3. Matrices. 1 Definiciones básicas. 2 Operaciones con matrices. 2.2 Producto de una matriz por un escalar. 2.1 Suma de matrices.

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1 Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 3 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de dimensión m n es un conjunto de escalares de un cuerpo IK dispuesto en m-filas y n-columnas Si m = n la matriz se llama cuadrada y en otro caso rectangular Para nombrar una matriz utilizaremos usualmente letras mayúsculas, mientras que para sus elementos utilizaremos letras minúsculas En concreto, el elemento que ocupa la fila i-ésima y la columna j-ésima de una matriz A se denotará por a ij o excepcionalmente por, (A) ij: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = (a ij) = a m1 a m2 a mn El conjunto de todas las matrices de m filas y n columnas definidas sobre un cuerpo IK será denotado por M m n(ik) Si previamente hemos fijado el cuerpo sobre el cual estamos trabajando, utilizaremos simplemente M m n Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y además coinciden todos sus elementos con la misma ordenación 2 Operaciones con matrices 21 Suma de matrices Dadas dos matrices A, B de la misma dimensión y definidas sobre el mismo cuerpo, la matriz suma de A y B es la matriz: C = A + B, con c ij = a ij + b ij, i = 1,, m; j = 1,, n Por tanto la suma de matrices es una operación interna en M m n(ik) Como consecuencia de la estructura de grupo del cuerpo IK, la suma de matrices cumple las siguientes propiedades: 1 Conmutativa: para cualesquiera A, B M m n(ik) A + B = B + A, 2 Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C, para cualesquiera A, B, C M m n(ik) 3 Elemento neutro: La matriz Ω M m n(ik) en la que todos los elementos son nulos, es el elemento neutro de la suma, es decir: Ω =, y A + Ω = Ω + A = A, para cualquier A M m n(ik) 4 Elemento opuesto: Para cualquier matriz A M m n(ik), existe una matriz A = ( a ij), verificando que A + ( A) = Ω Por tanto el conjunto M m n(ik) con la operación suma tiene estructura de grupo abeliano 22 Producto de una matriz por un escalar Dada una matriz A M m n(ik) y un escalar α IK definimos la matriz producto de α por A como: B = α A, con α a ij, i = 1,, m; j = 1,, n El producto de un escalar por una matriz cumple las siguientes propiedades 1 1 A = A, para cualquier A M m n(ik) 2 α (β A) = (αβ) A, para cualquier A M m n(ik) y α, β IK 3 (α + β) A = α A + β A, para cualquier A M m n(ik) y α, β IK 4 α (A + B) = α A + α B, para cualesquiera A, B M m n(ik) y α IK 23 Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de fila de la segunda Por tanto dadas dos matrices A M m n(ik) y B M n p(ik) definimos la matriz producto C = A B M m p como: c ij = a ik b kj, i = 1,, m; j = 1,, p 7

2 Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC de manera que el término de la posición i, j de la matriz producto se obtiene utilizando la fila i-ésima de la primera matriz y la columna j-ésima de la segunda b 1j b 2j ( ) a i1 a i2 a in = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj Veamos algunas propiedades: 1 Asociativa: b nj A (B C) = (A B) C, para cualesquiera A M m n, B M n p, B M p q [A (B C)] ij = a ik (B C) kj = b kl c lj = y por otra parte: [(A B) C] ij = (A B) il c lj = a ik c lj a ik b kl = a ik b kl c lj, a ik b kl c lj 2 Elemento neutro: Definimos la matriz identidad de orden r como I r M r r(ik): I r = de manera que se cumple: A I n = I m A = A para cualquier A M m n(ik) Se le llama el delta de Kronecker a los elementos 1 si i = j δ ij = 0 si i j Con esta notación los elementos de la matriz identidad son los del delta de Kronecker 3 Distributiva respecto a la suma: Es importante indicar que, es decir, en general A B B A 231 Inversa de una matriz El producto de matrices NO cumple la propiedad CONMUTATIVA Definición 21 Una matriz cuadrada A M n n(ik) tiene inversa si existe una matriz B M n n(ik) verificando: A B = B A = I n En este caso A se dice regular ó invertible ó no singular y su matriz inversa de denota por A 1 Si A no tiene inversa, se dice singular Veamos algunas propiedades: 1 Si existe la inversa de A, es única Prueba: Supongamos que existen matrices B, C M n n(ik) verificando: Entonces: A B = B A = I n y A C = C A = I n B = I n B = (C A) B = C (A B) = C I n = C 2 Si A, B M n n(ik) tienen inversa, entonces (A B) 1 = B 1 A 1 (A B) (B 1 A 1 ) = A (B B 1 ) A 1 = A I n A 1 = A A 1 = I n y A (B + C) = A B + A C, con A M m n, B, C M n p (A + B) C = A C + B C, con A, B M m n, C M n p (B 1 A 1 ) (A B) = B 1 (A 1 A) B = B 1 I n B = B 1 B = I n Veremos más adelante diversos métodos para el cálculo de una matriz inversa 8

3 Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 232 Potencia de una matriz Dado un número entero k y una matriz cuadrada A M n n(ik) definimos la potencia k-ésima de A como: A } A A } si k > 0 k-veces A k = I n si k = 0 3 Matrices especiales 31 Matrices simétricas y hemisimétricas Definición 31 Dada una matriz cuadrada A M n n(ik) dedimos que A es: - simétrica cuando A = A t - antisimétrica ó hemisimétrica cuando A = A t A 1 A 1 A 1 }} (-k)-veces si k < 0 (y A es regular) De la definición es fácil comprobar lo siguiente: Es claro que se cumple que: A k A l = A k+l Sin embargo, y debido a que el producto de matrices no es conmutativo, en general: 24 Matriz traspuesta A k B k (A B) k Definición 22 Dada una matriz A M m nik definimos la matriz traspuesta de A como la matriz A t M m nik que se obtiene de A intercambiando las filas por las columnas: (A t ) ij = (A) ji i = 1,, n; j = 1,, m Algunas propiedades de la trasposición son: 1 (A t ) t = A, para cualquier A M m n(ik) 2 (A + B) t = A t + B t, para cualesquiera A, B M m n(ik) 3 (αa) t = αa t, para cualquier A M m n(ik), α IK 4 (A B) t = B t A t, para cualesquiera A M m n(ik), B M n p(ik) (A B) t ij = (A B) ji = a jk b ki = (B t ) ik (A t ) kj = (B t A t ) ij 5 (A t ) 1 = (A 1 ) t, para cualquier A M n n(ik) Prueba: Basta tener en cuenta que: A t (A 1 ) t = (A 1 A) t = I t = I; (A 1 ) t A t = (A A 1 ) t = I t = I 1 Toda matriz hemisimétrica tiene ceros en la diagonal Prueba: Si A es hemisimétrica: para cualquier i = 1,, n a ii = a ii 2a ii = 0 a ii = 0 2 La única matriz simétrica y hemisimétrica al mismo tiempo es la matriz Ω Prueba: Si A es simétrica y hemisimétrica se tiene: A simétr A hemisimétr a ij = a ji = a ij 2a ij = 0 a ij = 0 para cualesquiera i, j = 1,, n 3 Toda matriz cuadrada se descompone de manera única como suma de una simétrica y otra antisimétrica Prueba: Dada una matriz cuadrada A M n n(ik) puede escribirse como: A = S + H, con donde S es simétrica y H es hemisimétrica S = 1 2 (A + At ) H = 1 2 (A At ) Además si A tuviese otra descomposición de este tipo A = S + H con S simétrica y H hemisimétrica: S + H = A = S + H S S = H H de manera que S S = H H sería simétrica y hemisimétrica al mismo tiempo Por tanto S S = H H = Ω y ambas descomposiciones coinciden 9

4 Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 32 Matriz diagonal Definición 32 Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal son nulos d d 22 0 D = 0 0 d nn D diagonal d ij = 0, i, j = 1,, n, i j A, B diagonales αa, A t, A 1 (si existe), A + B, A B diagonales 33 Matrices triangulares Definición 33 Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por debajo de la diagonal son nulos a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n A = 0 0 a nn A triangular superior a ij = 0, i, j = 1,, n, i > j A, B triangulares superiores αa, A 1 (si existe), A + B, A B triangulares superiores Definición 34 Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal son nulos a a 21 a 22 0 A = a n1 a n2 a nn A triangular inferior a ij = 0, i, j = 1,, n, i < j A, B triangulares inferiores 34 Matrices ortogonales αa, A 1 (si existe), A + B, A B triangulares inferiores Definición 35 Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada e inversible A cuya inversa coincide con su traspuesta: A 1 = A t 4 Transformaciones elementales 41 Operaciones elementales de fila Las operaciones elementales de fila son: 1 H ij : Permuta la fila i con la fila j 2 H i(λ) : Multiplica la fila i por un escalar λ 0 3 H ij(λ) : A la fila i se le suma la fila j multiplicada por λ 42 Matrices elementales de fila Las matrices elementales de fila son el resultado de aplicar una operación elemental fila a la matriz identidad de una determinada dimensión Por tanto tendremos tres tipos de matrices elementales fila: 1 H ij : Matriz obtenida al intercambiar las filas i, j de la matriz identidad 2 H i(λ) : Matriz obtenida al multiplicar la fila i de la identidad por λ 0 3 H ij(λ) : Matriz obtenida al sumar en la matriz identidad a la fila i,la fila j multiplicada por λ Teorema 41 Realizar una operación elemental fila sobre una matriz A M m n es lo mismo que multiplicar dicha matriz por la izquierda por la correspondiente matriz elemental de fila de dimensión m Prueba: 10

5 Tema I Capítulo 3 Matrices Álgebra Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 1 Calculemos B = H αβ A: (H αβ ) ik a kj = aij si i α, i β a βj si i = α a αj si i = β Vemos que la matriz B se obtiene de la A intercambiando las filas α, β 2 Calculemos B = H α(λ) A: H α(λ) ik a kj = aij si i α λa αj si i = α Vemos que la matriz B se obtiene de la A multiplicando la fila α por λ 3 Calculemos B = H αβ (λ) A: H αβ (λ) ik a kj = a ij si i α a ij + λa βj si i = α Vemos que la matriz B se obtiene de la A sumándole a la fila α la fila β multiplicada por λ Proposición 42 Todas las matrices elementales de fila son inversibles En particular: (H ij) 1 = H ij; (H i(λ)) 1 = H i( 1 λ ); (Hij(λ)) 1 = H ij( λ); 44 Matrices elementales de columna Las matrices elementales de columna, son el resultado de aplicar una operación elemental columna a la matriz identidad de una determinada dimensión Por tanto tendremos tres tipos de matrices elementales columna: 1 ν ij : Matriz obtenida al intercambiar las columnas i, j de la matriz identidad 2 ν i(λ) : Matriz obtenida al multiplicar la columna i de la identidad por λ 0 3 ν ij(λ) : Matriz obtenida al sumar en la matriz identidad a la columna i,la columna j multiplicada por λ Es claro que: ν ij = (H ij) t ; ν i(λ) = (H i(λ)) t ; ν ij(λ) = (H ij(λ)) t ; Como consecuencia de esto, las matrices elementales columna cumplen propiedades análogas a las de las matrices elementales fila Teorema 43 Realizar una operación elemental columna sobre una matriz A M m n es lo mismo que multiplicar dicha matriz por la derecha por la correspondiente matriz elemental de columna de dimensión n Proposición 44 Todas las matrices elementales de columna son inversibles En particular: (ν ij) 1 = ν ij; (ν i(λ)) 1 = ν i( 1 λ ); (νij(λ)) 1 = ν ij( λ); Prueba: Basta tener en cuenta lo siguiente: - La operación elemental inversa de intercambiar las filas i, j es volver a intercambiar dichas filas - La operación elemental inversa de multiplicar la fila i por λ es dividirla por λ - La operación elemental inversa de sumarle a la fila i, la fila j multiplicada por λ, es restarle a la fila i la fila j multiplicada por λ 43 Operaciones elementales de columna Las operaciones elementales de columna son: 1 ν ij : Permuta la columna i con la columna j 2 ν i(λ) : Multiplica la columna i por un escalar λ 0 3 ν ij(λ) : A la columna i se le suma la columna j multiplicada por λ 11

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