TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.

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1 TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre paréntesis:.... m x n Se llama dimensión de la matriz al número de filas por el número de columnas y se designa m x n. A veces se designa a la matriz con el símbolo A = con Ejemplo: A = Es una matriz de orden 2 x x 4 (2 filas y 4 columnas) Igualdad de Matrices: Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y coinciden término a término = 3 Si = 3 Entonces b = 5. = 2 + Submatriz de A: Toda matriz obtenida de la matriz a por la supresión de alguna fila y /o alguna columna: Matriz fila: Es una matriz de orden 1 x n. Ejemplo: ( ) 1 x 4 2 Matriz columna: Es una matriz de orden m x 1. Ejemplo: x 1 Matriz Nula: Todos los elementos son cero. Matriz cuadrada: Si tiene el mismo número de filas que de columnas. Si no es cuadrada se dice que es rectangular. = Diagonal principal 3 x 3

2 Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos distintos de la diagonal principal son cero. a i j = 0 si i j Ejemplo: = Una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal sean iguales se dice que es una matriz escalar. Matriz triangular superior: Son cero todos los elementos por debajo de la diagonal principal: Ejemplo: = diagonal principal. 0 1 ; será triangular inferior cuando sean cero por encima de la Matriz unitaria, unidad o identidad: Es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a = Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada en la que se verifique que = = Matriz traspuesta de A: Dada la matriz A, se llama traspuesta de A y se representa por A T, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas: A= A T = x x 2 Una matriz A es simétrica si A = A T. Las matrices traspuestas verifican: = 2. SUMA DE MATRICES: La suma de dos matrices A = (a ij ) y B = ( b ij ) es otra matriz de la misma dimensión y tal que : A + B = (aij + b ij ) Ejemplo: Sean las matrices: = a) + = = y = b) + = =

3 PROPIEDADES: 1. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C 2. Conmutativa: A + B = B + A 3. Elemento neutro: A + 0 = A ( 0 es la matriz nula) 4. Elemento opuesto: La matriz -A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, se llama matriz opuesta, ya que: A + (-A) = = + 3. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ El producto de un número real K por una matriz A = (a ij ) es otra matriz de la misma dimensión que A y que se obtiene multiplicando cada elemento de A por K: K (a ij ) = (Ka ij ) Ejemplo: Dadas las matrices A = y B = 0 Halla la matriz 3 A 2B: = 0 = PROPIEDADES: 1. K (A+B) = KA + KB (propiedad distributiva) 2. (K + H) A = KA + HA (propiedad distributiva) 3. K(HA)=(KH)A ( propiedad asociativa) A = A ( elemento neutro) 5. = 3 4. PRODUCTO DE MATRICES. El producto de la matriz A =(a ij ) de dimensión m x n por la matriz B =(b ij ) de dimensión n x p es otra matriz C= ( c ij ) de dimensión m x p, tal que cada elemento c ij de la matriz C se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B, es decir: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Ejemplo: Sean las matrices: A = -1 0 y B = 3 1 3x x (-3) (-1) + 2 (-1) A B = -1 0 = (-3) (-1)+0 (-1) = (-3) (-1)+1 (-1) x4

4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES: El producto de matrices, en general no es conmutativo, es decir : A B B A Sean A = 2-1 y B = A B = 2-1 = A B B A B A = 2-1 = Si A B = B A se dice que las matrices A y B conmutan. 1. Asociativa: A ( B C ) = (A B) C. 2. Distributiva respecto de la suma: A (B+C) = A B + A C 3. A I = I A, siendo I la matriz unidad de orden n y A una matriz cuadrada de orden n. 4. Si A 0 y B 0 puede ser A B = = Es decir el producto de dos matrices puede ser cero sin que las matrices sean cero. 5. = 4 Sean las matrices : A = y B = A B = = ( A B ) T = = 4 3 B T A T = = =, n veces. 5. MATRIZ INVERSA. Dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz inversa de A, y la dentaremos por A -1, a la matriz que verifica: A A -1 = A -1 A = I. Dada una matriz A, no siempre tiene inversa. Si tiene inversa se dice que la matriz a es regular o inversible, en caso contrario diremos que A es singular. Un procedimiento para calcular la inversa de una matriz, es utilizar la definición, por ejemplo:

5 Sea A = la matriz A -1 será de la forma A -1 = y se debe cumplir que A A -1 = I, por lo tanto = 1 ; = = = 0 Resolviendo el sistema se obtiene: = ; = 4 + = + 2 = 0 =, = Así la matriz A -1 = Comprueba, que por ejemplo, la matriz A = 2 6 no tiene inversa. 1 3 PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA: 1. = 2. + = + 3. = 4. = EJERCICIO Dada la matriz = : a) Demuestra que + = 0 b) Calcula SOLUCIÓN: a) = = = = = = Por lo tanto + = b) = = = =

6 6. RANGO DE UNA MATRIZ. 1. Dependencia e independencia de filas y columnas de una matriz: Una fila de una matriz, F i, se dice que depende linealmente de otras si existen números reales, a 1, a 2,, a n, tales que F i, se puede expresar como combinación lineal de las filas F 1, F 2,, F n, es decir: F i = a 1 F 1 + a 2 F a n F n. La definición es la misma para columnas. Por ejemplo: = F 3 = 2 F 1 + F Un conjunto de filas de una matriz es linealmente dependiente si al menos una de las filas depende linealmente de las restantes. En caso contrario se dice que las filas son linealmente independientes. En la matriz a del ejemplo, hay dos filas que son linealmente independientes. Se puede demostrar que el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes. 2. Rango de una matriz. Se llama rango o característica de una matriz, al número de filas o de columnas, distintas de cero, linealmente independientes. El rango de la matriz del ejemplo es 2, porque hay dos filas independientes, la tercera depende linealmente de las dos anteriores. Se expresa rg (A) = Por ejemplo el rango de la matriz A = es rg(a) = 1, ya que sólo hay una fila 3 independiente: F 2 = 2 F 1 y F 3 = F 1 +F Hay una serie de trasformaciones que no afectan al rango de la matriz: 1. Si cambiamos dos filas o dos columnas entre sí. 2. Si multiplicamos o dividimos todos los elementos de una fila o una columna por un número real no nulo. 3. Si sumamos o restamos a una fila o una columna otra multiplicada por un número cualquiera. Ejemplo 1: = = = Ejemplo 2: Calcula el rango de la matriz A, según los valores del parámetro k: A= rg = rg = ;

7 si K = 11 rg A = 2 ; si k 11, rg A = Ejemplo 3: Calcula el rango de la matriz A =

8 MATRICES. EJERCICIOS Dadas las matrices: A = Y B = Calcular: a) A + B ; b) A B ; c) A B ; d) B A e ) A A f) B B Calcula a, b c y d para que se cumpla: 2 = Dadas las matrices A = ; B = y C = 1 2. Calcula: 2 3 a) A + B ; b) A b C ; c) A B B C ; d ) 2 A T + B T 4. Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n, son ciertas, en general, las igualdades siguientes? a) + = b) + = 5. Encuentra todas las matrices, del orden correspondiente, que conmuten respectivamente, con las matrices: y Para la matriz A = ; calcula A 50 y A 97. Encuentra los valores de a y de b, para que la matriz A, conmute con la matriz Dadas las matrices A = 1 2 y B = 2 1 0, obtén si procede: ( B A) Demuestra que si A B = A y B A = B, entonces la matriz A cumple: A 2 = A 9. Dada la matriz A = 3 1, se pide: 5 2 a) Halla 3 A T A 2 I b) Resolver la ecuación: A X =

9 10. Obtén las matrices X e Y que verifican los siguientes sistemas: a) 2 X + Y = b) X + Y = 2 2) X 3 Y = X Y = Resolver la ecuación matricial: A X B + C = =, siendo : A = ; B = y C = Calcula A n, para n natural, siendo A, las siguientes matrices: a) b) c) d) Prueba que 2 = 0 siendo = Calcula Calcula el rango de las siguientes matrices: e) a) b) c) Estudia el rango de las siguientes matrices para los distintos valores de a: a) 1 2 b) Si A es una matriz cuadrada de orden n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad de orden n, qué matriz es B 2, si B = 2 A- I? Sea la matriz = 1 0 2, e es la matriz identidad, determina, si es posible, un valor k para que la matriz sea la matriz nula. 18. Resuelve la ecuación matricial: =, siendo: = = 2 = 0 y = Dadas las matrices = e = 1 se pide: a) Hallar dos constantes a y b, tales que = +. b) Sin calcular explícitamente y, y utilizando sólo la expresión anterior, obtener la matriz.

10 10

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