Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.

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1 Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices Definiciones y propiedades Nota En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición La aplicación f : R n R m diremos que es lineal si v, w R n y todo α R se tiene que: (1) f( v + w) = f( v) + f( w). (2) f(α v) = α f( v). Ejemplos (1) La aplicación f 0 : R n R m, definida por f 0 ( v) = 0 v R n, es lineal. (2) La aplicación identidad 1 R n : R n, definida por 1 R n( v) = v v R n, es lineal. 13

2 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Propiedades Sea f : R n R m una aplicación lineal ( n ) n (1) f λ i v i = λ i f( v i ), λ i R, v i R n, i = 1, 2,, n i=1 i=1 (2) f( 0) = 0. (3) f( v) = f( v). (4) f( v w) = f( v) f( w). (5) Si S es un subespacio vectorial de R n, entonces f(s) es un subespacio vectorial de R m. (6) Si { v 1, v 2,, v k } es un sistema generador del subespacio S, entonces {f( v 1 ), f( v 2 ),, f( v k )} es un sistema generador del subespacio f(s) Representación matricial de una aplicación lineal Toda aplicación lineal f : R n R m viene determinada por una matriz A M m n y el análisis de la aplicación puede reducirse al análisis de la matriz que la determina. Proposición Sean B = { u 1, u 2,, u n } base de R n, B = { u 1, u 2,, u m} base de R m y f : R n R m una aplicación lineal tal que las imágenes por f de los vectores de la base B tienen coordenadas respecto de la base B : f( u 1 ) = (a 11, a 21,, a m1 ) B f( u 2 ) = (a 12, a 22,, a m2 ) B f( u n ) = (a 1n, a 2n,, a mn ) B La imagen del vector x = (x 1, x 2,, x n ) B se puede expresar en coordenadas respecto a la base B como: a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x 2 (y 1, y 2,, y m ) B = f((x 1, x 2,, x n ) = a m1 a m2 a mn Donde la matriz A = (a ij ) tiene por columnas las imágenes por f de las vectores de la base B con coordenadas en la base B. x n B 14

3 Grupos A y D Curso 2014/2015 Esta expresión recibe el nombre de expresión matricial de f respecto de las bases B y B de R n y R m respectivamente. Nota Salvo que se diga lo contrario, las bases que utilizaremos en lo sucesivo serán las bases canónicas de los respectivos espacios vectoriales, por lo que la expresión del vector coincidirá con sus coordenadas. Definición Sean A, B M m n, A, B son equivalentes si existen P M n n y Q M m m no singulares tales que B = Q 1 AP. Nota Dos matrices asociadas a la misma aplicación lineal con respecto a bases diferentes son equivalentes. Recíprocamente, dos matrices equivalentes siempre están asociadas a la misma aplicación lineal con respecto a bases diferentes. Definición Sean A, B M n n, (matrices cuadradas). A, B son semejantes si existe P M n n no singular tal que B = P 1 AP. Nota Dos matrices asociadas al mismo endomorfismo con respecto a bases diferentes son semejantes. Recíprocamente, dos matrices semejantes siempre están asociadas al mismo endomorfismo con respecto a bases diferentes Núcleo e imagen de una aplicación lineal. Definición Sea f : R n R m una aplicación lineal. El subconjunto del espacio inicial (R n ) formado por los vectores cuya imagen por f es el vector nulo del espacio final, recibe el nombre de Núcleo de f: N(f) = Ker(f) = { u R n : f( u) = 0}. El subconjunto del espacio final (R m ) formado por las imágenes por f de los vectores del espacio inicial recibe el nombre de Imagen de f: Im(f) = { v R m : u R n : v = f( u)}. 15

4 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Proposición Sea f : R n R m una aplicación lineal. Ker(f) es un subespacio vectorial del espacio inicial (R n ). (Ker(f) = f 1 ( 0)). Im(f) es un subespacio vectorial del espacio final (R m ). (Im(f) = f(r n )). dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(r n ) = n. Para el cálculo del núcleo y la imagen de una aplicación lineal, si la expresión matricial es Y = AX, con A M m n : Las ecuaciones implícitas del núcleo corresponden al sistema AX = Θ (También se puede obtener igualando la expresión analítica de f al vector nulo). Un sistema generador de la imagen está formado por las columnas de la matriz A. (También se puede obtener calculando la imagen por f de cualquier base). Definición Sea f : R n R m una aplicación lineal. f es Inyectiva si vectores distintos del espacio inicial tienen imágenes distintas. u, v R n : u v f( u) f( v) ó f( u) = f( v) u = v. f es Sobreyectiva si todo vector del espacio final es imagen de algún vector: v R m, u R n : v = f( u). f es Biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Proposición f es Inyectiva Ker(f) = {θ} rg(a) = n. f es sobreyectiva Im(f) = R m rg(a) = m. f es biyectiva rg(a) = n = m Operaciones con aplicaciones lineales Definición Sean f, g : R n R m aplicaciones lineales. La aplicación Suma es: f + g : u R n (f + g)( u) = f( u) + g( u) R m. 16

5 Grupos A y D Curso 2014/2015 Proposición La aplicación f + g es una aplicación lineal y si A, B M m n son las matrices asociadas a las aplicaciones f y g respectivamente, entonces A + B es la matriz asociada a la aplicación f + g. Definición Sean α R y f : R n R m una aplicación lineal. La aplicación Producto por un escalar es: α f : u R n (α f)( u) = αf( u) R m. Proposición La aplicación α f es una aplicación lineal y si A M m n es la matriz asociada a la aplicación f, entonces α A es la matriz asociada a la aplicación α f. Definición Sean f : R n R m y g : R m R p aplicaciones lineales. La aplicación Composición es: g f : u R n (g f)( u) = g(f( u))) R p. Proposición La aplicación g f es una aplicación lineal y si A M m n es la matriz asociada a la aplicación f y B M p m es la matriz asociada a la aplicación g, entonces BA M p n es la matriz asociada a la aplicación g f. Definición Sea f : R n R m una aplicación lineal inyectiva. La aplicación Inversa de f es: f 1 : v Im(f) f 1 ( v) = u R n : f( u) = v. Proposición Sea f : R n R n un isomorfismo cuya matriz asociada respecto de una base de R n es A M n n. La inversa de f, f 1 es un isomorfismo cuya matriz asociada respecto de la misma base anterior es A 1 M n n Endomorfismos y matrices diagonalizables Definición Sea f : R n R n un endomorfismo. 17

6 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) f es diagonalizable si existe una base B = { u 1, u 2,, u n } respecto a la que su matriz asociada D, es diagonal: d d 2 0 D = 0 0 d n f( u 1 ) = d 1 u 1 f( u 2 ) = d 2 u 2 f es diagonalizable si existe una base B = { u 1, u 2,, u n } que verifica f( u n ) = d n u n Definición Sea A M n n una matriz cuadrada. A es diagonalizable si existe una matriz no singular P M n n, que recibe el nombre da matriz de paso, tal que: P 1 AP = D con D matriz diagonal. A es diagonalizable si y sólo si es semejante a una matriz diagonal. Proposición Sean f : R n R n un endomorfismo y A M n n su matriz asociada: f es diagonalizable si y sólo si A es diagonalizable Autovalores y autovectores. Definición Sean f : R n R n un endomorfismo y A M n n su matriz asociada. Si existen un escalar λ R y un vector no nulo u R n tales que: f( u) = λ u, [A u = λ u] Se dice que λ es un Autovalor de f [de A] y que u es un Autovector de de f [de A] asociado al autovalor λ. Teorema Sean f : R n R n un endomorfismo y A M n n su matriz asociada. f [A] es diagonalizable si y sólo si existe una base formada por autovectores de f [de A]. 18

7 Grupos A y D Curso 2014/2015 Proposición Sean f : R n R n un endomorfismo y A M n n su matriz asociada: Los autovalores de f [de A] son las soluciones de la ecuación A λi = 0, que recibe el nombre de Ecuación característica. El polinomio de grado n A λi se llama Polinomio característico. Los autovectores de f [de A] asociados al autovalor λ R son las soluciones no triviales del sistema (A λi)x = θ. Notas Estudiaremos sólo endomorfismos y matrices en los que todas las soluciones de la ecuación característica son números reales (las soluciones pueden estar repetidas). El número de veces que aparece un autovalor como solución de la ecuación característica recibe el nombre de Multiplicidad del autovalor. La ecuación característica no depende de la base considerada (pero el sistema si, ya que sus soluciones tienen las coordenadas en dicha base). Proposición Sean f : R n R n un endomorfismo y A M n n su matriz asociada. Si λ es un autovalor de f [de A], entonces: H(λ) = { u R n : f( u) = λ u} = { u R n : A u = λ u} = { u R n : (A λi) u = θ} es un subespacio vectorial de R n que recibe el nombre de subespacio de autovectores (o subespacio propio) de f [de A] asociado a λ y que está formado por los autovectores asociados a λ y el vector nulo. Proposición Sean f : R n R n un endomorfismo y A M n n su matriz asociada. Si { v 1, v 2,, v k } R n son autovectores de f [de A] asociados a autovalores distintos, entonces { v 1, v 2,, v k } son linealmente independientes. Si λ i, λ j R son autovalores distintos, entonces H(λ i ) H(λ j ) = {θ}. Si λ i es un autovalor con multiplicidad m i N, entonces 1 dim(h(λ i )) m i. 19

8 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Teorema Sea f : R n R n un endomorfismo, A su matriz asociada y λ 1, λ 2,, λ k R son autovalores con multiplicidades respectivas m 1, m 2,, m k N tales que m 1 +m m k = n. f [A] es diagonalizable si y sólo si dim(h(λ i )) = m i, i : 1 i k Por tanto, si f [A] tiene n autovalores distintos, será diagonalizable. Nota Si λ i es un autovalor simple, m i = 1 y dimh(λ i ) = 1 = m i, por lo que para determinar si f es diagonalizable sólo hay que analizar los autovalores múltiples. Obtención de la base de autovectores y de la matriz de paso Se resuelve la ecuación característica A λi = 0, obteniéndose los autovalores junto con su multiplicidad. Para cada autovalor λ i de multiplicidad m i resolvemos el sistema (A λ i I)X = θ, obteniendo una base de H(λ i ) formada por m i vectores. Unimos las bases correspondientes a autovalores distintos, obteniéndose una base de R n formada por n = m 1 + m m k autovectores: B = { v 1, v 2,, v n }. La matriz de paso tiene como columnas estos autovectores ( en el mismo orden que en la base). La matriz diagonal está formada por los autovalores en la diagonal principal (en el mismo orden que los autovectores de la base y repetidos tantas veces como indica su multiplicidad). 20

9 Grupos A y D Curso 2014/ Ejercicios resueltos 1.- Sea la aplicación lineal f : R 2 R 3 dada por f(x, y) = ( 3x + y, 0, 6x 2y). Determinar los subespacios Núcleo e Imagen de f. Clasificar la aplicación lineal. SOLUCIÓN: Antes de nada, vamos a calcular la matriz de la aplicación lineal. Para ello calculamos las imágenes de los vectores de la base canónica y éstas nos darán las filas (columnas para grupos B y C) de la matriz. 3 1 f(1, 0) = ( 3, 0, 6) y f(0, 1) = (1, 0, 2). Por lo que A = M(f) = Vamos a estudiar, en primer lugar el subespacio Im(f). La dimensión de Im(f) coincide con el rango de A. En este caso, es bastante claro que rango(a) = 1, pues la primera fila es proporcional a la segunda. Así pues dim(im(f)) = 1. Además, una base de Im(f) será el vector-columna que nos de el rango 1. En este caso, podemos elegir cualquiera de los 2. Así que Im(f) = L(1, 0, 2). Como dim(im(f)) = 1 3 = dim(r 3 ), la aplicación no es sobreyectiva. Seguidamente vamos a estudiar el subespacio ker(f). Por el teorema de la dimensión dim(r 2 ) = dim(ker(f)) + dim(im(f)), luego debe ser dim(ker(f)) = 1. Para encontrar el núcleo, resolvemos el sistema f(x, y) = (0, 0, 0), en este 3x + y = 0 caso 0 = 0 cuya solución es, claramente, y = 3x. 6x 2y = 0 Así que ker(f) = {(x, 3x) : x R} y una base se obtiene asignándole a x un valor que no lo anule, por ejemplo x = 1. Así que ker(f) = L((1, 3)). Como dim(ker(f)) = 1 0, la aplicación no es inyectiva. 2.- Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que: f(1, 1, 0) = ( 1, 3, 0), f(0, 0, 2) = (0, 2, 2), f(0, 1, 2) = (0, 0, 1) Obtener la expresión matricial y analítica de f respecto de las bases canónicas. Determinar el núcleo y la imagen de la aplicación y clasificarla. SOLUCIÓN: Para obtener la expresión matricial de la aplicación necesitamos las imágenes de los vectores de la base canónica. Vamos a conseguirlas. 21

10 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) f(0, 0, 1) = f( 1/2 (0, 0, 2)) = 1 1 f(0, 0, 2) = (0, 2, 2) = (0, 1, 1). 2 2 f(0, 1, 0) = f((0, 1, 2) + (0, 0, 2)) = f(0, 1, 2) + f(0, 0, 2) = (0, 0, 1) + (0, 2, 2) = (0, 2, 3). f(1, 0, 0) = f((1, 1, 0) (0, 1, 0)) = f(1, 1, 0) f(0, 1, 0) = ( 1, 3, 0) (0, 2, 3) = ( 1, 5, 3) Por tanto la matriz de la aplicación lineal será A = M(f) = Luego la expresión analítica será x f(x, y, z) = y = ( x, 5x 2y + z, 3x 3y + z) z Como det(a) 0, tenemos que rango(a) = 3. Por tanto dim(im(f)) = 3 = dim(r 3 ), luego la aplicación es sobreyectiva y Im(f) = R 3. Por el teorema de la dimensión, dim(r 3 ) = dim(ker(f))+dim(im(f)), se tiene que dim(ker(f)) = 0, luego la aplicación es inyectiva y ker(f) = {(0, 0, 0)}. 3.- Sea la aplicación lineal f : R 2 R 3 dada por f(x, y) = (x + y, x y, 2x). Encontrar una base, unas ecuaciones paramétricas y unas implícitas de los subespacios Núcleo e Imagen de f. Clasificar la aplicación lineal. SOLUCIÓN: Antes de nada, vamos a calcular la matriz de la aplicación lineal. Para ello calculamos las imágenes de los vectores de la base canónica y éstas nos darán las filas (columnas para grupos B y C) de la matriz. 1 1 f(1, 0) = (1, 1, 2) y f(0, 1) = (1, 1, 0). Por lo que A = M(f) = Vamos a estudiar, en primer lugar el subespacio Im(f). La dimensión de Im(f) coincide con el rango de A. En este caso, es bastante claro que rango(a) = 2, pues la primera fila no es proporcional a la segunda. Así pues dim(im(f)) = 2. Además, una base de Im(f) será la formada por los vectores-columna que nos de el rango 2. En este caso, Im(f) = L((1, 1, 2), (1, 1, 0)). Como dim(im(f)) = 2 3 = dim(r 3 ), la aplicación no es sobreyectiva. 22

11 Grupos A y D Curso 2014/2015 Seguidamente vamos a estudiar el subespacio ker(f). Por el teorema de la dimensión dim(r 2 ) = dim(ker(f)) + dim(im(f)), luego debe ser dim(ker(f)) = 0. Con lo cual la aplicación es inyectiva y ker(f) = {(0, 0)}. 4.- Sea f : R 3 R 3 una aplicación lineal tal que: f(0, 1, 1) = (0, 1, 1), f( 1, 1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 0, 1) = (0, 1, 2) Obtener la expresión matricial y analítica de f respecto de las bases canónicas. Determinar el núcleo y la imagen de la aplicación y clasificarla. SOLUCIÓN: Para obtener la expresión matricial de la aplicación necesitamos las imágenes de los vectores de la base canónica. Vamos a conseguirlas. f(0, 0, 1) = f( (0, 0, 1)) = f(0, 0, 1) = (0, 1, 2) = (0, 1, 2). f(0, 1, 0) = f((0, 1, 1)+(0, 0, 1)) = f(0, 1, 1)+f(0, 0, 1) = (0, 1, 1)+(0, 1, 2) = (0, 2, 3). f(1, 0, 0) = f( ( 1, 1, 0) + (0, 1, 0)) = f( 1, 1, 0) + f(0, 1, 0) = = (1, 1, 0) + (0, 2, 3) = ( 1, 1, 3) Por tanto la matriz de la aplicación lineal será A = M(f) = Así, la expresión analítica será x f(x, y, z) = y = ( x, x + 2y z, 3x + 3y 2z) z Como det(a) 0, tenemos que rango(a) = 3. Por tanto dim(im(f)) = 3 = dim(r 3 ), luego la aplicación es sobreyectiva y Im(f) = R 3. Por el teorema de la dimensión, dim(r 3 ) = dim(ker(f))+dim(im(f)), se tiene que dim(ker(f)) = 0, luego la aplicación es inyectiva y ker(f) = {(0, 0, 0)}. 5.- Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal dada por f(x, y, z) = (3x + 2y, x, 3z). Obtener la matriz de la aplicación respecto de la base canónica de R 3, encontrar los autovalores y autovectores y analizar si es diagonalizable. En caso afirmativo, obtener la matriz de paso y la matriz diagonal. 23

12 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 1. Encontrar la matriz de f respecto de la base canónica de R 3. SOLUCIÓN: Para calcular la matriz de la aplicación, basta con encontrar las imágenes de los vectores de la base canónica. f(1, 0, 0) = (3, 1, 0) f(0, 1, 0) = (2, 0, 0) A = M(f) = f(0, 0, 1) = (0, 0, 3) Calcular los autovalores de f. SOLUCIÓN: Vamos a encontrar el polinomio característico e igualarlo a 0. 3 λ 2 0 A λi = 1 λ 0 = (3 λ)(λ 1)(λ 2) = λ Los autovalores de A son λ = 1, λ = 2 λ = 3. Al tener tres autovalores distintos, podemos asegurar que A es diagonalizable. 3. Encontrar los autovectores asociados SOLUCIÓN: Para λ = 3 resolvemos el sistema: (A 3I)X = θ, es decir x y = z 0 cuya solución es x = 0, y = 0, z = α, α R, por lo que L(3) = (0, 0, 1). El conjunto de autovectores de A asociados al autovalor λ = 3 es un subespacio vectorial de dimensión 1 generado por el vector (0, 0, 1). Para λ = 2 resolvemos el sistema: (A 2I)X = θ, es decir x y = z 0 cuya solución es x = 2α, y = α, z = 0, α R, por lo que L(2) = (2, 1, 0). El conjunto de autovectores de A asociados al autovalor λ = 2 es un subespacio vectorial de dimensión 1 generado por el vector (2, 1, 0). Para λ = 1 resolvemos el sistema: (A I)X = θ, es decir 24

13 Grupos A y D Curso 2014/ x y = z 0 cuya solución es x = α, y = α z = 0, α R, por lo que L(3) = (1, 1, 0). El conjunto de autovectores de A asociados al autovalor λ = 3 es un subespacio vectorial de dimensión 1 generado por el vector (1, 1, 0). 4. Matriz diagonal y matriz de paso SOLUCIÓN: Como ya se dijo, A es diagonalizable al tener tres autovalores distintos La matriz de paso es P = y la diagonal: D = Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal dada por f(x, y, z) = (x + y, ay, az) (a R). 1. Encontrar la matriz de f respecto de la base canónica de R 3. SOLUCIÓN: Para calcular la matriz de la aplicación, basta con encontrar las imágenes de los vectores de la base canónica. f(1, 0, 0) = (1, 0, 0) f(0, 1, 0) = (1, a, 0) A = M(f) = 0 a 0 f(0, 0, 1) = (0, 0, a) 0 0 a 2. Calcular los autovalores de f. SOLUCIÓN: Vamos a encontrar el polinomio característico e igualarlo a 0. λ λi A = 0 λ a 0 = (λ 1)(λ a) λ a Por lo tanto tendremos 2 casos: Si a = 1, habrá 1 único autovalor triple, λ = 1. Si a 1, habrá 1 autovalor doble λ = a, y un autovalor simple λ = Comprobar que {(1, a 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0)} son autovectores asociados a los autovalores anteriores. SOLUCIÓN: Por definición, un autovector es un vector v tal que f( v) = λ v para algún autovalor λ. Como conocemos los autovalores (λ = 1 ó λ = a), 25

14 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) basta comprobar que las imágenes de los 3 vectores que nos dan son el mismo vector (λ = 1), o el mismo vector multiplicado por a (λ = a). En efecto: f(1, a 1, 0) = (a, a(a 1), 0) = a(1, a 1, 0), luego el vector (1, a 1, 0) es un autovector asociado al autovalor λ = a, independientemente del valor de a. f(0, 0, 1) = (0, 0, a) = a(0, 0, 1), luego el vector (0, 0, 1) es un autovector asociado al autovalor λ = a, independientemente del valor de a. f(1, 0, 0) = (1, 0, 0), luego el vector (1, 0, 0) es un autovector asociado al autovalor λ = 1. SOLUCIÓN Alternativa: Vamos a calcular los autovectores asociados a los autovalores y comprobar que son los que nos dan. Si a 1 tenemos 1 autovalor doble λ = a y un autovalor simple λ = 1. Calculemos los autovectores asociados a cada uno de ellos. x 0 λ = a Hay que resolver el sistema (ai A) y = 0, en este caso, z 0 a x y = 0, luego, (a 1)x y = 0, es decir, z 0 y = (a 1)x. Por tanto, como de z no obtenemos información, resulta que el subespacio de autovectores asociados a λ = a es E(a) = {(x, (a 1)x, z) : x, z R} Pero para encontrar una base de este subespacio hacemos lo siguiente: (x, (a 1)x, z) = (x, (a 1)x, 0) + (0, 0, z) = x(1, a 1, 0) + z(0, 0, 1). Por lo que obtenemos 2 autovectores linealmente independientes: E(a) = L((1, a 1, 0), (0, 0, 1)) x 0 λ = 1 Hay que resolver el sistema (I A) y = 0, en este caso, z 0 26

15 Grupos A y D Curso 2014/ x a 0 y = y = 0 0, o lo que es lo mismo, (1 a)y = a z 0 (1 a)z = 0 Pero como estamos en el caso a 1, la solución de este sistema es y = z = 0 y de x no se obtiene información. Por tanto el subespacio de autovectores asociados a λ = 1 es E(1) = {(x, 0, 0) : x R} = L(1, 0, 0). Hemos obtenido los 3 autovectores que nos proponía el apartado. Si a = 1, tenemos 1 autovalor triple λ = 1. Pero en este caso, los autovectores propuestos por el apartado se reducen a 2: {(1, 0, 0), (0, 0, 1)}. Vamos a calcular los autovectores asociados al único autovalor en este caso Ahora, A = y para encontrar los autovectores de λ = habrá que resolver el siguiente sistema: x x 0 (I A) y = 0, es decir, y = 0, o lo que z z 0 es lo mismo, y = 0. Por lo tanto, los autovectores asociados a λ = 1 son de la forma E(1) = {(x, 0, z) : x, z R} de donde, claramente se obtiene que E(1) = L((1, 0, 0), (0, 0, 1)). 4. Será f diagonalizable para cualquier valor de a R? SOLUCIÓN: Para que una matriz sea diagonalizable, ha de existir una base formada por autovectores. Si a 1 el apartado b) nos da 3 autovectores que son claramente independientes. Por lo tanto tendremos una base de autovectores y la aplicación f será diagonalizable. Si a = 1 en la Solución Alternativa del apartado anterior hemos encontrado TODOS los autovectores asociados al único autovalor. Y sólo hemos obtenido 2 autovectores. Como necesitamos 3 vectores para tener una base, se concluye que la aplicación f no es diagonalizable en este caso. 27

16 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 2.8. Ejercicios propuestos 1.- Decir si son lineales las siguientes aplicaciones: a) f : R 3 R 3 : f(x, y, z) = (2x, x+y, 3z), b) f : R 2 R 3 : f(x, y) = (2x+y, x 2y, y) c) f : R 2 R 3 : f(x, y) = (x+1, x+y, 0), d) f : R 3 R 2 : f(x, y, z) = (x+y+z, 1), e) f : R 4 R 2 : f(x, y, z, t) = (x y, 2z+t), f) f : R 3 R 4 : f(x, y, z) = (0, x+y, z, x+1) 2.- Para las aplicaciones del ejercicio anterior que sean lineales se pide: a) Matriz de la aplicación respecto de las bases canónicas. b) Hallar Ker(f), Im(f) sus ecuaciones y dimensiones, una base del núcleo y una de la imagen. 3.- Sean f : R 2 R 3, g : R 3 R 4 dos aplicaciones lineales definidas por: f(1, 1) = (5, 2, 3), f(2, 3) = (2, 0, 4) g( 2, 4, 2) = (1, 1, 1, 1) g(1, 0, 1) = (2, 1, 3, 4) g( 1, 2, 0) = (0, 1, 0, 1) Hallar: a) Las matrices asociadas a las aplicaciones lineales f y g respecto de las bases canónicas. b) La expresión analítica de dichas aplicaciones lineales. c) La expresión analítica de las aplicaciones f + g y g f, si fuese posible. d) Los núcleos de f y g y sus respectivas ecuaciones e) Lo mismo para las imágenes. 4.- Sea f : R 4 R 3 la aplicación lineal cuya matriz respecto de las bases canónicas es: a) Hallar la expresión analítica de f. 1 + a A = a a b) Clasificar f según los valores del parámetro a. c) Para a = 0, calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas de Ker(f) e Im(f). 28

17 Grupos A y D Curso 2014/ Sea f : R 3 R 3 el endomorfismo definido por f(x, y, z) = (3x, x + 2y, 4x + 2z). Hallar el polinomio característico, los autovalores y los autovectores de f. 6.- Hallar el polinomio característico, los autovalores y autovectores de los endomorfismos f : R 3 R 3 que en la base canónica tienen asociada, en cada caso, la matriz a 0 1 A 1 = 3 1 6, A 2 = 1 0 0, A 3 = 2 1 0, A 4 = 2a Analícese si son diagonalizables. 7.- Sea f : R 3 R 3 el endomorfismo que en la base canónica tiene asociada la matriz 1 + α α α A = 2 + α α α 1 (α R) a) Obtener los autovalores de A comprobando que no dependen de α. b) Obtener los autovectores de f en función de α y estudiar si f es diagonalizable. 8.- Dada la aplicación lineal. f : R 3 R 3 : f(x, y, z) = (3x+3y, 3x+3y, cz), (c R), se pide: a) Matriz de f respecto de la base canónica de R 3. b) Comprobar que si c 0, c 6 la aplicación es diagonalizable. c) Estudiar si para c = 0 es diagonalizable y, en caso afirmativo, encontrar la matriz de paso y la matriz diagonal. 29

18 Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 30