Elementos Isoparamétricos Introducción: el triángulo de deformación

Transcripción

1 Capítulo Elementos Isoparamétricos.1. Introducción: el triángulo de deformación constante Como introducción a la formulación de los elementos isoparamétricos en este apartado se analiza el triángulo de nodos, utilizando funciones de interpolación lineales, con aplicación al problema de tensión plana descrito en el apartado.9.1. La motivación es que debido a la sencillez de la formulación de este elemento se pueden obtener de manera exacta la matriz de rigidez y el vector de fuerzas elementales, sin necesidad de integrar numéricamente. Este elemento se denomina triángulo lineal, y en las aplicaciones de Mecánica de Sólidos triángulo de deformación constante o simplemente elemento CST (acrónimo de Constant Strain Triangle ). Este fue uno de los primeros elementos finitos que se desarrollaron, presentado en el artículo histórico de Turner y coautores [18]. Aunque su respuesta en problemas estructurales es relativamente deficiente, sigue siendo muy utilizado en aplicaciones no estructurales Coordenadas cartesianas y triangulares La geometría del elemento CST queda definida por las coordenadas cartesianas de sus nodos (ver figura.1). Los nodos se numerarán en sentido antihorario con tres números que en este ejemplo son el 1, y. Este elemento tiene 6 grados de libertad, que corresponden a las dos componentes del vector desplazamiento de cada nodo, que las denominaremos {d e xi, d e yi} i=1,...,. El área del triángulo viene dada por: A e = x e 1 x e x e y1 e y e y e = xe y e x e y e + x e y1 e x e 1y e + x e 1y e x e y1 e (.1) Observación. El signo del determinante en (.1) depende del orden de la numeración de los nodos del elemento. Si se numeran en sentido antihora-

2 8 Elementos Isoparamétricos y (x,y ) O 1(x 1,y 1 ) (x,y ) Figura.1: Triángulo CST. Geometría rio el determinante es positivo, siendo este el criterio que se seguirá en lo sucesivo. Cualquier punto P del triángulo se puede definir mediante tres parámetros ξ 1, ξ, ξ que se denominan coordenadas triangulares del punto P. Las ecuaciones: ξ i = constante (.) representan las familias de rectas paralelas al lado opuesto del nodo i (ver figura.). Por ejemplo, el lado 1 tiene por ecuación ξ = 0, mientras que las coordenadas triangulares del nodo son ξ 1 = 0, ξ = 1, ξ = 0, y las coordenadas del punto medio del lado son ξ 1 = 0, ξ = 1/, ξ = 1/. Las coordenadas triangulares no son independientes dado que han de verificar: ξ 1 = 0 ξ 1 = 1/ ξ = 0 x ξ 1 + ξ + ξ = 1 (.) ξ = 1/ Figura.: Coordenadas triangulares.1.. Funciones de interpolación ξ = / ξ = 0 Una función lineal f(x, y) definida en el triángulo de deformación constante se expresa: f(x, y) = a 0 + a 1 x + a y (.) siendo a 0, a 1 y a constantes que se obtienen a partir de tres valores conocidos de f(x, y). En el contexto de los elementos finitos estos tres valores suelen ser

3 Introducción: el triángulo de deformación constante 85 los valores de la función en los tres nodos que denominaremos f 1, f y f. En consecuencia, las constantes a 0, a 1 y a se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones: f 1 = a 0 + a 1 x e 1 + a y e 1 (.5) f = a 0 + a 1 x e + a y e (.6) f = a 0 + a 1 x e + a y e (.7) Todo esto se simplifica si hacemos uso de las coordenadas triangulares ya que la función f(x, y) se expresa directamente en función de los valores nodales: f(ξ 1, ξ, ξ ) = ξ 1 f 1 + ξ f + ξ f = ξ 1 ξ f 1 ξ f 1 = N f (.8).1.. Cambio de coordenadas Los desplazamientos, deformaciones, tensiones, etc. generalmente se expresan en coordenadas cartesianas, aunque las interpolaciones sea conveniente expresarlas en coordenadas triangulares. En consecuencia es interesante conocer la relación entre coordenadas cartesianas y triangulares. Para ello se aplica la interpolación (.8) a las coordenadas x e y, junto con la relación (.): x x e y = 1 x e x e ξ 1 y1 e y e y e ξ (.9) e invirtiendo: ξ 1 ξ = 1 y e y e x e x e x e y e x e y e x y e A ξ e y1 e x e 1 x e x e y1 e x e 1y e y y1 e y e x e x e 1 x e 1y e x e y1 e 1 ξ f (.10) donde A e es el área del triángulo, expresada en (.1) en función de las coordenadas nodales..1.. Derivada de una función Para derivar una función expresada en coordenadas triangulares g = g(ξ 1, ξ, ξ ) respecto de las coordenadas cartesianas aplicamos la regla de la cadena: g x = g ξ 1 ξ 1 x + g ξ ξ x + g ξ ξ x g = g ξ 1 ξ 1 + g ξ ξ + g ξ ξ (.11) (.1)

4 86 Elementos Isoparamétricos Las derivadas de las coordenadas triangulares ξ i respecto de las coordenadas cartesianas se obtienen a partir de (.10): ξ i x = 1 A e (ye j yk) e (.1) ξ i = 1 A e (xe k x e j) (.1) siendo j, k las permutaciones cíclicas de orden del índice i. En consecuencia: g x = 1 ( g (y A e e y ξ ) e + g (y e y 1 ξ 1) e + g ) (y e y e ξ 1) (.15) g = 1 ( g (x e A e x e ξ ) + g (x e 1 x e 1 ξ ) + g ) (x e x e ξ 1) (.16) que se puede expresar en forma matricial: { g x g } = 1 ( ) y e y e y e y1 e y1 e y e A e x e x e x e 1 x e x e x e Interpolación del campo de desplazamientos g ξ 1 g ξ g ξ (.17) El campo de desplazamientos en un puntos genérico del triángulo se interpolan a partir de los desplazamientos nodales con la expresión (.8) obteniéndose: u x = d e x1ξ 1 + d e xξ + d e xξ (.18) u y = d e y1ξ 1 + d e yξ + d e yξ (.19) En consecuencia, la expresión del campo de desplazamientos se relaciona matricialmente con los desplazamientos nodales mediante la matriz de funciones de forma N: { ux u y } ( ) ξ1 0 ξ = 0 ξ 0 0 ξ 1 0 ξ 0 ξ d e x1 d e y1 d e x d e y d e x d e y ( ) N1 0 N = 0 N 0 0 N 1 0 N 0 N d e x1 d e y1 d e x d e y d e x d e y = Nd e (.0)

5 Introducción: el triángulo de deformación constante Relación desplazamientos-deformaciones Las deformaciones en el elemento, de acuerdo con las relaciones (.1), se obtienen derivando los desplazamientos respecto de las coordenadas cartesianas: ε xx ε yy ε xy = = 0 x 0 x 0 x 0 x { ux u y } ( ) ξ1 0 ξ 0 ξ 0 0 ξ 1 0 ξ 0 ξ d e x1 d e y1 d e x d e y d e x d e y = 1 y e y e 0 y e y1 e 0 y1 e y e 0 0 x e A e x e 0 x e 1 x e 0 x e x e 1 x e x e y e y e x e 1 x e y e y1 e x e x e 1 y1 e y e.1.7. Relación tensiones-deformaciones d e x1 d e y1 d e x d e y d e x d e y = Bd e (.1) La relación entre el campo de tensiones y el campo de deformaciones, para el caso elástico lineal en tensión plana, que consideramos en este desarrollo está expresado en (.10). La matriz constitutiva C se supondrá constante en el elemento. En consecuencia, como las deformaciones son constantes en el elemento, las tensiones también lo serán Matriz de rigidez Como se vio en la expresión (.81) la matriz de rigidez elemental se expresa: k e = B T CBdΩ = B T CBhdA (.) Ω e Ω e siendo da el elemento de área infinitesimal y h el espesor. Como en el elemento CST la matriz de interpolación de deformaciones B es constante, si suponemos que además h y C son igualmente constantes, la matriz de rigidez

6 88 Elementos Isoparamétricos se expresa de forma cerrada: k e = A e h e B T CB y e y e 0 x e x e y 0 x e x e y e y e e y e 0 x e x e T 0 x e y e y1 e 0 x e 1 x e x e y e y e A e 0 x e 1 x e y e y1 e C y e y1 e 0 x e 1 x e 0 x e y1 e y e 0 x e x e 1 x e y e y e 1 1 y e 0 x e x e 1 y1 e y e 1 y e 0 x e x e 1 0 x e x e 1 y1 e y e (.) = he siendo: C = E 1 ν 0 ν ν ν (.).1.9. Vector de fuerzas nodales consistentes De acuerdo con la expresión (.8), al vector de fuerzas nodales contribuyen las fuerzas volumétricas, las tensiones impuestas y los desplazamientos impuestos. La contribución de los desplazamientos impuestos se obtiene directamente mediante el producto de los términos de rigidez por dichos desplazamientos, dedicando un ejercicio del final del capítulo a esta cuestión. A continuación se obtienen las expresiones correspondientes a las fuerzas volumétricas y a las tensiones impuestas. Fuerzas volumétricas Llamando: y sustituyendo en el primer sumando de (.8): f e vol = N T bdω = Ω e b T = b x, b y (.5) Ω e h ξ ξ 1 ξ 0 0 ξ ξ 0 0 ξ { bx b y } da (.6) Supondremos por sencillez que h es constante en el elemento y que las componentes de b son igualmente constantes. Teniendo en cuenta el siguiente resultado: ξ 1 da = ξ 1 Jdξ 1 dξ = J Ω e Ω e 1 0 ξ 1 dξ 1 1 ξ1 0 dξ = J 6 = Ae (.7)

7 Introducción: el triángulo de deformación constante 89 y análogamente: Ω e ξ da = Ωe ξ da = Ae (.8) donde J es el jacobiano de la transformación de coordenadas: J = (x, y) (ξ 1, ξ ) = x e 1 x e x e x e y1 e y e y e y e = Ae 1/ = Ae (.9) resulta: f e vol = he A e b e x b e y b e x b e y b e x b e y (.0) Observación. El reparto efectuado asigna a cada nodo en (.0) la tercera parte de la fuerza resultante en el elemento. Tensiones en los lados En el elemento de la figura. el lado 1 tiene una carga repartida que varía linealmente. O y 1 t e 1 Figura.: Elemento CST con carga repartida en un lado El segundo sumando de (.8) se expresa en forma matricial: f e t = N T tdγ (.1) tω x t e Las componentes según los ejes x e y del vector de tensiones impuestas se interpolan en el lado 1, pudiéndose expresar: t x = t e x1(1 ξ ) + t e xξ (.) t y = t e y1(1 ξ ) + t e yξ (.)

8 90 Elementos Isoparamétricos Particularizando para el lado 1 (ξ = 0), si expresamos los puntos de este lado en función de su coordenada ξ : resulta: x = x e 1(1 ξ ) + x e ξ (.) dγ = dγ dx dξ = 1 dx dξ cos α (xe x e 1)dξ = l1dξ e (.5) donde l1 e es la longitud del lado 1. Sustituyendo estos resultados en (.1) se obtiene: (1 ξ ) t e x1 + (1 ξ )ξ t e 1 x (1 ξ ) t e y1 + (1 ξ )ξ t e te x te x 1 y f e t = h ξ (1 ξ )t e x1 + ξt e te y te y x Ω e ξ (1 ξ )t e y1 + ξt e l1dξ e = l1 e 1 6 te x1 + 1 te x 1 y 6 0 te y1 + 1 te y (.6).. Elementos cuadriláteros: coordenadas isoparamétricas Al igual que en el apartado.1.1 se han introducido las coordenadas triangulares como las más adecuadas para la formulación de elementos triangulares, ahora es necesario introducir un sistema de coordenadas adecuado para la formulación de elementos cuadriláteros. Las coordenadas naturales o isoparamétricas {ξ, η} que adoptaremos para la formulación de elementos cuadriláteros se muestran en la figura.. η η = 1 ξ = 1 η = 1 ξ ξ = 1 η = 1 ξ = 1 η η = 1 ξ ξ = 1 Figura.: Coordenadas naturales para los elementos cuadriláteros Las coordenadas {ξ, η} varían entre 1 y 1 de un lado a otro del cuadrilátero, tomando valor nulo en las líneas isoparamétricas que unen los puntos medios de lados opuestos.

9 Elementos cuadriláteros: coordenadas isoparamétricas 91 Es bastante habitual representar los elementos cuadriláteros en un sistema cartesiano de coordenadas ξ y η, denominado espacio de referencia, en el que todos los elementos se representan como cuadrados de lado (ver figura.5). 7 8 y 1 x η Figura.5: Transformación de un cuadrilátero al espacio de referencia La transformación entre las coordenadas geométricas y las coordenadas naturales viene dada por la transformación isoparamétrica: n en x(ξ, η) = x e AN A (ξ, η) (.7) n en y(ξ, η) = yan e A (ξ, η) (.8)..1. Ejemplo: el cuadrilátero bilineal El cuadrilátero isoparamétrico más simple tiene cuatro nodos (ver figura.6) y se denomina cuadrilátero bilineal. η ( 1, 1) (1, 1) ξ 1 ( 1, 1) (1, 1) 6 ξ Figura.6: Cuadrilátero bilineal.

10 9 Elementos Isoparamétricos La representación isoparamétrica de este elemento es: x x e 1 x e x e x e N 1 y = y1 e y e y e y e N 1 u x d e x1 d e x d e x d e N x u y d e y1 d e y d e y d e N y siendo la expresión de las funciones de forma: (.9) N 1 (ξ, η) = 1 (1 ξ)(1 η) (.0) N (ξ, η) = 1 (1 + ξ)(1 η) (.1) N (ξ, η) = 1 (1 + ξ)(1 + η) (.) N (ξ, η) = 1 (1 ξ)(1 + η) (.).. Requisitos de convergencia..1. Introducción Desde el punto de vista práctico la convergencia del Método de los Elementos Finitos implica que según se va refinando la malla, la solución obtenida se aproxima a la solución exacta del modelo matemático que se desea resolver. Los requisitos de convergencia se pueden dividir en tres categorías: Complitud: Este requisito supone que las funciones de interpolación utilizadas tienen riqueza suficiente para capturar la solución exacta en el límite del refinamiento en el que el tamaño del elemento se aproxima a 0. Compatibilidad: Este requisito exige que las funciones de forma permitan obtener una solución aproximada que tenga la continuidad exigida entre los elementos de la malla que son adyacentes. Estabilidad: Con este requisito se garantiza que las ecuaciones de elementos finitos están bien planteadas, teniendo las mismas propiedades de unicidad que la solución exacta del problema que se modeliza. Los requisitos de complitud y compatibilidad corresponden a la denominada consistencia entre los modelos continuo y discreto; una formulación de elementos finitos que satisface las condiciones de complitud y compatibilidad se dice que es consistente. Se puede demostrar, aunque se sale del alcance de este texto, que la condición de complitud es necesaria para la convergencia, pero no la compatibilidad y la estabilidad. No obstante si se satisfacen los tres requisitos queda garantizada la convergencia del Método de Elementos Finitos (este es el equivalente del teorema de Lax Wendroff de diferencias finitas).

11 Requisitos de convergencia 9... Requisitos de consistencia Los requisitos de consistencia (complitud y compatibilidad) aplican a la expresión de las funciones de forma y se establecen en términos del índice variacional. El índice variacional Como se ha descrito en capítulos anteriores el Método de Elementos Finitos está basado en la solución aproximada de la formulación débil del problema de contorno en cuestión. El índice variacional m es el orden de la mayor derivada de la variable primaria (desplazamiento, temperatura, etc.) que aparece en dicha formulación débil. Ejemplo.1. En el modelo de barras articuladas descrito en el capítulo 1, la derivada de orden más alto en la formulación débil expresada en (1.55) es una derivada primera. En consecuencia el índice variacional es m = 1. Ejemplo.. En el modelo de vigas de Euler Bernoulli que se estudiará en el capítulo 7, en la formulación débil del problema intervienen derivadas segundas del campo primario (desplazamientos), que corresponden a las curvaturas. Por tanto para este modelo el índice variacional es m =. Complitud En un problema cuyo índice variacional es m, con las funciones de forma definidas en un elemento debe poder expresarse de forma exacta cualquier polinomio de orden menor o igual que m. Este requisito aplica a nivel del elemento. Ejemplo.. En un problema de elasticidad el índice variacional es m = 1. En consecuencia, en dos dimensiones, el requisito de complitud exige que el polinomio: u(x, y) = a 0 + a 1 x + a y (.) se pueda expresar de forma exacta con las funciones de forma del elemento para cualquier valor de los coeficientes a 0, a 1 y a. En consecuencia u(x, y) debe poder expresarse como: siendo u e A n en u(x, y) = u e AN A (x, y) (.5) el valor que toma u(x, y) en el nodo A del elemento e: u e A = a 0 + a 1 x e A + a y e A (.6)

12 9 Elementos Isoparamétricos Sustituyendo (.6) en (.5): n en u(x, y) = (a 0 + a 1 x e A + a ya)n e A (x, y) n en n en n en = a 0 N A (x, y) + a 1 x e AN A (x, y) + a yan e A (x, y) (.7) Identificando (.) y (.7) resulta: n en n en n en N A (x, y) = 1 (.8) x e AN A (x, y) = x (.9) yan e A (x, y) = y (.50) El requisito (.8) establece que las funciones de forma han de verificar la propiedad de partición de la unidad. Los requisitos (.9) y (.50) expresan la interpolación de la geometría del elemento mediante las funciones de forma (ver por ejemplo la expresión (.9) para el triángulo CST o (.7) y (.8) para el cuadrilátero bilineal). En el contexto de los modelos de mecánica de medios continuos el requisito de complitud se interpreta como la capacidad de las funciones de forma para representar de manera exacta los movimientos de sólido rígido (traslación y rotación infinitesimal) y los estados de deformación constante. Compatibilidad En una malla de elementos finitos consideremos un nodo i y el conjunto de elementos que comparten el nodo i. Este conjunto de elementos, que pueden tener formulación y geometría distintas, lo denominaremos parcela de elementos asociada al nodo i. Asimismo llamaremos parcela de funciones de prueba asociada al nodo i al conjunto de funciones de forma, definidas en la correspondiente parcela de elementos, que se activan al asignar el valor unidad a un grado de libertad del nodo i. Con estas definiciones, el requisito de compatibilidad establece que en un problema con índice variacional m, las parcelas de funciones de prueba deben ser continuas de clase C m 1 entre los elementos adyacentes, y continua de clase C m en el interior de los elementos. El conjunto de funciones de forma que satisfacen el primer requisito de continuidad C m 1 se denominan funciones de forma conformes. Las funciones

13 Requisitos de convergencia 95 de forma conformes que satisfacen el segundo requisito de continuidad (ser de clase C m ) se denominan funciones de forma de energía finita. Si en la malla de elementos finitos se verifica que los elementos adyacentes comparten los nodos, las caras y los grados de libertad, la verificación del requisito de continuidad entre los elementos se simplifica. En tal caso sólo es necesario chequear la continuidad entre las parejas de elementos adyacentes en la cara que comparten. En el supuesto de que el lado que comparten tenga k nodos, el polinomio correspondiente a cada una de las k funciones de forma ha de ser de grado k Estabilidad La estabilidad se puede interpretar como un requisito que asegura que la solución aproximada de elementos finitos tiene las mismas propiedades de unicidad que el problema de contorno que se desea resolver. Por ejemplo, en los modelos de mecánica de medios continuos sólidos los únicos movimientos que se producen con energía interna nula son los movimientos de sólido rígido. La solución de elementos finitos debe mantener esta propiedad incluso a nivel de un único elemento. Se trata de que para una malla correctamente ensamblada y con las condiciones de sustentación adecuadas la matriz de rigidez K sea no singular y pueda resolverse la ecuación: Kd = F (.51) Este requisito está relacionado con el concepto de suficiencia de rango. Ejemplo. (Análisis espectral del cuadrilátero bilineal Q). Una forma de conocer los modos de energía nula de un elemento (y otras propiedades interesantes sobre su comportamiento) es realizando un análisis espectral. Al resolver el problema de autovalores: k e d e = λd e (.5) para un cuadrilátero bilineal de forma rectangular se obtienen los 8 autovectores que se representan gráficamente en la figura.7. Los tres modos cinemáticos correspondientes a los movimientos de sólido rígido (denominados en la figura SR1, SR y SR) tienen energía nula, y en consecuencia los autovalores asociados a ellos son nulos: λ SR1 = 0 (.5) λ SR = 0 (.5) λ SR = 0 (.55) Los demás modos corresponden a la deformación volumétrica (VOL), estiramiento (EST), corte (COR) y flexión (FL1 y FL). En función de los

14 96 Elementos Isoparamétricos parámetros de Lamé, los autovalores que se obtienen haciendo las integrales de manera exacta son: λ VOL = 1 ((λ + µ)(1 + r ) + ) µ(λ + µ)(r r 1) + λ (r + 1) (.56) λ EST = 1 ((λ + µ)(1 + r ) ) µ(λ + µ)(r r 1) + λ (r + 1) (.57) ( λ COR = µ r + 1 ) (.58) r µ + (λ + µ)r λ FL1 = r λ FL = µr + λ + µ r (.59) (.60) siendo r = h/b la relación entre las dimensiones de la altura y la base del rectángulo. Suficiencia de rango SR1 SR SR VOL EST COR FL1 FL Figura.7: Análisis espectral del elemento Q La suficiencia de rango de la matriz de rigidez elemental k e garantiza que el elemento no tiene modos cinemáticos de energía nula adicionales a los de sólido rígido. Consideremos un elemento de n en nodos y n gdl grados de libertad por nodo. Llamaremos n sr al número de modos de sólido rígido que tiene el elemento. Si la matriz de rigidez elemental k e tiene únicamente n sr modos de energía nula, el rango r de k e será: r = n en n gdl n sr (.61)

15 Requisitos de convergencia 97 En el caso en que r < n en n gdl n sr se dice que k e tiene deficiencia de rango. Consideraremos que, como es lo usual, el elemento isoparamétrico se integra numéricamente empleando una cuadratura de n pg puntos de Gauss, y sea n str n str la dimensión de la matriz constitutiva C. Asimismo supondremos que se verifican los dos requisitos siguientes: 1. Las funciones de forma satisfacen el requisito de complitud y por tanto capturan de manera exacta los modos de sólido rígido.. El rango de la matriz constitutiva C es n str. Teorema..1. Sea una matriz B de dimensión n str n en n gdl y rango r = r B n str. Sea una matriz C de dimensión n str n str, simétrica y definida positiva. Entonces, se verifica que la matriz B T CB tiene rango igualmente r B. Demostración Sea el vector d 0, de dimensión dim(u) = n en n gdl. Si se verifica que: entonces: y como C es definida positiva: B T CBd = 0 (.6) d B T CBd = 0 (.6) Bd = 0 rango(b) = rango(b T CB) (.6) La expresión numérica de la matriz de rigidez que se obtiene con una cuadratura de n pg puntos de Gauss es: n pg ( k e = w i B T CB ) (.65) ξ i i=1 donde se ha indicado por (B T CB) ξi el valor que toma la matriz B T CB en el punto de Gauss ξ i. Como rango(b T CB) = n str y w i > 0, con las hipótesis realizadas cada sumando w i (B T CB) ξi añade n str al rango de k e hasta llegar a valer como máximo n en n gdl n sr. En consecuencia, el rango de k e es: rango(k e ) = mín (n pg n str, n en n gdl n sr ) (.66) Para que la matriz de rigidez elemental k e tenga suficiencia de rango debe verificarse que: n pg n str n en n gdl n sr (.67)

16 98 Elementos Isoparamétricos Ejemplo.5. En el triángulo cuadrático D de 6 nodos para problemas de elasticidad en deformación plana se tiene n en = 6, n gdl =. Por otra parte en D n sr = y la matriz C de deformación plana tiene dimensión n str n str =. Sustituyendo estos valores en (.67): n pg 1 (.68) resulta que la matriz k e tendrá suficiencia de rango si se utiliza una cuadratura de Gauss con al menos n pg = puntos de integración. Ejemplo.6. El cuadrilátero bicuadrático de 9 nodos para elasticidad D en tensión plana tiene n en = 6, n gdl = y al igual que en el ejemplo anterior en este problema n sr = y n str =. Para que la matriz k e tenga rango suficiente: n pg 18 (.69) por lo que han de utilizarse al menos 5 puntos de integración. En este caso una cuadratura de no es suficiente, dejando el elemento subintegrado. En este caso se puede utilizar la regla estándar de puntos o la cuadratura especial de 5 puntos de Gauss. Ejemplo.7. En elasticidad D, para el cubo trilineal de 8 nodos se tiene n en = 8 y n gdl =. La dimensión de la matriz constitutiva C es n str n str = 6 6 y el número de modos de sólido rígido n sr = 6. En consecuencia, la condición para que k e tenga rango suficiente es: 6n pg 6 (.70) por lo que el número de puntos de integración ha de ser n pg. En consecuencia la regla estándar de es adecuada... La formulación isoparamétrica La técnica utilizada en el apartado.1 para formular el triángulo de deformación constante se puede extender a otros elementos triangulares de orden superior y a elementos cuadriláteros, aunque aparecen algunas dificultades: 1. Se debe satisfacer el requisito de consistencia que tiene cierta dificultad para elementos de orden superior con lados curvos.. Las integrales para obtener la matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales no se pueden obtener de forma analíticamente exacta. No obstante, estas dificultades se resuelven con la formulación isoparamétrica de elementos finitos y con la integración numérica mediante cuadraturas, respectivamente. Sea n x el número de funciones de forma que interpolan la geometría y n u el número de funciones de forma que interpolan el campo de desplazamientos (en general el campo de variables primarias). Si n x < n u se dice que el

17 La formulación isoparamétrica 99 elemento es subparamétrico, si n x > n u el elemento es superparamétrico, y si n x = n u y las funciones de forma utilizadas para interpolar geometría y desplazamientos son las mismas entonces el elemento se denomina isoparamétrico. La idea básica en la formulación de los elementos isoparamétricos es utilizar las mismas funciones de forma para interpolar tanto la geometría de los elementos como el campo de desplazamientos. La representación esquemática de este concepto se se muestra en la figura.8, donde se hace referencia a las coordenadas triangulares con el concepto más general de coordenadas naturales, que aplica a elementos triangulares, cuadriláteros, tetraedros, etc. ÓÓÖ Ò Æ ØÙÖ Ð ÙÒ ÓÒ ÓÖÑ ÓÑ ØÖ ÑÔÓ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Figura.8: Representación esquemática del concepto de elemento isoparamétrico La generalización de (.9) y (.0) a la representación isoparamétrica de un elemento tridimensional arbitrario es directa: x x e 1 x e... x e n en N y y1 e y e... y e 1 n en N z = z1 e z e... zn e en (.71) u x d e x1 d e x... d e. x n en u y d e y1 d e y... d e N nen y n en u z d e z1 d e z... d e z n en La primera ecuación en (.71) expresa la propiedad de partición de la unidad asociada al requisito de consistencia (ver apartado..), las tres siguientes corresponden a la interpolación de la geometría, y las tres últimas a la interpolación del campo de desplazamientos. Observación. En la ecuación (.71) se podrían haber incluido con el mismo formato filas adicionales para interpolar otros campos (espesor h, temperatura T, etc.): { } h T = ( h e 1 h e... h e n en T e 1 T e... T e n en ) N 1 N. N nen (.7)

18 100 Elementos Isoparamétricos.5. Diseño de las funciones de forma Las funciones de forma deben satisfacer los siguientes requisitos: 1. La función de forma elemental N A debe tomar valor 1 en el nodo A, y valor 0 en los demás nodos del elemento.. N A debe ser nula en los contornos del elemento que no contengan al nodo A (condición de soporte local). y además para problemas de índice variacional m:. Las funciones de forma N A definidas en los elementos que comparten el nodo A deben ser continuas de clase C m 1.. Las funciones de forma de un elemento deben poder expresar de forma exacta cualquier polinomio de grado m en las coordenadas del elemento. Observación. El tercer requisito equivale a establecer que los valores de una función de forma en el lado (o cara si el problema es D) común a dos elementos debe depender únicamente de los nodos que pertenecen a dicho lado. Observación. Si las funciones de forma satisfacen el segundo y tercer requisito, de acuerdo con el ejemplo., para garantizar la complitud (cuarto requisito) es suficiente con verificar la condición de partición de la unidad expresada en (.8). Como se verá en los siguientes apartados, para diseñar las funciones de forma éstas se expresarán como el producto de n factores L j función de las coordenadas naturales: N A = c A L 1 L... L n (.7) siendo las expresiones: L j = 0 (.7) las ecuaciones homogéneas de líneas (rectas o curvas) que son funciones lineales de las coordenadas naturales..6. Elementos D Las funciones de forma de los elementos isoparamétricos en dos dimensiones satisfacen los requisitos descritos al principio del apartado.5 si se diseñan de acuerdo con las cinco requisitos siguientes: R-i Para la función de forma N A seleccionar L j con el criterio de que sean el mínimo número de líneas isoparamétrica, con expresión lineal en las coordenadas naturales, que contengan a todos los nodos del elemento excepto el nodo A (generalmente esta líneas corresponden a los lados del elemento y a líneas que unen los puntos medios de los lados).

19 Elementos D 101 R-ii Calcular el valor del coeficiente c A para que la función de forma N A valga uno en el nodo A. R-iii Comprobar que la función de forma N A vale cero en todos los lados del elemento que no contienen al nodo A. R-iv Comprobar el grado del polinomio correspondiente a particularizar la función de forma en los lados del elemento que contienen al nodo A. Si el número de nodos en un lado del elemento es p, para que se verifique el requisito de compatibilidad el grado del polinomio en dicho lado debe ser p 1. R-v Una vez verificados los requisitos anteriores, comprobar finalmente que las funciones de forma definidas en el elemento suman la unidad El triángulo lineal De acuerdo con la figura., la ecuación del lado opuesto al nodo A es ξ A = 0. En consecuencia, de acuerdo con el requisito R-i: N A = c A ξ A (sin suma en A) (.75) Para que N A = 1 en el nodo A, de acuerdo con la definición de las coordenadas naturales, ha de ser c A = 1. Por tanto: N 1 = ξ 1 (.76) N = ξ (.77) N = ξ (.78) El requisito R-iii se verifica por la propia construcción de las funciones de forma. Como los lados del elemento tienen nodos, las funciones de forma en los lados son lineales verificándose R-iv. Por último, de acuerdo con la expresión (.) se satisface R-v..6.. El triángulo cuadrático El triángulo cuadrático tiene seis nodos: tres en los vértices y tres en los puntos medios de los lados (ver figura.9). Las funciones de forma las deduciremos de acuerdo con los cinco requisitos descritos anteriormente. Para los nodos situados en los vértices, y más concretamente el nodo 1, de acuerdo con R-i y la figura.9, la función de forma N 1 será el producto de las líneas que pasan por los nodos 5 y 6: ( N 1 = c 1 L 5 L 6 = c 1 ξ 1 ξ 1 1 ) (.79)

20 10 Elementos Isoparamétricos y x ξ 1 1 Figura.9: Triángulo cuadrático Imponiendo que en el nodo 1 (ξ 1 = 1) el valor de la función de forma N 1 sea la unidad (requisito R-ii) se tiene: c 1 = N 1 = ξ 1 (ξ 1 1) (.80) Para verificar R-iii tendremos en cuenta que en los lados que no contienen al nodo 1 se verifica ξ 1 = 0. En consecuencia en dichos lados la función de forma N 1 se anula. Los dos lados que contienen al nodo 1 tienen nodos. La función de forma N 1 en estos lados (ξ = 0 en el lado 1 6 y ξ = 0 en el lado 1 ) es un polinomio de segundo grado en ξ 1 por lo que se verifica R-iv. Análogamente para los nodos de los vértices y se obtiene: N = ξ (ξ 1) (.81) N = ξ (ξ 1) (.8) Para los nodos situados en los puntos medios de los lados la metodología a seguir es similar. Por ejemplo para el nodo, de acuerdo con R-i: N = c L 1 6 L 5 = c ξ 1 ξ (.8) ya que las líneas que contienen a todos los nodos excepto el son los lados 1 6 y 5, que corresponden a las ecuaciones ξ 1 = 0 y ξ = 0 respectivamente. Para calcular el valor de c imponemos que en el nodo (ξ 1 = 1/, ξ = 1/) la función de forma N vale 1 (requisito R-ii), resultando: c = N = ξ 1 ξ (.8) Para comprobar el requisito R-iii, los lados que no contienen al nodo verifican: Lado 1 6 : ξ = 0 N = 0 Lado 5 : ξ 1 = 0 N = 0 ξ

21 Elementos D 10 El lado que contiene al nodo tiene nodos y verifica ξ = 0. Sustituyendo esta ecuación en la expresión de N resulta que en el lado 1 la función de forma es un polinomio de grado (bilineal en ξ 1 y ξ ) por lo que se verifica el requisito R-iv. Análogamente para los nodos 5 y 6 resulta: N 5 = ξ ξ (.85) N 6 = ξ 1 ξ (.86) Finalmente es necesario verificar R-v para las seis funciones de forma definidas en el elemento: 6 N A = ξ 1 (ξ 1 1) + ξ (ξ 1) + ξ (ξ 1) + ξ 1 ξ + ξ ξ + ξ 1 ξ = ξ 1 (ξ 1 + ξ + ξ ) + ξ (ξ 1 + ξ + ξ ) + ξ (ξ 1 + ξ + ξ ) 1 = 1 (.87).6.. El triángulo cúbico El triángulo cúbico tiene 10 nodos con nodos equiespaciados en cada lado y 1 nodo en el baricentro, tal y como se muestra en la figura y 1 x ξ (0,0,1) 8 7 (0, 1/, /) (1/, 0, /) (0, /, 1/) (/, 0, 1/) (1/, 1/, 1/) (0,1,0) 1 5 ξ (1/,/,0) (1,0,0) (/,1/,0) Figura.10: Triángulo cúbico. Configuraciones en el espacio geométrico y en el espacio isoparamétrico (entre paréntesis se escriben las coordenadas naturales de cada nodo). Para el nodo 1, de acuerdo con R-i y con la parte derecha de la figura.10, la función de forma N 1 se expresa como el producto de las líneas isoparamétricas que pasan por los nodos 6 7, y 9: ( N 1 = c 1 L 6 7 L L 9 = c 1 ξ 1 ξ 1 1 ) ( ξ 1 ) (.88)

22 10 Elementos Isoparamétricos Imponiendo en (.88) que, de acuerdo con R-ii, en el nodo 1 (ξ 1 = 1) la función de forma N 1 toma el valor unidad: c 1 = 9 N 1 = 1 ξ 1(ξ 1 1)(ξ 1 ) (.89) Para comprobar R-iii es necesario verificar que en el lado 6 7 (que es el lado que no contiene al nodo 1) la función de forma N 1 se anula. Esta verificación se hace de manera inmediata ya que en todos los puntos del lado 6 7 se tiene ξ 1 = 0. Para verificar el requisito de compatibilidad R-iv, ha de cumplirse que el grado del polinomio que resulta de particularizar N 1 en los lados 1 5 y sea igual al número de nodos que hay en los respectivos lados menos uno. La expresión de los polinomios correspondientes a los valores que adopta N 1 en los lados 1 5 y se obtiene sustituyendo ξ = 0 y ξ = 0 respectivamente en (.89). En ambos casos resulta N 1 = 1/ξ 1 (ξ 1 1)(ξ 1 ), que es un polinomio de grado. Con el mismo procedimiento se obtienen las funciones de forma correspondientes a los nodos y, situados en los vértices del triángulo: N = 1 ξ (ξ 1)(ξ ) (.90) N = 1 ξ (ξ 1)(ξ ) (.91) Para los dos nodos situados en el interior del lado 1 5, de acuerdo con R-i, se tienen las expresiones: ( N = c L 6 7 L L = c ξ 1 ξ ξ 1 1 ) ( N 5 = c 5 L 6 7 L L 10 5 = c 5 ξ 1 ξ ξ 1 ) Aplicando R-ii en (.9) y (.9) resulta: (.9) (.9) c = 7 N = 9 ξ 1ξ (ξ 1 1) (.9) c 5 = 7 N 5 = 9 ξ 1ξ (ξ 1) (.95) En los lados (ξ = 0) y 6 7 (ξ 1 = 0) se verifica N = 0 y N 5 = 0, cumpliéndose el requisito R-iii. Por otra parte en el lado 1 5 se tiene ξ = 0. Sustituyendo ξ = 0 en (.9) y (.9) las funciones de forma N y N 5 son polinomios de tercer grado por lo que se verifica el requisito de compatibilidad R-iv.

23 Elementos D 105 De análoga forma se deduce: Finalmente, para el nodo central: e imponiendo: resulta:.6.. El cuadrilátero bilineal N 6 = 9 ξ ξ (ξ 1) (.96) N 7 = 9 ξ ξ (ξ 1) (.97) N 8 = 9 ξ 1ξ (ξ 1) (.98) N 9 = 9 ξ 1ξ (ξ 1 1) (.99) N 10 = c 10 ξ 1 ξ ξ (.100) N 10 (1/, 1/, 1/) = 1 (.101) N 10 = 7ξ 1 ξ ξ (.10) Este elemento es un cuadrilátero de cuatro nodos y su configuración en el espacio isoparamétrico se muestra en la figura.6. En este apartado detallaremos el cálculo de la función de forma N 1. De acuerdo con R-i: N 1 = c 1 L L = c 1 (1 ξ)(1 η) (.10) Imponiendo que en el nodo 1 la función de forma toma valor unidad (requisito R-ii): c 1 = 1 N 1 = 1 (1 ξ)(1 η) (.10) Los lados que no contienen al nodo 1 verifican ξ = 1 (para el lado ) y η = 1 (para el lado ). Sustituyendo en (.10) resulta que en ambos lados se cumple N 1 = 0. Particularizando ahora N 1 en los lados que contienen al nodo 1 se tiene: Lado 1 : η = 1 N 1 (ξ) = 1 (1 ξ) Lado 1 : ξ = 1 N 1 (η) = 1 (1 η) que son expresiones polinómicas de grado uno, y por tanto de un orden menor que el número de nodos que hay en cada uno de dichos lados. En consecuencia se satisface el requisito de compatibilidad R-iv.

24 106 Elementos Isoparamétricos Procediendo de idéntica forma se obtienen las demás funciones de forma: que se pueden expresar de forma compacta: N = 1 (1 + ξ)(1 η) (.105) N = 1 (1 + ξ)(1 + η) (.106) N = 1 (1 ξ)(1 + η) (.107) N i = 1 (1 + ξ iξ)(1 η i η) (.108) siendo ξ i, η i las coordenadas isoparamétricas del nodo i. La verificación de que este elemento es completo, a través del requisito de partición de la unidad R-v, es inmediato: N i = 1 (.109) i= El cuadrilátero bicuadrático Se trata de un elemento cuadrilátero de nueve nodos, también llamado cuadrilátero Lagrangiano, cuya geometría y configuración en el espacio isoparamétrico se muestra en la figura.11 y x η Figura.11: Cuadrilátero bicuadrático. Configuraciones en el espacio geométrico y en el espacio isoparamétrico. Para obtener la expresión de las funciones de forma de los nodos situados en los vértices detallaremos como ejemplo el caso de la función N. Seleccionando las líneas que pasan por todos los nodos excepto el nodo (requisito R-i): ξ N = c L 1 8 L 1 5 L L = c (1 + ξ)(1 + η)ξη (.110)

25 Elementos D 107 Imponiendo la condición de normalización R-ii: c = 1 N = 1 (1 + ξ)(1 + η)ξη (.111) El requisito R-iii es inmediato comprobar sustituyendo en la expresión anterior de N los valores de ξ y η en los lados 1 5 (η = 1) y 1 8 (ξ = 1). Asimismo como cada lado tiene nodos, de acuerdo con R-iv, es necesario que las expresiones de las funciones de forma particularizadas en los lados del elemento correspondientes sean polinomios cuadráticos. La función N la particularizamos en los lados 7 y 6 haciendo ξ = 1 y η = 1, respectivamente: Lado 7 : ξ = 1 N (η) = 1 η(1 + η) Lado 6 : η = 1 N (ξ) = 1 ξ(1 + ξ) Para las funciones de forma correspondientes a los nodos 1, y se obtiene: N 1 = 1 (1 ξ)(1 η)ξη (.11) N = 1 (1 + ξ)(1 η)ξη (.11) N = 1 (1 ξ)(1 + η)ξη (.11) El procedimiento para obtener las funciones de forma correspondientes a los nodos en puntos intermedios de los lados se desarrolla para el nodo 5. De acuerdo con R-i: N 5 = c 5 L 1 8 L 6 L 7 L = c 5 (1 + ξ)(1 ξ)(1 η)η (.115) Con la condición de normalización (R-ii) se obtiene: c 5 = 1 N 5 = 1 (1 ξ )(η 1)η (.116) Particularizando para los lados 1 8 (ξ = 1), 7 (η = 1) y 6 (ξ = 1) en todos los casos se obtiene N 5 = 0, con lo que se verifica R-iii. Por otra parte, particularizando N 5 en el lado 1 5 (η = 1) se obtiene: N 5 (ξ) = 1 ξ que es un polinomio de grado, y en consecuencia se verifica R-iv.

26 108 Elementos Isoparamétricos Con el mismo procedimiento se obtienen las funciones de forma de los nodos 6, 7 y 8: Para el nodo interior: N 6 = 1 (1 η )(ξ + 1)ξ (.117) N 7 = 1 (1 ξ )(η + 1)η (.118) N 8 = 1 (1 η )(ξ 1)ξ (.119) N 9 = c 9 L 1 5 L 6 L 7 L 1 8 = c 9 (1 + η)(1 ξ)(1 η)(1 + ξ) (.10) e imponiendo el requisito R-ii: c 9 = 1 N 9 = (1 ξ )(1 η ) (.11) Los cuatro lados del elemento en el espacio isoparamétrico tienen las ecuaciones ξ = ±1 o η = ±1, verificándose en los cuatro casos que N 9 = 0. Como la función de forma N 9 corresponde a un nodo interior (y por tanto es nula en los lados del elemento) no aplica la verificación del requisito de compatibilidad R-v. Sumando las funciones de forma: N 1 + N + N + N = ξ η (.1) N 5 + N 6 + N 7 + N 8 = ξ + η ξ η (.1) y sumando la expresión de N 9 en (.11) más (.1) y (.1), se comprueba que el elemento verifica el requisito de complitud: 9 N i = 1 (.1) i= El cuadrilátero serendipito de ocho nodos Este elemento es un cuadrilátero de ocho nodos que se obtiene eliminando, mediante restricciones cinemáticas, el nodo central del cuadrilátero Lagrangiano descrito en el apartado anterior. La geometría del elemento y su configuración en el espacio isoparamétrico se muestra en la figura.5. La deducción de la expresión de las funciones de forma para los nodos situados en los vértices se detalla para el nodo 1. De acuerdo con R-i: N 1 = c 1 L 5 8 L 6 L 7 = c 1 (1 + ξ + η)(1 ξ)(1 η) (.15) Imponiendo el requisito de normalización R-ii: c 1 = 1 N 1 = 1 (1 + ξ + η)(1 ξ)(1 η) (.16)

27 Elementos D 109 En los lados 7 y 6, definidos respectivamente por η = 1 y ξ = 1, es evidente que N 1 = 0 por lo que se verifica R-iii. El requisito de compatibilidad se verificará si al particularizar N 1 en los lados 1 5 y 1 8 resultan sendos polinomios de grado (que corresponde a restar uno del número de nodos en cada lado). En efecto: Lado 1 5 : η = 1 N 1 (ξ) = 1 ξ(1 ξ) Lado 1 8 : ξ = 1 N 1 (η) = 1 η(1 η) Para el resto de los nodos de los vértices, con este mismo procedimiento, se obtiene: N = 1 (1 ξ + η)(1 + ξ)(1 η) (.17) N = 1 (1 ξ η)(1 + ξ)(1 + η) (.18) N = 1 (1 + ξ η)(1 ξ)(1 + η) (.19) Para las funciones de forma correspondientes a los nodos situados en el punto medio de los lados se detallan los cálculos para obtener N 5 : N 5 = c 5 L 1 8 L 7 L 6 = c 5 (1 + ξ)(1 η)(1 ξ) (.10) Imponiendo que N 5 = 1 en ξ = 0, η = 1 (requisito R-ii): c 5 = 1 N 5 = 1 (1 η)(1 ξ ) (.11) En los lados 1 8 (ξ = 1), 7 (η = 1) y 6 (ξ = 1) es inmediato verificar que N 5 = 0. Para verificar la condición de compatibilidad la expresión de N 5 particularizada en el lado 1 5 (η = 1) ha de ser un polinomio de grado : N 5 (ξ) = 1 ξ Las restantes funciones de forma son: N 6 = 1 (1 + ξ)(1 η ) (.1) N 7 = 1 (1 ξ )(1 + η) (.1) N 8 = 1 (1 ξ)(1 η ) (.1) La complitud del elemento se verifica con el requisito de partición de la unidad R-v: N i = ξ + η 1 8 i=1 N i = 1 8 N i = ξ + η i=1 + i=5

28 110 Elementos Isoparamétricos.6.7. Elementos de transición Otros elementos de interés práctico son los que tienen distinto número de nodos en cada lado, permitiendo hacer la transición entre mallas con elementos de distinto orden de interpolación. Algunos de estos elementos se muestran a modo de ejemplo en la figura µ µ µ Figura.1: Elementos de transición entre mallas con distinto orden de interpolación. La metodología descrita en el apartado.5, aunque es adecuada como punto de partida, no proporciona resultados correctos en algunos elementos como los de la figura.1 o como por ejemplo en el cuadrilátero de cinco nodos de la figura.1. Si en este elemento aplicamos las reglas R-i y R-ii para obtener la función de forma N 1 se obtiene: N 1 = 1 (ξ + η)(1 ξ)(1 η) (.15) 8 Para que N 1 verifique el requisito de compatibilidad, al particularizar (.15) en los lados 1 y 1 del elemento deben obtenerse polinomios lineales y sin embargo resultan funciones cuadráticas: Lado 1 : η = 1 N 1 (ξ) = 1 (1 ξ)(ξ 1) Lado 1 : ξ = 1 N 1 (η) = 1 (1 η)(η 1) Una técnica más robusta es la denominada de correcciones jerárquicas. Está técnica generaliza la expresión (.7) mediante una suma de términos con distinto número de factores: N i = c i L c 1L c... L c m + d i L d 1L d... L d m (.16) El primer sumando en (.16) corresponde a la función de forma en el nodo i de un elemento de orden más bajo, que denominaremos elemento patrón, para el que la expresión (.7) proporciona resultados correctos. La constante c i se determina con el criterio de normalización en el nodo i del elemento patrón. El segundo sumando en (.16) es un término de corrección que ha de ser nulo en los nodos del elemento patrón y que se calcula 6

29 Elementos D 111 aplicando la regla R-i al elemento en cuestión. La constante d i se calcula con el criterio de que N i se anule en los nodos añadidos al elemento patrón. Si con este segundo sumando no es suficiente se pueden añadir más términos correspondientes a los demás nodos de transición, que se anulen en los nodos de dicho elemento patrón. y x 5 1 Figura.1: Elemento cuadrilátero de cinco nodos con un nodo central Aplicando esta técnica al elemento de la figura.1: N i = Ñi + d i N 5, i = 1... (.17) N 5 = (1 ξ )(1 η ) (.18) siendo Ñi las funciones de forma del cuadrilátero bilineal (elemento patrón) y N 5 la función de forma del nodo 5 obtenida mediante los requisitos R-i y R-ii. Imponiendo que las funciones de forma N 1 a N sean nulas en el nodo 5 se obtienen los coeficientes d i, resultando finalmente: N 1 = 1 (1 ξ)(1 η) 1 (1 ξ )(1 η ) (.19) N = 1 (1 + ξ)(1 η) 1 (1 ξ )(1 η ) (.10) N = 1 (1 + ξ)(1 + η) 1 (1 ξ )(1 η ) (.11) N = 1 (1 ξ)(1 + η) 1 (1 ξ )(1 η ) (.1) Es inmediato comprobar que las funciones de forma de este elemento cumplen los requisitos de compatibilidad y complitud. Finalizaremos este apartado con la deducción de las funciones de forma del elemento de la figura.1(a). En este caso el elemento patrón es el triángulo de deformación constante por lo que las funciones de forma para los nodos de los vértices son: N 1 = Ñ1 + d i N = ξ 1 + d 1 N (.1) N = Ñ + d i N = ξ + d N (.1) N = Ñ + d i N = ξ + d N (.15) η 5 1 ξ

30 11 Elementos Isoparamétricos La función de forma N se deduce aplicando la regla R-i y el requisito de normalización R-ii: N = c L 1 L = c ξ 1 ξ (.16) N = c L 1 L = ξ 1 ξ (.17) Sustituyendo (.17) en las expresiones (.1) a (.15) e imponiendo que las funciones de forma de los vértices son nulas en el nodo, se calculan las constantes d 1, d y d resultando: N 1 = ξ 1 ξ 1 ξ (.18) N = ξ ξ 1 ξ (.19) N = ξ (.150) El requisito de complitud se verifica particularizando N 1 y N en el lado 1, y comprobando que se obtienen funciones de grado (al tener dicho lado nodos): Lado 1 : ξ 1 + ξ = 1, (ξ = 0) N 1 (ξ 1 ) = ξ 1 (ξ 1 1) Lado 1 : ξ 1 + ξ = 1, (ξ = 0) N (ξ ) = ξ (ξ 1) Finalmente el requisito de complitud se comprueba de forma inmediata..7. Aspectos computacionales: elementos cuadriláteros La implementación computacional de un determinado elemento en un programa de elementos finitos lineal consiste básicamente en calcular su matriz de rigidez elemental k e y su vector de fuerzas nodales f e. En este apartado se describe, desde el punto de vista computacional, la metodología de cálculo de las matrices k e y los vectores f e, utilizando elementos isoparamétricos cuadriláteros. Por motivos de sencillez en la exposición este apartado se dedica a los elementos cuadriláteros y el siguiente apartado a los triángulos. Dado que en los elementos triangulares las cuadraturas de Gauss D no se pueden expresar como producto de cuadraturas 1D, y que además las coordenadas triangulares no son independientes, se requieren ciertas precauciones que en principio harían más complicada y confusa la explicación. En el apartado.1 se detallaban a modo de introducción los cálculos para el caso del triángulo de tres nodos. En él las derivadas de las funciones de forma son constantes y las expresiones de las integrales necesarias para obtener las matrices y vectores se pueden obtener de manera analítica. Para cualquier otro elemento los cálculos se complican, siendo necesario analizar los siguientes aspectos:

31 Aspectos computacionales: elementos cuadriláteros Cálculo numérico de las derivadas parciales de las funciones de forma.. Integración numérica mediante cuadraturas de Gauss.. Cálculo de la matriz de rigidez elemental y del vector de fuerzas nodales elemental. Aunque los desarrollos se realizan para elementos en D, la generalización a D se hace de forma directa Cálculo numérico de las derivadas parciales Para calcular la matriz B en las expresiones (.75) o (.81) de la matriz de rigidez es necesario conocer las derivadas parciales de las funciones de forma respecto de las coordenadas cartesianas. Dado que la dependencia funcional de las funciones de forma se establece en términos de las coordenadas naturales ξ y η, el cálculo de las derivadas cartesianas no es directo. La matriz jacobiana Para el cálculo de las derivadas cartesianas y de las integrales de volumen que intervienen en la formulación de elementos finitos, es útil conocer la matriz jacobiana de la transformación del espacio cartesiano al espacio isoparamétrico de referencia (ver por ejemplo la figura.5). Dicha transformación se expresa: x = x(ξ, η) (.151) y = y(ξ, η) (.15) y la matriz jacobiana relaciona los elementos infinitesimales {dx, dy} con {dξ, dη} y viceversa: { } dx = dy { } dξ = dη ( x ξ ξ ( ξ x η x x η η ξ η ) { } { } dξ dξ = J T dη dη ) { } { } dx dx = J T dy dy (.15) (.15) El determinante de la matriz J suele denominarse jacobiano y lo denotaremos por J = det J. Observación. De las expresiones (.15) y (.15), considerando: ξ = ξ(x, y) (.155) η = η(x, y) (.156)

32 11 Elementos Isoparamétricos y que ξ y η son coordenadas independientes, resulta: JJ 1 = ( x ξ x η ξ η ) ( ξ x ξ η x η ) = ( x ξ ξ ξ x ξ x ξ ξ η x η ( ξ η = ξ ξ ξ η η η Derivadas cartesianas de las funciones de forma x η + η ξ x ξ x η + η η x η ) ( ) 1 0 = 0 1 ) (.157) Las derivadas de las funciones de forma respecto de las coordenadas cartesianas se calculan aplicando la regla de la cadena: N A x = N A ξ ξ x + N A η η x N A = N A ξ ξ + N A η η que se puede expresar en términos de la matriz jacobiana: { NA } ( ξ η ) { } { } N A NA x = x x ξ = J 1 ξ N A ξ η N A η N A η (.158) (.159) (.160) De acuerdo con esta expresión, las derivadas cartesianas de las funciones de forma se calculan a partir de la inversa de la matriz jacobiana y de las derivadas de las funciones de forma respecto de las coordenadas naturales. Cálculo de la matriz jacobiana Como ya se ha visto las componentes de la matriz jacobiana son las derivadas de las coordenadas cartesianas respecto de las coordenadas naturales. En los elementos isoparamétricos la relación entre ambas familias de coordenadas viene dada por las segunda y tercera filas de (.71): Derivando: nen x ξ = x e A N A ξ, nen x η = x e N A A η, n en x = x e AN A (ξ, η) (.161) n en y = yan e A (ξ, η) (.16) nen ξ = y e A N A ξ nen η = ya e N A η (.16) (.16)

33 Aspectos computacionales: elementos cuadriláteros 115 y sustituyendo (.16) y (.16) en las componentes de J: ( ) x e 1 y1 e N1 N N... nen ξ ξ ξ x e y e J = N 1 N N... nen η η η.. x e n en y e n en (.165) Una vez calculada J, el determinante J y la matriz inversa J 1 se obtienen mediante cálculos directos.. Cálculo de la matriz B Para obtener la matriz B de interpolación del vector gradiente (.76) o de interpolación del campo de deformaciones (.5) es necesario calcular las derivadas cartesianas de las funciones de forma: N A x = N A ξ ξ x + N A η η x N A = N A ξ ξ + N A η η (.166) (.167) Las derivadas de las funciones de forma respecto de las coordenadas naturales ya están calculadas para obtener el jacobiano, y las derivadas de las coordenadas naturales respecto de las coordenadas cartesianas son las componentes de la inversa de la matriz jacobiana..7.. Integración numérica mediante cuadraturas de Gauss El uso de cuadraturas numéricas es el procedimiento práctico en un programa de elementos finitos para realizar las integrales definidas sobre cada elemento. La cuadratura utilizada de manera estándar es la de Gauss, por ser la requiere de menos puntos de integración para alcanzar una precisión determinada. Esta propiedad es clave por el elevado número de operaciones matemáticas que se efectúan en cada punto de integración: cálculo de las deformaciones a partir de los desplazamientos, solución de la ecuación constitutiva para calcular las tensiones a partir de las deformaciones, cálculo de todos los productos matriciales necesarios para obtener la matriz de rigidez y el vector de fuerzas elementales, etc. Cuadraturas de Gauss en una dimensión La cuadratura de Gauss en 1D se expresa con la fórmula: 1 1 n pg F (ξ)dξ = w i F (ξ i ) (.168) i=1

34 116 Elementos Isoparamétricos donde n pg 1 es el número de puntos de integración de Gauss utilizado en la cuadratura, w i son los respectivos pesos de cada punto, y ξ i son las coordenadas de cada punto de integración i. El hecho de que la integral esté definida en el intervalo [-1,1] no resta generalidad al procedimiento ya que en el caso de que la integral esté definida en el intervalo [a, b] siempre se puede definir una transformación lineal entre éste y el intervalo [ 1, 1]. Las reglas de integración de Gauss, hasta cinco puntos, se muestran en el cuadro w w w w w ( ) ξ ( ) 1 ξ ( ) 1 6 ξ ( ) ξ ξ Cuadro.1: Parámetros de las cuadraturas de Gauss de uno a cinco puntos en una dimensión Cada regla de integración integra exactamente polinomios hasta de grado n pg 1, valor que se denomina grado de la fórmula de integración. Cuadraturas de Gauss en dos dimensiones Las reglas de Gauss D más sencillas (1 punto,,, etc.) se denominan cuadraturas producto porque se obtienen aplicando las cuadraturas 1D a cada variable independiente: ( 1 npg1 ) F (ξ, η)dξdη = dη F (ξ, η)dξ = w i F (ξ i, η) dη n pg1 n pg i= = w i w j F (ξ i, η j ) (.169) i=1 i=1