Introducción Uno de los objetivos fundamentales de la reología es la determinación de los requerimientos de un producto en el proceso de mecanización

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1 Aplicación del Modelo de Contacto de Hertz para la Determinación del Módulo de Elasticidad y del Módulo de Poisson en Frutos Cítricos: Lima, Limón, Naranja y Tangerina. Mercado-Flores, J.; López-Orozco, M; Martínez-Soto, G.; Alcántara-González, L.; Garnica- Rodríguez, B. Instituto de Ciencias Agrícolas, Universidad de Guanajuato, ExHacienda El Copal, km 9.5 carretera Irapuato-Silao, Apartado. Postal 311, C.P Irapuato, Guanajuato, México. Tel y Fax (462) y mercjf@dulcinea.ugto.mx Resumen En el proceso de recolección y manipulación mecánica de los frutos, los distintos productos se ven sometidos a cargas, obteniéndose respuestas diferentes según las características reológicas intrínsecas de los materiales. Se determinaron experimentalmente los módulos de elasticidad y los módulos de Poisson de cuatro frutos cítricos, utilizando el analizador de textura Micro System TA-XT2 y el paquete de software XT-RA Dimension, al aplicar un ensayo de compresión a los frutos y determinando la fuerza necesaria (en newtons) para producir una deformación en el diámetro transversal de 5 mm; se determinó el módulo de elasticidad (fuerza * longitud del diámetro transversal / área de contacto * deformación en el diámetro transversal); se midió asimismo la variación en el diámetro axial para estimar el módulo de Poisson (deformación del diámetro transversal / deformación del diámetro axial). Abstract In the process of harvesting and mechanical manipulation of the fruits, the different products are put under loads, obtaining themselves answers different according to the intrinsic reológicas characteristics from the materials. The moduli of elasticity and the modules of Poisson of four citric fruits were determined experimentally, using the analyzer of texture "Micro System TA-XT2" and the software package "XT-RA Dimension", when applying a test of compression to the fruits and determining the force necessary (in newtons) to produce a deformation in the cross-sectional diameter of 5 mm; the modulus of elasticity was determined (force * length of the cross-sectional diameter/contact area * deformation in the cross-sectional diameter); the variation in the axial diameter was also moderate to consider the module of Poisson (deformation of the cross-sectional diameter/deformation of the axial diameter). 367

2 Introducción Uno de los objetivos fundamentales de la reología es la determinación de los requerimientos de un producto en el proceso de mecanización con el fin de reducir las pérdidas en el valor comercial. En el proceso de recolección y manipulación mecánicas de los frutos, los distintos productos se ven sometidos a cargas, obteniéndose respuestas según las características reológicas intrínsecas de los materiales. El comportamiento de los frutos se sitúa en un nivel intermedio entre los sólidos elásticos no Hookonianos y los sólidos inelásticos viscoelásticos. Cuanto más elástico sea el comportamiento menor dependencia del tiempo tendrá la relación tensión deformación unitaria. Cuando el comportamiento del producto se aproxima al de un cuerpo viscoelástico el efecto del tiempo sobre dicha relación cobra mayor importancia. La complejidad del comportamiento mecánico de los frutos hace necesario el estudio empírico de la susceptibilidad a daños. Es posible, sin embargo, apoyarse en fundamentos físicos básicos. La rotura de cualquier material está determinada por las tensiones a las que se ve sometido. Hertz en 1896 inició el estudio de las tensiones registradas entre dos cuerpos en contacto (Mohsenin, 1970). Para ello Hertz partió de seis hipótesis iniciales. Hipótesis del modelo de Hertz El material de los cuerpos es homogéneo. Las cargas son estáticas. Se mantiene la validez de la ley de Hooke. La tensión de contacto se desvanece en el punto opuesto del cuerpo. El radio de la superficie de contacto es muy pequeño en comparación con el radio de curvatura de los cuerpos. La superficie de contacto entre los cuerpos es lo suficientemente lisa para que no existan tensiones tangenciales (rozamiento). Del grado de aproximación de los cuerpos a estas hipótesis iniciales depende el nivel de ajuste a la realidad. Como los frutos son en principio cuerpos elásticos no Hookonianos existe una divergencia con las hipótesis de la teoría de Hertz que puede verse aumentada con el comportamiento viscoelástico de los frutos. Sin embargo, el desarrollo teórico de las tensiones permite establecer los factores que afectan al fenómeno de contacto. Los resultados obtenidos por Hertz para el caso de dos cuerpos esféricos (diámetros d 1 y d 2 ) en contacto son: 368

3 = "! ecuación 1 σ # = "$% ecuación 2 = "& ecuación 3 µ µ = ecuación 4 siendo: a= Radio de la superficie de contacto, (m) F= Fuerza aplicada entre los cuerpos, (N) d 1 =Diámetro del vástago esférico = m d 2 = Diámetro del fruto (m) D= Deformación transversal (m) E 1 = Módulo de elasticidad del acero=20 (10) 10 N/m 2 E 2 = Módulo de elasticidad del fruto, (N/m 2 ) 1 = Módulo de Poisson del acero = 0.3 (adimensional) = Módulo de Poisson del fruto, (adimensional) A= definido por la ecuación 4, (m 2 /N) Módulo de elasticidad 369

4 Es la relación entre la tensión y la deformación correspondiente, por debajo del límite de proporcionalidad. Limite de proporcionalidad.- Es la tensión máxima que un material es capaz de soportar sin una desviación de la proporcionalidad de tensión a deformación unitaria. Módulo de Poisson Es el valor absoluto de la deformación transversal respecto a la correspondiente deformación axial, debido a una tensión distribuida uniformemente, bajo el límite de proporcionalidad del material. OBJETIVOS Los objetivos de este trabajo fueron: Determinar el módulo de elasticidad (E 2 ) y el módulo de Poisson ( 2 ) de cuatro frutos cítricos esféricos (lima, limón, naranja y tangerina). Evaluar la aplicación del modelo de Hertz a estos frutos cítricos. Materiales Frutos cítricos: lima, limón, naranja y tangerina. Vernier. Tinta negra para dejar huella del área de contacto. Texturómetro marca Stable Micro System modelo TA XT2. El software XT-RA Dimension Equipo de cómputo Métodos Se aplicó un ensayo de compresión a los frutos usando una esfera de acero de 19 mm de diámetro a una velocidad de 0.3 mm/min y se determinó en el texturómetro la fuerza necesaria en newtons para producir una deformación en el diámetro transversal de 5 mm. Se midió el radio del área de contacto del círculo marcado como un huella de tinta en el fruto y de determinó su área. Se determinó el módulo de elasticidad del fruto (fuerza * diámetro transversal) / (área de contacto * deformación del diámetro transversal). 370

5 E 2 (experimental) = (f * l)/(a * l) ecuación 5 Se midió así mismo la variación en el diámetro del eje axial para estimar el módulo de Poisson experimental del fruto (deformación del diámetro transversal / deformación del diámetro axial). µ 2 (experimental) = l/ d ecuación 6 Se calculó el modulo de Poisson teórico del fruto por medio del modelo de Hertz. despejando valor de A de la ecuación 1 resulta: "! = ecuación 7 o bien, despejando el valor de A de la ecuación 3 resulta: "& = ecuación 8 ésta última es más confiable para calcular el valor de A pues se conoce con mayor exactitud el valor de D que el de a Finalmente, despejando el valor de 2 de la ecuación 4 resulta: µ µ ( ' = ( ' ecuación 9 Sustituyendo el valor de A dado por la ecuación 8; los valores de E 1 = 20 (10) 10 N/m 2 y 1 = 0.3, correspondientes al acero y el valor de E 2 correspondiente al fruto, se despeja el valor del módulo de Poisson del fruto calculado según el modelo de Hertz. 371

6 Resultados Los resultados promedios para cinco repeticiones por fruto fueron: Fruto Fuerza (N) Diámetro promedio (10-2 m) Deformación axial (10-4 m) Área de contacto (10-5 m 2 ) Módulo de elasticidad experimental( 10 6 N/m 2 ) LIMA LIMÓN NARANJA TANGERINA µ Los valores obtenidos del radicando resultaron negativos mayores de 1, por lo que el módulo de Poisson teórico serían valores imaginarios mayores que 1, lo que significa que no se puede aplicar el modelo de Hertz a estos frutos cítricos. Módulo de Poisson experimental (adimensional) Conclusiones Los valores medidos del módulo de Poisson y del módulo de elasticidad a partir de las pruebas en el texturómetro para los cuatro frutos cítricos estudiados entran dentro del rango de valores citados en la literatura para frutos. Los valores de los módulos de Poisson de los cuatro frutos cítricos calculados teóricamente con el modelo de Hertz no son válidos. Podemos concluir que el modelo de Hertz no es aplicable a frutos cítricos ya que éstos no cumplen con algunas de las hipótesis en las cuales se fundamenta el modelo. Para frutos cítricos deberán aplicarse modelos viscoelásticos. Bibliografía Horsfield, B. C.; Fridley, R. B.; Claypool, L. L Application of theory of elasticity to the design of fruit harvesting and handling equipment for minimum bruising. Trans. ASAE, 15(4): Lee, E. H.; Rodak, J. R. M The contact problem for viscoelastic bodies. Transactions of ASME, Jour. of Applied Mech. 27(9): Mohsenin, N.N Physical properties of plant and animal materials. Vol. 1. Gordon and Breach, Science Publichers, Inc. New York, USA. 372

7 Mohsenin, N. N.; Göhlich, H Techniques for determination of mechanical properties of fruit and vegetables as related to design and development of harvesting machinery. J. Agr. Engng. Res. 7 (4): Timoshenko, S.; Goodier, L. N Theory of elasticity. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York. 373