UNIDAD 1: MATRICES Y DETERMINANTES

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "UNIDAD 1: MATRICES Y DETERMINANTES"

Raquel Camacho Herrera
hace 7 años
Vistas:

1 IES NERVIÓN. MTEMÁTICS PLICDS CIENCIS SOCILES II Uidad 1: MTRICES Y DETERMINNTES UNIDD 1: MTRICES Y DETERMINNTES 1. MTRICES 1.1. DEFINICIONES BÁSICS Matriz de orde : es ua serie de úeros reales distribuidos e filas y coluas. Su otació habitual es: a11 a13... a1 a21 a23... a2 a i1, se dice que es la diesió de la atriz j1,.. a 1 a2 a3... a Tipos de atrices: Matrices iguales: dos atrices se dirá iguales si tiee la isa diesió y tiee el iso valor los eleetos de cada posició. Matriz Nula: es aquella atriz e la que todos sus eleetos vale 0. Existe uchas atrices ulas, ya que puede variar la diesió. La deotareos co la letra O. Matriz Fila: la que tiee diesió 1. Matriz Colua: la que tiee diesió 1. es ua Matriz Cuadrada: cuado el úero de filas coicide co el úero de coluas, i, j:1,.. atriz cuadrada de orde que se resue diciedo de orde. Los eleetos pricipales e ua atriz cuadrada so: - Diagoal pricipal: la líea forada por los eleetos a 11, a 22,..., a - Diagoal secudaria: la líea forada por los eleetos a 1, a 1 2,..., a 1 E ua atriz cuadrada de orde 3, estas diagoales sería: a a a a a a a a a Matriz Triagular Superior: es ua atriz cuadrada e la que los eleetos que está por debajo de la diagoal pricipal so todos ulos. a a a 0 a a 0 0 a Matriz Triagular Iferior: es ua atriz cuadrada e la que los eleetos que está por ecia de la diagoal pricipal so todos ulos. a a21 0 a31 a32 a a 1

2 Matriz Diagoal: es ua atriz triagular superior e iferior, es decir e la que todos los eleetos de fuera de la diagoal pricipal debe ser ulos. a a Matriz Escalar: es ua atriz diagoal e la que los eleetos de la diagoal pricipal so todos iguales. k k k Matriz Uidad o Idetidad: es ua atriz escalar e la que los eleetos de la diagoal pricipal so todos uos I Matriz Traspuesta (de ua atriz dada): es la atriz que resulta de itercabiar filas por coluas. Si ua atriz es de orde, su traspuesta es de orde. Si la atriz dada es, su traspuesta se deotará t. a a a a a a t a21 a23 a32 a31 a32 a a13 a2 3 a Matriz Opuesta (de ua atriz dada): es la forada por los opuestos de los eleetos de dicha atriz. a11 a13 a11 a13 a21 a23 a21 a23 a31 a32 a a31 a32 a Matriz Siétrica: es aquella que coicide co su traspuesta. Para que esto pueda ocurrir la atriz tedrá que ser cuadrada. a11 a b t a c b c a Matriz tisiétrica: es aquella atriz cuadrada e la que su opuesta coicide co su traspuesta. 0 a b 0 a b t a 0 c a 0 c b c 0 b c 0 Matriz Ortogoal: se defie coo ua atriz cuadrada que cuple que el producto de ella y su traspuesta es la atriz uidad (es preciso utilizar el producto de atrices). t 1 t I Matriz Iversa (de ua atriz cuadrada dada): se defie coo aquella atriz tal que al ultiplicarla co la atriz dada, e los dos órdees posibles, os da coo resultado la atriz uidad (es preciso utilizar el 1 1 I producto de atrices). y so iversas 1 I 2

3 OPERCIONES CON MTRICES.- Defiicioes: Sua de dos atrices: Para poder realizar la sua es ecesario que los órdees de abas atrices coicida. Si al cojuto de las atrices de orde lo deotaos M la sua es ua operació itera : M M M que viee dada por:, siedo y B a b a B b i1,... i1,.. i1,.. j1,... j1,.. j1,.. a11 a13 b11 b12 b13 a11 b11 b12 a13 b13 B a a a b b b a b a b a b a31 a32 a b31 b32 b a31 b31 a32 b32 a b Producto de ua atriz por u escalar: El producto de ua atriz co u escalar es ua operació extera : M M que viee dada por: a i 1,.. j1,.. a11 a13 a11 a13 a a a a a a a31 a32 a a31 a32 a Producto de dos atrices: Para poder ultiplicar dos atrices el úero de coluas de la priera debe coicidir co el úero de filas de la seguda. Es ua operació : M M M que viee dada por: p p B B B a b p ik kj k 1 i1,... j1,... a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b B a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Es decir, el eleeto de la fila i y colua j, de la atriz producto, se obtedría ultiplicado los eleetos de la fila i de la priera atriz co los eleetos de la colua j de la seguda atriz y suado etre sí los resultados de estos productos. 3

4 B.- Propiedades: De la sua: el cojuto M, cuple las siguietes propiedades: sociatividad: ( B) C ( B C) Neutro: la atriz ula O cuple O O Opuesto: dada existe su opuesta que cuple ( ) ( ) O Coutatividad: B B Del producto por u escalar: el cojuto M,,, cuple las siguietes propiedades: Distributividad del producto de u escalar co respecto a la sua de atrices: B B Distributividad del producto de ua atriz respecto de la sua de escalares: sociatividad del producto de dos escalares y ua atriz: Existecia de eutro del producto extero: 1 / 1 Del producto de atrices: e el cojuto de atrices cuadradas de orde el producto de atrices cuple las siguietes propiedades: sociatividad: BC B C Neutro: I M atriz uidad tal que I I B C B Distributividad del producto respecto de la sua: C Es iportate teer e cueta que el producto de atrices, e geeral, o es coutativo. 4

5 1.3. RNGO DE UN MTRIZ Cobiació lieal e ua atriz: ua fila o colua e ua atriz es cobiació lieal de otras si puede ser obteida a partir de ellas ultiplicádolas por ciertos úeros y suádolas etre sí. Idepedecia lieal de las filas o coluas de ua atriz: u cojuto de filas o coluas es liealete idepediete si igua de ellas se puede obteer coo cobiació lieal de las deás. Para estudiar cuátas filas o coluas hay liealete idepedietes coviee utilizar los deteriates que se estudiará ás adelate. Rago de ua atriz: es el úero áxio de filas o coluas liealete idepedietes que hay e ua atriz. MÉTODO DE GUSS PR CLCULR EL RNGO DE UN MTRIZ Cosiste e covertir la atriz iicial e ua atriz cuyos eleetos por debajo de la diagoal sea ceros, utilizado trasforacioes eleetales. El rago de la atriz es el úero de filas o ulas que tiee la atriz triagular obteida. Trasforacioes eleetales: Fi Fj Fi a Fi co a 0 Fi a Fi +b Fj MTRIZ INVERS Matriz Iversa (de ua atriz cuadrada dada): se defie coo aquella atriz tal que al ultiplicarla co la atriz dada, e los dos órdees posibles, os da coo resultado la atriz uidad. y 1 so iversas 1 I 1 I CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS MEDINTE SU DEFINICIÓN Cosiste e: 1. Multiplicar la atriz dada de orde, por ua atriz cuadrada del iso orde co los eleetos descoocidos e ipoer que el resultado sea la atriz idetidad de orde. 2. Igualaos las atrices, eleeto a eleeto. 3. Resolveos el sistea obteido e el que las icógitas so los eleetos de la atriz iversa. CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS POR GUSS-JORDN 1. pliaos la atriz dada situado a su derecha, separadas por ua líea vertical, las coluas de la atriz idetidad. 2. Haceos trasforacioes eleetales para que la atriz origial se covierta e la atriz idetidad. 3. Los eleetos que figura a la derecha de la líea, al fial del proceso, fora la iversa de la atriz iicial. 5

6 2.- DETERMINNTES DE ORDEN 2 Y 3 Se calcula ta sólo para atrices cuadradas DEFINICIONES BÁSICS Deteriate de ua atriz de orde 2: Si a11 se defie su deteriate coo a21 a11 a a a a a a Es decir, el producto de los eleetos de la diagoal pricipal eos el producto de los eleetos de la diagoal secudaria. a11 a13 Deteriate de ua atriz de orde 3: Si a21 a23 se defie su deteriate coo el a31 a32 a úero dado por a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Es decir, la sua del producto de los eleetos de la diagoal pricipal y los productos de sus paralelas ultiplicadas co las esquias cotrarias a ellas, eos la sua del producto de los eleetos de la diagoal secudaria y los productos de sus paralelas co las esquias correspodietes. esta regla se le llaa Regla de Sarrus PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES Se dará las propiedades para filas, pero exactaete igual serviría si e su lugar se obra a las coluas. 1.- Si se traspoe ua atriz su deteriate o varia. 2.- Si se itercabia etre si dos filas el deteriate cabia de sigo. 3.- Si e el deteriate hay dos filas proporcioales, vale 0 (u caso de proporcioalidad so las dos filas iguales). 4.- Si ua de las filas de la atriz está forada por ceros, el deteriate vale Si ua fila es cobiació lieal de las deás el deteriate vale B B 7.- Si se ultiplica (o divide) todos los térios de ua fila por u úero el deteriate queda ultiplicado (o dividido) por dicho úero. 6

7 8.- Si cada eleeto de ua fila está forado por dos suados, el deteriate se puede expresar coo sua de dos deteriates, uo de ellos llevará e la fila correspodiete a los prieros suados y el otro llevará a los segudos, siedo el resto de las filas iguales a las del deteriate dado. 9.- Si a ua fila se le sua ua cobiació lieal de las deás el deteriate o varía (es iportate teer e cueta que e dicha cobiació lieal o puede aparecer ella) Cuado u deteriate tiee valor o ulo sus filas so liealete idepedietes. 3.- PLICCIÓN DE LOS DETERMINNTES LS MTRICES 3.1 CÁLCULO DE L INVERS DE UN MTRIZ Dada ua atriz, para que exista su iversa tal que I suficiete que 0, calculádose etoces co la siguiete fórula: es codició ecesaria y 1 1 adj( ) t Siedo adj( ) i, j1,2,.., siedo es decir, la atriz forada por los adjutos de los eleetos de la atriz. el djuto del eleeto a, dado por: i j 1 M dode M es el Meor copleetario del eleeto a (deteriate de la atriz que resulta de supriir e la fila i y la colua j). 3.2 CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ CULQUIER Para calcular el rago de ua atriz de orde se busca el deteriate de ayor orde posible que se puede forar extrayedo filas o coluas de ella y cuyo valor sea o ulo. El orde de este deteriate será el rago de la atriz. El rago de ua atriz o varía cuado se realiza e ella el tipo de trasforacioes que hace que los deteriates o varíe co respecto a ser o o ulos. Esto se utiliza para obteer ua equivalete co ceros e uchos de sus eleetos. 7

Documentos relacionados

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces