Prueba de Hipótesis: Una muestra para la Media. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2010

Transcripción

1 Prueba de Hipótesis: Una muestra para la Media Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2010

2 Objetivos de la Lección Conocer el signficado de una prueba de hipótesis Conocer y aplicar los pasos para realizar una prueba de hipótesis usando la distribución z y la distribución t.

3 Introducción En una prueba de hipótesis se realizan inferencias sobre la naturaleza de la población basándose en los resultados observados de una muestra (subconjunto de la población). Ejemplo: Un investigador desea probar su hipótesis que asevera que la población de estudiantes de sicología de primer año de tienen una puntuación media (μ) de 455 en el SAT Ejemplo continúa en próxima pantalla. Este ejemplo se continuará usando en esta lección.

4 Introducción El proceso de probar esta hipótesis involucra determinar la diferencia entre el valor de la población hipotetizado (μ) y el valor de la media obtenido en la muestra x del estudio. Si esta diferencia es muy grande, se rechaza la hipótesis nula. Si esta diferencia es muy pequeña, no se rechaza la hipótesis nula.

5 Introducción La prueba de hipótesis involucra determinar la magnitud de la diferencia entre un valor observado de la medida estadística aplicada en el estudio, en este caso la media x, y el valor hipotetizado del parámetro de la población (μ), y luego tomar una decisión respecto a si esta magnitud justifica el que se rechace la hipótesis nula del estudio.

6 Seleccionada Aleatoriamente Ejemplo de Proceso Prueba de Hipótesis Población: Valor hipotetizado μ = 455 No se rechaza Hipótesis Nula Cuál es la magnitud de la diferencia entre la estadística observada y el parámetro hipotetizado? Muestra: Valor observado x = 535 Se rechaza Hipótesis Nula

7 Introducción Los pasos para realizar este proceso son cuatro. En la lección a continuación se demuestra cada uno de los 4 pasos para probar una hipótesis. Este proceso es muy importante pues es el mismo que se aplica para probar otras medidas estadísticas aparte de la media.

8 Pasos a Seguir en una Prueba de Hipótesis

9 Paso #1-Establecer la hipótesis

10 Reflexión Una hipótesis es una conjetura sobre un fenómeno o un conjunto de hechos. Cuando se efectúa un estudio, la hipótesis provee el marco de referencia para la investigación y delínea el problema y las variables bajo estudio. El investigador selecciona una muestra aleatoria de la población y recopila información sobre la(s) variable(s) estudiada(s) de manera que pueda determinar si su hipótesis se sostiene.

11 Definición de Hipótesis Probar la hipótesis no significa que se comprueba o desaprueba la conjetura del investigador, sino que se apoya o refuta la posibilidad de que sea cierta, o sea, la sostenibilidad de la misma. Para la estadística inferencial, hipótesis significa: conjetura sobre uno o más parámetros poblacionales. La hipótesis que se pone a prueba es la hipótesis nula.

12 Definición de términos La hipótesis nula se representa con el símbolo: H 0 La hipótesis del investigador se llama la hipótesis alterna y se representa con el siguiente símbolo: H A La hipótesis nula es la que establece que no existe diferencia entre los tratamientos de los grupos o no existe relación entre las variables. Ejemplo: H0 : 455 ó H 0 : H : 455 ó H A : A

13 Reflexión La hipótesis nula se pone a prueba contra la hipótesis alterna. Tan pronto se determina la establece entonces la., se La H A incluye todos los demás resultados que no incluye H 0. En términos generales, aunque la H 0 especifica que no existe diferencia o no existe relación, el interés del investigador es que se rechace H 0 en favor de la. H 0 H A H A

14 Paso #2-Determinar el criterio para rechazar la hipótesis nula

15 Reflexión Después de establecer las hipótesis nula y alterna, el próximo paso es determinar cuán diferente debe ser del parámetro. Esto representará el criterio de rechazo/no rechazo de. H 0 Veamos tres conceptos importantes antes de demostrar el proceso que se efectúa en este paso: Tipos de errores en pruebas de hipótesis Nivel de significación Región de rechazo. x

16 Tipos de Errores en la Prueba de Hipótesis Cuando se decide rechazar o no rechazar H 0, hay cuatro posibles situaciones: Se rechaza una hipótesis que es cierta No se rechaza una hipótesis que es cierta No se rechaza una hipótesis que es falsa Se rechaza una hipotesis que es falsa

17 Tipos de Errores en la Prueba de Hipótesis Las situaciones anteriores se presentan en la tabla a continuación. Decisión Naturaleza de Hipótesis H es cierta es falsa 0 H0 Rechazar Error Tipo I Decisión Correcta H 0 H 0 No rechazar Decisión Correcta Error Tipo II Si la hipótesis es cierta y no se rechaza, se tomó la decisión correcta. Si la hipótesis es falsa y se rechaza, se tomó la decisión correcta. Si la hipótesis es falsa y no se rechaza, se comete un error Si la hipótesis es cierta y se rechaza, se comete un error

18 Cuál de los errores sería más serio cometerlo? Suponga que pacientes de una enfermedad maligna se asignan aleatoriamente a uno de dos grupos de tratamiento. A uno de los grupos se le administra un nuevo medicamento muy costoso y al otro se le administra el medicamento tradicional. La H 0 que se pone a prueba es que no existe diferencia entre los efectos de ambos tratamientos. Continúa en la próxima pantalla.

19 Cuál de los errores sería más serio cometerlo? Piense en las consecuencias de cometer los dos tipos de errores en el ejemplo anterior. Si el nuevo medicamento no es más efectivo que el tradicional, pero se rechaza la hipótesis (error tipo I), el nuevo medicamento comenzará a usarse siendo más costoso sin ser más efectivo. Si el nuevo medicamento es más efectivo que el tradicional, y no se rechaza la hipótesis (error tipo II), el nuevo medicamento no se usará, pero tampoco disfrutará de sus beneficios.

20 Cuáles serían las consecuencias? La consecuencia de cometer el error tipo I sería que los pacientes incurrirían en un costo adicional por el nuevo medicamento aunque este no sería más efectivo que el tradicional La consecuencia de cometer el error tipo II sería que los pacientes no incurrirían en gasto adicional por el nuevo medicamento, pero tampoco recibirían los beneficios contra la enfermedad.

21 Cuál de los errores sería más serio cometerlo? Ambos errores son serios y están sujetos al juicio individual. La situación específica dada en el estudio determinará cuál de los tipos de errores sería más serio cometerlo. La prueba de hipótesis se concentra en el error tipo I ya que el investigador aspira a rechazar la hipótesis nula para argumentar a favor de la hipótesis alterna.

22 Nivel de Significación Para determinar el criterio de rechazo de el investigador debe determinar el nivel de significación. El nivel de significación alfa se define como la probabilidad de cometer el error tipo I al probar una hipótesis nula. Los niveles de significación más comunes son 0.05 y En este caso, el investigador sabe que la decisión de rechazar la hipótesis nula podría ser incorrecta en un 5% ó 1%, respectivamente. H 0

23 Relación entre alfa y beta Para determinar la probabilidad de cometer el error tipo II, (no rechazar H 0 siendo falsa), no es tan fácil como con alfa. El error tipo II se conoce como (beta) y está relacionado al nivel de significación. Si otros factores se mantienen constantes, al aumentar de 0.5 a 0.10, decrece la probabilidad de cometer. Si se reduce de 0.5 a 0.01, aumenta.

24 Reflexión Cuando se va a determinar el nivel de significación, el investigador debe considerar cuidadosamente las posibilidades de cometer ambos errores. Si como consecuencia del estudio se harán cambios o gastos mayores, el investigador deseará reducir la probabilidad de cometer el error I posiblemente a 0.01 o menos (0.005 ó 0.001) - decisión más conservadora. En otras situaciones puede ser menos conservador aumentándolo a 0.10 o 0.20.

25 Región de Rechazo Después de determinar el nivel de significación alfa se determina la región de rechazo. La región de rechazo es la proporción del área bajo la curva de una distribución muestral que es equivalente a la probabilidad de cometer el error tipo I.

26 Ejemplo: H : 455 : H A En el ejemplo anterior, se sabe que la distribución del SAT se comporta como una distribución normal, por tanto, la distribución muestral que se usará es la distribución normal estándar. Además, se conoce la desviación estándar que es 100. Se desea probar la hipótesis con un alfa de 0.05.

27 Ejemplo: H : 455 : H A En la Tabla C.1, libro de Hinkle, (o E.2B provista por la profesora) de la curva normal estándar, bajo la columna de Area Beyond Z, se busca el valor de z donde se concentra una proporción o área de 0.05 (para una 0.05 cola) o de (para dos 2 colas). Antes de mostrar cómo se determina la región de rechazo para este ejemplo, debemos explicar el concepto dos colas y una cola.

28 Reflexión Cuando se considera la hipótesis alterna no direccional como en este ejemplo ( H A : 455), la región de rechazo es de dos colas, ya que no hay una dirección específica en la curva normal. Cuando se considera la hipótesis alterna direccional como se presentará más adelante, ( H A : 455) ó ( H A : 455), la región de rechazo es de una cola ya que la dirección en la curva normal es hacia el extremo izquierdo o hacia el extremo derecho.

29 Ejemplo: H : 455 : H A α/2=0.025 α/2= Según la Tabla C.1, para dos colas, la proporción de se concentra en un z = ±1.96 La región de rechazo se ilustra en color rojo.

30 Reflexión α/2=0.025 α/2= La región de rechazo (sombreada en color rojo) representa el área bajo la curva donde los valores que pudieran aparecer son inusuales o poco probables si la hipotesis nula fuera cierta. La región que no está sombreada representa la región de no rechazo ya que representa valores que son más probables que aparezcan si la hipótesis nula fuera

31 Reflexión α/2=0.025 α/2= Los valores de la muestra que caen en los puntos z correspondientes a la zona que demarca la región de rechazo (en este caso los que corresponden a un z = ± 1.96) se llaman los valores críticos.

32 Reflexión α/2=0.025 α/2= H Si asumimos que es cierta, entonces la región de rechazo reflejará valores de la media muestral que son: z 1.96 y z 1. 96

33 Reflexión H 0 Rechazar significa que la diferencia entre la media observada x y la media hipotetizada es muy grande como para atribuirla solo a la casualidad, o sea, a fluctuaciones casuales de la media. Sin embargo, hay una pequeña posibilidad de que la diferncia se deba a la casualidad y, al rechazar H 0, podemos cometer el error tipo I. Como la probabilidad de que ocurra alfa es de 0.05, decidimos que por 1 de cada 20 (0.05), vale la pena tomarse el riesgo y sostenerse en la decisión. El resultado, entonces, es que la media muestral x es significativamente diferente de la media hipotetizada a un nivel de significación de 0.05.

34 Reflexión Cuando la media muestral x es significativamente diferente de la media hipotetizada se dice que la diferencia fue significativa. Cuidado: Cuando se rechaza la H 0, no es correcto concluir que la probabilidad de que sea falsa es de Si fallamos en rechazar la, no es correcto concluir que la probabilidad de que H 0 sea cierta es de Se alerta a no concluir estas aseveraciones incorrectas sobre la probabilidad ya que podría provocar que se establecieran conclusiones erróneas. H 0 H 0

35 Paso #3-Calcular la prueba de la medida estadística

36 Determinar la prueba de la medida estadística Después de determinar las hipótesis y establecer el criterio para rechazar la hipótesis nula, el próximo paso es determinar la medida estadística que se pone a prueba. En este caso, la medida estadística que se pone a prueba es la media aritmética de la muestra.

37 Ejemplo: En el ejemplo que se ha trabajado en esta lección tenemos lo sguiente: La media hipotetizada de la población es 455. La media observada de la muestra es 535. La desviación estándar de la población es 100. (Esta es la desviación que corresponde a la prueba de SAT.) El tamaño de n de esta muestra es 144. Para calcular la prueba de la media se necesita convertir a una puntuación z usando la fórmula a continuación: z x x x

38 Reflexión: Observe que en la fórmula anterior se determina cuán diferente la media de la muestra x es de la media poblacional, esto es, el número de unidades de desviaciones estándar que la x media observada de la muestra se desvía de la media hipotetizada de la población. Mediante esta fórmula se determina la diferencia entre ambas medias en términos de la distribución z. Para determinar el error estándar de la media se aplica la siguiente fórmula: z x x x x n

39 Continuación de Ejemplo: Para determinar la prueba de la media, determinamos primero el error estándar de la media x: Ahora, podemos hallar z: z x x x n n x

40 Reflexión: El valor obtenido de z = 9.60 es el paso que se conoce como el paso #3 de calcular la prueba de la medida estadística, que en este caso fue la media. Este valor se utilizará en el próximo paso #4 sobre decidir el rechazo o no rechazo de la hipótesis nula.

41 Paso #4-Decidir sobre el rechazo/no rechazo de la hipótesis nula

42 Decidir sobre el rechazo o no rechazo de H 0 En el paso anterior se obtuvo un z = Ahora hay que determinar si este valor encontrado cae en la región de rechazo o en la de no rechazo.

43 Decidir sobre el rechazo o no rechazo de H 0 α/2=0.025 α/2= En el paso anterior se obtuvo un z = Ahora hay que determinar si este valor encontrado cae en la región de rechazo o en la de no rechazo cae en la región de rechazo ya que excede el valor crítico de z =

44 Significado de los resultados encontrados Como excede el valor crítico de +1.96, la probabilidad de que la media observada x 535 haya ocurrido por casualidad, si la hipótesis nula es cierta 455, es menor que Esto se escribe en símbolos matemáticos de la siguiente manera: p < 0.05.

45 Significado de los resultados encontrados Los resultados obtenidos muestran que la media de la muestra x 535 observada es significativamente diferente de la media poblacional hipotetizada 455 a un nivel de significación de Por tanto, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que la media poblacional del SAT no es igual a 455.

46 Significado de los resultados encontrados Al rechazar la hipótesis nula estamos diciendo que la diferencia entre la media observada en la muestra y la media poblacional hipotetizada es tan grande que no puede atribuirse a las fluctuaciones casuales de la muestra.

47 Otro ejemplo: Suponga que en el mismo ejemplo anterior se hubiera observado una media de 465 en vez de 535. Al calcular la prueba de la media obtendríamos lo siguiente: z x x

48 Reflexión α/2=0.025 α/2= En este caso un z = cae en la zona de no rechazo ya que la prueba de la media no excede el valor crítico. Esto significa que la media observada de 465 no es suficientemente diferente de la media hipotetizada.

49 Reflexión Si la media observada no es suficientemente diferente de la media hipotetizada, entonces podemos atribuir las diferencias no significativas al error de muestreo, o sea a la casualidad, a las fluctuaciones casuales de la muestra. En este caso la probabilidad de que la media muestral de 465 aparezca por casualidad es mayor que 0.05, o sea, p > Observe que en estas expresiones matemáticas de probabilidad no estamos diciendo que la probabilidad es de 0.05, sino que decimos que es mayor o menor que 0.05.

50 Hipótesis Direccional

51 Introducción En el ejemplo del SAT anterior se probó la hipótesis nula que decía: H 0 : 455 La hipótesis alterna de este ejemplo era no-direccional ya que no establecía una dirección particular,o sea, ni menor ni mayor que un valor dado: H A : 455

52 Introducción Suponga que el investigador tiene información sobre la variable que puede anticipar una dirección específica, o suponga que el investigador está interesado en probar una sola dirección de los resultados. En este caso, la hipótesis alterna del investigador sería direccional, por ejemplo: H A : 455

53 Hipótesis Alterna Direccional Una hipótesis alterna direccional es aquella que establece que el parámetro es mayor que, o menor que, un valor hipotetizado. En este caso se pone a prueba la hipótesis nula contra la hipótesis alterna direccional: H 0 H A : :

54 Hipótesis Nula de una Alterna Direccional Algunos autores establecen que la hipótesis nula para una hipótesis alterna direccional debe cubrir todas las posibilidades, es por esto que la escribirían de la siguiente manera: H 0 : 455 : 455 H A Sin embargo, aún escribiendo la hipótesis nula de la manera anterior, la hipótesis que se prueba es siempre H 0 : 455 ya que se usa el valor 455 como la media de la distribución muestral.

55 Prueba de Una Cola Cuando la hipótesis alterna es direccional la prueba de hipótesis se llama de una cola, porque se busca en la zona de rechazo una sola cola de la curva de la distribución de z. Los procedimientos para una prueba de hipótesis de una cola son esencialmente los mismos que para dos colas (no-direccional), excepto en que los valores críticos difieren.

56 Ejemplo: Si se prueba la hipótesis direccional a un alfa (α) de 0.05, cuando se va a buscar en la Tabla C.1 (o E.2B) se busca el valor de z cuya proporción total es En este caso, está entre dos valores: Puntuación z Área = Está entre medio de ambas Esto significa que el z deseado está en el punto medio de ambas puntuaciones, o sea, Recordamos cómo se obtiene el punto medio: Observe que el valor crítico de z cambia a cuando la hipótesis es direccional con α = 0.05

57 Prueba de una cola: H 0 : 455 H A : Si el ejemplo del SAT anterior fuera direccional con la hipótesis alterna hipotetizando que la media poblacional es mayor que 455, la zona de rechazo con un alfa de 0.05 sería la parte sombreada en rojo: α =

58 Prueba de una cola: α = Al calcular la prueba de la media para una media muestral observada de 535, tenemos: z x x Como 9.60 cae en la zona de rechazo tendríamos que rechazar la hipótesis nula de este estudio.

59 Reflexión H 0 H A Si rechazamos la hipótesis nula de este ejemplo, entonces se apoya la hipótesis alterna del investigador. Podríamos decir que: : 455 H A La probabilidad de que la media observada haya ocurrido por casualidad, si la hipótesis nula es cierta, es menor que 0.05 (p < 0.05). : :

60 Valores Críticos más usados

61 Valores críticos más usados La tabla a continuación muestra los valores críticos más usados en las ciencias sociales y la educación: Valores Críticos de la Prueba Estadística, Usando la Distribución Normal como Distribución Muestral Nivel de Significación Dos Colas Nivel de Significación Una Cola Valor Crítico de la Prueba Estadística

62 Prueba de Hipótesis cuando se desconoce la Varianza de la Población

63 Introducción Cuando en un estudio se conoce la varianza 2 de la población (o la desviación estándar), se puede utilizar la Distribución Normal (Distribución de z) como distribución muestral como se hizo en el ejemplo del SAT anterior. Cuando se conoce la varianza, la distribución de la media tiende a asemejarse a la distribución normal, el valor hipotetizado de la media poblacional es μ y la desviación estándar (error estándar de la media) es igual a. n

64 Introducción Usualmente en un estudio no se conoce la varianza (ni la desviación estándar) de la población. En este caso, el investigador tiene que estimar la desviación estándar de la población usando la desviación estándar de la muestra s. También, se usa s para estimar el error estándar de la media (desviación estándar de la distribución muestral de la media). El error estándar de la media se calcula de la siguiente manera: s x s n

65 Distribución de t Cuando no se conoce la varianza de la población se usa la Distribución Student s t en vez de la Distribución Normal. La Distribución de t, como popularmente se conoce, fue creada por William Gosset en el siglo 20 quien la publicó en un libro usando el seudónimo de Student. La distribución de t es tan conocida como la Normal, es simétrica con forma de campana y usa la media como valor central de la distribución. La media es 0 y la desviación estándar es 1. La distribución de t es una familia de distribuciones similar a la Normal.

66 Distribución de t La distribución de t cambia según va cambiando el tamaño de la muestra n. Hay una distribución de t específica para cada tamaño de n. La distribución de t está fundamentada en el concepto de grados de libertad (df). El número de grados de libertad es un concepto matemático que expresa el número de observaciones menos el número de restricciones que se tengan sobre las variables. Cuando se calculan los grados de libertad de una muestra se usa la siguiente fórmula: df = n - 1

67 Distribución de t Cuando se aplica la distribución de t en un estudio se utiliza la tabla que ilustra esta distribución. En este caso, se utilizará la Tabla C.3 (libro de Hinkle). En esta distribución la media es 0 y la desviación estándar es 1. La Tabla C.3 ilustra los valores críticos de la distribución de t según el nivel de significación deseado para una y dos colas, y los grados de libertad indicados, según el tamaño de la muestra.

68 Ejemplo para aplicar prueba de t Suponga que a un director atlético de una universidad se le pide que investigue el reclamo general que asegura que los atletas no están ejecutando bien académicamente en comparación con los demás estudiantes que no son atletas. Para esto, decide recopilar la información sobre los índices académicos (GPA) de una muestra de 20 atletas. (El índice mínimo general de la universidad es 2.50) Continúa en la próxima pantalla.

69 Ejemplo para aplicar prueba de t Los resultados se muestran a continuación: GPA de muestra de 20 atletas Continúa en la próxima pantalla.

70 Ejemplo para aplicar prueba de t El director atlético calcula la media, y desviación estándar de esta muestra y obtiene lo siguiente: s 2 x 2 n x 1 x n s x n Ahora, el director atlético tiene la información que necesita para probar la hipótesis generalizada sobre los atletas. 2

71 Paso #1: Establecer las hipótesis Como el reclamo general es que los estudiantes atletas ejecutan menor que los demás estudiantes, la hipótesis nula y la hipótesis alterna son: H 0 H A : :

72 Paso #2: Establecer criterio de rechazo Para determinar este criterio se determinan primero tres cosas: Nivel de significación Naturaleza de la hipótesis alterna Naturaleza de la distribución muestral a utilizar Grados de libertad El nivel de significación para este ejemplo será Se probará la hipótesis nula contra una hipótesis alterna direccional (una cola). Se utilizará la distribución de t como distribución muestral (se desconoce la varianza de la población). Como n es 20 los grados de libertad son: df = n 1 = 20 1 = 19

73 Paso #2: Establecer criterio de rechazo Ahora se busca en la Tabla C.3 y se obtiene que el valor crítico de t es Como el valor hipotetizado es menor que la media, el valor crítico deseado es , o sea, en el extremo a la izquierda de la curva La región de rechazo es la siguiente en color rojo: α =

74 Paso #3: Calcular la prueba estadística Para calcular la prueba estadística en una distribución de t se usa la siguiente fórmula: t x s x Para aplicar esta fórmula se necesita calcular primero. s x s x s n Anteriormente se había calculado s = En este ejemplo n = 20.

75 Paso #3: Calcular la prueba estadística Ahora se puede calcular t: t x s x Anteriormente se había calculado la media. La media es igual a 2.45 El valor de t hallado representa el número de errores estándar bajo el valor hipotetizado de la media poblacional (2.50) donde se encuentra la media de la muestra observada de 2.45.

76 Paso #4: Decidir sobre el rechazo/no rechazo de la hipótesis nula α = Como el valor de t encontrado de cae en la zona de no-rechazo, no se rechaza la hipótesis nula.

77 Paso #4: Decidir sobre el rechazo/no rechazo de la hipótesis nula α = La probabilidad que la media observada de 2.45 haya ocurrido por casualidad si la hipótesis nula es cierta, es mayor que 0.05 (p > 0.05).

78 Paso #4: Decidir sobre el rechazo/no rechazo de la hipótesis nula α = La diferencia entre la media muestral y la media poblacional hipotetizada no es suficiente como para atribuirlo a cualqueir otra cosa que no sea el error de muestreo.

79 Reflexiones Finales

80 Significancia Estadística Qué significa que un resultado sea estadísticamente significativo? Técnicamente, significa que la diferencia entre el parámetro poblacional hipotetizado y la correspondiente medida estadística observada en la muestra es estadísticamente significativa si la probabilidad de la diferencia ocurrida por casualidad es menos que el nivel de significación alfa (α).

81 Significancia Estadística Pero, cuán grande debe ser esta diferencia? Esto dependerá del alfa que se seleccione. Hay que recordar el margen de error que se decide tomar en alfa y beta para cometer los errores tipo I y tipo II. También, se debe considerar el tamaño de n para obtener mayor precisión estadística. Conforme n aumenta, el error disminuye y la precisión estadística aumenta.

82 Significancia Estadística En términos prácticos, Que diferencia debe ser consideranda grande como para generar acciones correctivas? Por ejemplo, qué se puede hacer con los estudiantes atletas para ayudar a que aumenten su promedio? Esta pregunta no se puede contestar claramente con estadística. La estadística inferencial es una herramienta que ayuda a tomar decisiones. No es sustituto del conocimiento ni de su interpretación sobre el contexto de un problema.

83 Significancia Estadística El problema se debe estudiar con un conocimiento profundo del contexto y un conocimiento profundo de la investigación de las variables bajo estudio.

84 Fin de la Lección

85 Referencia Hinkle, D., Wiersma, W., Jurs, S. (2003). Applied statistics for the behavioral sciences. Houghton Mifflin: Boston.