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1 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES. NOMENCLATURA Y DEINICIONES.. - DEINICIÓN Ls mtrices son tbls numérics rectngulres ª column ª fil n n n m m m mn ( ij ) Est es un mtriz de m fils y n columns. Es de dimensión m x n. Los elementos, ij, son números reles ( ij R) Dimensión de l mtriz Al designr un mtriz genéric, como l nterior, cd término tiene dos subíndices que indicn l fil y l column ls que pertenece. El elemento es el que está en l tercer fil y segund column. Pr simplificr, l mtriz nterior se puede designr sí: A ( ij ) m,n.. IGUALDAD DE MATRICES Dos mtrices son igules cundo son de l mism dimensión y, demás, coinciden término término: A ( ij ) m,n A B ij bij B ( bij ) m,n

2 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto.. TIPOS DE MATRICES Mtriz fil: A x n (. n ) Mtriz column: A m x. m Mtriz nul: Mtriz cuyos elementos son todos nulos: O m x n Mtriz cudrd: Si el número de fils es igul l número de columns (m n) A n x n A n n n n n nn Digonl secundri Digonl principl Mtriz tringulr superior (inferior): Mtriz cudrd cuyo elementos que están por debjo (encim) de l digonl principl son nulos. A n x n A n n n nn Mtriz digonl : Mtriz cudrd en que l todos los elementos que no pertenecen l digonl principl son nulos. A n x n A n nn

3 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto Mtriz esclr: Mtriz digonl con los elementos de l digonl principl igules A n x n A n Mtriz unidd o identidd : Mtriz esclr con los elementos de l digonl principl unos. I n x n I n Mtriz trspuest de un mtriz A (ij)m,n es otr mtriz A t (ji)n,m que se obtiene l cmbir en A ls fils por ls columns y ls columns por ls fils. A m x n m m n n mn A t n x m n n m m mn Mtriz simétric: mtriz cudrd que coincide con su trspuest (A A t ) A n x n n n n n nn Mtriz ntisimétric: mtriz cudrd que coincide con menos su trspuest(a-a t ) A n x n n n n n

4 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto. OPERACIONES CON MATRICES.. SUMA DE MATRICES Pr que dos mtrices puedn sumrse, es necesrio que tengn l mism dimensión. En tl cso, se sumn término término: ( ij ) m, n (b ij ) m, n ( ij b ij ) m, n.. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Pr multiplicr un número por un mtriz, se multiplic por el número cd elemento de l mtriz: k.( ij ) m, n (k ij ) m, n.. PRODUCTO DE UNA MATRIZ ILA POR UNA MATRIZ COLUMNA El producto de un vector fil por un vector column, mbos de l mism dimensión, es un números que se obtiene multiplicándolos término término y sumndo los resultdos: b b ( n ) b.b.b.b n. b n b n.. PRODUCTO DE MATRICES Pr que dos mtrices A y B puedn multiplicrse, A.B, es necesrio que el número de columns de l primer mtriz coincid con el número de fils de l segund mtriz. En tl cso, el producto A.B C es otr mtriz cuyos elementos se obtienen multiplicndo cd vector fil de l primer por cd vector column de l segund, del siguiente modo: A B ( ij ) ( b ) ij m,n n,p A.B C ( cij ) m, p Siendo c ij el producto de l fil i de A por l column j de B: bj b j c ij b nj ( i i i in ) bj i.bj i.b j i.bj in. bnj L mtriz C resultnte tiene tnts fils como A, m, y tnts columns como B, p.

5 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto.. EJEMPLO Clculr l mtriz M P P I siendo P M PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES.. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Ls mtrices de dimensión m x n pueden sumrse, y el resultdo es otr mtriz m x n. Además, l sum cumple ls siguientes propieddes:. Asocitiv: (A B) C A (B C). Conmuttiv: A B B A. Elemento neutro: L mtriz O m, n, cuyos elementos son todos (mtriz nul), sumd con culquier otr mtriz de dimensión m x n, l dej igul, es decir, A O O A A. Elemento opuesto: Tod mtriz A, tiene su opuest A. L opuest de A ( ij ) es A (- ij ), pues ( ij ) (- ij ) ( ij ij ) () O.. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NÚMEROS POR MATRICES Si, b R, y A, B M m, n, se cumplen ls siguientes propieddes:..(b.a) (.b).a. ( b).a.a b.a..(a B).A.B..A A.. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES. Asocitiv: (A mxn. B nxp ). C pxq A mxn.(b nxp.c pxq). El producto de mtrices no es conmuttivo: A.B B.A Como consecuenci, hemos de mntener el orden en que prezcn ls mtrices que hn de multiplicrse. Por tnto, utilizremos expresiones del siguiente tipo: L mtriz A está multiplicd por l izquierd (o por l derech) por l mtriz B.

6 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto. Elemento neutro: A.I I.A A siendo I l mtriz identidd o unidd.. No siempre existe el elemento inverso: A.A - A -.A I, siendo A - l mtriz invers de A No tods ls mtrices tienen invers: Si un mtriz tiene invers se l llm inversible o regulr. Si un mtriz no tiene invers se le llm singulr... PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS. Distributiv izquierd: A.(B C) A.B A.C. Distributiv derech: (A B).C A.C B.C.. PRODUCTOS NOTABLES. (A B) A AB B, excepto si A y B son conmuttivs. (A - B) A - AB B, excepto si A y B son conmuttivs. (A B).(A B) A - B, excepto si A y B son conmuttivs.. PROPIEDADES DE LA TRASPOSICIÓN DE MATRICES. (A t ) t A. (A B) t A t B t. (k.a) t k.a t. (A.B) t B t.a t. Si A es un mtriz simétric: A t A.. PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ. (A - ) - A. (A B) - A - B -. (k.a) - K.A -. (A.B) - B -.A -. Si I es l mtriz identidd o unidd: I - I. (A t ) - (A - ) t

7 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ.. APLICANDO LA DEINICIÓN A.A - I Ejemplo: [] Hllr l invers, si existe, de l mtriz A t z y x. t y z x t y z x No tiene solución t y t y No tiene solución z x z x t y z x t y z x Solución: No existe l invers de A [] Hllr l invers, si existe, de l mtriz A t z y x. t y z x t y z x y t t t y t y x z z z x z x t y z x t y z x Solución: A - Comprobción: A.A - I :. Está bien Observción: - Pr hllr l invers de un mtriz x hy que resolver sistems de ecuciones - Pr hllr l invers de un mtriz x hy que resolver sistems de ecuciones - Pr hllr l invers de un mtriz x hy que resolver sistems de ecuciones. - Pr hllr l invers de un mtriz n x n hy que resolver n sistems de n ecuciones Por tnto este método sólo es consejble pr mtrices de dimensión x.

8 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto 8.. APLICANDO EL MÉTODO DE GAUSS (A I) (I A) Psos:. Hcemos ceros debjo de l digonl principl (de izquierd derech). Hcemos ceros encim de l digonl principl (de derech izquierd). Arreglmos l digonl principl (dividiendo cd fil por el número correspondiente) Not: Si l hcer ceros un fil o column es tod cero No existe l invers Ejemplo: [] Hllr l invers, si existe, de l mtriz A No existe l invers de A [] Hllr l invers, si existe, de l mtriz A / / ) /( Solución: A - Comprobción: A.A - I :. Está bien [] Hllr l invers de l mtriz / / /

9 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto 9 / / / / / / / / / Solución: A - / / / / / / / / / Comprobción: A.A - I :. / / / / / / / / / Bien Observción: Pr hllr l invers de un mtriz por el método de Guss, se pueden cmbir fils pero en (A I) no ntes, pero nunc columns. [] Hllr l invers de l mtriz.. POR DETERMINANTES (Ver tem ). EJERCICIOS TÍPICOS DE MATRICES.. POTENCIA N-ÉSIMA DE UNA MATRIZ Pr clculr l potenci n-ésim de un mtriz, A n, se clcul A, A, A, A,. hst que descubrmos l ley de formción de ls sucesiones que l formn o lleguemos l mtriz Identidd Ejemplos: [] Clculr A n siendo A A A A.A. A A.A. A A.A.

10 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto. A n n [] Clculr A 8 siendo A A A A.A. A A.A. A A.A A.I A Sólo hy tres posibles resultdos : A, A, A (el resto se repiten) Dividimos 8 entre y nos quedmos con el resto: 8. A 8 A. (A ).A I.A I.A A.. APLICACIONES DE LA INVERSAS: RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES Propieddes: A.A - A -.A I; A.I A Ejemplos: [] A.X B A -.A.X A -.B I.X A -.B X A -.B [] X.A B X.A. A - B. A - X.I B. A - X B. A - [] AX B C AX C B A -.A.X A -.(B C) I.X A -.(B C) X A -.(B C) [] XA - B C X. A - C-B X. A -.A (C-B).A X.I (C-B).A X (C-B).A [] AXB C I AXB (I C) A -.A.X.B.B - A -.(I - C).B - I.X.I A -.(I - C).B -.X A -.(I - C).B -.. RESOLVER SISTEMAS MATRICIALES Se plic el método de reducción pr despejr ls mtrices incógnit. Ejemplo: Resolver el siguiente sistem mtricil B Y X A Y X siendo A y B mtrices conocids

11 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto X Y A Multiplicmos l primer ecución por - y ls summos: 8Y B A X Y B Y ( B A) (Clculmos Y) 8 X Y A (Clculmos X).. HALLAR LAS MATRICES QUE CONMUTAN CON UNA DADA Conmutr signific que AX XA Ejemplo: Hllr ls mtrices que conmutn con l mtriz A x y x y A.X X.A.. z t z t x z y t x x y z t z z t x z x z y t x y x t z z z x t t z t z Dos ecuciones con cutro incógnits ( g.l.) z, x α, t α, y β X α β α α, β R. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES.. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Ddos v, v, v,, v n vectores y,,,, n números, l vector formdo del siguiente modo:. v. v. v n v n Se le llm combinción linel de los vectores v, v, v,, v n Ejemplo: Escribir el vectores (,,-) como combinción linel de los vectores: v (,,), v (,-,)

12 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto (,,-) α. v β. v (,,-) α.(,,) β.(,-,) α β (,,-) (α β, α - β, β) α β β De l tercer ecución β - Sustituimos en l segund ecución: α α Comprobmos que se cumple l primer:.(-). Como se cumple se puede poner como combinción linel (,,-). v -. v (Si no se cumpliese, no se podrí poner y el ejercicio no tendrí solución).. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES Un conjunto de vectores: v, v, v,, v n se dice que son linelmente dependientes (L.D.) si lguno de ellos se puede poner como combinción linel de los demás. Un conjunto de vectores: v, v, v,, v n se dice que son linelmente independientes (L.I.) si ninguno de lguno de ellos se puede poner como combinción linel de los demás. En l práctic: Pr sber si un conjunto de vectores son linelmente dependientes o independientes lo que se hce es un combinción de ellos iguld l vector cero. v. v. v n v n Si todos los i son cero Los vectores son linelmente independientes Si lgún i es no nulo Los vectores son linelmente dependientes. RANGO DE UNA MATRIZ.. DEINICIÓN Llmmos rngo de un mtriz l número de fils o columns linelmente independientes... CÁLCULO Pr estudir el rngo de un mtriz: Hcemos ceros debjo de l digonl principl. El número de fils no nuls es el rngo

13 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto Ejemplo: Hllr el rngo de l mtriz A Rngo A Pr estudir el rngo de un mtriz con prámetros Se llev el prámetro lo más bjo y l derech posible. Se hcen ceros debjo de l digonl principl (l fil que cmbimos no se puede multiplicr por el prámetro. Se iguln, por seprdo, los elementos de l digonl principl cero Un cso más que el números de prámetros (se estudi cd cso) Ejemplo: Hllr el rngo de l mtriz A C C No tiene solución - No tiene solución ± Dos vlores de Tres csos: - CASO : Rngo A - CASO : - Rngo A - CASO : ± * Rngo A

14 TEMA ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátics II º Bchillerto.. UTILIZAR EL RANGO PARA ESTUDIAR LA DEPENDENCIA O INDEPENDENCIA DE VECTORES Pr estudir si un conjunto de vectores son linelmente dependientes o independientes se colocn como si fuesen ls fils de un mtriz, se estudi el rngo de l mtriz (ceros debjo de l digonl principl) Si lgun fil es tod nul Son linelmente dependientes Si ningun fil es nul Son linelmente independientes Ejemplos: [] Estudir si son L.I. o L.D. los vectores (,,,), (,,-,), (,,,) y (,,,) Linelmente Dependientes [] Estudir si los vectores (,,), (,,-), (,,) son L.I o L.D. 9 9 L. Independientes

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