MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn

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1 Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A m m m... mn Un mtriz como l nterior con m fils y n columns, diremos que es de orden mn o de dimensión mn Por ejemplo: A es un mtriz de dos fils y tres columns. El elemento - ALGUNOS TIPOS DE MATRICES.. MATRIZ FILA Es un mtriz que tiene un sol fil y n columns Ejemplo: A ( -) que tiene un fil y cinco columns... MATRIZ COLUMNA. Es un mtriz que tiene m fils y un column. Ejemplo: B tiene tres fils y un column... MATRIZ NULA. Es l mtriz cuyos elementos son todos nulos. I.B. Sos Bynt

2 Mtrices.. MATRIZ TRANSPUESTA Dd un mtriz A se represent por A t y se otiene cmindo fils por columns en l mtriz A. Si A es de orden mn, entonces A t será de orden nm: ( ij ) t ( ji ) Ejemplo: A su trnspuest A t Ejercicio.. MATRIZ ESCALONADA Es quell (no necesrimente cudrd) donde ij si i>j.. MATRIZ CUADRADA Es un mtriz que tiene el mismo número de fils que de columns. Ejemplos: C Digonles de un mtriz cudrd. Se llm digonl principl de un mtriz cudrd l conjunto de elementos del tipo ii. El conjunto de elementos del tipo ij con i j n formn l digonl secundri. En l mtriz C 9 l digonl principl es {,, } y l secundri {,, 9 }. 9 I.B. Sos Bynt

3 Mtrices.. MATRIZ UNIDAD. Es un mtriz cudrd en l que todos sus elementos son cero, ecepto los de l digonl principl que está formd por unos. Es decir: ii y ij i j Ejemplo: I.. MATRIZ TRIANGULAR. Es un mtriz cudrd en l que todos sus elementos por encim o por dejo de su digonl principl son nulos. Ejemplo: S T.9 MATRIZ SIMÉTRICA Se dice que un mtriz A es simétric si coincide con su trnspuest. Tod mtriz simétric es cudrd. AA t Ejemplo: A. MATRIZ ANTISIMÉTRICA Se dice que un mtriz A es ntisimétric si coincide con su trnspuest cmid de signo. Tod mtriz ntisimétric es cudrd. A - A t Ejemplo: A I.B. Sos Bynt

4 Mtrices. IGUALDAD DE MATRICES. Dds dos mtrices A y B, se dice que son igules cundo: Tienen mism dimensión y, ij ij ( i, j) I J. OPERACIONES CON MATRICES... SUMA DE MATRICES. Dds dos mtrices A y B del mismo orden, mn, se define l sum de ms como otr mtriz, del mismo orden, que se otiene sumndo los elementos que ocupn el mismo lugr. Se trt de un operción intern del conjunto de ls mtrices de orden o dimensión mn: A, B M mn AB M mn n n A B n n m m mn m m mn n n n n m m m m mn mn... PROPIEDADES DE LA SUMA - Asocitiv - Elemento neutro ( mtriz cuyos elementos son todos nulos) - Elemento simétrico, el simétrico de l mtriz ij, es ij (llmd mtriz opuest). - Conmuttiv.. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ. Dd un mtriz A, de orden m n, y un elemento α (esclr) del cuerpor, se define el producto de α por A como otr mtriz del mismo orden cuyos elementos se otienen multiplicndo α por cd uno de los elementos de l mtriz. Se trt de un operción etern: R M mn M mn ) R M mn M mn I.B. Sos Bynt

5 Mtrices α A α m m n α n α.. mn α m α α α.. m αn α n.. α mn Ejercicio.. PRODUCTO DE MATRICES Pr multiplicr dos mtrices es imprescindile que el número de columns de l primer se igul l número de ls fils de l segund. Por eso los órdenes tienen que ser mn y np, respectivmente, y su producto es de orden mp. Si dos mtrices A( ij ) y B( i,j ) son multiplicles (nº de columns de A nº fils de B) los elementos de l mtriz producto, P (p i,j ), se otienen medinte l ley simólic: EJEMPLO: p i,j [FILA i] C O L U M N A j n i, k k k, j A ; B A B.. ( )..... ( ) ( ). ( ). ( ).. ( ).... ( ) ( ) ( ). ( ). Reliz los siguientes productos: ( ) ; ( ) I.B. Sos Bynt

6 Mtrices... PROPIEDADES DEL PRODUCTO I ) A.B B. A. No se cumple l propiedd conmuttiv. EJEMPLO: Sen ls mtrices A y B del ejemplo nterior: A B Pero B A no se puede efectur pues, dim(b) y dim(a) II ) A ( B. C ) ( A. B ) C Comprue est propiedd con ls siguientes mtrices: A B ; C ; III ) A ( B C ) AB AC IV ) ( BC ) A BACA V ) ( α A) B A ( α B ) α ( A B ) VI ) Eiste elemento unidd (es l mtriz unidd).a II AA(solo pr mtrices cudrds) VII ) El producto de dos mtrices puede ser cero sin ser nuls ls mtrices (divisores de cero). EJEMPLO:. Ejercicios,,,... PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICIÓN DE MATRICES I) (A t ) t A II) (AB) t A t B t III) (k A) t k A t IV) (A B) t B t A t Ejercicio. Comprue ls propieddes nteriores con ls mtrices: A B Ejercicios,, 9,,, I.B. Sos Bynt

7 Mtrices. MATRIZ INVERSA Se llm mtriz invers de A quell que multiplicd por A d como resultdo l mtriz unidd I. A l mtriz invers de A se l denot por A-. De modo que A.A - A -. AI. Dd l mtriz A )Clcul l mtriz invers de l mtriz A medinte un sistem de ecuciones. )Clcul l mtriz invers de l mtriz A por el método de Guss. Ejercicios,,,,, RANGO DE UNA MATRIZ. DEFINICIÓN Rngo fil de un mtriz es el myor número de fils linelmente independientes Rngo column de un mtriz es el myor número de columns linelmente inde pendientes. El rngo fil y rngo column de un mtriz coincide, esto permite trjr con ls fils o con ls columns indistintmente l hor de hllr el rngo de un mtriz.. PROPIEDADES ) Si en un mtriz A, se intercmin entre sí dos fils ( columns) se otiene otr mtriz A ( distint del nterior) pero rngo (A) rngo (A). ) Si un mtriz A se suprime un fil (column) que es cominción linel de otrs se otiene un mtriz A tl que rngo (A) rngo (A). c) Si un fil (column) de un mtriz A se le ñde un cominción linel de otrs vris se otiene un mtriz A tl que rngo (A) rngo (A ). d) Si un mtriz A se suprime un fil (column) que est formd tod por ceros se otiene un mtriz A tl que rngo (A) rngo (A ). e) Si reducimos l mtriz A l form esclond A plicndo ls trnsformciones nteriores, el rngo de A es el número de fils distints de cero. I.B. Sos Bynt

8 Mtrices I.B. Sos Bynt EJEMPLO: Hllr el rngo de A. A rngo (A) Ejercicio 9 FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES El siguiente sistem de ecuciones: m n mn m m n n n n... es equivlente l siguiente ecución n n m m mn n m o simplemente A XB donde A( ij ), X ( i ) y B ( i ) A l mtriz A se le llm mtriz de coeficientes del sistem y

9 Mtrices... n... (A/B) n se l llm mtriz mplid (es l mtriz A m m... mn m l que se ñde l column de los términos independientes).. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR MEDIO DE LA INVERSA El sistem () de l pregunt nterior podrí resolverse de l siguiente form: ) Epresándolo mtricilmente... n... n m m... mn n m o simplemente A.X B ) Clculndo A - ) Multiplicndo l epresión A.X B por A - se otiene: A - (A.X) A -.B I.X A -.B Ejercicio X A -.B I.B. Sos Bynt

10 Mtrices I.B. Sos Bynt EJERCICIOS..- Escrie l mtriz trnspuest de: A ; B ; C ( ).- Dds ls mtrices: A ; B ; C ; D Clcul E A - B C D.- Efectú todos los posiles productos entre dos de ls siguientes mtrices: A ; B ; C ; D.- Dd l mtriz A, clcul A, A, A,...A n..- Dd l mtriz A, clcul A, A,...A..- Dds ls mtrices: A / / ; B, clcul A n y B n..- Clcul los vlores de, y, z, t en: ) 9 9 t z y ) t z y

11 Mtrices I.B. Sos Bynt.-Siendo A y B, hll X de mner que se cumpl : X- A B. 9.- Resuelve el siguiente sistem de ecuciones: B Y X A Y X siendo A ; B.- Hll dos mtrices, A y B, de dimensión que cumpln: A B ; A B.- Hll dos mtrices, X y Y, que cumpln: X Y y X Y.- Determin ls mtrices A y B que son solución del siguiente sistem mtricil: A - B 9 A B.- Hll l invers( si eiste) de ls siguientes mtrices: A ; B ; C ; D ; E 9 ; F.- Determin l mtriz X que verific: AXA B, siendo A y B

12 Mtrices I.B. Sos Bynt 9.- Dd l mtriz A, encuentr un mtriz B de mner que se cumpl: A B.- Se A ; B ( - ). Clcul l mtriz X que verific: X A B..- Resuelve l ecución mtricil: A AX B O, siendo A y B.- Resuelve l ecución mtricil: X 9.- Hll l rngo de ls siguientes mtrices: A ; B ; C ; D ; E ; F 9.- Epres en form mtricil y resuelve los siguientes sistems de ecuciones: ) z y z z y ) z y y z c) y y Ejercicios selectividd.

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