EJERCICIOS SOBRE MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 EJERCICIOS SOBRE MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES ) Dadas las matrices 7 A, 4 5 B y 4 C, comprueba las siguientes igualdades: A (B C)(A B) C A (B+C)(A B)+(A C) (A+B) C(A C)+(B C) ) Dadas las matrices 7 A y B, calcula: A+B B A B (-A) A A-B B ) Sean 5 A y 6 B, encuentra una matriz X que cumpla: X- A5 B 4) Encuentra dos matrices, A y B, que cumplan: + 4 B A y B A 5) Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas: A, 7 4 B, C A+B+C A B+A C (A-B) C A B C 6) Dada la matriz A, comprueba que ( ) I A. 7) Comprueba que A A-A-I, siendo A.

2 4 8) Consideramos la matriz A Demuestra que se verifica que A nula. Calcula razonadamente A y 9) Sea M Calcula también las matrices 5 A + I, siendo I la matriz unidad y la matriz e I la matriz identidad de orden. Calcula la matriz J tal que M J + I. J, J y J 5 97 ) Sea la matriz A. Calcula A y A. Encuentra los valores de a y b para que la a matriz A conmute con la matriz B b ) Dadas las matrices A y t t B, comprueba que ( ) t A B B A. ) Comprueba que la matriz 4 4 B 4 4 es la inversa de la matriz A. ) Comprueba que la matriz inversa de A es 6. 4 A 4) Calcula el rango de las siguientes matrices: A D 4 6 B E C F

3 5) Calcula la matriz X tal que X B AB, siendo A y B. m 6) Determina los valores de m para los que X 5 verifica que X X + I ) Comprueba que A A I, siendo A. Utiliza la igualdad anterior para 4 4 calcular A 4. 8) En un edificio hay tres tipos de viviendas: L, L4 y L5. Las viviendas L tienen 4 ventanas pequeñas y grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene cristales y 4 bisagras y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras. Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana. Calcula la matriz que exprese el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda. 9) Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones: e) f) x y 7 5x+ y 7 x+ y z x+ y+ z 5x+ y+ z y+ z x y z x y + z x+ 4y z 6x 6y+ z 6 x y+ z 6 x+ y+ z 9 x y z x y+ z 5 x+ y z x 4y+ z x+ y+ z g) h) i) j) k) l) x+ y+ z 4x+ y z 6x+ y+ z x y+ z x y 4x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ 5z x 5y+ 6z 9 y+ z x y x + y + z x+ y+ z 4x+ y z 5 x+ 4y 7z x y+ z 4t x y+ z+ t x y+ 5z+ 6t m) n) o) p) xy z x+ 5y+ z x+ y+ z x+ 7y+ 5z 5 x+ y+ z+ t x y + z t x + y z t x+ y+ z t x + y z + w x + z y + w x + z x + y y + z x + y + z

4 ) Dos amigos invierten cada uno. El primero coloca una cantidad A al 4% de interés, una cantidad B al 5% y el resto al 6%. El otro invierte las mismas cantidades a intereses del 5%, 6% y 4%, respectivamente. Determina las cantidades A, B y C sabiendo que el primero obtiene unos intereses de 6 y el segundo de 57. ) Una tienda ha vendido 6 ejemplares de un videojuego por un total de 684. El precio del original era de, pero también han vendido copias defectuosas con descuentos del % y del 4%. Sabiendo que el número de copias defectuosas vendidas fue la mitad del de originales, calcula a cuántas copias se les aplicó el % de descuento. ) *Dada la matriz 4 5 A 4, calcula 4 A, A,..., 8 A. ) *Calcula n A siendo 7 7 A 4) *Dada la matriz A, prueba que matriz I + A+ A es la inversa de I A A es la matriz nula. Prueba después que la 5) *Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su traspuesta. 5 x Calcula x e y para que la matriz A y 5 sea ortogonal. 6) Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que cuando uno pierda, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno tenía 4. Cuánto dinero tenía cada jugador al comenzar el juego? 7) Si se mezclan 6 litros de vino blanco con litros de vino tinto, se obtiene un vino de grados (% de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan litros de blanco con 6 litros de tinto, se obtiene un vino de grados. Qué graduación tendrá una mezcla de 4 litros de vino blanco y 4 litros de tinto? 8) Si la altura de Álvaro aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de David y Javier, Álvaro sería igual de alto que Javier. Las alturas de los tres suman 55 cm. Ocho veces la altura de David, es lo mismo que nueve la de Álvaro. Cuánto mide cada uno? 4

5 9) Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres formatos A, B, C, cuyos pesos y precios son: FORMATO PESO (G) PRECIO ( ) A 5.5 B 5.5 C A una farmacia se le ha suministrado un lote de 5 cajas con un peso de,5 kg. por un importe de Cuántos envases de cada tipo ha comprado la farmacia? ) Discute los siguientes sistemas de ecuaciones: x y z k x y + z x + y + kz x + y z x + y + z x + ay + 4z x y + z mx + y z x + 4y z e) f) x + y z x y + z 5x 5y + z m x y 4 y x + x + ky x y z x + y + z x + z x + y + 5z m ) Discute y resuelve según los valores de a los siguientes sistemas: ax+ y a x + ay x+ ay ax x ay ay ) Dado el sistema mx y, halla m para que: x my m No tenga soluciones. Tenga infinitas soluciones. Tenga solución única. Tenga una solución en la que x. ) Estudia el siguiente sistema según los valores de a x y ax y x+ y x+ 5y a x y m 4) Dado el sistema de ecuaciones mx+ y 4 x y 5

6 Haz un estudio de él según los diferentes valores del parámetro m. Resuelve el sistema en los casos que sea compatible. 5) Para qué valores de m es incompatible el siguiente sistema? x+ z 8 x+ y+ z x+ y+ mz 5 6) Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones x-y+ 4z 8 lineales: x+ y+ z 7x-8y+ 8z a b 7) Sabiendo que 7, determina el valor de los siguientes determinantes: c d a b b c d d a b c d 8) *Resuelve las ecuaciones siguientes: b d a a c b ac bd + x x x + x x x x x 9) Calcula el valor de los determinantes siguientes: senx cos x e) f)

7 g) h) ) Calcula el valor de a que anula cada uno de los determinantes siguientes: 4 5 a a a + a + 6 a a + a a 4) Calcula: 4 + a + a + a 4+ a a a a a m m m 4) Estudia el rango de las siguientes matrices: ) Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores de a: a a a 4 8 a a a a 7

8 e) t + 4 t 4 4 t 44) Calcula el valor de este determinante dando el resultado factorizado: x x x x x x x x x x x x 45) Halla, en función de a, el valor de los determinantes siguientes: a+ a a a a a+ a a a a a+ a a a a a+ a a a a a a a a a 4 a 46) Estudia y resuelve los sistemas siguientes: x y z x + y + z x + z x + y + z x y 7z y + z x + y x + y + z 6 x y + z 5 x y + z e) x + y z + u 7 x y + z u 5 4x + y u 6 x + y z + u x + z u x y + z u 47) Discute y resuelve los sistemas siguientes según los distintos valores del parámetro k: 8

9 x y x + y 4x y k y x + 4 y + x + k x + y y z k x z y + z 6 x + y 4z k kx + y ky + z kx + y + z 48) Resuelve los siguientes sistemas homogéneos: x + y z x y z x y + z 9x + y + z x y + z 8x + y + 4z x + y z x + y + z t x + y z + t x + y + t x + y x + z x + t y + z + t 49) *Discute y resuelve los sistemas siguientes según los distintos valores del parámetro k: x y + z x + ay + z 8 ax + y + az x y + z x my z 5x + y z x y x + y a x + ( a + ) y a y z a x z y + z 6 x + y 4z a 5) Dada la matriz A, resuelve por el método de Gauss: t El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AA. t El sistema de ecuaciones lineales no homogéneo cuya matriz ampliada es A A, siendo la última columna los términos independientes. 5) Sea x A x Halla los valores de x para los que A tiene inversa. Calcula, si es posible, A - para x. 9

10 5) Dadas las matrices A 5, matriz X que verifica que AB+CXD. B, C 4 y 9 D 8 7, halla la 5) Halla X tal que AXB, donde A y B. 54) *Sean las matrices A y B Halla la matriz inversa de AB Halla el producto de B - por A -. Qué relación existe entre esta matriz y la del apartado anterior? 55) Comprueba que x y z 5 v xyzv. a b c 56) Sabiendo que d e f, calcula, sin desarrollar, el valor del determinante: g h i i g h f + c d + a e+ b c a b