PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ALGUNOS PROBLEMAS DE MATRICES (CON SOLUCIÓN) a) A = ( 1 0

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ALGUNOS PROBLEMAS DE MATRICES (CON SOLUCIÓN) JUNIO 6: OPCIÓN B. Ejercicio. (Puntuación máxima: 3 puntos) Encontrar todas las matrices X cuadradas x que satisfacen la igualdad XA=AX en cada uno de los casos siguientes: a) A = ( ) b) A = ( 3 3 ) La matriz X será de la forma: X = ( a b c d ). a b a) X A = ( c d ) ( 3b ) = (a 3 c 3d ) A X= ( b a b ) (a ) = ( 3 c d 3c 3d ) Si tiene que ser XA = AX entonces: ( a 3b a b ) = ( ) y tiene que cumplirse que c 3d 3c 3d cada elemento de XA sea igual a cada elemento correspondiente de AX. Por tanto: a = a ü a = a ü 3b = b b = ý Þ ý ÞLa matriz será de la forma ( a )para cualesquiera a y d. c = 3c c = d 3d = 3dþ d = dþ a b b) X A = ( c d ) ( a ) = (3b 3 3d c ) A X= ( b c d ) (a ) = ( 3 c d 3a 3b ) Si tiene que ser XA = AX entonces: ( 3b a c d ) = ( ) y tiene que cumplirse que 3d c 3a 3b cada elemento de XA sea igual a cada elemento correspondiente de AX. Por tanto: 3b = c ü a = d ý Þ a = d ü ý ÞLa matriz será de la forma ( a b )para cualesquiera a y b. 3d = 3a c = 3b 3b a þ c = 3b þ

2 JUNIO : OPCIÓN B Ejercicio. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se consideran las matrices: 3 A = ( 3 k ) y B = ( 3) k 4 a) Calcúlense los valores de k para los cuales la matriz A no es invertible. b) Para k =, calcúlese la matriz A -. c) Para k =, resuélvase la ecuación matricial AX = B. a) La matriz A no es invertible cuando el rango no es el máximo. (En nuestro caso, cuando Rg(A) 3. Rg ( 3 k ) = Rg ( k 3 ). Mediante el método de Gauss, transformamos k 4 4 k la matriz en una triangular para estudiar el rango. F F ( k 3 ) F ( k 3 ) F ( k 3 ). 4 k F 3 4F k + 4 kf 3 F k( k + 4) 3 De modo que el Rango de la matriz será si k( k + 4) 3 = (porque tendremos una fila de ceros). De lo contrario será rango 3. k( k + 4) 3 = k + 4k 3 = k =, k = 3 (estos valores se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado). A no es invertible (Rg(A) = ) si k = o k = 3 { A es invertible (Rg(A) = 3) si k y k 3 3 b) Si k =, A = ( 3 ). Se obtiene: A = ( 3 c) Para resolver AX = B, X = A - B. ) X = ( ( 3) = ( 8). 3 )

3 SEPTIEMBRE : OPCIÓN B Ejercicio. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se consideran las matrices: A = ( a ) ; B = ( ) ; I = ( ) ; O = ( b ) a) Calcúlense a, b para que se verifique AB = BA. b) Calcúlense c, d, para que se verifique la igualdad A + ca + di = O. c) Calcúlense todas las soluciones del sistema lineal: (A I) ( x y ) = ( ) a) AB = ( a ) ( b ) = ( a + b ) BA=( a b ) ( a ) = (a b b ) Si tiene que ser AB = BA entonces: ( a + b ) = (a a ) y tiene que cumplirse que b b cada elemento de AB sea igual a cada elemento correspondiente de BA. Por tanto: = a ü = a ý Þ a = ü ý = b b = þ a + b = bþ b) A = ( ) ( ) = ( ) = A ca = c ( ) = ( c c ) di = d ( ) = (d d ) Entonces: A + ca + di = ( ) + ( c c ) + (d d ) = ( d ) y será igual a + c + c la matriz nula si se cumple: ( d + c + c ) = ( ), es decir, si son iguales elemento a elemento. Por tanto: d = ü = ý Þ d = ü ý + c = c = -þ + c = þ c) Escribimos (A I) ( x y ) = ( ) en forma no matricial: (A I) = ( ) ( ) = ( ) por lo que (A I) (x y ) = ( ) (x y ) = ( x x ). Tiene que ser: ( x x ) = ( ) es decir, x = y la incógnita y puede tomar cualquier valor. x = y = λ

4 SEPTIEMBRE (RESERVA): OPCIÓN B Ejercicio. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se consideran las matrices: A = ( ) ; B = ( ) a) Calcúlese A - A t. b) Resuélvase la ecuación matricial: 4 A AX = B a) Calculamos la inversa: 4 F F F 3 - F F F F 3 + F 4 - F - F F F F : F : F 3 : 4 Es decir, A = 4 / - / / - / 4 / 4 / 4. 4) ( 4 Calculamos el producto A A t = ( ) = ( ). 4 ( 4 4 4) b) Para resolver la ecuación, despejamos primero la matriz X: 4 A AX = B 4 A B = AX A ( 4 A B) = X 4 8 A = ( ) ( ) = ( 4 ) ; A B = ( 4 ) ( ) = ( ) X = A ( 4 A B)= ( 4 4 4) 4 6 ( ) = ( ). 4 3

5 MODELO 3: OPCIÓN B Ejercicio : (Calificación máxima: puntos) Sea la matriz A = ( 3 ). a) Obténgase A 7. b) Hállese la matriz B tal que A B = ( ) a) A = ( 3 ) ( 3 ) = ( ). Entonces A3 = A A = I A = A. Podemos deducir que: A n A si n es impar = {. Entonces: A I si n es par 7 = A = ( 3 ). b) A B = ( ) B = A ( ). Calculamos la inversa de A: JUNIO 3: OPCIÓN A ( 3 ) F F + F ( 3 ) F + 3F F ( 4 6 ) F : F ( 3 ) A = ( 3 ) B = A ( ) = ( 3 ) ( ) = ( 3 ) Ejercicio. (Calificación máxima: puntos) 3 Dada la matriz A. a) Calcúlese A -. b) Resuélvase el sistema de ecuaciones dado por: x A y z a) Calculando la inversa de A se obtiene: A = ( 3 3) b) El sistema expresado como ecuación matricial queda AX = B, lo que implica X = A - B. Por tanto: X = ( 3 3) ( ) = ( ) Es decir: x =, y =, z =.

6 JUNIO 4: OPCIÓN A Ejercicio : (Calificación máxima: puntos) 3 Sean las matrices A = ( ) y B = ( ) a) Calcúlese (A t B) -, donde A t denota la traspuesta de la matriz A. b) Resuélvase la ecuación matricial A ( x y ) = ( ) 5 a) A t B = ( 3 ) ( ) = ( 5 5 ). (A t B) = ( 5 ). b) A ( x y ) = ( ) ( ) ( x x + y y ) = ( ) ( x ) = ( ) 5 5 x y 5 x + y = x = } x = y = x y = 5 SEPTIEMBRE 4: OPCIÓN B Ejercicio : (Calificación máxima: puntos) Considérese la matriz A = ( ) a) Calcúlese (A A t ). b) Calcúlese (A A t 3I) -. a) A A t = ( ) ( ) = ( ) (A A t ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) En consecuencia, (A A t ) = ( ) 3 b) A A t 3I = ( ) 3 ( ) = ( ) ( 3 ) = 3 ( 3 ) Finalmente, (A A t 3I) = 3. ( )

7 JUNIO 5: OPCIÓN B Ejercicio : (Calificación máxima: puntos) Sea la matriz A = ( 3 ) k a) Estúdiese el rango de A según los valores del parámetro real k. b) Calcúlese, si existe, la matriz inversa de A para k=3. a) Estudiamos el rango por el método de Gauss: Rg ( 3 ) = Rg ( 3). Esta última matriz la transformamos en k k triangular para estudiar su rango. F + F k F F + k 6 ( 3) F ( 3 ) F ( 3 ). k F 3 k F 3 k De modo que el rango de la matriz será si + k 6 = k =. Rg(A) = si k = { Rg(A) = 3 si k b) Para k = 3, A = ( 3 ) y el rango de A es máximo, luego en ese caso A es 3 invertible. Su matriz inversa es: A = ( )

8 SEPTIEMBRE 5: OPCIÓN A Ejercicio : (Calificación máxima: puntos) Se consideran las matrices A = ( 3 3 ) y B = ( 6 ) a) Calcúlese A 5 e indíquese si la matriz A tiene inversa. b) Calcúlese el determinante de la matriz (B A t B - I) 3. a) A = ( 3 6 ) ( 3 6 ) = ( 3 6 ) = A A5 = A. A no tiene inversa porque es de rango (Las filas son proporcionales, F = F. b) A t = ( 3 6 ) y se calcula la inversa de B: 3 B = ( ). B A t B = ( ) (3 ) ( ) = ( 3 ) ( ) = ( ). B A t B I = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ). (B A t B I) 3 = ( ) ( ) ( ) = (4 ) ( ) = ( 8 ).. Su determinante es 8.