VI.- CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIA EN SÓLIDOS SEMIINFINITOS

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1 VI.- CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIA EN SÓLIDOS SEMIINFINITOS VI.2.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN SÓLIDO SEMIINFINITO A continuación vamos a desarrollar las ecuaciones correspondientes a sistemas en los ue resulte despreciable la variación espacial de las temperaturas, de modo ue la ecuación ue rija el proceso se rezca a una ecuación diferencial ordinaria. Un sólido semiinfinito se puede considerar como un cuerpo de gran extensión con una superficie plana, 0 x, en el ue su temperatura resulta ser función de la distancia x y del tiempo t, es decir: T = T( x, t ) La ecuación de la concción simplificada, para concción transitoria en un sólido semiinfinito, suponiendo ue E = 0, es de la forma: 2 T x 2 = 1 α T, para: 0 < x < en la ue x se considera a partir de la superficie del sólido; antes de resolver la ecuación diferencial, hay ue especificar una única condición inicial y dos condiciones de contorno. La condición inicial viene determinada para t = 0, por: T( x, 0 ) = T 0 ó T( x, 0) = f ( x ), como caso más general, siendo T(x,0) la temperatura inicial del sólido semiinfinito, ue en principio no tiene por ué ser uniforme. Una de las condiciones de contorno exige ue el material, para cualuier tiempo t, mantenga su temperatura inicial a una distancia grande de la superficie, por lo ue: T(, t ) = f ( x ) ó T(, t ) = T 0 Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-133

2 La otra condición de contorno permite obtener soluciones concretas teniendo en cuenta las consideraciones ue se hagan sobre las mismas, lo ue conce a los tipos siguientes: - Condición de contorno isotérmica - Condición de contorno de convección - Condición con resistencia térmica interna despreciable Condición de contorno isotérmica en un solido semiinfinito.- Esta condición de contorno, ue es muy fácil de obtener físicamente, consiste en cambiar brusca y repentinamente la temperatura de la superficie del sólido, x = 0, hasta un valor T s ó T F Fig VI.1. Fig VI.1.- Distribución de temperaturas en un sólido semiinfinito con condición de contorno isotérmica La condición se puede conseguir cuando la superficie del sólido semiinfinito se pone en contacto con la de otro sólido a T s y aduiere esta temperatura; si el sólido semiinfinito es un metal, y se pone en contacto con un líuido muy enérgico, (metal líuido) a T F, ue posee un elevado coeficiente de transferencia térmica por convección h CF, también se provoca un cambio instantáneo de la temperatura superficial del sólido ue pasa a T F, la cual se mantendrá constante rante todo el proceso. La condición de contorno isotérmica es: T s = T(0,t) La solución de la ecuación: dt = α d 2 Φ dx 2, en la ue: Φ = T - T 0 T s - T 0, es: dt = dt = u = x 2 α t = -x 2 α 1 2 t t = - x 4 t α t = dx dx = 1 2 α t ; d 2 Φ dx 2 = 1 2 α t d 2 Φ 2 dx = 1 4 α t d 2 Φ 2 - x 4 t α t = α 4 α t d 2 Φ 2 d 2 Φ 2 = - x α t = - 2 u ue es una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden, ue reuiere dos condiciones de contorno. Haciendo: = m ; dm = - 2 u m ; dm m = - 2 u = - 2, resulta: ln m = - u 2 + ln C 1 ; m = C 1 e -u 2 = = C 1 e -u 2 ; Φ = C 1 e -u 2 + C 2 Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-134

3 ue sometida a las dos condiciones de contorno se resuelve en la forma: Φ = 1 ; x = 0 ; u = 0 C 2 = 1 Φ = 0 ; x ; = C 1 e -u 2 ; 0 = C 1 e -u = C C 1 = - 2 T(x, t) - T 0 T s - T 0 = 1 - G(u ) = 1-2 u 0 e -u 2 = ferc (u), función de error complementaria ó también, sumándola y restándola T s : T(x, t) - T s T 0 - T s = G(u) = fer (u ) = 2 u 0 e u 2, función de error de Gauss y cuyos valores se encuentran en la Tabla VI.1, o en la Fig VI.2. Tabla VI.1.- Función de error de Gauss u G(u) u G(u) u G(u) u G(u) u G(u) 0,00 0, ,46 0,4466 0,92 0,0677 1,3 0, ,4 0, ,02 0, ,4 0, ,94 0,1627 1,40 0,9522 1,6 0, ,04 0, ,50 0, ,96 0,2542 1,42 0,9553 1, 0, ,06 0, ,52 0, ,9 0,3423 1,44 0,9530 1,90 0, ,0 0,0900 0,54 0, ,00 0,4270 1,46 0, ,92 0,9933 0,10 0, ,56 0, ,02 0,504 1,4 0, ,94 0, ,12 0, ,5 0,5792 1,04 0,565 1,50 0, ,96 0, ,14 0, ,60 0,6036 1,06 0,6614 1,52 0,9641 1,9 0,9949 0,16 0, ,62 0, ,0 0,7333 1,54 0, ,00 0, ,1 0, ,64 0, ,10 0,020 1,56 0, ,10 0, ,20 0, ,66 0,6493 1,12 0,079 1,5 0, ,20 0, ,22 0, ,6 0,6627 1,14 0,930 1,60 0, ,30 0,9957 0,24 0, ,70 0,6770 1,16 0,9910 1,62 0,9704 2,40 0, ,26 0,2690 0,72 0, ,1 0,9044 1,64 0, ,50 0, ,2 0,307 0,74 0,7046 1,20 0, ,66 0,9110 2,60 0, ,30 0,3263 0,76 0, ,22 0, ,6 0,9249 2,70 0, ,32 0, ,7 0, ,24 0, ,70 0,9370 2,0 0, ,34 0, ,0 0, ,26 0, ,72 0,9500 2,90 0, ,36 0,3933 0,2 0,7531 1,2 0,9297 1,74 0,9613 3,00 0, ,3 0, ,4 0, ,30 0, ,76 0,9719 3,20 0, ,40 0,4239 0,6 0, ,32 0,9306 1,7 0,917 3,40 0, ,42 0, , 0,7669 1,34 0, ,0 0,9909 3,60 1, ,44 0, ,90 0, ,36 0, ,2 0,9994 Fig VI.2.- Función de error de Gauss, G(u) Fig VI.3.- Profundidad de penetración El flujo térmico concido por el interior del sólido semiinfinito se puede determinar a partir de la ley de Fourier calculada en la superficie, o lo ue es lo mismo, tiene ue ser igual al flujo térmico Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-135

4 ue penetra o abandona la pared: (t ) = - T x x=0 = - ( T u u x ) x=0 = T u ) x=0 = (T 0 - T s ) 2 2 e-u ) x=0 = 2 (T 0 -T s ) u x ) x=0 = 1 2 α t = - (T 0 - T s ) α t en la ue se ha definido una propiedad de penetración de la temperatura x t, como la posición en la ue la tangente al perfil de temperatura en (x = 0) corta a la recta de temperatura inicial T 0, Fig VI.3, en la forma: x t = α t = T s - T 0 - ( T x ) x=0 = T s- T 0 s El calor concido por el interior del sólido y ue, por lo tanto, ha ingresado en el intervalo de tiempo comprendido entre, 0 y t, es: t Q(t ) = (t ) dt = 2 (T s - T 0 ) t=0 t α = 2 (T s - T 0 ) t x t Fig VI.4.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en un cuerpo semiinfinito, con temperatura inicial T 0 y condición de contorno isotérmica Si la difusividad térmica α es peueña (gran inercia térmica), x t es peueña, por lo ue el campo de temperaturas en el material variará muy lentamente; sin embargo, la cantidad de calor ue liberan al enfriarse o almacenan al calentarse, es grande; por este motivo se escoge un material con α peueño (del orden de 10-7 m 2 /seg) y ρ grande para la pared de un horno (ladrillos refractarios), y con α más grande (del orden de 10-5 m 2 /seg) y ρ peueño para un cortafuegos, (aire). En definitiva, cuanto mayor sea ρ, más peueño será el espacio necesario para el campo de temperaturas. Para comprobar si la suposición de sólido semiinfinito es correcta, se calcula la profundidad de penetración x t ue se ha definido en la forma: x t = T s - T 0 - ( T = T s - T 0 x ) s x=0 en la ue s es el flujo de calor superficial; si x t es menor ue el espesor, es sólido semiinfinito. Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-136

5 Condición de contorno de convección en un solido semiinfinito.- Si en lugar de cambiar instantáneamente la temperatura superficial del sólido semiinfinito, se pone su superficie en contacto con un fluido (agua, aceite, etc) ue se encuentra a la temperatura T F, el calor transferido al sólido debe pasar en el fluido por convección y hacia el interior del sólido por concción, en forma más o menos lenta, por lo ue la temperatura de la superficie variará hasta alcanzar la del fluido, situación de euilibrio, pero no instantáneamente. La condición de contorno de convección es: h C {T F - T( 0, t )} = ± ( T x ) x=0 según sea calentamiento del sólido (-) o enfriamiento del sólido (+). Fig VI.5.- Distribución de temperaturas en un sólido semiinfinito con condición de contorno de convección La solución de la ecuación 2 T x 2 = 1 T α, sometida a la condición inicial T( x, 0 ) = T 0 y a las condiciones de contorno dadas por la ecuación anterior y por T(,t) = T 0, es de la forma: T( x, t ) - T 0 T F - T 0 = 1 - G( u ) - {1 - G( u + η )} e - Bi x + η en la ue: Fo x = α t x 2 ; Bi x = h C x ; u = x 2 α t ; η = h C 2 α t 2 = Bi 2 Fo ue se rece a la condición de contorno isotérmica, cuando la relación h C sea muy elevada. En esta situación: G(u + η ) = 1, y la función de error complementaria: 1 - G(u + η ) = 0 En la gráfica de la Fig VI.6, se presenta la distribución de temperaturas en un sólido semiinfinito sometido a convección; la condición de contorno isotérmica viene representada por la curva superior ue se corresponde con: h s α t = h s = La distribución de temperaturas adimensional en un sólido semiinfinito, con temperatura inicial uniforme, y sometido al contacto con un fluido a temperatura T F en el instante (t = 0) es sólo función de los números de Biot y de Fourier. Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-137

6 Las ecuaciones del flujo térmico y de la distribución de temperaturas así obtenidas, son válidas para una geometría semiinfinita. Por lo tanto, es muy importante establecer cuándo una placa de gran tamaño y longitud característica L se puede considerar semiinfinita a efectos térmicos; Kreith propone ue Fo < 1, condición necesaria, pero no suficiente, ya ue se tiene ue cumplir también ue a una gran distancia de la superficie la temperatura inicial no se haya modificado, (condición de contorno del sólido semiinfinito). Fig VI.6.- Distribución de temperaturas en un sólido semiinfinito sometido a convección Fig VI.7.- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en un sólido semiinfinito, con temperatura inicial T 0 y condición de contorno de convección Sólido semiinfinito sometido a un flujo térmico uniforme en su superficie.- Si el sólido semiinfinito está inicialmente (t = 0) a la temperatura T 0 y para (t > 0) la superficie (x = 0) se somete repentinamente a un flujo de calor 0 constante por unidad de superficie, (por ejemplo la radiación de una fuente a elevada temperatura), la respuesta de la temperaturas viene dada por la ecuación: T( x,t ) = T α t [ e-u 2 - u { 1 - G(u )}], con: u = x 2 α t T 0 = T( x,0), y en la ue: 0 = - T x ) x=0 Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-13

7 Si el flujo de calor 0 procede de la radiación de una fuente a elevada temperatura T rad, se puede suponer es de la forma: 0 = α* σ ( T 4 rad - T 4 0 ), siendo α* la absortividad de la superficie. La temperatura evaluada en x = 0 en el tiempo t es: T( 0, t ) = T s = T α t La profundidad de penetración ue se ha definido en la forma: x t = T s - T 0 - ( T x ) x=0 = T s- T 0 0, y en la ue 0 es el flujo de calor superficial x = 0, nos dirá ue el sólido es semiinfinito cuando sea menor ue el espesor. Fig VI..- Desarrollo temporal de la distribución de temperaturas en un cuerpo semiinfinito con temperatura inicial 0 sometido a un flujo de calor constante 0 en la superficie Contacto entre dos sólidos semiinfinitos.- Si dos sólidos semiinfinitos a temperaturas distintas T A y T B se ponen en contacto en el instante t= 0, la solución del problema muestra ue la temperatura de la superficie de contacto T cont viene dada por: T A T cont T cont T B = B A α A α B = ( ρ c p ) B ( ρ c p ) A = B B B A con las distribuciones de temperatura dadas por las funciones de error correspondientes a cada sólido. Sólido semiinfinito sometido a un pulso de energía en su superficie.- Si se descarga una determinada cantidad de energía E por unidad de área sobre la superficie en el instante t = 0 y esta energía se absorbe totalmente por la superficie, Fig VI.9, la distribución de temperaturas viene dada por la ecuación: Fig VI.9.- Respuesta de la temperatura de un sólido semiinfinito sobre cuya superficie se descarga instantáneamente una cierta cantidad de energía E T( x,t ) = T 0 + ρ c p E e -u 2 α t Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-139

8 Sólido semiinfinito con generación de calor E y condición de contorno isotérmica t = 0 ; T = 0 ; 0 x t > 0 ; E = Cte Φ(x,t) = E [α - 2 {1 - G(u)}] Sólido semiinfinito con generación de calor E y condición de contorno de convección Φ( x,t ) = Φ 0 + E α t t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - T F ; 0 x t > 0 ; E = Cte ; x = 0 Φ x x = 0 = - A Φ = h C + { α Φ 0 t ( α - u t ) - 2 E h c α t } e- x 2 4 α t + Φ + { E h C ( h C - 1) - Φ 0 (1 + h h C x C )} e + x α ( h C ) 2 { 1 - G(u + h C α t )} + E (1 + h C ) { 1 - G(u )}] Sólido semiinfinito sometido a una variación periódica de su temperatura superficial La temperatura superficial varía en la forma: β 0 = Φ 0 = T s - T m = cos wt Φ máx T máx - T m y T s = T x = 0, viniendo dada la distribución de tem- siendo la temperatura media: T m = T máx + T mín 2 peraturas, Fig VI.10, por la ecuación: β = Φ Φ máx = T( x, t ) - T m T máx - T m = exp ( x w 2 α ) cos ( x w - w t ) = f ( Fo, 1 2 α T * ) Función de amortiguación: exp (- x w ue consta de: 2 a ) = exp (- x p a T* ) Función periódica: cos (x w - w t) 2 a siendo el periodo de la onda térmica T* = 2 w y w la frecuencia La amplitud de la variación de la temperatura disminuye exponencialmente a medida ue penetra en el sólido y se desarrolla con un desfase igual a: x w 2 α. El espesor de la pared es tan grande ue la variación de la relación temperatura dentro de la misma tiempo va a depender solamente de las condiciones impuestas en la superficie x = 0 por lo ue se puede tratar como un sólido semiinfinito. Al ser cíclica la variación de la temperatura en la superficie, hay ue suponer ue su efecto ha proseguido hacia el interior del sólido, rante un cierto tiempo t, llegándose a un estado térmico vibratorio amortiguado. Como el fenómeno se amortigua con la profundidad de la pared, la ley de variación de β en un punto determinado sigue una ley de tipo cosenoidal, pero desfasada respecto a β s debido a la profundidad; Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-140

9 volverá a estar en fase cuando se cumpla ue: ( x + λ ) α T * = x α T * + 2 ; λ = 2 α T * en la ue λ es la longitud de onda térmica. La variación de β en dos puntos separados una distancia igual a la longitud de onda λ se proce en fase, aunue la amortiguación sea distinta en los mismos. Fig VI.10.- Pared gruesa sometida a cambios periódicos de temperatura El valor de λ es característico del material ue conforma el sólido, e independiente del tiempo; si llamamos: x* = x λ = x 2 α T * el valor de β ueda en la forma: β = e -2 x* cos 2 (x *- τ), con: τ = t T * La representación de β en función de x* para distintos valores de t, viene dada en la Fig VI.11, en la ue se han tomado sobre el eje de las x* fracciones de longitud de onda λ y valores de τ iguales a: Fig VI.11.- Representación gráfica de la función β t = 0, T *, T* 4, 3 T*, T* 2,... La atenuación se hace n veces menor para: exp ( x α T* ) = 1 n ; x = α T* ln n = λ 2 ln n = 0,7329 x * 1 = 0,7329, ue indica ue la temperatu- 100 Haciendo por ejemplo: n = 100 x 1 = λ ln ra a partir de una cierta profundidad es T m. La cantidad de calor ue penetra y sale del muro, lo hace a través de la superficie del mismo ue es, a su vez, una superficie euipotencial, Fig VI.12. Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-141

10 La entrada de calor es de la forma: 0 = - ( T x ) x=0 tomar valores positivos, negativos y nulos., con: T = T( x, t ); la derivada parcial puede Si 0 es positivo entra calor, y si 0 es negativo se disipa calor al medio exterior. A partir de T* hasta 5 T * existirá salida de calor, y desde 5 T * hasta T* habrá entrada de calor, según ue la temperatura superficial sea menor o mayor ue la de los puntos interiores inmediatos próximos. Cuando se tenga ue t = T* ó t = 5 T * no habrá intercambio de calor La expresión del calor intercambiado con el medio exterior es: 0 = - (T máx - T m ) {- sen (-2 τ ) α T * + cos ( 2 τ ) (- α T * )} = = (T máx -T m ) { sen ( 2 τ ) - cos ( 2 τ )} α T * Saldrá calor del muro cuando se cumpla: T ( n + 1 Entrará calor al muro cuando se cumpla: T ( n + 1 ) < t < T ( n + 5 ) < t < T ( n + 5 No existirá intercambio de calor cuando se cumpla: t = T ( n + 1 ), pasando por T ( 2 n ), pasando por (T n) ) ó t = T ( n + 5 En la Fig VI.12 se observa el desfase existente entre la variación de la temperatura en la superficie y la variación de calor intercambiado. ) ) Fig VI.12.- Zonas de entrada y salida de calor Fig VI.13.- Desfase entre la variación de temperatura y el calor intercambiado El calor almacenado en la pared para el semiperiodo t = T* 2 es de la forma: Q (T */2 ) = T */ 5T */ 0 dt = - T */ (T 5T */ máx - T m ) { sen ( 2 τ ) - cos ( 2 τ )} dt = α T * T */ = - (T máx - T m ) 5T */ α T * { sen ( 2 t T * ) - cos ( 2 t )} dt = T * = - (T máx - T m ) α T * { - T * 2 cos ( 2 t ) - T * 2 p sen ( 2 t )} T 5T */ */ = Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-142

11 = - (T máx - T m ) ρ c p T * T * 2 { cos ( 2 t ) + sen ( 2 t )} T 5T */ */ = = ρ c p T * 4 Φ máx 2 2 = 2 ρ c p T * Φ máx y ue, en el siguiente semiperíodo, será devuelto. Si lo ue varía senoidalmente es la temperatura del medio exterior, en la superficie de la placa aparecerá una variación de temperaturas también senoidal, pero atenuada y desfasada, como si entre el medio exterior y la superficie existiera otro espesor de placa ue atenuase el proceso externo, Fig VI.13. Los cálculos anteriores están basados en el supuesto de placas muy gruesas; existen muchas aplicaciones instriales importantes sometidas a variaciones periódicas de la temperatura (como las registradas en las paredes de los cilindros de los motores de combustión interna), en las ue las paredes ue intervienen son de espesor finito; sin embargo, las propiedades térmicas de las mismas pueden ser tales ue amortigüen la onda de temperatura hasta ue, después de haber recorrido ésta una distancia relativamente peueña desde la superficie hasta un punto situado en el interior de la pared, su amplitud de temperaturas sea tan peueña ue se pueda despreciar. A título de ejemplo se puede comprobar ue en un motor de cuatro tiempos, funcionando a 3000 rpm, la onda debida a la variación de la temperatura del cilindro se amortigua hasta un valor del orden del 1% del registrado en la superficie, para una profundidad de 1,75 mm, por lo ue en muchas aplicaciones se puede considerar ue la pared del cilindro de un motor es infinitamente gruesa (sólido semi ). VI.3.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN UN SÓLIDO CON RESISTENCIA TÉRMICA DES- PRECIABLE Si se supone un sólido en el ue la energía transferida desde el mismo se elimina por convección a un fluido, y si se considera ue la temperatura del solido varía de modo uniforme, se puede asegurar ue la resistencia a la concción en el sólido es mucho menor ue la resistencia a la convección desde la superficie; esta situación se consigue cuando el fluido exterior tiene un bajo coeficiente de convección, de forma ue la relación h C / sea muy peueña; dicha condición euivale a suponer ue: Bi = h C L << 0,1 Fig VI.14.- Sólido con (r. t. i. d.) Lo primero ue hay ue hacer, en cualuier problema de este tipo, es calcular el número de Biot; para Bi < 0,1, el error cometido en la determinación de la temperatura es menor ue el 5% de la obtenida por el método exacto, (c. contorno de convección), y si el número de Biot es aún menor, se incrementa la exactitud. Si se hace un balance de la energía del sistema ue se encuentra a T = T(t) en el instante t, Fig VI.14, la variación de su energía interna en ese instante es igual a la energía ue es transferida al fluido ue le rodea en dicho instante, es decir: Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-143

12 Q = - ρ V c p T = h C A { T(t ) -T F } T = - h C A { T(t ) -T F } ρ V c p ue es la ecuación diferencial de la distribución de temperaturas, cuya única variable independiente es el tiempo, siendo V el volumen del sólido y A la superficie de contacto con el fluido. La solución para la temperatura instantánea T(t) es la ue corresponde a todos los puntos del interior del sistema, incluyendo la superficie A, por cuanto se ha supuesto ue en todo él la resistencia térmica es despreciable. Si se define una función: Φ = T(t)- T F, y suponiendo se conoce la temperatura T 0 del sistema en el instante, t = 0, la condición inicial para la ecuación anterior es, Φ 0 = T 0 - T F. La distribución de temperaturas ueda en la forma: T = - h C A {T (t ) - T F } ρ V c p ; Φ = - h C A Φ( t ) ρ V c p Φ = - h C A ρ V c p dt Φ ( t ) = Φ 0 e - h C A ρ V c p t = Φ 0 e- Bi Fo ue predice la historia de la relación entre el tiempo y la temperatura. La temperatura de euilibrio se obtiene cuando la variación de energía interna sea cero, régimen estacionario. La transferencia de calor instantánea, o flujo térmico, es: ( t ) = h C A { T( t ) - T F } = h C A Φ(t) = h C A Φ 0 e-bi Fo La cantidad de calor total transferida desde t = 0, hasta t = t, es: Q(t ) = t t (t ) dt = h t=0 C A (T 0 -T F ) e -Bi Fo dt = - h 0 C A (T 0 - T F ) ρ V c p h C A (1 - e-bi Fo ) = = h C A (T 0 - T F ) t 1 - e-bi Fo Bi Fo Como: Q 0 = ρ V c p ( T 0 - T F ) Q( t ) Q 0 = 1 - e - Bi Fo = Fracción de energía perdida La energía almacenada en el sólido en el intervalo (0 t) es la diferencia entre el calor en t = 0 y el ue ha salido hasta t, es decir: Q alm = Q 0 - Q(t ) = Q 0 e-bi Fo VI.4.- PARED QUE SE CALIENTA POR UNA CARA Y SE MANTIENE EN CONTACTO CON UN FLUIDO POR LA OTRA Supongamos una pared ue se calienta por una superficie, y se mantiene en contacto con un fluido Pr 1, a T F por la otra, Fig VI.15. Una parte del calor aplicado se almacena en la pared incrementando su temperatura, mientras ue el resto se evacúa al exterior por convección. Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-144

13 Un balance energético permite obtener: A = ρ V c p T = ρ L c P Φ Fig VI.15.- Sólido con (r.t.i.d.) con una superficie en contacto con un foco térmico y el resto con un fluido + A ( T - T F ) = Φ = T - T F = ρ V c P Φ + Φ, con: L = V, longitud característica A + A Φ Φ = - ρ L c p Φ + ρ L c p = ρ L c p = m ; ρ L c p = X = - m Φ + X dt = - m Φ + X t = Integrándola se obtiene el tiempo del transitorio: = - 1 Φ = Φ 0 - m Φ + X m ln (- m Φ + X ) + C = Para t = 0 C = 1 m ln (- m Φ 0 + X ) = 1 m ln - m Φ 0 + X - m Φ + X e mt = - m Φ 0 + X - m Φ + X La distribución de temperaturas Φ = T - T F, se obtiene en la forma: Φ = X m + (Φ 0 - X m ) e-mt = + (Φ t ρ L c ) e p = + (Φ Bi Fo ) e Para: T 0 = T F Φ 0 = T 0 - T F = 0, por lo ue: t = 1 m ln X - m Φ + X = ρ L c p h CF ln - Φ + Φ = (1 - e -Bi Fo ) Temperatura de euilibrio.- La temperatura de euilibrio se obtiene cuando todo el calor entrante se disipa por convección al fluido exterior, es decir, a partir de un cierto tiempo, (muy grande), el sólido no puede almacenar más energía y, por lo tanto, no incrementa su temperatura, llegándose al régimen estacionario. La temperatura de euilibrio se tiene para t, ó haciendo dt Φ = X m = = ( T pf - T F ) = 0, por lo ue: es decir, todo el calor A ue penetra por una cara sale por la otra por convección. Concción transitoria en sólidos semiinfinitos.vi.-145