Resumen de Inferencia estadística

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1 Resume de Iferecia estadística Iferecia estadística Estudia cómo sacar coclusioes geerales para toda la població a partir del estudio de ua muestra, y el grado de fiabilidad o sigificació de los resultados obteidos. Muestreo Muestreo probabilístico Cosiste e elegir ua muestra de ua població al azar. Podemos distiguir varios tipos: Muestreo aleatorio simple: Para obteer ua muestra, se umera los elemetos de la població y se seleccioa al azar los elemetos que cotiee la muestra. Muestreo aleatorio sistemático: Se elige u idividuo al azar y a partir de él, a itervalos costates, se elige los demás hasta completar la muestra. Muestreo aleatorio estratificado: Se divide la població e clases o estratos y se escoge, aleatoriamete, u úmero de idividuos de cada estrato proporcioal al úmero de compoetes de cada estrato. EJEMPLO 1.- E cierto barrio se quiere hacer u estudio para coocer mejor el tipo de actividades de ocio que gusta más a sus habitates. Para ello va a ser ecuestados 100 idividuos elegidos al azar. a) Explicar qué procedimieto de selecció sería más adecuado utilizar: muestreo co o si reposició. Por qué? b) Como los gustos cambia co la edad y se sabe que e el barrio vive.500 iños, adultos y 500 aciaos, posteriormete se decide elegir la muestra aterior utilizado u muestreo estratificado. Determiar el tamaño muestral correspodiete a cada estrato. Resolució: a) Todas las fórmulas que hemos estudiado de teoría del muestreo y de iferecia estadística presupoe que las poblacioes so ifiitas o que, si o lo so, el muestreo aleatorio se realiza co reposició. b) Para efectuar u muestreo aleatorio estratificado, será ecesario que la muestra refleje fielmete los estratos existetes e la població; debe cosiderarse los estratos formados por: iños, adultos y aciaos. El tamaño muestral de cada estrato deberá ser proporcioal a la presecia del mismo e la població origial: Població total: = Co los datos del problema e cada estrato teemos: = 1 = 5 iños = = 70 adultos = 3 = 5 aciaos INFERENCIA ESTADÍSTICA 1

2 .- E cierta cadea de cetros comerciales trabaja 150 persoas e el departameto de persoal, 450 e el departameto de vetas, 00 e el departameto de cotabilidad y 100 e el departameto de ateció al cliete. Co objeto de realizar ua ecuesta laboral, se quiere seleccioar ua muestra de 180 trabajadores. a) Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selecció de la muestra si queremos que icluya a trabajadores de los cuatro departametos mecioados? b) Qué úmero de trabajadores tedríamos que seleccioar e cada departameto atediedo a u criterio de proporcioalidad? a) Utilizaremos u muestreo aleatorio estratificado, ya que queremos que haya represetates de cada uo de los departametos. b) Població total: N = = 900 Co los datos del problema e cada estrato teemos: = 1 = 30 trabajadores de persoal = = 90 trabajadores de vetas = 3 = 40 trabajadores de cotabilidad = 4 = 0 trabajadores de ateció al cliete Estimació de la media de ua població Teorema cetral del límite Si ua població tiee media µ y desviació típica σ, y tomamos muestras de tamaño (>30, ó cualquier tamaño si la població es "ormal"), las medias de estas muestras sigue aproximadamete la distribució N µ, σ Cosecuecias: Permite averiguar la probabilidad de que la media de ua muestra cocreta esté e u cierto itervalo. Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elemetos de ua muestra esté, a priori, e u cierto itervalo. σ xi N µ, i= 1 Iferir la media de la població a partir de ua muestra. EJEMPLO 1.- La variable altura de las alumas que estudia e ua escuela de idiomas sigue ua distribució ormal de media 1,6 m y la desviació típica 0,1 m. Cuál es la probabilidad de que la media de ua muestra aleatoria de 100 alumas sea mayor que 1.60 m? Resolució: INFERENCIA ESTADÍSTICA

3 La distribució de las medias muestrales sigue ua ley N x, tamaño de la muestra > 30. 0,1 N 1,6; = N(1,6; 0,01) 100 1,60-1,6 P(X 1,60) = P Z = P(Z -1,66) = P(Z 1,66) = 0,9515 0,01 σ ya que el.- Las bolsas de sal evasadas por ua máquia tiee µ = 500 g y σ = 35 g. Las bolsas se empaquetaro e cajas de 100 uidades. a) Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de u paquete sea meor que 495 g. b) Calcular la probabilidad de que ua caja 100 de bolsas pese más de 51 kg. Resolució: La distribució de las medias muestrales sigue ua ley N x, tamaño de la muestra > N 500; = N(500; 3,5) 100 σ ya que el P(X 495) = P Z = P (Z -1,43) = P (Z 1,43) = 1-P (Z 1,43) = 0,0764 3,5 b) Para calcular la probabilidad de que ua caja 100 de bolsas pese más de 51 kg. Supoemos que ua bolsa debe pesar, por térmio medio 510 gramos: P(X 510) = P Z = P(Z,86) = 1-P(Z,86) = 0,001 3,5 3.- Sea la població de elemetos: {,4, 6}. a) Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediate muestreo aleatorio simple. b) Calcule la variaza de la població. c) Calcule la variaza de las medias muestrales. a) Las muestras posibles de tamaño dos, escogidas mediate muestreo aleatorio simple, es decir si reemplazamieto so: {(, 4), (, 6), (4, 6)} b) Para calcular la variaza de la població, hallamos ates la media poblacioal µ = = 4 3 Luego la variaza es: σ = ( 4) + (4 4) 3 + (6 4) = 3 8 c) La media aritmética de todas las medias muestrales, µ, es x µ = = 4 x 3 La desviació típica de todas las medias muestrales, σ, es x σ = x (3 4) + (4 4) 3 + (5 4) = 3 INFERENCIA ESTADÍSTICA 3

4 Estimació de la proporció de ua població Se deomia distribució muestral de proporcioes de tamaño, L(P), al cojuto formado por todas las proporcioes de ua cierta població P que pose determiada característica p. L(P) se distribuye segú ua ley ormal N pq p,. EJEMPLOS 1.- a) Ua máquia produce torillos, de los cuales se sabe que u 5% so defectuosos, que se empaqueta e cajas de 400 uidades. Cómo se distribuye la proporció de torillos e las cajas? b) Calcular la probabilidad de que la proporció de los torillos defectuosos de ua caja determiada sea mayor que el 7%. Resolució: a) Como la proporció de torillos defectuosos es p = 0,05 y el tamaño de la muestra es = 400, la distribució es de tipo ormal siedo: µ p = p = 0,05 pq 0,05.(1- σ p = = = 0, ,05) Es decir la distribució ormal N(0,05; 0,011) 0,07-0,05 b) P(X 0,07) = P Z = P(Z 1,8) = 1-P(Z 1,8) = 0,0344 0, Ua població está formada por 3 elemetos, co valores 1, y 3. a) Escribe todas las muestras simples de tamaño que puede extraerse. b) Calcula la media y desviació típica de la distribució muestral de proporcioes de cifras impares. Resolució: a) Las muestras simples de tamaño so {(1,), (1,3), (,3)} b) La distribució muestral de proporcioes de cifras impares es {1/, 1, 1/}. La media y la desviació típica so: 0, ,5 µ p = p = = 3 3 σ p = (0,5 - /3) + (1- /3) 3 + (0,5 - /3) = 6 1 Itervalos característicos El ivel de cofiaza (p) se desiga mediate 1 - α. El ivel de sigificació se desiga mediate α. El valor crítico (k) como z α/. P(Z>z α/) = α/ P[-z α/ < z < z α/] = 1- α E ua distribució N(µ, σ ) el itervalo característico correspodiete a ua probabilidad p = 1 - α es: (µ - z α/ σ, µ + z α/ σ ) INFERENCIA ESTADÍSTICA 4

5 1 - α α/ z α/ Itervalos característicos (µ σ, µ σ) (µ σ, µ σ ) (µ σ, µ σ ) Estimació de la media Itervalo de cofiaza para la media El itervalo de cofiaza, para la media de ua població, co u ivel de cofiaza de 1- α, siedo x la media de ua muestra de tamaño y σ la desviació típica de la població, es: σ, µ + Z µ - Zα/ α/ σ El error máximo de estimació es: E = Z α/ σ Tamaño de la muestra: Z = α/ E σ EJEMPLO 1.- Se ha tomado ua muestra de los precios de u mismo producto alimeticio e 16 comercios, elegidos al azar e u barrio de ua ciudad, y se ha ecotrado los siguietes precios: 95, 108, 97, 11, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110. Supoiedo que los precios de este producto se distribuye segú ua ley ormal de variaza 5 y media descoocida: a) Cuál es la distribució de la media muestral? b) Determie el itervalo de cofiaza, al 95%, para la media poblacioal. Resolució: a)la media muestral es: x = = b) Para u ivel de cofiaza del 95% teemos que 1-α = 0,95, α/ = 0,05, luego Z α/ = 1,96 pues P(X<1,96) = 0,975. El itervalo de cofiaza es: σ σ 5 5 x - Zα /, x + Zα / = 104-1,96, ,96 = (101.55; ) La media de las estaturas de ua muestra aleatoria de 400 persoas de ua ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las persoas de esa ciudad es ua variable aleatoria que sigue ua distribució ormal co variaza σ = 0,16 m. a) Costruye u itervalo, de u 95% de cofiaza, para la media de las estaturas de la població. b) Cuál sería el míimo tamaño muestral ecesario para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas está a meos de cm de la media muestral, co u ivel de cofiaza del 90%? INFERENCIA ESTADÍSTICA 5

6 Resolució: a) Para u ivel de cofiaza del 95% teemos que 1-α = 0,95, α/ = 0,05, luego Z α/ = 1,96 pues P(X<1,96) = 0,975. El itervalo de cofiaza es: σ σ 0,4 0,4 x - Zα /, x + Zα / = 1,75-1,96 ;1,75 + 1,96 = (1.7108,1.789) b) Para u ivel de cofiaza del 90% teemos que 1-α = 0,90, α/ = 0,05, luego Z α/ = 1,65 pues P(X<1,65) = 0,9500. Como el marge de error es: σ 0,4 0,4 E = Z α/ 0,0 = 1,65 = 1,65 = 3,9 = 108,41 0,0 La muestra debe teer al meos 1083 persoas. Estimació de ua proporció Si e ua població, ua determiada característica se preseta e ua proporció p, la proporció P, de idividuos co dicha característica e las muestras de tamaño, se distribuirá segú: N P, PQ Itervalo de cofiaza para ua proporció: PQ, P + Z P - Zα/ α/ PQ El error máximo de estimació es: E = Z α/ pq Tamaño de la muestra: = Z pq α/ E EJEMPLO 1.- E ua muestra de 300 persoas tomadas al azar e ua ciudad se ecotró que 104 de ellas leía el periódico. Halla, co u ivel de cofiaza del 90%, la proporció de habitates que lee el periódico y el error máximo admisible para la proporció de habitates que lee el periódico Resolució: Ua cofiaza del 90% sigifica que 1-α = 0,10, luego α/ = 0,050, luego teemos Z α/ = 1,645 pues P(X < 1,645) = 0, La proporció muestral es p = = 0, a) Como la muestra = 104 > 30 podemos sustituir la proporció poblacioal por la muestral y el itervalo de cofiaza es: 0, , ,347-1,645 ; 0, ,645 = (0,30; 0,39) INFERENCIA ESTADÍSTICA 6

7 b) El error máximo admisible es: E = pq Z α/ = 0,347.0, , = 0, Se desea estimar la proporció, p, de idividuos daltóicos de ua població a través del porcetaje observado e ua muestra aleatoria de idividuos, de tamaño. a) Si el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es igual al 30%, calcula el valor de para que, co u ivel de cofiaza de 0,95, el error cometido e la estimació sea iferior al 3,1%. b) Si el tamaño de la muestra es de 64 idividuos, y el porcetaje de idividuos daltóicos e la muestra es del 35%, determia, usado u ivel de sigificació del 1%, el correspodiete itervalo de cofiaza para la proporció de daltóicos de la població. Resolució: a) Para u ivel de cofiaza del 95% teemos que 1-α = 0,95, α/ = 0,05, luego Z α/ = 1,96 pues P(X<1,96) = 0,975. Sustituyedo e la expresió del error máximo admisible: pq 0,3.0,7 E = Z α/ 1,96 = 0,031 = Habrá que tomar al meos 840 idividuos. 1,96 0,3.0,7. 0,031 = 839, 48 b) Para u ivel de sigificació del 1% teemos u ivel de cofiaza del 99%, es decir, 1-α = 0,99, α/ = 0,005, luego Z α/ =,575 pues P(X<,575) = 0,995. 0, , ,35 -,575 ; 0,35 +,575 = (0,196; 0,504) Cotrastes de hipótesis Hipótesis estadísticas U test estadístico es u procedimieto para, a partir de ua muestra aleatoria y sigificativa, extraer coclusioes que permita aceptar o rechazar ua hipótesis previamete emitida sobre el valor de u parámetro descoocido de ua població. La hipótesis emitida se desiga por H 0 y se llama hipótesis ula. La hipótesis cotraria se desiga por H 1 y se llama hipótesis alterativa. Cotrastes de hipótesis 1. Euciar la hipótesis ula H 0 y la alterativa H 1. Bilateral H 0 =k H 1 k Uilateral H 0 k H 0 k H 1 < k H 1 > k. A partir de u ivel de cofiaza 1 - α o el de sigificació α. Determiar: El valor z α/ (bilaterales), o bie z α (uilaterales) La zoa de aceptació del parámetro muestral (x o P). 3. Calcular: x o P, a partir de la muestra. INFERENCIA ESTADÍSTICA 7

8 4. Si el valor del parámetro muestral está detro de la zoa de la aceptació, se acepta la hipótesis co u ivel de sigificació α. Si o, se rechaza. Cotraste Bilateral Se preseta cuado la hipótesis ula es del tipo H 0 : µ = k (o bie H 0 : p = k) y la hipótesis alterativa, por tato, es del tipo H 1 : µ k (o bie H 1 : p k). El ivel de sigificació α se cocetra e dos partes (o colas) simétricas respecto de la media. La regió de aceptació e este caso o es más que el correspodiete itervalo de probabilidad para x o P, es decir: σ σ µ - Zα/, µ + Zα/ o bie: PQ PQ P - Z, P + Z α/ α/ EJEMPLO 1.- Se sabe que la desviació típica de las otas de cierto exame de Matemáticas es,4. Para ua muestra de 36 estudiates se obtuvo ua ota media de 5,6. Sirve estos datos para cofirmar la hipótesis de que la ota media del exame fue de 6, co u ivel de cofiaza del 95%? Resolució: 1. Euciamos las hipótesis ula y alterativa: H 0 : µ = 6 La ota media o ha variado. H 1 : µ 6 La ota media ha variado.. Zoa de aceptació Para α = 0.05, le correspode u valor crítico: zα/ = Determiamos el itervalo de cofiaza para la media: (6-1,96 0,4 ; 6+1,96 0,4) = (5, ; 6,78) 3. Verificació. Valor obteido de la media de la muestra: 5,6. 4. Decisió Aceptamos la hipótesis ula H 0, co u ivel de sigificació del 5%..- U fabricate de lámparas eléctricas está esayado u uevo método de producció que se cosiderará aceptable si las lámparas obteidas por este método da lugar a ua població ormal de duració media 400 horas, co ua desviació típica igual a 300. Se toma ua muestra de 100 lámparas producidas INFERENCIA ESTADÍSTICA 8

9 por este método y esta muestra tiee ua duració media de 30 horas. Se puede aceptar la hipótesis de validez del uevo proceso de fabricació co u riesgo igual o meor al 5%? Resolució: 1 Euciamos las hipótesis ula y alterativa: H 0 : µ = 400 H 1 : µ 400 Zoa de aceptació α = 0.05 z α = Determiamos el itervalo de cofiaza para la media: ,96, ,96 = (341,1; 458,8) Verificació. Valor obteido de la media de la muestra: Decisió Rechazamos la hipótesis ula H 0, co u ivel de sigificació del 5%. 3.- Se cree que el ivel medio de protombia e ua població ormal es de 0 mg/100 ml de plasma co ua desviació típica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma ua muestra de 40 idividuos e los que la media es de 18.5 mg/100 ml. Se puede aceptar la hipótesis, co u ivel de sigificació del 5%? Resolució: 1 Euciamos las hipótesis ula y alterativa: H 0 : µ =0 mg/100 ml H 1 : µ 0 mg/100 ml Zoa de aceptació Para α = 0.05, le correspode u valor crítico: z α/ = Determiamos el itervalo de cofiaza para la media: ,96, 0 + 1,96 = (18,77; 1,3) Verificació. Valor obteido de la media de la muestra: Decisió Rechazamos la hipótesis ula H 0, co u ivel de sigificació del 5%. Cotraste uilateral Caso 1 La hipótesis ula es del tipo H 0 : µ k (o bie H 0 : p k). La hipótesis alterativa, por tato, es del tipo H 1 : µ < k (o bie H 1 : p < k). Valores críticos 1 - α α z α INFERENCIA ESTADÍSTICA 9

10 El ivel de sigificació α se cocetra e ua parte o cola. La regió de aceptació e este caso será: - Z o bie: - Z µ α/ P α/ σ, PQ, EJEMPLO 1.- U sociólogo ha proosticado, que e ua determiada ciudad, el ivel de absteció e las próximas eleccioes será del 40% como míimo. Se elige al azar ua muestra aleatoria de 00 idividuos, co derecho a voto, 75 de los cuales estaría dispuestos a votar. Determiar co u ivel de sigificació del 1%, si se puede admitir el proóstico. Resolució: 1. Euciamos las hipótesis ula y alterativa: H 0 : p 0.40 La absteció será como míimo del 40%. H 1 : p < 0.40 La absteció será como máximo del 40%;. Zoa de aceptació Para α = 0.01, le correspode u valor crítico: z α =.33. Determiamos el itervalo de cofiaza para la media: 0,4.06 0,4 -,33, = (0,319; ) Verificació. 15 P = = 0, Decisió Aceptamos la hipótesis ula H 0. Podemos afirmar, co u ivel de sigificació del 1%, que la La absteció será como míimo del 40%..- La duració de la bombillas de 100 W que fabrica ua empresa sigue ua distribució ormal co ua desviació típica de 10 horas de duració. Su vida media está garatizada durate u míimo de 800 horas. Se escoge al azar ua muestra de 50 bombillas de u lote y, después de comprobarlas, se obtiee ua INFERENCIA ESTADÍSTICA 10

11 vida media de 750 horas. Co u ivel de sigificació de 0,01, habría que rechazar el lote por o cumplir la garatía? Resolució: 1 Euciamos las hipótesis ula y alterativa: H 0 : µ 800 H 1 : µ <800 Zoa de aceptació α = 0.01; z α =.33 Determiamos el itervalo de cofiaza: ,33, = (760,46, ) 50 3 Verificació. x = Decisió Rechazamos la hipótesis ula H 0. Co u ivel de sigificació del 1%. 3.- El cotrol de calidad ua fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos e la producció de u modelo de batería para teléfoos móviles, bajado su tiempo de duració. Hasta ahora el tiempo de duració e coversació seguía ua distribució ormal co media 300 miutos y desviació típica 30 miutos. Si embargo, e la ispecció del último lote producido, ates de eviarlo al mercado, se obtuvo que de ua muestra de 60 baterías el tiempo medio de duració e coversació fue de 90 miutos. Supoiedo que ese tiempo sigue siedo Normal co la misma desviació típica: Se puede cocluir que las sospechas del cotrol de calidad so ciertas a u ivel de sigificació del %? Resolució: 1 Euciamos las hipótesis ula y alterativa: H 0 : µ 300 H 1 : µ < 300 Zoa de aceptació α = 0.0; 1- α = 0. 98; P(1.96)= 0. 98; z α = Determiamos el itervalo de cofiaza: ,33, = (90,98, ) 60 3 Verificació. µ = 90 4 Decisió Rechazamos la hipótesis ula H 0. Co u ivel de sigificació del %. Caso La hipótesis ula es del tipo H 0 : µ k (o bie H 0 : p k). La hipótesis alterativa, por tato, es del tipo H 1 : µ > k (o bie H 1 : p > k). INFERENCIA ESTADÍSTICA 11

12 El ivel de sigificació α se cocetra e la otra parte o cola. La regió de aceptació e este caso será: µ + Z o bie: P + Z, α/, α/ σ EJEMPLO PQ 1.- U iforme idica que el precio medio del billete de avió etre Caarias y Madrid es, como máximo, de 10 co ua desviació típica de 40. Se toma ua muestra de 100 viajeros y se obtiee que la media de los precios de sus billetes es de 18. Se puede aceptar, co u ivel de sigificació igual a 0,1, la afirmació de partida? Resolució: 1. Euciamos las hipótesis ula y alterativa: H 0 : µ 10 H 1 : µ > 10. Zoa de aceptació Para α = 0.1, le correspode u valor crítico: z α = 1.8. Determiamos el itervalo de cofiaza: 40, ,8 = (- ; 15,1) Verificació. Valor obteido de la media de la muestra: Decisió No aceptamos la hipótesis ula H 0. Co u ivel de sigificació del 10%..- Ua marca de ueces afirma que, como máximo, el 6% de las ueces está vacías. Se eligiero 300 ueces al azar y se detectaro 1 vacías. a) Co u ivel de sigificació del 1%, se puede aceptar la afirmació de la marca? b) Si se matiee el porcetaje muestral de ueces que está vacías y 1-α = 0.95, qué tamaño muestral se ecesitaría para estimar la proporció de ueces co u error meor del 1% por cieto? Resolució: a) 1 Euciamos las hipótesis ula y alterativa: H 0 : p 0.06 INFERENCIA ESTADÍSTICA 1

13 H 1 : p >0.06 Zoa de aceptació α = 0.01 z α =.33. Determiamos el itervalo de cofiaza: 0,06.0,94, 0,06 +,33 = (- ; 0,09) Verificació. 1 P = = 0, Decisió Aceptamos la hipótesis ula H 0. Co u ivel de sigificació del 1%. b) Teemos que: 1 - α = 0, 95 Z α/ = 1, 96 0,01 = 1,96 0,07.0,93 = 50 = 500 Luego: 501 Errores de tipo I y tipo II Error de tipo I. Se comete cuado la hipótesis ula es verdadera y, como cosecuecia del cotraste, se rechaza. Error de tipo II. Se comete cuado la hipótesis ula es falsa y, como cosecuecia del cotraste se acepta. H 0 Verdadera Falsa Aceptar Rechazar Decisó correcta Probabilidad = 1 - α ERROR DE TIPO I Probabilidad = α Decisió icorrecta: ERROR DE TIPO II Decisió correcta La probabilidad de cometer Error de tipo I es el ivel de sigificació α. La probabilidad de cometer Error de tipo II depede del verdadero valor del parámetro. Se hace tato meor cuato mayor sea. INFERENCIA ESTADÍSTICA 13

14 Relació de Ejercicios de Cotrastes de Hipótesis. Poecia Adaluza de Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales II. 1. La altura e cm. de las cañas producidas por ua variedad de carrizo e cada cosecha es ua variable aleatoria que sigue ua ley ormal co desviació típica a = 16 cm. Para cotrastar si la altura media de las cañas de la última cosecha es de 170 cm, se ha tomado ua muestra aleatoria de 64 de estas caas y se ha medido sus logitudes, resultado como media muestral x = 166 cm. So suficietes estos datos para rechazar que la altura media de las cañas de la última cosecha es de 170 cm, a u ivel de sigificació α = 0,05? Solució: Estos datos so suficietes para rechazar, a este ivel, que la altura media de las cañas de esta cosecha sea de 170 cm.. U comerciate ha observado durate u largo periodo de tiempo que sus beeficios semaales se distribuye segú ua ley ormal co ua media de 5000 euros y ua desviació típica de 50 euros. A fiales del año pasado se abrió u supermercado frete a su comercio y él cree que su beeficio semaal medio ha dismiuido desde etoces. Para cotrastar esta suposició, ha tomado ua muestra aleatoria de 16 semaas del año actual y ha ecotrado que el beeficio semaal medio de esa muestra es de 4700 euros. Puede afirmarse, a u ivel de sigificació α = 0, 01, que estos datos avala la creecia del comerciate? Solució: No se puede afirmar, al ivel 0,01, que los datos de la muestra apoya la creecia de que el uevo supermercado ha dismiuido el beeficio semaal medio del comerciate. 3. Solo el 75 % de los alumos de u cetro de eseñaza realiza correctamete u test psicotécico que lleva utilizádose mucho tiempo. Para tratar de mejorar este resultado, se modificó la redacció del test, y se propuso a u grupo de 10 alumos de ese cetro, elegidos al azar. De los 10 alumos a los que se les paso el uevo test, lo realizaro correctamete 107. Podemos afirmar que la ueva redacció del test ha aumetado la proporció de respuestas correctas, a u ivel de sigificació α = 0,05? Solució: Podemos afirmar que la ueva redacció del test ha aumetado la proporció de respuestas correctas, a u ivel de sigificació α = 0, El peso e vacío de los evases fabricados por ua empresa, segú su método usual, es ua variable aleatoria que sigue ua ley ormal co media 0 gramos y ua desviació típica de 1 gramo. Se desea cotrastar si u uevo proceso de fabricació o aumeta dicho peso medio. Para ello, se elige al azar 5 evases fabricados por la ueva técica y se ecuetra que la media de su peso e vacío es de 0,5 gramos. Se puede afirmar, a u ivel de sigificació a = 0,0, que el uevo proceso ha aumetado el peso medio de los evases? Solució: A la vista de los datos obteidos e la muestra, se puede afirmar, al ivel α = 0,0, que el uevo proceso ha aumetado el peso medio de los evases. 5. E uas eleccioes muicipales de ua ciudad, el 4 % de los votates diero su voto al partido A. E ua ecuesta realizada u año después a 500 persoas co derecho a voto, solo 184 votaría al partido A. Co estos datos, puede afirmarse que ha dismiuido la proporció de votates a ese partido? Respoder a la preguta aterior co iveles de sigificació α = 0,01, α = 0,05 y α = 0,001. Solució: Los datos permite afirmar que ha dismiuido la proporció de votates al partido A a los iveles 0,05 y 0,01, pero o ha dismiuido la proporció al ivel 0, E ua ciudad, dode la proporció de fumadores co edad compredida etre 18 y 0 años es del 30 %, el ayutamieto ha realizado ua campaña cotra el cosumo de tabaco. Dos meses después de termiar dicha campaña, se ha realizado ua ecuesta a 400 persoas de estas edades, elegidas al azar, y se ha ecotrado etre ellos a 9 fumadores. Podemos afirmar, a u ivel de sigificació α = 0,05, que esta campaña ha modificado la proporció de fumadores etre 18 y 5 años? Solució: Estos datos so suficietes para afirmar, al ivel 0,05, que se ha modificado la proporció de fumadores etre los 18 y 5 aos. 7. U fabricate de automóviles produce dos tipos de u determiado modelo de turismo: el tipo A, co motor de gasolia, y el tipo B, co motor de gasoil. De ua muestra aleatoria de 00 turismos de este INFERENCIA ESTADÍSTICA 14

15 modelo, 11 so del tipo B. Proporcioa estos datos suficiete evidecia, a u ivel de sigificació α = 0,01, de que los clietes prefiere el modelo del tipo B al del tipo A? Solució: No teemos evidecias suficietes para afirmar que los clietes prefiere el modelo del tipo B de gasoil, al del tipo A de gasolia, al ivel de sigificació α = 0, Supogamos que 100 eumáticos de cierta marca duraro e promedio 1431 kilómetros. Si se supoe que la població es ormal co ua desviació típica poblacioal de 195 km, utilizado α = 0,05, podemos cosiderar que la duració media de los eumáticos es iferior a 000 km? Solució: Podemos afirmar que la duració media de los eumáticos de dicha marca es meor de 000 Km., co ua probabilidad de error tipo I, α, del 5%. 9. U costructor afirma que por lo meos el 75% de las casas que costruye tiee calefacció. Se estaría de acuerdo co tal afirmació si ua ispeccioa aleatoria muestra que 7 de 135 casas cueta co calefacció? (Usar α = 0,1 ) Solució: Los datos de la muestra so suficietes para rechazar, a este ivel α = 0,1, la afirmació del costructor de que la proporció de casas co calefacció que éste costruye o es iferior al 75%. 10. Ua compañía textil afirma que a lo sumo el 0 % del público compra ropa de laa. Verifica esta afirmació para α = 0,01, si ua ecuesta aleatoria idica que 46 de 00 clietes compra ropa de laa. Solució: Los datos de la muestra o so suficietes para rechazar, a este ivel, que la proporció del público que compra ropa de laa o supera el 0 %. 11. Se sabe que la logitud e cm de ua determiada especie de coleópteros sigue ua distribució ormal de variaza 0,5 cm. Capturados 6 ejemplares de dicha especie, sus logitudes (e cm) fuero:,75 1,7,91,6,64 3,34 Se puede aceptar la hipótesis de que la població tiee ua logitud media de,656 cm? (Usar α = 0,05 ) Solució: No teemos evidecias suficietes para rechazar que la logitud media de esa especie de coleópteros es de.656 cm, co ua probabilidad de error tipo I, α, del 5%. 1. La edad de la població que vive e residecias de mayores e Cádiz sigue ua distribució ormal de desviació típica 7,3 años. Se toma ua muestra aleatoria simple de tamaño 50, y se obtiee ua media muestral de 69 aos. Se puede asegurar que la edad media de la població que vive e residecias de mayores e Cádiz es mayor de 70 años co u ivel de sigificació del 5 %? Solució: Puede decirse que los datos de la muestra o permite afirmar que la media de edad de esas persoas sea mayor que 70 años, al ivel de sigificació α = 0, Para coocer la producció media de sus olivos, u olivarero escoge al azar 10 de ellos, pesa su producció de aceituas, y obtiee los siguietes valores, expresados e Kg.: 175, 180, 10, 15, 186, 13, 190, 13, 184, 195. Sabemos que la producció sigue ua distribució ormal co desviació típica igual a 15.3 Kg. Co la iformació obteida, se puede asegurar que la producció media de u olivo de ese agricultor es meor de 00 Kg? (Usar α = 0,05 ) Solució: Puede decirse que los datos de la muestra cofirma que la producció media de u olivo de ese agricultor es meor de 00 Kg., al ivel de sigificació α = 0, El 40 % de los escolares de cierto país suele perder al meos u día de clase a causa de gripes y catarros. Si embargo, u estudio sobre 1000 escolares revela que e el último curso hubo 450 e tales circustacias. Las autoridades defiede que el porcetaje del 40% para toda la població de escolares se ha mateido. Cotrastar co u ivel de sigificació del 5 % la hipótesis defedida por las autoridades saitarias, frete a que el porcetaje ha aumetado, como parece idicar los datos, explicado claramete a que coclusió se llega. Solució: Estos datos so suficietes para afirmar, al ivel α = 0,05, que el porcetaje de escolares que pierde al meos u día de clase por causa de gripes y catarros ha aumetado, por lo que ese porcetaje es mayor del 40 %. Etoces, la hipótesis mateida por las autoridades o es correcta. 15. Ua de las etradas a cierta ciudad adaluza sufría costatemete retecioes de trófico, de forma que el tiempo de espera e la cola formada por el semáforo allí istalado seguía ua distribució Normal de media 10 miutos y desviació tópica 4 miutos. Co el fi de descogestioar ese puto INFERENCIA ESTADÍSTICA 15

16 y bajar la media de tiempo de espera, se habilito ua vía de acceso auxiliar. Trascurrida ua semaa se hizo u estudio sobre 36 vehículos y se obtuvo que el tiempo medio de espera e el citado semáforo fue de 8.5 miutos. Las autoridades muicipales mostraro su satisfacció y dijero que la medida había fucioado, pero la opiió pública, si embargo, defiede que la situació sigue igual. Supoiedo que la desviació tópica se ha mateido: a) Platee u test para cotrastar la hipótesis defedida por la opiió pública frete a la de los resposables muicipales. Si se cocluye que la media de tiempo de espera bajó y realmete o lo hizo, como se llama el error cometido? b) A que coclusió se llega co u ivel de sigificació del 5 %? c) A que coclusió se llega co u ivel de sigificació del 1 %? Solució: a) El error se deomia Error tipo I, y la probabilidad de cometer u error de tipo I se deomia α. Estos datos so suficietes para afirmar, al ivel α = 0,05, que el tiempo medio de espera e dicho semáforo ha bajado, por lo que ese tiempo de espera es ahora meor de 10 miutos. Etoces, la hipótesis mateida por las autoridades muicipales es correcta, y la medida de habilitar ua vía de acceso auxiliar ha descogestioado el trafico e la etrada de dicha ciudad. Si embargo, para u ivel α = 0,01 o se puede rechazar la hipótesis ula, y por tato el tiempo medio de espera e el semáforo sigue siedo de 10 miutos. 16. E u hospital se observó que los pacietes abusaba del servicio de urgecias, de forma que u 30 % de las cosultas podía perfectamete haber esperado a cocertar ua cita co el medico de cabecera, porque o era realmete urgecias. Puesto que esta situació raletizaba el servicio, se realizo ua campaña itesiva de cocieciació. Trascurridos uos meses se ha recogido iformació de 10 cosultas al servicio, de las cuales sólo 30 o era realmete urgecias: a) Hay persoal del hospital que defiede que la campaña o ha mejorado la situació. Platee u test para cotrastar esta hipótesis frete a que sí la mejoro. Si se cocluye que la situació o ha mejorado y realmete sí lo hizo, cómo se llama el error cometido? b) A qué coclusió se llega e el test plateado e el apartado aterior co u ivel de sigificació del 1%? Solució: a) El error se deomia Error tipo II. b) La campaña de cocieciació o ha reducido el porcetaje de pacietes (30%) que abusa del servicio de urgecias, al ivel de sigificació α = 0, El alcalde de ua ciudad prometió, e su programa electoral, opoerse a la costrucció de ua cetral de tratamieto de ciertos residuos, puesto que e aquel mometo solo u 10 % de los ciudadaos estaba a favor de la cetral de tratamieto de residuos. E los últimos días se ha ecuestado a 100 persoas de las cuales 14 está a favor de la cetral. El alcalde afirma si embargo que el porcetaje de ciudadaos a favor sigue siedo del 10 % o icluso ha dismiuido. Tiee razó el alcalde co u ivel de sigificació del %? Solució: No teemos evidecias suficietes para afirmar que el porcetaje de ciudadaos que estaría a favor de la costrucció de la cetral de tratamieto de residuos es mayor del 10 %, al ivel de sigificació α = 0,0. Por tato, los datos de la muestra avala la opiió del alcalde de que el porcetaje de ciudadaos a favor sigue siedo del 10 % o icluso ha dismiuido. 18. Se desea estudiar el gasto mesual de los teléfoos móviles, e euros, de los estudiates uiversitarios adaluces. Para ello, se ha elegido ua muestra aleatoria de 10 de estos estudiates, resultado los valores siguietes para el gasto mesual e móvil: Se supoe que la variable aleatoria objeto de estudio sigue ua distribució ormal de media descoocida y de desviació tópica igual a 1 euros. a) Se puede asegurar que los estudiates uiversitarios adaluces gasta meos de 50 euros mesuales e teléfoo Mobil? (Usar α = 0,01) b) Cuál es la desviació tópica de la media muestral? Solució: a) Estos datos so suficietes para afirmar, al ivel α = 0,01, que los estudiates uiversitarios adaluces gasta meos de 50 euros al mes e teléfoo móvil. b) La desviació tópica de la media muestral es σ = 3,795. INFERENCIA ESTADÍSTICA 16

17 19. Ua máquia de evasado automático llea e cada saco ua cierta catidad de determiado producto. Se seleccioa 0 sacos, se pesa su coteido y se obtiee los siguietes resultados (e kilos): 49, 50,49, 50, 50, 50,49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 51, 5, 48, 50, 51, 51, 51 A partir de esta iformació y supoiedo que la variable, peso de cada saco, se distribuye ormalmete co desviació típica 1 Kg.: a) Se puede admitir que el peso medio de los sacos que llea la maquia es de aproximadamete 51 kg? (Usar a = 0,01) b) Se puede admitir que el peso medio de los sacos que llea la maquia es meor de 50 Kg? (Usar α = 0,05) Solució: a) Podemos afirmar que la maquia o evasa sacos de aproximadamete 51 kg, al ivel de sigificació α = 0, 01. b) Podemos decir que los mismos datos apoya la hipótesis de que el peso medio de los sacos o es iferior a los 50 Kg, al ivel de sigificació α = 0, El cosumo de cierto producto sigue ua distribució ormal co variaza 300. A partir de ua muestra de tamaño 5 se ha obteido ua media muestral igual a 180. a) Halle u itervalo de cofiaza al 95 % para la media del cosumo. b) Se podría afirmar que el cosumo medio de este producto o llega a 00? (Usar α = 0,05) Solució a) U itervalo de cofiaza al 95% para la media del cosumo es (173,1; 186,79). b) Los datos de esta muestra permite afirmar que el cosumo medio de este producto o llega a 00, al ivel de sigificació α = 0, Los estudiates uiversitarios de cierto país dedica al estudio u úmero de horas semaales que sigue ua distribució ormal de media descoocida y de desviació típica 7 horas. Si e ua muestra de 00 estudiates se obtuvo ua media muestral de 30 horas de estudio semaal. a) Halle u itervalo de cofiaza al 95 % para el úmero de horas de estudio semaales de los estudiates uiversitarios de dicho país. b) Se podría afirmar que los estudiates uiversitarios de ese país estudia meos de 35 horas semaales? (Usar α = 0,01) Solució: a) U itervalo de cofiaza al 95 % para la media de horas de estudio semaales de los uiversitarios es (9,03; 30,97). b) Podemos afirmar que la media del úmero de horas de estudio semaales de los uiversitarios es meor de 35 horas, al ivel de sigificació α = 0,01.. La talla de los idividuos de ua població sigue ua distribució ormal de desviació típica 8 cm. Se ha determiado las tallas de 5 idividuos, ecotrádose ua media de 168 cm. Se podría afirmar que la talla media de la població es meor de 170 cm? (Usar α = 0,03) Solució: No teemos evidecias suficietes para afirmar que la talla media de la població es meor de 170 cm, al ivel de sigificació α = 0, Los estudiates de Bachillerato de ua cierta comuidad autóoma duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú ua ley ormal de media descoocida y desviació tópica 3 horas. A partir de ua muestra aleatoria de tamaño 30 se ha obteido ua media igual a 7 horas. Se podría afirmar que el úmero medio de horas de sueño de los estudiates de Bachillerato de dicha comuidad autóoma es mayor de 6 horas? (Usar α = 0,04) Solució: E cosecuecia, a este ivel α = 0,04, los datos de la muestra permite afirmar que el umero medio de horas de sueo de los estudiates de Bachillerato de dicha comuidad autóoma es mayor de 6 horas. 4. Las autoridades educativas publica e u estudio que el 5 % de los estudiates de Bachillerato de ua cierta comuidad autóoma tiee ordeador portátil. A partir de ua muestra aleatoria de tamaño 300 se ha obteido que solo 70 de ellos tiee ordeador portátil. Se podría asegurar que las autoridades dice la verdad? (Usar α = 0,06) Solució: No teemos evidecias suficietes para afirmar que el porcetaje de estudiates de Bachillerato que tiee ordeador portátil es distito del 5%, al ivel de sigificació α = 0,06. E cosecuecia, a este ivel, los datos o permite rechazar que el estudio se correspoda co la realidad. Por tato, podemos afirmar que las autoridades educativas dice la verdad. INFERENCIA ESTADÍSTICA 17

18 5. U laboratorio farmacéutico fabrica u producto para la caída del cabello que evasa e botes, y e el etiquetado idica que su coteido aproximado es de 100 c.c. Se elige, al azar, 7 de estos botes y se mide sus coteidos dado el siguiete resultado (e c.c.): Podemos asegurar que la capacidad media de los botes que se fabrica es la idicada e el bote? (Usar α = 0,01) (Se sabe que el coteido es ua variable aleatoria ormal de desviació tópica c.c.) Solució: Podemos asegurar que la capacidad media de los botes que se fabrica es la idicada e la etiqueta (100 c.c.), al ivel de sigificació α = 0, Se ha tomado ua muestra de precios de u mismo producto e 16 comercios, elegidos al azar e ua ciudad, y se ha ecotrado los siguietes precios (e euros): 95,108, 97,11, 99,106,105,100, 99, 98,104,110,107,111,103,110. Supoiedo que los precios de este producto se distribuye segú ua ley ormal de variaza 5 y media descoocida: a) Cual es la distribució de la media muestral? b) Se puede afirmar que el precio medio de dicho producto es meor de 105 euros? (Usar α = 0,03) Solució: a) La distribució de la media muestral sigue ua ley Normal co media descoocida (la misma que la media de la població) y desviació típica σ = 5/4 = 1,5. b) No teemos evidecias suficietes para afirmar que el precio medio de dicho producto e esa ciudad es meor de 105 euros, al ivel de sigificació α = 0, Los alumos de preescolar de Adalucía tiee ua estatura que es ua variable aleatoria de media descoocida y desviació tópica 16 cm. Si seleccioamos ua muestra aleatoria de 100 de tales alumos y obteemos ua estatura media de 95 cm, a) se puede afirmar que la estatura media de los alumos de preescolar de Adalucía es meor de 95 cm? (Usar α = 0,01) b) se puede afirmar que la estatura media de los alumos de preescolar de Adalucía es mayor de 100 cm? (Usar α = 0,05) Solució: a) No teemos evidecias suficietes para afirmar que la estatura media de los alumos de preescolar de Adalucía es meor de 95 cetímetros, al ivel de sigificació a = 0,01. Los datos de la muestra o permite afirmar, a ese ivel, que la estatura media de estos alumos es meor de 95 cm. b) No teemos evidecias suficietes para afirmar que la estatura media de los alumos de preescolar de Adalucía es mayor de 100 cetímetros, al ivel de sigificació a = 0,05. Los datos de la muestra o permite afirmar, a ese ivel, que la estatura media de estos alumos es mayor de 100 cm INFERENCIA ESTADÍSTICA 18

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