TEMA 2: INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA.

Transcripción

1 TEMA : INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA...- CONCEPTOS FUNDAMENTALES. Iferecia estadística. Ua iferecia es ua extesió de lo particular a lo geeral. La iferecia iductiva es u proceso co riesgo ya que ua iferecia iductiva exacta es imposible. La iferecia estadística proporcioa u método objetivo que establece reglas base para criticar, rechazar y aceptar "items" de iformació cietífica cuado prevalece codicioes de icertidumbre. De esta forma, se puede extraer coclusioes (co icertidumbre valorada mediate probabilidad si se aplica pricipios y reglas objetivables) sobre ua població utilizado como materia prima la iformació muestral. Ua clara aplicació se tiee sobre la realidad ecoómica de la que se estudia problemas cocretos para mejorar el coocimieto de ciertas poblacioes. Los procedimietos empleados puede clasificarse e fució del objetivo de la iferecia e métodos paramétricos (se desea evaluar los parámetros poblacioales descoocidos) y métodos o paramétricos (se desea coocer otra característica de la població). Los procedimietos empleados puede clasificarse segú la técica iferecial e Estimació y Cotraste de Hipótesis. La Estimació asiga valores a parámetros: si asiga u úico valor es Estimació Putual y si asiga u itervalo es Estimació por Itervalos. El Cotraste de Hipótesis establece ua regla de rechazo o aceptació de cierta afirmació o hipótesis, sobre los parámetros poblacioales o sobre otro aspecto poblacioal o paramétrico, mediate prueba basada e iformació muestral. Los procedimietos empleados puede clasificarse segú el tipo de iformació que utiliza e métodos clásicos (los parámetros se cosidera valores fijos pero descoocidos) y métodos bayesiaos (los parámetros se trata como si fuera variables aleatorias). E esta documetació se preseta sólo los métodos clásicos (más adecuados para la crítica de modelos) tato paramétricos como o paramétricos.

2 Població y muestra. La població se defie como cojuto de elemetos objeto de estudio (característica de los elemetos estudiados). De forma más cocreta, si os referimos a los elemetos o uidades elemetales o primarias se llega al Uiverso o Colectivo (se dice dado u colectivo de idividuos), si se refiere a la característica que represeta la variable aleatoria se tiee la Població que se idetifica co la variate (se dice sea ua població co comportamieto ormal). Alterativamete, la població se defie como cojuto de posibles resultados de u experimeto aleatorio. E adelate, se hará u uso geeral de la defiició de població. El úmero de elemetos u observacioes se deomia tamaño poblacioal. Puede ser fiito o ifiito. Muchas de las aplicacioes o casos reales estudiados so fiitos, auque cuado la població es muy amplia se trata o asume como poblacioes ifiitas. Como los modelos so idealizacioes matemáticas lo ifiito y lo cotiuo implica simplificació. La iformació sobre la població se ecuetra e los elemetos o uidades elemetales o primarias. Se recoge recoge habitualmete e el ámbito ecoómico-social mediate ecuestas. So ecuestas cesales si se llega a todos los elemetos (recueto y observacioes exhaustivas o de todos los idividuos lo que colleva costes muy elevados), sería lo ideal para obteer toda la iformació. Como o siempre es viable, se ecesita las ecuestas muestrales. So ecuestas muestrales si se recoge iformació sólo de ua parte de la població, que represeta a toda ella. La muestra se defie como u subcojuto represetativo de la població. No cualquier parte de ua població sirve como muestra, debe ser ua parte represetativa de la població, debe mateer la estructura de la població (e cuato a la característica estudiada), debe ser ua image e pequeño de la població e la que se matega la heterogeeidad o variabilidad existete e la població (micropoblació). Si ua ura tiee bolas de dos colores, la mitad so rojas y la otra mitad azules, ua muestra de tamaño 0 debería teer de forma ideal 0 rojas y 0 azules. E realidad o so las muestras ideales o de perfecta represetatividad y podría darse ua muestra diferete (por ejemplo 9 rojas y azules). De hecho, para ua muestra de tamaño se defie el espacio de las muestras o Espacio Muestral como

3 el cojuto de todas las muestras (diferetes) de tamaño que se puede obteer a partir de ua població dada. Las desviacioes respecto de la perfecta represetatividad, que se atribuye al proceso de selecció de la muestra, o ivalida el proceso iferecial siempre y cuado tega orige aleatorio, es decir, sea debidas al azar. El azar se ecargará de proporcioar ua muestra co la represetatividad deseada. Por limitacioes e los recursos (tiempo acotado, presupuesto o coste limitado, observació destructiva, biees perecederos) es habitual el uso de muestras e vez de cesos. Además, existe ciertas vetajas a teer e cueta: mayor detalle y calidad e la observació y recogida de datos al ser meor el úmero de idividuos a estudiar, ahorro de tiempo y costes. Los icoveietes surge por la icertidumbre ievitable debida al proceso iferecial, por los errores e la forma de seleccioar la muestra, y por la mayor cualificació que se debe teer para efectuar procesos ifereciales. Segú la forma e que se seleccioa las uidades muestrales se distigue dos grades tipos de muestreo: muestreos o probabilísticos (o estocásticos) y muestreos probabilísticos (estocásticos). A veces se ombra como muestreos o aleatorios y muestreos aleatorios. Ésta última deomiació, auque muy extedida, es meos apropiada ya que aleatorio se refiere propiamete a azar o ambiete de riesgo (o ecesariamete evaluable o medible) y probabilístico o estocástico idica posibilidad de asigar probabilidades e u ambiete de icertidumbre. E los muestreos o probabilísticos el ivestigador seleccioa determiísticamete las uidades muestrales (o al meos o es posible asigar probabilidades). Podría coseguirse muestras o subcojutos represetativos de esta forma? E pricipio, sí. Podría coseguirse bueas estimacioes o estimacioes cercaas a los valores poblacioales? E pricipio, sí. El problema se tiee al o poder calcular igua medida de bodad o calidad para la estimació. Al o iscribirse e u etoro matemático este tipo de muestreo preseta el grave icoveiete de que o permite el aálisis estadístico (valoració de seguridad y precisió de coclusioes, estudio de errores cometidos e la estimació, fijació de tamaños muestrales para obteer objetivos, etc.). Esto es, o se tiee ua objetivació del procedimieto. Ejemplos de muestreos o probabilísticos so el muestreo opiático (segú criterio del ivestigador) o el muestreo errático (si criterio).

4 Los muestreos probabilísticos se caracteriza porque cada elemeto de la població tiee ua probabilidad coocida y o ula de ser seleccioado. Por ello, mediate técicas estadísticas se tiee los resultados que se valora, pudiédose medir y cotrolar los errores. E los muestreos probabilísticos cada elemeto muestral (a priori o al platear el mecaismo de selecció) es ua variate (co posibles valores y probabilidades asociadas). Como cada elemeto es ua variate, la muestra e su cojuto es ua variable aleatoria (co espacio muestral y probabilidades asociadas). Existe diferetes tipos de muestreos probabilísticos. Se cometa el muestreo si reemplazamieto (tambié deomiado muestreo aleatorio si reemplazamieto o muestreo aleatorio si reemplazamieto) y el muestreo aleatorio simple o muestreo irrestrictamete aleatorio. La diferecia etre ambos viee del o reemplazamieto o reemplazamieto (equivalete a població ifiita) tras la extracció de los elemetos muestrales. Esto implica depedecia o idepedecia etre las variables aleatorias represetativas de los elemetos muestrales a extraer. El muestreo si reemplazamieto (tambié deomiado muestreo aleatorio si reemplazamieto o muestreo aleatorio si reemplazamieto) sólo exige que cada elemeto muestral tega igual comportamieto que el poblacioal y que todas las muestras de tamaño tega la misma probabilidad de ser escogidas. E geeral, para que la muestra sea represetativa, la elecció de los elemetos de la població de los que se tomará iformació sobre la característica de iterés debe de hacerse e codicioes de azar. U ejemplo de muestreo si reemplazamieto es extraer de ua ura co 00 bolas (0 marcadas co el úmero uo, 30 marcadas co el úmero dos y 50 marcadas co el úmero tres) dos bolas al azar, sabiedo que o se devuelve la primera bola extraída (la primera se elige etre ua ura co 00 bolas y la seguda se elige etre ua ura co 99 bolas). La primera extracció ifluye o provoca depedecia e la seguda ya que las probabilidades cambia (la població e la primera extracció es de 00 bolas y luego, e la seguda extracció, la població cambia ya quees de 99 bolas). La població iicial es:

5 ξ=x i P(ξ=xi) 0, 0,3 3 0,5 Total A priori, la probabilidad de que la primera extracció obtega, o 3 es: A priori, la probabilidad de que la seguda extracció obtega, o 3 es:.. Ambos elemetos muestrales se distribuye como la població pero la probabilidad de cada muestra cocreta (probabilidades cojutas) o so el producto de las margiales dado que o hay idepedecia, el caso de la muestra (,) sería:. Etre los muestreos probabilísticos se estudiará y se utilizará e adelate el m.a.s. o muestreo aleatorio simple o muestreo irrestrictamete aleatorio. Muestreo aleatorio simple o muestreo irrestrictamete aleatorio. Es u método de selecció de u úmero fijo de uidades muestrales, que garatiza que todas las muestras de tamaño tiee la misma probabilidad de ser escogidas. Además,

6 los elemetos muestrales será variates idepedietes etre sí y co igual distribució de probabilidad que la població (extraccioes co repetició o e població ifiita), esa idepedecia e igual distribució se puede idicar como i.i.d.. Es importate observar que, e todo caso, la muestra será ua variable aleatoria ates de su cocreció (a priori) y será u valor o cocreció de la variable aleatoria tras su obteció (a posteriori). Como variable aleatoria tedrá su distribució de probabilidad determiada por la població de orige y por el tipo de muestreo. U ejemplo de muestreo co reemplazamieto es extraer de ua ura co 00 bolas (0 marcadas co el úmero uo, 30 marcadas co el úmero dos y 50 marcadas co el úmero tres) dos bolas al azar, sabiedo que se devuelve la primera bola extraída (la primera se elige etre ua ura co 00 bolas y la seguda se elige tambié etre ua ura co 00 bolas). La primera extracció o ifluye o o provoca depedecia e la seguda ya que las probabilidades o cambia (la població e la primera extracció es de 00 bolas y luego, e la seguda extracció, la població sigue igual). La població iicial es: ξ=x i P(ξ=xi) 0, 0,3 3 0,5 Total A priori, la probabilidad de que la primera extracció obtega, o 3 es: A priori, la probabilidad de que la seguda extracció obtega, o 3 es:

7 Ambos elemetos muestrales se distribuye como la població y la probabilidad de cada muestra cocreta (probabilidades cojutas) so el producto de las margiales dado que hay idepedecia: Parámetro y estimador. Parámetro es u valor represetativo de ua població (visió geeralista o descriptiva). Desde ua visió más formal o iferecial, es u valor que defie ua familia de objetos matemáticos o modelos de probabilidad. Esto es, es u valor asociado a la població etedida como variate que permite fijar el modelo estocástico. Hay modelos co u parámetro (uiparamétrico) como B(,p),, t o Poisso ; modelos co dos (biparamétricos) como B(,p), U(a,b), N(µ,) o F m, ; y modelos co más de dos parámetros. U Estadístico es cualquier fució muestral (o icluye parámetros descoocidos). Ejemplos puede ser la media aritmética, la variaza o la proporció muestral. Como cada elemeto muestral (a priori o al platear el mecaismo de selecció) es ua variate (co posibles valores y probabilidades asociadas) y como la muestra e su cojuto es ua variable aleatoria (co espacio muestral y probabilidades asociadas), se llega a que cualquier estadístico es, tambié, ua variate. El Estimador será u Estadístico dedicado al coocimieto de u parámetro poblacioal descoocido. Por tato, se tiee que el estimador será ua variable aleatoria ates de obteer la muestra cocreta (a priori) y será u valor o cocreció de la variable aleatoria después de obteer la muestra (a posteriori). E la gra mayoría de las ocasioes los parámetros poblacioales a estimar so, como es lógico, los más importates: la media y la variaza. Por ello, parece de setido comú que la media muestral y la variaza muestral sea estadísticos relevates cuya distribució de probabilidad e el muestreo ecesita ser coocida por su amplia utilizació. Estos estadísticos a los que se les cofiere la característica de ser útiles para estimar se deomia estimadores.

8 Resumiedo, dado u tipo de muestreo probabilístico a partir del cual se obtiee ua muestra, se deomia estimador a ua fució de la muestra $ θ ( x,..., ) $ x = θ que se usa para iferir el valor de la característica poblacioal que queremos estimar θ. El cojuto de valores que puede tomar el parámetro se deomia espacio paramétrico Θ...- DISTRIBUCIÓN DE ESTADÍSTICOS EN EL MUESTREO. El estadístico es ua fució de la muestra que o preseta parámetros poblacioales descoocidos: T ) = f (,,..., ). ( Alguos ejemplos de estadísticos so el total muestral, la media muestral, el mometo de orde tres respecto al orige o el meor valor muestral: Es importate destacar que el estadístico preseta ua distribució de probabilidad derivada de la muestral (defiida segú població de orige y tipo de muestreo) y de la forma de la fució que sigue el propio estimador. Además, cosecuecia de lo aterior, supoe o sumiistra u resume de la iformació coteida e la muestra. La distribució de la muestra suele idetificarse co su fució de cuatía o de desidad cojuta (segú que la distribució poblacioal sea discreta o cotiua), que proporcioa la probabilidad o desidad de probabilidad co la cual puede presetarse cada muestra cocreta e el proceso de muestreo.

9 E este curso siempre se tiee que el tipo de muestreo es m.a.s. Por ello se recuerda y aaliza sus características. Es u método de selecció de u úmero fijo de uidades muestrales, que garatiza que todas las muestras de tamaño tiee la misma probabilidad de ser escogidas. Además, los elemetos muestrales será variates idepedietes etre sí y co igual distribució de probabilidad que la població (extraccioes co repetició o e població ifiita), esa idepedecia e igual distribució se puede idicar como i.i.d.. Es importate recordar que la muestra será ua variable aleatoria ates de su cocreció (a priori), se suele represetar co letras mayúsculas que idica las variates elemetos muestrales (,,, ). Es importate recordar que la muestra será u valor o cocreció de la variable aleatoria tras su obteció (a posteriori), se suele represetar co letras miúsculas que idica las cocrecioes o sucesos muestrales x(x,x,,x ). Como variable aleatoria tedrá su distribució de probabilidad determiada por la població de orige y por el tipo de muestreo que es m.a.s. Para ua muestra, m.a.s. x(x,x,,x ), su probabilidad es si caso discreto:. = x ) P( = x)... P( = x) = P( j = x j ) = P( = x j ) j = j = P( = x) = P( ξ cotiuo: Para ua muestra, m.a.s. x(x,x,,x ), su desidad de probabilidad es si caso f ( x) = f ( x) f ( )... ( ) = ( ) x f x f x j = f j ξ j = j = ( x j ). Hay que recordar la idepedecia (se pasa de itersecció de sucesos a producto de probabilidades) y la igual distribució (se pasa de variate elemeto muestral a variate poblacioal j ). U ejemplo es extraer de ua població B(,p) ua m.a.s. de tamaño tres (=3) y obteer la distribució de probabilidad de la muestra:

10 Se observa e la columa de la izquierda el espacio muestral co ocho diferetes valores de dimesió tres. Se observa e la columa de la derecha las probabilidades asociadas a los diferetes valores posibles de la muestra, se comprueba que su suma es uo (toda la probabilidad del feómeo o suceso seguro). Otro ejemplo es extraer de ua població ormal ua m.a.s. de tamaño y buscar la fució de desidad cojuta de la muestra: Otro ejemplo es extraer de ua ura co 00 bolas (0 marcadas co el úmero uo, 30 marcadas co el úmero dos y 50 marcadas co el úmero tres) ua m.a.s. de tamaño dos y hallar distribució poblacioal, distribució de los elemetos muestrales, distribució cojuta de la muestra y distribució de la media muestral. ξ=x i P(ξ=xi) =x P( =x ) =x P( =x ) 0, 0, 0, 0,3 0,3 0,3 3 0,5 3 0,5 3 0,5 Total Total Total =x P(=x)=P( =x ) P( =x ) Media ( + )/ P[Media] (,) 0, 0,=0,04 0,04 (,) 0, 0,3=0,06,5,5 0,

11 (,) 0,3 0,=0,06,5 0,9 (,) 0,3 0,3=0,09,5 0,3 (,3) 0, 0,5=0, 3 0,5 (3,) 0,5 0,=0, Total (,3) 0,3 0,5=0,5,5 (3,) 0,5 0,3=0,5,5 (3,3) 0,5 0,5=0,5 3 Total Co este ejemplo se comprede que cualquier estadístico (como la media) es ua variate co posibles valores y probabilidades asociadas (co distribució de probabilidad). Tambié se comprede que supoe u resume del espacio muestral: e el ejemplo este espacio muestral es de dimesió dos co ueve valores diferetes mietras que la media es de dimesió uo co cico valores diferetes. Var[ ξ ] =. DISTRIBUCIONES DE ESTADÍSTICOS (SUPUESTO M.A.S.). Població descoocida pero co media y variaza coocidas E [ ξ ] = µ y Sea (,,..., ) ua muestra aleatoria (m.a.s.). Etoces las variables aleatorias que represeta cada elemeto muestral está ideticamete distribuidas que la població co E [ ] = µ y Var [ ] = i i. Además so idepedietes dado el tipo de muestreo. Si o se cooce la distribució de la població, o se puede, e geeral, calcular la distribució de los estadísticos, pero sí se podrá, e cualquier caso, determiar la esperaza y variaza de la media muestral y de la variaza muestral. Variable aleatoria Media Muestral = co esperaza de la media muestral [ ] = E[ ξ ] = µ E ya que

12 Variaza de la media muestral Var[ ] = ya que Además, siempre que sea muy grade (>30) podemos aplicar el TCL: Nµ,. Variable aleatoria Variaza muestral = y co media de la Variaza muestral E[ s ] s ( ) i = = 4 µ Co variaza de la Variaza muestral [ ] ( µ 4 µ ) (llamado µ m = E[ ξ E(ξ )] Var s i µ µ 4 3 = 3 =, etoces µ = m = V ( ξ = ). 4 Si població ormal µ 3µ = 4 3 ) Var s = etoces [ ] ( ) = 4 µ Població Normal Las distribucioes de mayor iterés so las referidas a m.a.s. sobre distribucioes ormales. E ciertos casos, por el T.C.L., sería aproximacioes para el caso de grades muestras. Para ua muestra. Sea (,,..., ) ua muestra aleatoria simple de variables aleatorias tales que ξ N( µ, ) i i Variable aleatoria Media Muestral. N µ, o N ( 0, ) + µ Se justifica co la propiedad aditiva de la ormal y co los resultados ateriores

13 E [ ] = µ y Var[ ] =. Otra expresió para la misma idea puede ser que por m.a.s. i N ( µ, ) el teorema de la adició se cumple que N( µ ),, por +, y por las trasformacioes lieales N µ,. Si o se cooce la variaza poblacioal o es operativa la expresió N µ,, o equivalete N( 0, ) + µ. Si o se cooce el valor de, se puede utilizar otra expresió que itroduce la variaza muestral e vez de la poblacioal, etoces: µ s t s, o equivalete t + µ, o s t + µ (utilizado la cuasivariaza muestral). Variable aleatoria Variaza muestral. s ( ) i = = i s χ Var s ( ) ; E[ s ] = ; [ ] = 4. Se prescide de la iformació sobre la media poblacioal. Població Biomial. Variable aleatoria Proporció Muestral. Se tiee població Berouilli y, etoces, i B( ; p) ξ. Se cosidera la variable aleatoria = "º de éxitos e la muestra", que sigue ua distribució B(,p). Se defie P="proporció de éxitos e extraccioes", etoces, P=/= B(,p)/ ; E [ P] = p ; [ P] Var = pq.

14 La proporció muestral es ua media e la que los valores so o cero o uo. Auque la distribució más correcta es la proporció biomial, por el TCL se puede aproximar si la muestra es grade a P N p, pq. Dos poblacioes ormales (muestras idepedietes). Para dos muestras idepedietes se supoe que se quiere comparar dos variables o dos poblacioes. Se toma dos muestras y se supoe idepedietes. Se sigue supoiedo que la distribució de las dos poblacioes es Normal. Sea,,..., ua muestra aleatoria de variables aleatorias idepedietes tales que N( µ, ) i variables aleatorias tales que Y N( µ, ) coocidas). x x i =,,..., e Y, Y,..., Ym ua muestra aleatoria de j j =,,..., m. y y Variate Diferecia de medias muestrales (variazas poblacioales Y m Nµ x µ y, x y + m U caso particular sería la diferecia de proporcioes. pq pq P P N p p, + m Variate Diferecia de medias muestrales (variazas poblacioales descoocidas pero iguales). ( Y ) ( µ µ ) m t sx + msy + + m m x y + m Variate Cociete de variazas muestrales.

15 sx x ( ) m s y y ( m ) F ( ),( m ) Dos poblacioes ormales (muestras relacioadas, datos pareados). Se tiee dos muestras relacioadas para comparar dos variables, esto es, las dos muestras que se toma o so idepedietes (los datos está apareados). i N Sea,,..., ua muestra aleatoria de variables aleatorias tales que ( µ, ) x x i =,,..., e Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de variables aleatorias tales que Y N( µ, ) Notar que e este caso =m. j j =,,...,. Las muestras está relacioadas. Variate Diferecia de medias muestrales. Sea D siguiete resultado: i = i Yi y sea d Y ( µ µ ) x y t sd y y s su desviació típica muestral, se puede usar el Tras observar estas distribucioes, el siguiete paso está e el aálisis de los posibles estadísticos estimadores. Será muy importate establecer las propiedades deseables e el estimador para poder juzgar, iicialmete, su bodad, ya que siempre permaecerá descoocido el verdadero valor del parámetro poblacioal. Además, posteriormete (tema 3) coviee establecer métodos de obteció de estimadores ya que se podría platear, e pricipio, ua gra catidad de estadísticos estimadores sobre los que habría que comprobar sus propiedades..3.- PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES. Para estudiar la bodad de u estimador se puede empezar aalizado el error cometido e la estimació. Éste se defie como la distacia etre la estimació realizada y el verdadero valor del parámetro θ θ. Este valor siempre será descoocido dado que

16 el valor del parámetro o se coocerá y que el estimador es ua variable aleatoria. Para obteer ua medida más operativa se procede como sigue: se elimia la ifluecia del sigo e la diferecia co el cuadrado ( θ θ ) y se toma la esperaza. Co ello, se llega a ua medida deomiada error cuadrático medio (represeta u criterio ituitivo y operativo). Se defie el error cuadrático medio (ECM) como ECM( θ ) = E( θ θ ). U valor pequeño del error cuadrático medio sigifica que el estimador elegido, e media, o se ecuetra lejos del parámetro descoocido (este podría ser u bue criterio para comparar distitos estimadores). Se puede platear elegir el estimador que miimice el error cuadrático medio. Estudiado la expresió aterior se puede llegar a ECM( θ ) = V( θ ) + ( E( θ ) θ ). EJEMPLO. Descompoer el error cuadrático medio. = = ) + E( ECM( θ ) E(( θ θ ) ) E(( θ E( θ θ ) θ ) ) = = E = E ( θ E( θ )) + ( θ E( θ ))( E( θ ) θ )) + ( E( θ ) θ ) ) = ( θ E( θ )) ) + E( θ E( θ ) )( E( θ ) θ ) + ( E( θ ) θ )) = = V( θ ) + ( E( θ ) θ ) puesto que E ( E( θ )) = E( θ ) E( θ ) = 0 E ) ) por θ y ( E( θ θ ) ) = ( E( θ θ ) ser la esperaza de ua costate. La descomposició del E.C.M. e dos sumados positivos idica que para ecotrar u bue estimador es ecesario miimizar ambos simultáeamete. E geeral, esto o es posible (basta observar que la variaza míima se obtedría a través de estimadores costates para los que o teemos igú cotrol sobre el otro sumado). Ua solució es restrigir la búsqueda de estimadores a ua clase especial de los mismos, los estimadores isesgados. Estimador isesgado. U estimador es isesgado cuado su media o esperaza matemática coicide co el valor verdadero del parámetro descoocido, esto es, E ( θ ) = θ

17 Si el estimador es isesgado, miimiza el segudo sumado e que se descompoe el error cuadrático medio, ( E ( θ ) θ ) = 0 y, por tato, el error cuadrático medio coicide co la variaza del estimador. Al ser isesgado, el valor del parámetro descoocido es la media de los valores de θ para todas las muestras posibles (co esta propiedad se cosigue que la estimació acierte e térmio medio). Si u estimador o es isesgado se deomia sesgo a la diferecia b ( θ ) = E( θ ) θ. Etre dos estimadores sesgados será mejor aquel cuyo sesgo sea meor e valor absoluto. U estimador es asitóticamete isesgado si su sesgo tiede a cero cuado crece el tamaño muestral (tamaño tiede a ifiito). Como propiedad se puede destacar que si existe dos estimadores co el mismo sesgo se puede costruir ifiitos estimadores de esa clase mediate combiació lieal covexa de los dos estimadores iiciales. EJERCICIO. Demostrar la propiedad aterior. EJERCICIO. Demostrar que co m.a.s. cualquier combiació lieal covexa de los elemetos muestrales es u estimador isesgado de la media poblacioal. Estimador eficiete. La eficiecia se relacioa co la miimizació de la variaza del estimador (se relacioa co el primer sumado del criterio del error cuadrático medio). Se estudia, especialmete, e el caso de estimadores isesgados (e este caso el error cuadrático medio coicide co la variaza del estimador). Etoces, se llega al estimador que tiee míima variaza etre todos los estimadores isesgados. E pricipio, para aalizar la eficiecia de los estimadores bastaría co hallar las variazas y compararlas. El problema es mayor cuado existe muchos estimadores

18 e estudio o cuado iteresa el estimador co meor variaza de todos los posibles. Se recurre a la iformació que proporcioa la fució de verosimilitud mediate la Cota de Cramer-Rao (CCR): V ( θ ) CCR = [ + b' ( θ )] [ + b'( θ) ] = I[ θ ] l L(, θ ) E θ co b( θ ) b'( θ ) =. θ Si se toma estimadores isesgados y muestras aleatorias simples se llega a: V ( θ ) CCR = = l f ( x, θ ) I θ E θ [ ]. CCR La medida de eficiecia queda como ME = co 0 ME. V ( θ ) Se tiee u estimador más eficiete cuato más cerca de uo está la medida. Si CCR= es eficiete. Para grades muestras iteresa que sea estimadores asitóticamete eficietes. Estimador cosistete. La muestra proporcioa iformació sobre los parámetros poblacioales e estudio. La catidad de iformació dispoible aumeta co el tamaño de la muestra. U estimador razoable debería recoger ese aumeto de iformació de modo que las estimacioes que se realice co él sea tato mejores cuato mayor sea el úmero de uidades observadas. E el límite, cuado la muestra coicide co la població la estimació debería coicidir co el verdadero valor del parámetro. Por esto, coviee estudiar el comportamieto de los estimadores e fució del tamaño muestral. Iteresa, especialmete, la cosistecia e probabilidad. U estimador es cosistete si la probabilidad de que la desviació etre el estimador y el valor verdadero del parámetro sea superior a cualquier úmero ε por pequeño que sea, se acerca a cero cuado el úmero de elemetos de la muestra se acerca al úmero de elemetos e la població (a ifiito e poblacioes ifiitas). P( θ θ > ε ) 0, o bie, P( θ θ < ε ). N N

19 U estimador θ será por tato cosistete si cuado se observa toda la població la estimació coicide exactamete co el valor del parámetro a estimar. E esta situació, al icremetar el tamaño muestral hasta N la muestra coicide co la població y el error cuadrático será cero. Para poblacioes ifiitas se aplica la desigualdad de Tchebychev y se llega a que la codició aterior equivale a ua situació de estimador asitóticamete isesgado y co variaza asitóticamete ula. E este curso se admitirá siempre la hipótesis de idetificar cosistecia co estimador asitóticamete isesgado y co variaza asitóticamete ula. EJERCICIO. Demostrar que la cosistecia e probabilidad equivale a estimador asitóticamete isesgado y co variaza asitóticamete ula. Estimador suficiete. U estadístico es suficiete cuado cotiee toda la iformació relevate coteida e la muestra respecto del parámetro descoocido (igú otro estadístico puede proporcioar iformació adicioal sobre el parámetro poblacioal descoocido). Si el estimador es suficiete la distribució de la muestra codicioado al estimador es idepediete del parámetro. El procedimieto más operativo para demostrar suficiecia se tiee aplicado el criterio de factorizació de Fisher-Neyma. Estimador robusto. U estimador es robusto cuado los cambios e las hipótesis de comportamieto poblacioal (modelo poblacioal) o afecta o afecta débilmete al estimador.