Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

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1 Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr funciones de vrible y vlor complejos, ésts últims integrles de contorno. Se presentn tmbién lgunos resultdos importntes que relcionn los conceptos de nliticidd e integrción y que son muy útiles l hor de clculr integrles lo lrgo de curvs cerrds: el Teorem de uchy-gourst, l fórmul integrl de uchy y su generlizción.. Funciones de vrible rel y vlor complejo Definición. Se f un función de vrible rel y vlor complejo, es decir, f : S R t f(t) = u(t) + i v(t) donde u(t) y v(t) son funciones de vrible y vlor reles. L integrl de f(t) sobre un intervlo t b se define como: b f(t) dt = b u(t) dt + i b siempre y cundo ls dos últims integrles existn. v(t) dt ()

2 De l definición se sigue de inmedito que [ b Re [ b Im ] f(t) dt = ] f(t) dt = b b Re [f(t)] dt Im [f(t)] dt Propieddes Sen f y g funciones de vrible rel y vlor complejo integrbles en el intervlo [, b]. Entonces,. Si k es un constnte, entonces b [kf(t)] dt = k b f(t) dt.. b [f(t) + g(t)] dt = b f(t) dt + b g(t) dt. 3. Si c b, entonces b f(t) dt = c f(t) dt + b c f(t) dt. 4. b f(t) dt b f(t) dt. Ejemplo.. lcule ls siguientes integrles: ) (4 + it) dt. (4 + it) dt = = ( 6 + 6it 4t ) dt [ 6t + 8it 4 3 t3 ] = i. b) ( 4t + it 3) (t i) dt. ( 4t + it 3) (t i) dt = ( it 4 + 9t 3 4it ) dt = [ 5 it t4 4 3 it3 ] = i.

3 c) π [ e it + 3i cos(t) ] dt. π [ e it + 3i cos(t) ] dt =. Muestre que si m, n Z entonces Por csos: π Si m = n entonces π π e imθ e inθ dθ = e imθ e inθ dθ = Si m n entonces π e imθ e inθ dθ = = [ cos(t) + i sen(t) + 3i cos(t)] dt = [ sen(t) i cos(t) + 3i sen(t)] π = i ( i) = 4i. π π π {, si m n π, si m = n e imθ e imθ dθ = e i(m n)θ dθ π dθ = π. [cos(m n)θ + i sen(m n)θ] dθ [ ] sen(m n)θ cos(m n)θ π = i =. m n m n. Funciones de vrible y vlor complejos Ls integrles de funciones de vrible y vlor complejos se definen lo lrgo de curvs sobre el plno complejo, de mner nálog como se definen ls integrles de líne en vrible rel. Por tl rzón, ntes de definir ls integrles de contorno, primero se estudin lgunos conceptos relciondos con ls curvs en el plno. 3

4 .. urvs en el plno complejo Definición 3. Un conjunto de puntos z = (x, y) en el plno complejo es un rco si x = x(t), y = y(t), t b, con x(t) y y(t) funciones continus del prámetro rel t. A menudo se escribe : z = z(t) = x(t) + i y(t), t b, () pr hcer explícit l prmetrizción del rco. y(t) z() z(t) z(b) t b x(t) Definición 4. Se denomin rco simple o rco de Jordn un rco que no se cruz sí mismo. Si un curv es simple excepto porque z() = z(b), se dice que es un curv simple cerrd o un curv de Jordn Arco simple Arco no simple urv cerrd simple urv cerrd no simple Definición 5. Se dice que : z(t) = x(t) + i y(t), t b, es un rco diferencible o rco suve si ls componentes de z (t) = x (t) + i y (t) son continus en [, b]. En este cso, l función de vlor rel z (t) = [x (t)] + [y (t)] es integrble en [, b] y demás, l longitud de está dd por L = b z (t) dt. 4

5 Definición 6. Un contorno es un rco formdo por un número finito de rcos suves unidos. undo sólo los vlores inicil y finl coinciden, el contorno es cerrdo. Ejemplo 7. A continución se presentn lgunos contornos simples y su correspondiente prmetrizción.. z(t) = { t + it, t t + i, t + i + i es el rco formdo por dos segmentos de rect, uno v del origen + i, y el otro v de + i + i. Es un contorno pues es l unión de dos curvs suves.. z(t) = z + re it, con t π, corresponde l circunferenci centrd en z y con rdio r. lrmente es un contorno simple y cerrdo. En prticulr, z(t) = e it, t π, es l prmetrizción de l circunferenci unitri; mientrs que z(t) = e it, t π es l circunferenci unitri pero recorrid dos veces... Integrles de contorno Definición 8. Sen f un función de vrible y vlor complejos f : S z f(z) y : z(t) = x(t) + i y(t), t b, un contorno extendido desde z = z() hst z = z(b). Si f es continu trozos sobre, se define l integrl de line o integrl de contorno de f lo lrgo de como b f(z) dz = f [z(t)] z (t) dt (3) 5

6 En prticulr, si el contorno es cerrdo se us l notción f(z) dz = b f [z(t)] z (t) dt (4) Propieddes Sen, un contorno extendido desde z hst z y f, g funciones de vrible y vlor complejos integrbles lo lrgo de. Entonces,. Si k es un constnte, entonces [kf(z)] dz = k f(z) dz.. [f(z) + g(z)] dz = f(z) dz + g(z) dz. 3. Si se consider el contorno recorrido desde z hst z, denotdo como, entonces f(z) dz = f(z) dz. 4. Si = +, entonces f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz. Ejemplo 9. Evlúe ls siguientes integrles de contorno.. Re(z) dz, donde es el segmento de rect de + i orientdo positivmente. + i L prmetrizción de este segmento está dd por x(t) = t, y(t) = t, con t de donde, z(t) = t + i(t ), t z (t) = + i f [z(t)] = Re [t + i(t )] = t 6

7 . y de est form, Re(z) dz = = + i Re [z(t)] z (t) dt = t = 3 ( + i) t( + i) dt sen(z) dz donde es el segmento de rect desde i hst 4i orientdo positivmente. i 4i En este cso, l prmetrizción del segmento está dd por x(t) =, y(t) = t, con 4 t. Por lo tnto, z(t) = it, 4 t z (t) = i f [z(t)] = sen [(it)] = sen(it) = i senh(t), * 3. luego sen(z) dz = 4 = cosh(t) i senh(t) i dt = 4 = 4 senh(t) dt cosh() + cosh(8) f(z) dz, donde f(z) = y x 3ix y es el triángulo presentdo en l figur que sigue: * Recuerde que sen(iz) = i senh(z). 7

8 i + i 3 Ddo que = 3 entonces f(z) dz = f(z) dz f(z) dz f(z) dz 3 Se hce el nálisis pr cd curv: L prmetrizción de es y de quí se sigue: luego, f(z) dz = x(t) = t, y(t) = t, donde t z(t) = t + it z (t) = + i f [z(t)] = t t 3i(t ) = 3it L prmetrizción de es de donde entonces, f(z) dz = 3it ( + i) dt = 3i( + i) t3 3 x(t) = t, y(t) =, donde t, z(t) = t + i, t z (t) = f [z(t)] = t 3it ( t 3it ) dt = 8 = i [ ] t t 3it3 = 3 i

9 L prmetrizción de 3 es x(t) =, y(t) = t, donde t luego, z(t) = it, t z (t) = i f [z(t)] = t de donde, f(z) dz = 3 t i dt = i t = i 4. Por lo tnto, f(z) dz = i ( ) ( ) i i = i z dz, donde es l mitd derech de l circunferenci centrd en el origen de rdio. En este cso, por lo tnto, z(t) = e it, donde π t π z (t) = ie it f [z(t)] = z(t) = e it = e it = e it, z dz = π π π e it ie it dt = 4i dt = 4πi π 9

10 4 5. ze z dz, donde es l circunferenci centrd en 4 con rdio 3 positivmente orientd. L prmetrizción de l circunferenci está dd por z(t) = 4 + 3e it, con t π y de est mner, Por lo tnto, ze z dz = z (t) = 3ie it f(z(t)) = ( 4 + 3e it) e ( 4+3eit ). π ( 4 + 3e it ) e ( 4+3eit ) 3ie it dt = e ( 4+3eit ) π = ** [ e ( 4+3) e ( 4+3)] =. 6. Im(z) dz, donde es l circunferenci unitri positivmente orientd. omo se hbí visto ntes, l prmetrizción de está dd por z(t) = e it = cos t + i sen t, con t π. Entonces z (t) = sen t + i cos t f [z(t)] = Im (cos t + i sen t) = sen t ** Recuerde que e iπ = cos(π) + i sen(π) =.

11 y de quí Im(z) dz = = π π [ sen(t) = 4 sen t( sen t + i cos t) dt π sen t dt + i t + isen t sen t cos t dt ] π = π 3. El Teorem de uchy-gourst Este importnte y útil resultdo relcion los conceptos de nliticidd e integrbilidd de un función. Se : z(t) = x(t) + i y(t), t b, un contorno simple, cerrdo y positivmente orientdo. Supongmos demás que f es un función nlític sobre y en el interior de. Ddo que f(z) dz = b f [z(t)] z (t) dt, l tomr f(z) = u(x, y) + i v(x, y), el integrndo del ldo derecho es f [z(t)] z (t) dt = [u(x, y) + i v(x, y)] [ x (t) + i y (t) ] o de mner simplificd, = [ u(x, y)x (t) v(x, y)y (t) ] + i [ u(x, y)y (t) + v(x, y)x (t) ] f [z(t)] z (t) dt = (u dx v dy) + i (u dy + v dx).

12 Por lo tnto, f(z) dz = (u dx v dy) + i (v dx + u dy) = ( v x u y ) da + i (u x v y ) da R donde l últim iguldd se tiene en virtud del Teorem de Green. Además, como f es nlític se stisfcen ls ecuciones de uchy-riemnn, es decir, u x = v y y v x = u y, y de est mner f(z) dz =. Nótese que l orientción de l curv no import, y que f(z) dz = f(z) dz =. Teorem (Teorem de uchy-gourst). Sen un curv simple y cerrd, y f un función nlític sobre y en el interior de. Entonces f(z) dz = (5) Definición. Un dominio simplemente conexo D es un dominio tl que cd contorno cerrdo simple contenido en él encierr sólo puntos de D, en otrs plbrs, es un región que no tiene gujeros. Si un dominio no es simplemente conexo se denomin multiplemente conexo (con gujeros). R Dominio simplemente conexo Dominio multiplemente conexo orolrio (Principio de deformción). Sen y contornos positivmente orientdos, simples y cerrdos, donde es interior. Si un función f es nlític en l región que consiste en todos los puntos fuer de pero dentro de y sobre ls curvs, entonces f(z) dz = f(z) dz

13 Ejemplo 3. Evlúe l f(z) dz sobre l tryectori dd, orientd positivmente. Determine en qué csos es posible usr el Teorem de uchy- Gourst.. f(z) = z4 z y es l circunferenci z =. z = L función f es nlític en todo punto slvo en z =, pues llí el denomindor es cero. Sin embrgo, ddo que este punto está fuer de, se stisfcen ls hipótesis del Teorem de uchy-gourst y por ello: z 4 f(z) dz = dz =. z. f(z) = z sen z y es el cudrdo con vértices,, + i, i. i + i En este cso f es enter, en prticulr es nlític en el interior y sobre. Por lo tnto, en virtud del Teorem de uchy-gourst se sigue 3

14 que: 3. f(z) = sen f(z) dz = z sen z dz =. ( ) y es el circunferenci z + i =. z i L función f es nlític en todo punto slvo en z =. Sin embrgo, este punto está fuer de l curv. Por lo tnto, prtir del Teorem de uchy-gourst se puede concluir que ( ) f(z) dz = sen dz =. z 4. f(z) = z z + 4 z y es l circunferenci z 8 =. f es nlític 8 en todos los puntos excepto en z = ±, pero estos puntos están fuer de l circunferenci, entonces por el Teorem de uchy-gourst f(z) dz = z z + 4 z dz =. 5. f(z) = 3 y es l circunferenci z i =. (z i) Nótese que en este cso, l función f tiene un singulridd en z = i y este es precismente el centro de l circunferenci, por lo tnto no 4

15 i es posible usr el Teorem de uchy-gourst pr clculr l integrl y es necesrio hcer el cálculo prtir de l definición. omo entonces z(t) = i + e it, z (t) = ie it f [z(t)] = t π (i + e it i) = 8e 3it, π (z i) 3 dz = 8e 3it i eit dt = π 4 i e it dt = π 8 e it = ( e 4πi ) = 8 Nótese el hecho de que no se pued plicr el Teorem de uchy- Gourst no implic que f(z) dz. 4. L Fórmul Integrl de uchy El teorem que sigue y su posterior generlizción relcionn l evlución de un integrl de contorno cerrdo con ls derivds de un prte del integrndo. Teorem 4 (Fórmul Integrl de uchy). Se f un función nlític en el interior y sobre un contorno simple, cerrdo y positivmente orientdo. Si z es culquier punto interior, entonces f(z ) = πi f(z) z z dz (6) 5

16 z Se sigue de l fórmul integrl de uchy que si un función es nlític en un punto, entonces sus derivds de todos los órdenes existen en cd puntos y su vez son funciones nlítics. Además se pueden demostrr ls fórmuls f (z ) = f(z) πi dz (7) (z z ) f (z ) = f(z) πi 3 dz (8) (z z ) y en generl pr n =,,... f (n) (z ) = n! πi f(z) n+ dz (9) (z z ) Nótese que si se verificn ls condiciones del Teorem de l fórmul integrl de uchy, es posible clculr integrles de contorno cerrdo evlundo l derivd de l función f en el punto z y multiplicndo por un fctor decudo. Ejemplo 5. Evlúe l g(z) dz donde l curv está positivmente orientd.. g(z) = z3 dz y es el rectángulo con vértices 4+i, 4 i, 4+i, (z ) 4 i. i 4 z = 4 i Aquí f(z) = z 3 es un función enter y en prticulr nlític en el interior y sobre, y demás el punto z = es interior. Por lo 6

17 tnto de (9) con n =, teniendo en cuent que f (z) = 6z, se sigue que z 3 (z ) dz = πi f () = πi [ 6 ( )] = 48πi.. g(z) = ez z y es l circunferenci z = 3. z = En este cso f(z) = e z es enter, en prticulr es nlític en el interior y sobre, y demás el punto z = es interior. Por lo tnto, de (6) se sigue que e z z dz = πi f() = πi e. 3. g(z) = sen ( z ) y es culquier tryectori cerrd que encierr z z = 5 En este cso, f(z) = sen ( z ) es enter, en prticulr es nlític sobre y en el interior de, y z = 5 es interior pues est es l condición impuest l curv. Por lo tnto, de (6) se sigue que sen ( z ) dz = πi f( 5) = πi sen [ ( 5) ] = πi sen(5). z + 5 7

18 4. g(z) = i. cos(z i) y es culquier tryectori cerrd que encierr (z + i) 3 i Aquí se tiene que f(z) = cos(z i) es nlític en el interior y sobre (es un función enter), y demás z = i está en el interior de pues sí está dd. Entonces usndo (9) con n = y teniendo en cuent que f (z) = sen(z i), f (z) = cos(z i) se tiene que cos(z i) (z + i) 3 dz = πif ( i) = πi cos( i i) = πi cos(3i). Bibliogrfí [] R.V. hurchill, Vrible complej con plicciones, McGrw-Hill, New York. 99. [] Peter V. O Neil, Mtemátics vnzds pr ingenierí, Interntionl Thomson Editores, S.A. Quint Edición. 4. [3] W. Allen Smith, Elementry omplex Vribles, hrles E. Merrill Publishing ompny,

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