Matemáticas II. Prácticas: Matrices y Determinantes ; C = 1 3 5

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1 Matemáticas II Prácticas: Matrices y Determinantes. Sean las matrices cuadradas siguientes: B = C = Se pide calcular: a A B + C. b A AB + AC. c A B AB + ACB.. Sean las matrices: Se pide calcular: a B + C. b AB. c BA. d A B + C. e A B C. 4 4 B = 5 C =. Hallar x, y, z y w si x y z w x 6 = w + 4 x + y z + w w + 4. Sean calcular AB y BA. y B = Hallar las matrices que conmutan con A, es decir AB = BA, donde Probar que las matrices AA t y A t A están definidas para cualquier matriz A M n m R 7. Encontrar AA t y A t A donde 8. Sea 4 9. Dada la matriz 0 4 calcular A y A. Hallar f A donde f x = x 4x + x x encontrar un vector u = no nulo tal que A u = u. y

2 0. Dado el conjunto : Se pide: W = {A M x R a + a + a = 0 a = a } a Comprobar que W es un subespacio vectorial de M x R. b Determinar la dimensión de W y hallar una base.. Dadas las matrices: 4 B = 5 7 C = calcular a A B. b B A. c B C. d A C.. Hallar la traza de las matrices A, B, C y B + C: 4 B = Hallar el rango de las siguientes matrices: a b B = c C = d D = e E = C = Sean A, B, y C matrices regulares no singular del mismo orden nxn. Demostrar que si: AB = AC B = C Observación: Si A no es regular el resultado no es cierto. 5. Dadas las matrices B = 5 C = D = 5. Compruebese que:

3 a C = A. b D = B. c C + D A + B. 6. Hallar las inversas de las siguientes matrices a través de transformaciones elementales.: 0, 0 0, Determinar si alguna de las siguientes matrices es triangular, diagonal, simétrica, antisimétrica, ortogonal, idempotente, unipotente, nilpotente, positiva, estocástica o doblemente estocástica: A = A 4 = A 7 = A = A 5 = 0 A = A 6 = A 8 = 0 0 A 9 = / /4 /4 /4 /8 5/8 /4 5/8 /8 8. Calcular los siguientes determinantes de orden :, 0 4, a a b, cos θ sin θ sin θ cos θ, cos θ sin θ sin θ cos θ 9. Hallar la inversa de las matrices anteriores, en el caso de que exista. 0. Demostrar que si a, b y c son números reales, las raíces de la ecuación a x b b c x = 0 son reales.. Calcular los siguientes determinantes: 4 0 0, x y z x y z, a b 0 c 0 0. Calcular los siguientes determinantes mediante su desarrollo por la primera columna: 7 6 5, , 0 0. Calcular los siguientes determinantes reduciéndolos a una matriz triangular superior mediante operaciones elementales: , 7 0 4

4 4. Calcular los siguientes determinantes usando sus propiedades y efectuando un número reducido de computaciones , , x 0 0 y, Calcule los siguientes determinantes de orden 4: Calcule det AB, det BA t, det ABA B, det BB, donde: B = Comprobar, sin desarrollar, que el determinante de la matriz A es múltiplo de 9: Demostrar el siguiente determinante conocido como determinantes de Vandermonde: a b c d a b c d a b c d = b a c a d a b c b d c d 9. Dada la matriz a a a Determinar el rango de A según los valores del parámetro a R. 0. Determinar los valores de α y β para que el rango de la siguiente matriz sea lo más pequeño posible: α 0 β. Dada la matriz: Se pide: a Hallar la matriz Adj A.

5 b Calcular A. c Comprobar que: A Adj A t = Adj A t A I d Calcular A.. Determine si las siguientes matrices son invertibles y en caso afirmativo calcule la matriz inversa por el método de los adjuntos. A = 0 A = 0 A = A 4 = 0 A 5 =. Determinar para que valores de a son invertibles las matrices: a a 0 a B = a a a 4. Hallar la inversa de las matrices anteriores, en el caso de que exista. 5. Hallar las inversas de las siguientes matrices, calculando primero la matriz de cofactores: 0 0 0,, Encontrar los valores de a para que las matrices siguientes sean invertibles: a + a, a + 0 a + 0 a 7. Dadas las matrices B = C = a Particionar A y B en cuatro bloques y calcular A + B b Particionar A y B en seis bloques y calcular A B c Particionar de forma adecuada A y C para poder calcular, multiplicando pr bloques, la matriz CA d Efectual una partición diferente de la realizada en c que permita calcular CB. CUESTIONES:

6 . Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a Dada una matriz A M mxn R se verifica que rg mín {m, n}. b Dadas A, B M x R con rg y rg B = se verifica que rg A + B =. c Sean A, B M x R tales que AB = O x. Entonces se verifica que O x o bien B = O x.. Sean A y B dos matrices simétricas de orden, tales que rg y rg B =. Se verifica entonces que la matriz C = AB es simétrica e invertible. a Verdadero, porque el producto de matrices simétricas es una matriz simétrica y como rg AB máx {rg A, rg B} entonces rg AB = y C = AB es invertible. b Es cierto que C = AB es una matriz simétrica por ser producto de dos matrices simétricas, pero es falso que sea invertible, pues si exixtiese C sería: C = AB = B A y esto no es posible al ser B una matriz no invertible. c Falso, ya que rg AB mín {rg A, rg B} = no siendo, por tanto, C = AB invertible. Además al multiplicar matrices simétricas, en general no se obtiene como resultado una matriz simétrica.. Para matrices de orden n analizar si son verdaderas o falsas cada una de las afirmaciones siguientes, demostrándolas en caso afirmativo y dando un contraejemplo en caso contrario: a Si A y B son invertibles, entonces A + B también lo es. b Si A y B son invertibles, entonces AB también lo es. c Si A es invertible, entonces αa también lo es para cualquier α R. d Si A es invertible, entonces A también lo es, siendo A = A. 4. Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a Dada una matriz no singular A M mxn R se verifica que tr A = tra y A = A. b Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden se cumple que: tr AB = tr BA y AB = A B c Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden se cumple que si rg rg B entonces A = B. d Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y A = B entonces rg rg B. 5. Dadas las matrices α 0 0 α 0 0 α 0 0 α y D = α α α α con α 0, se verifica: a A = α 4. b A = D. c A + D = 0. d La matriz A D es simétrica.

7 e rg rg D. 6. Sean A y B M n R dos matrices tales que A B =. Entonces se verifica que B es la matriz inversa de A a Falso, lo único que podemos afirmar es que ambas matrices son invertibles. b Verdadero, ya que entonces B = A. B = A = A, c Falso, la firmación del enunciado sólo es cierta cuando B = Adj A A 7. Dada la matriz: se verifica que: para todo a R. a 0 a rg 4 a Verdadero, pues para cualquier a R se tiene que A =. b Falso, ya que si a = 0 entonces rg. c Falso, el rango de A es siempre inferior a 4 cualquiera que sea el valor de a R, ya que A = a B con 0 0 B = siendo B = 0.