figura esta logitud descoocida se represeta co el segmeto SR. Evidetemete estas logitudes podría actualmete iterpretarse como los valores de las ordeadas correspodietes a los valores H, I, K, L, M y N e el domiio de ua fució. Como se verá, el método hace uso de diferecias aritméticas y cocietes de éstas. Estos cocietes de diferecias se ecuetra represetados e la figura 3 co las expresioes que icluye las letras miúsculas a, b, c, d, e y f. Los cocietes se ecuetra defiidos de la siguiete maera: b = AH BI HI, 2b = BI CK IK, 3b = CK DL KL, 4b = DL ME LE etc. c = b 2b HK 2b 3b 3b 4b, 2c =, 3c = IL KM, etc. d = c 2c HL 2c 3c, 2d = IM, etc. e = d 2d HM Para calcular el valor de la ordeada que se descooce, es ecesario calcular los valores de a, p, q, r, s y t. Estos valores se ecuetra defiidos de la siguiete maera (tómese como referecia la figura 3): a = AH p = HS q = () p IS ( ) ( )( SK) r = q s = ()SL r ( ) t = ()SM s ( ) 555

3 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol.20 Fialmete, la logitud que se quiere coocer, represetada e la figura como RS, se ecuetra defiida por la siguiete expresió: RS = a + bp + cq + dr + es + ft Más allá de la derivada seguda: Aspectos gráficos E uestra disciplia, la matemática educativa, es muy difudido el hecho de que la utilizació co propósitos didácticos de represetacioes cocretas de ocioes matemáticas, tales como gráficas o imágees, suele teer la propiedad de favorecer etedimietos e los estudiates. Estos etedimietos puede ir de acuerdo co el sigificado que la matemática les asiga o cotradecirse e alguas relacioes de ésta, ua amplia discusió de estos asutos se puede cosultar e Fischbei (987). Nuestro iterés de explorar represetacioes cocretas y sus propiedades matemáticas origia este trabajo, e él examiamos las formas graficas que se refleja sobre la grafica de ua fució poliomial P(x), cuado la derivada de orde superior cumple la codició P k (x) > 0, dode k es el orde de la fució derivada. E el taller se tuvo la iteció de trabajar co u caso particular de estas fucioes, ua que fuera represetativa de las fucioes poliomiales de raíces simples, ello e virtud del orde que elegimos para desarrollar la ivestigació e curso, detro de la cual e otro mometo exploramos la fució seo, al respecto se puede cosultar e Sáchez y Molia (2006). E este documeto tratamos ua situació matemática iteresate, la relació etre las raíces de la familia de poliomios P (x) de raíces simples, co la raíz de la derivada de orde -. Cosideremos u caso particular, la fució: P ( x) = ( x )( x 2)( x 3)( x 4)( x 5)( x 6) : 3 E la figura 2 mostramos la represetació gráfica de la fució P ( x ), la secció resaltada es ua regió dode la derivada de orde 5 de P ( x ) es mayor que cero, es decir 5 P ( x) > 0. La forma que describe tal regió es a lo que os referimos co el térmio forma gráfica de la derivada de orde 5, ahora bie, esta forma gráfica tiee alguas propiedades, os efocaremos e ua de ellas: E el par ordeado que determia e la gráfica el iicio de la forma, su valor de x es equivalete al promedio de las raíces de la fució P ( x ). Figura 2 556

4 Cosideració de aspectos socioepistemológicos e el aálisis y el rediseño del discurso matemático escolar Al calcular el promedio de las raíces de P ( ) resulta el valor 7 2, luego al determiar la x derivada de orde 5 de P ( x ), teemos P 5 ( ) 720 x 2520, la cual tiee como raíz el valor 7 2. Esta es ua propiedad secilla pero iteresate, ua explicació es la siguiete: 2 Cosideremos el poliomio ( ) Px Ax A x A x = A. Es secillo mostrar que 2 0 si se tiee ua fució f ( x) = ax, que va de R e R, co N, la derivada de orde k de f ( x ) está determiada por: ( ) =, para k k k f x Pax k Ecuació. La expresió P k se lee permutacioes de tamaño k Co ayuda de la ecuació se calcula la derivada de orde - de Px, ( ) para llegar a la expresió: P ( x) = P Ax+ P A La cual es ua ecuació de primer grado, ésta se iguala a cero y se despeja x para ecotrar su raíz: P ( x) = 0 P A x+ P A = 0 P A Ax = P ( )! A A! A A Ecuació 2. El valor de la raíz de la derivada de orde - del poliomio Px ( ). Por otra parte, dada ua fució poliomial de grado : ( ) ( )( )( ) ( ), dode N r R P x r x r2 x r3 K x r Etoces los coeficietes Px ( ) está determiados por las fórmulas de Viète, si 2 Px ( ) = Ax + A x + A 2x A0 de allí se tiee que los coeficietes de Px ( ) expresados e otació sumatoria correspode co los siguietes: Ver Kurosch (994). E esta fuete las fórmulas de Vieté o se expresa e otació sumatoria, fue elecció uestra este formato porque se utilizó para facilitar otros cálculos. 557

5 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol.20 A A = = k = r k A = r r 2 k k2 k= k2= k+ 2 A = r r r 3 k k2 k3 k= k2= k+ k3= k A = r r r r M 4 k k2 k3 k4 k= k2= k+ k3= k2+ k4= k k k2 k K 3 k k= k2= k+ k3= k2+ k= k + A0 = ( ) r r r r Ahora bie, si tomamos los coeficietes de Viète: A y A y los sustituimos e la ecuació 2, tedremos que: ( r ) k = k = ( ) r k k Es decir, el valor de la raíz de la derivada de orde - del poliomio Px ( ) es igual al promedio de las raíces del poliomio P(x). Cometarios fiales E el methodus differetialis, y e particular e los cocietes de diferecias represetados por b, 2b, 3b, d, 2d y e ; es posible idetificar versioes primitivas de la derivada de orde superior. Esto se afirma co base e el comportamieto y propiedades que estos objetos matemáticos preseta. E los textos de Aálisis Numérico puede verificarse que estos cocietes de diferecias posee propiedades equivaletes a aquellas de la derivada de orde superior; por ejemplo la posibilidad de proveer iformació acerca del comportamieto gráfico de ua fució, como los itervalos e que ésta crece o decrece, o los itervalos dode es cocava hacia arriba o hacia abajo (véase por ejemplo el tema de diferecias divididas, e Maro y López, 995). Nuestra ivestigació cotiuará idagado acerca de los usos prácticos que Newto daba a este método e particular co la fialidad de ecotrar más 558

6 Cosideració de aspectos socioepistemológicos e el aálisis y el rediseño del discurso matemático escolar sigificacioes que posiblemete se pudiera asigar, e u cotexto escolar a la derivada de orde superior. Por otro lado, el escrito tambié cetra su ateció e las relacioes matemáticas que se puede reflejar e las gráficas de fucioes poliomiales, e relació co derivadas de orde superior. Nos referimos a las formas gráficas, pues so represetacioes cocretas que podría desempeñarse como mediadoras para favorecer uevos etedimietos e el estudiate. Por esta razó cosideramos importate etederlas y evaluar utilidad e la escuela, co el ambicioso propósito de exteder el estudio de la derivada e la clase de Cálculo, y llegar más allá de la derivada seguda. Otras relacioes matemáticas se ha ecotrado etoro a estas formas gráficas, si embargo por motivos de espacio o es posible cometarlas e este texto. Referecias bibliográficas Catoral, R. (2005). Sobre las derivadas de orde superior. [eactivity], México: Casio Computer Co. Ltd, Dispoible e: Catoral, R. y Farfá, R.M. (998). Pesamieto y leguaje variacioal e la itroducció al aálisis. Epsilo 42, Fischbei, E. (987). Ituitio i Sciece ad Mathematics: A Educatioal Approach. Holada: Reidel. Kurosh (994). Curso de Álgebra Superior. Limusa: México. Maro, M.J. y López, R.J. (995). Aálisis umérico. U efoque práctico. México: CECSA. Newto, I. (687). Philosophia Naturalis Pricipia Mathematica. Jussu Soc; Regiæ ac Typis J. Strater, Lodii. Sáchez, M. y Molia, J.G. (2006). Pesamieto y leguaje variacioal: Ua aplicació al estudio de la derivada. E G. Martíez-Sierra (Ed.), Acta Latioamericaa de Matemática Educativa (Volume 9, pp ). CLAME: México. 559