Recuerdas qué es? Magnitud

Transcripción

1 Recuerdas qué es? Magnitud Es todo aquello que podemos medir. Toda magnitud tiene su propia unidad de medida. Son magnitudes el tiempo, la distancia, la temperatura El conjunto de números enteros El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y sus opuestos. Se representan de la siguiente forma: Z = {, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, } La representación en la recta de los números enteros: A la izquierda, los números enteros negativos A la derecha, los números enteros positivos

2 13 GRÁFICAS. FUNCIONES Y ESTADÍSTICA Si lees un periódico, ya sea deportivo o de información general, verás que muchas noticias van acompañadas de gráficos. En ellos se representan datos relacionados con el tema que aparece en la noticia. Los gráficos permiten resumir una información de manera sencilla y facilitan la comprensión de la misma. Por ejemplo, recuerda las gráficas que nos informan sobre el recorrido de una etapa del Tour de Francia, las variaciones de la clasificación de los equipos a lo largo de la temporada de fútbol, los gráficos que representan el número de votos que tienen los diferentes partidos políticos en época de elecciones, los resultados obtenidos en una encuesta realizada sobre los programas de televisión más vistos, etc. Hay muchos casos semejantes de gráficos que vemos e interpretamos, pero no sabemos qué tratamiento han tenido previamente esos datos antes de quedar reflejados en ese tipo de representación. Los objetivos de esta Unidad son: Aprender a realizar e interpretar gráficas a partir de una tabla de datos. Conocer los conceptos básicos de estadística, sus parámetros principales y el tratamiento de datos.

3 13 EJES 1 DE COORDENADAS Y REPRESEN- TACIÓN CARTESIANA DE PUNTOS Seguro que en más de una ocasión has visto o incluso has llegado a jugar a hundir barcos del jugador contrario acertando su posición, que se indica con dos coordenadas. Hasta ahora hemos representado siempre puntos sobre una recta y quedaban ordenados tanto los números enteros como los decimales. Y 4 3 (2, 2) 2 1 (0, 0) X 1 2 ( 2, 2) º cuadrante valor x: negativo valor y: positivo 3. er cuadrante valor x: negativo valor y: negativo WEB Y 1. er cuadrante valor x: positivo valor y: positivo X 4.º cuadrante valor x: positivo valor y: negativo es/3_eso/coordenadas_ cartesianas/coordenadas_ cartesianas.htm Se explican las coordenadas cartesianas y en la página siguiente la representación de puntos en el plano Para estudiar muchos fenómenos necesitamos representar puntos sobre un plano, no sobre una recta. Y para ello se utilizan los ejes de coordenadas o ejes cartesianos. Se utilizan dos ejes colocados perpendicularmente: uno horizontal y otro vertical. Al eje horizontal se le denomina «eje X» o eje de abscisas. Al eje vertical se le denomina «eje Y» o eje de ordenadas. Estos dos ejes perpendiculares dividen al plano en cuatro partes iguales que llamamos cuadrantes y en ellos se representan los puntos. Todos los puntos que se representan vienen dados mediante un valor de x y otro de y. Fíjate bien en el siguiente ejemplo: Para definir la posición de cualquier punto en cualquier cuadrante, se ha de definir la «coordenada en x» o abscisa y la «coordenada en y» u ordenada. Se expresan entre paréntesis separadas por una coma. Primero se escribe la abscisa y luego la ordenada. El punto que definen se nombra con una letra mayúscula. Por ejemplo, A(1, 2), B( 3, 1), C( 2, 4), D(2, 2). A( 3, 1) C( 2, 4) 4 B(1, 2) D(2, 2) En los ejes de coordenadas se representan puntos del plano. Los puntos se nombran con una letra mayúscula y vienen definidos por dos números escritos entre paréntesis y separados por una coma. El primer número representa la coordenada en x y el segundo la coordenada en y Y 4 X Ejercicios 1 Representa los siguientes puntos en los ejes de coordenadas: A( 3, 2), B(6, 2), C(4, 3), D( 2, 1), E(7, 3) 2 Indica las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos: F Y A D X C B E 230

4 2 TABLA DE VALORES Y GRÁFICAS Los puntos que se representan en los ejes de coordenadas pueden corresponder a datos de una determinada situación que se quiere estudiar. Estos datos se recogen primero en una tabla que llamamos tabla de valores. Ejemplo 1 Para celebrar una fiesta, decides comprar caramelos. En la tienda más cercana los venden por kilos y lees el siguiente cartel: «2 el kilo de caramelos». Automáticamente, piensas que la cantidad a pagar dependerá de los kilos que compres: si compro 1 kilo pagaré 2, si compro 2 kilos pagaré 4, si compro 3 kilos pagaré 6. En este ejemplo se relaciona la cantidad de kilos con la cantidad de euros que tienes que pagar. Advertencia Como coordenada en x se sitúan los kilos y como coordenada en y se sitúan los euros. Así se crea una tabla de valores: Cantidad de kilos Euros a pagar Con la tabla se obtiene parejas de números que podemos utilizar como coordenadas de puntos del plano y con ellos se va a representar la situación mediante una gráfica. Y Se trazan los ejes de coordenadas y se sitúan C(3, 6) los puntos. B(2, 4) Así, la gráfica asociada a esta situación es una línea porque a cada cantidad de caramelos le corresponde un precio. Para realizar la gráfica se siguen los siguientes pasos: 1. Se ordenan en una tabla los datos a representar. 2. Se trazan los ejes de coordenadas y se dibujan los puntos. A(1, 2) X A(1, 2) B(2, 4) C(3, 6) WEB es/1y2_eso/interpretacion_de_ graficas/graficas.htm En esta página se estudian las gráficas de las funciones, pero primero se calcula una tabla de valores que se puede comprobar si está bien en la escena donde se representa la gráfica. Ejercicios 3 Indica si las siguientes magnitudes se podrán relacionar o no mediante una gráfica: a) Kilos de manzanas que compro y dinero que voy a pagar. b) Asistentes a una fiesta y dinero que se recauda. c) A una velocidad constante, metros que se recorrerán en un intervalo de tiempo. d) Horas al día que invierto viendo la televisión y la cantidad de días lluviosos. 4 Realiza la tabla de valores que relacionen la altitud a la que se encuentra un alpinista en función del tiempo, si asciende a una velocidad de 300 metros por hora y ha partido desde una altitud de metros. 5 Un ciclista lleva una velocidad de 2 metros por segundo. Realiza una tabla y una gráfica donde se relacionen el tiempo transcurrido y los metros recorridos. 231

5 13 3 LECTURA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS Las gráficas son representaciones que relacionan entre sí dos magnitudes con el objetivo de aportar información sobre cómo varía una magnitud en función de otra. Por eso, cuando se examina o interpreta una gráfica, lo primero que debehacerseesobservarcuálessonlasmagnitudesquerelaciona. Fíjate en la siguiente gráfica: distancia (m) 40 G(7, 40) H(8, 40) 30 C(3, 30) D(4, 30) F(6, 30) 20 B(2, 20) E(5, 20) 10 A(1, 10) tiempo (min) La gráfica relaciona el tiempo transcurrido de un cuerpo en movimiento y la distancia que les separa del punto de partida. Como ves, tiempo y distancia son las magnitudes representadas en los ejes de coordenadas. La primera viene dada en minutos y la segunda en metros. a) En los tres primeros minutos se aleja 30 m. WEB es/1y2_eso/interpretacion_de_ graficas/graficas.htm Se construyen gráficas a partir de una tabla de valores y del enunciado de un problema, pero también se interpretan mediante preguntas otras gráficas ya elaboradas. b) Enelsiguienteminuto(entreelminuto3y4)estáparado, ya que el tiempo avanza pero no hay incremento de distancia. c) Enelsiguienteminutoretrocedelos10m,volviendoaestaralamisma distanciadelpuntodepartidaqueenelminuto2. d) Enlosdossiguientesminutos(elsextoyelséptimo)avanza20m:dela posición20malaposición40m. e) Durante el octavo minuto ha permanecido parado. Para interpretar gráficas, hemos de saber primero qué magnitud está representada en cada eje para comprender cómo varía una magnitud en función de otra. Ejercicios Relacionacadasituaciónconunadelasgráficas: a) Frenado de un coche. b) Coste de una llamada por segundos. c) Un recorrido con tres paradas de avituallamiento. d) Cambios de temperatura de un líquido a lo largodeltiempohastaqueseenfríadeltodo. A B C D 7 La siguiente gráfica representa el movimiento de un cuerpo. Interprétala y responde a las siguientes preguntas: a) Cuántotiempohaestadoandando? b) Cuántoharecorrido? c) Ha hecho alguna parada? d) Qué más observas? distancia (m) tiempo (min)

6 4 CONCEPTO DE FUNCIÓN Como hemos visto, las gráficas relacionan dos magnitudes que dependen unadeotra.siunavaría,laotratambiénvaríaenfunción de aquella. Para la fiesta del colegio te preguntas cuánto dinero has de llevar. La respuesta es clara: «en función de lo que vayas a consumir». El anuncio de la fiesta decía lo siguiente: Entonces,sedebecalcularyhacerunatabla: Cantidad consumiciones/bocadillos Cantidad euros FIESTA DEL COLEGIO EL VIERNES A LAS 19:00 HORAS ENTRADA LIBRE BOCADILLOS : 2 REFRESCOS: 2 Fíjate que la cantidad de euros varía en función de los bocadillos y refrescos quecompras.enestecasoserelacionanconsumicionesyeuros.seobserva quesilaprimeraaumenta,lasegundatambién,esdecir,estánrelacionadas. Siempre que se relacionan dos magnitudes, una es independiente porque le vamosdandolosvaloresquesequiera,ylaotraesdependienteporquevaría enfuncióndelosvaloresquesedanalaprimera. Así, a la primera se le llamará variable independiente y se representa sobre el eje X y a la segunda se le llama variable dependiente y se representa sobre el eje Y. Función esunarelaciónentredosvariables,demaneraqueacadavalor de la variable independiente le corresponde, como máximo, un valor de la variable dependiente. Para que una relación entre dos magnitudes sea una función se debe cumplir que a cada valor de la variable independiente se le asocia, como mucho, unodelavariabledependiente. Cuando se relacionan dos magnitudes, una será la variable independiente, que varía sin depender de nada, y la otra será la variable dependiente, quevaríaenfuncióndelavariableindependiente. Variable independiente: se representa en el eje X. Variable dependiente: se representa en el eje Y. Ejercicios 8 En los siguientes casos, indica cuál será la variable independiente y cuál la dependiente: a) Tiempoqueestáunvehículoavelocidadconstante y recorrido que realiza. b) Tiempo de calentamiento de un litro de agua y grados centígrados que alcanza. c) Consumodeenergíaeléctricadeunhogaryla cantidad a pagar. d) Cantidad de kilos que compras y euros a pagar. 9 Quieres invitar a tus amigos al cine, pero no sabescuántosvanair.sisabesquecadaentrada cuesta 4, realiza la tabla y la gráfica en función del número de amigos que vayan. 10 Copia en tu cuaderno y completa: Dos magnitudes están relacionadas cuando una la otra también varía en de la anterior. A la que varía sin depender de nada se le llama y a la que varía dependiendo de la anterior se le llama 233

7 13 ESTUDIOS 5 Y ELEMENTOS ESTADÍSTICOS: POBLACIÓN, MUESTRA E INDIVIDUO El Instituto Nacional de Estadística ha realizado un estudio sobre el número de horas al día que se ve la televisión en los hogares españoles. Los resultados finales quedan reflejados en la gráfica del margen. Población (%) No ven la TV Ven la TV menos de 1 hora al día Ven la TV entre 1 y 3 horas al día Ven la TV más de 3 horas al día Es una gráfica estadística y nos da información sobre una población. 50% 40% 20% 0% 25% 35% Los datos recogidos en la gráfica se dan en porcentajes y hacen referencia a los miembros de una población, pero realmente crees que para conseguir la información necesaria se han entrevistado o encuestado a todas y cada una de las personas de una población? Obviamente, no. Los datos se recogen de una serie de encuestas que sólo se realizan a un grupo reducido y representativo de la misma, ya que preguntar a todos sería demasiado caro y llevaría mucho tiempo. A este grupo reducido y significativo de la población se le llama muestra. La población se compone de individuos. Si el estudio estadístico que se quiere realizar trata de obtener datos sobre el número de televisores que hay en cada hogar de España, la población serían los hogares españoles. Si se quiere estudiar el índice de natalidad de los animales en cautividad, la población estaría formada por los animales que están en cautividad en los zoológicos. Posteriormente, la información que se deduce de los datos obtenidos de la muestra se extrapola a toda la población, es decir, se generaliza para el total de individuos de la población. Ten en cuenta La muestra elegida para un estudio estadístico debe ser significativa. Por ejemplo, si se estudia a qué dedican su tiempo de ocio los alumnos de ESO, no se deben elegir sólo alumnos de 1.º de ESO, sino de todos los niveles y a partes iguales, chicos y chicas. Población: grupo de elementos sobre los que se realiza una investigación. Muestra: parte seleccionada de una población de donde se recogen datos significativos. Individuo: todos y cada uno de los componentes de una población. Para realizar un estudio estadístico sobre una población se elige una muestra de la misma, compuesta por una selección de individuos representativos para el estudio. Ejercicios 11 En estos estudios estadísticos, indica cuál sería la población y qué muestra elegirías en cada caso para que sea representativa: a) Las aficiones de los jóvenes entre 15 y 20 años. b) Consumo en familias de un producto de limpieza nuevo. c) Paro social entre hombres y mujeres de 25 a 35 años. 234 d) Nota media de todos los alumnos de 1.º de ESO de un instituto.

8 6 TABLAS ESTADÍSTICAS Comohasvistohastaahora,enlasgráficasestadísticaslosdatosseindican normalmente en porcentajes. Para ello se realiza primero una tabla estadística. Se quiere realizar un estudio sobre las notas obtenidas en un examen de Matemáticas y se dispone de una lista de alumnos y su calificación. Para crear la tabla estadística se observa que los valores que toma la variable son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y10.seeligeunamuestra(n) de 33 individuos. Se cuenta ahora cuántos alumnos han sacado cada calificación y a ese valor se le llama frecuencia absoluta, que se representa por f i. En la siguiente columna relacionamos la frecuencia absoluta con el número totaldeindividuosdelamuestra.eldatoobtenidosellamafrecuenciarelativa y se representa por F i. Fíjateenestatablaysacaconclusiones: Nota Frecuencia absoluta f i Frecuencia relativa F i = f i / N % F i / 33 = 0,06 6% / 33 = 0,03 3% / 33 = 0 0% / 33 = 0,09 9% / 33 = 0,15 15% / 33 = 0,21 21% / 33 = 0,12 12% / 33 = 0,15 15% / 33 = 0,09 9% / 33 = 0,03 3% / 33 = 0,06 6% N = 33 TOTAL = 1 TOTAL = 100% Cualquier tabla estadística recogerá por columnas los siguientes datos: Columna de la variable a estudiar: Se colocan los diferentes valores que puedetenerlavariable.enestecasolasnotasdel0al10. Frecuencia absoluta (f i ): En esta columna se indica las veces que se repite ese datodelavariableolafrecuenciadeaparicióndecadaunodelosvalores de la variable. Si sumamos todas las frecuencias absolutas obtenemos el tamaño muestral (N). En este ejemplo son 33 alumnos. Frecuencia relativa (F i ): Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de individuos de la muestra (N). La suma de todas las frecuencias relativas es 1. Columna de %: Se calculan los porcentajes de aparición de cada valor de la variable multiplicando la frecuencia relativa por 100. Sumando todos los porcentajes se obtiene el 100%. Vocabulario f i y F i son notaciones para las frecuencias absolutas y relativas, respectivamente. La «i» que aparece en cada expresión se llama subíndice e indica lo siguiente en nuestro ejemplo: f 1 es la frecuencia de la calificación 0. f 2 es la frecuencia de la calificación 1. f 9 es la frecuencia de la calificación 8. WEB mec.es/m_estadistica_y_ probabilidad/12_hijos/hijos.htm Se hace un recuento y luego se dibuja el diagrama de barras. WEB m_estadistica_y_probabilidad/ color_preferido/index.htm En este caso también se construye un diagrama de sectores. Ejercicios 12 Define y explica con tus propias palabras de qué columnas se componen las tablas estadísticas. 13 Se visitaron diferentes familias y se anotó el númerodehijosencadaunadeellas.realizauna tabla estadística, sabiendo que el resultado del análisis fue el siguiente: 2, 1, 0, 3, 4, 2, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 3, 0, 3, 1, 5 235

9 13 GRÁFICOS 7 ESTADÍSTICOS. REPRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN Bellas Artes Folisofía Derecho Biología Psicología Economía Una tabla estadística nos aporta información, pero hay que representarla mediante gráficos estadísticos para que se pueda interpretar. A continuación verás dos tipos de gráficas muy utilizadas en Estadística para representar la información: 15% Gráficos de sectores. Fíjate en el siguiente ejemplo sobre las opciones de carreras de una clase de 2.º de Bachillerato. En un círculo se representa cada valor del porcentaje en un sector proporcional del mismo sabiendo que 360 se corresponde al 100%. 25% Diagrama de barras. El mismo ejemplo se puede representar mediante un diagrama de barras. WEB es/averroes/recursos_ informaticos/proyectos2003/ matematicas_red/index.html Situando en el lugar que se indica los valores y las frecuencias, dibuja el diagrama de barras. 35% 25% 20% 15% 5% 0% Bellas Artes 25% Filosofía Derecho Biología 15% Psicología Economía En este ejemplo, en el eje «Y» se colocan los valores numéricos y en el eje «X» las distintas opciones de la variable. Toda la información recogida en una tabla estadística se representa mediante un gráfico estadístico. Gráfico de sectores: se asigna a cada frecuencia absoluta un sector circular proporcional a ese valor. El 100% total se corresponde con 360. Diagrama de barras: se representa mediante barras el porcentaje o la frecuencia absoluta de cada una. 236 Ejercicios 14 En una clase, las notas obtenidas en un examen de Matemáticas son las siguientes: 10, 4, 3, 2, 7, 7, 8, 9, 9, 3, 4, 6, 5, 5, 9 Con estos datos, realiza la tabla estadística y su representación gráfica. 15 Los litros de agua recogidos por metro cuadrado en Vigo a causa de las lluvias en el año 2005 se reparten entre los 12 meses de la siguiente manera: Enero: 15% Febrero: 12% Marzo: 20% Abril: 22% Mayo: 3% Junio: 1% Julio: 1% Agosto: 1% Septiembre: 2% Octubre: 5% Noviembre: 7% Diciembre: 11% Representa los datos mediante un diagrama de barras.

10 8 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. MEDIA ARITMÉTICA Y MODA Ejemplo 2 A lo largo del curso, tus notas de los exámenes de Lengua han sido las siguientes: 5 7,5 8, Si la nota final es la media de tus calificaciones de todo el curso, qué nota te van a poner en Lengua? Para calcular la nota media del curso, siempre y cuando todos los exámenes tengan el mismo valor sobre la nota final, se suman todas las notas obtenidas y se divide entre el número total de exámenes que has tenido ,5 + 8, = 7 Nota media. 6 Ejemplo 3 Cada día, al ir al colegio, empleas un tiempo, pero no todos los días tardas lo mismo. Quieres saber cuál es la media de los tiempos empleados en los últimos cuatro días. Para ello te cronometras durante 4 días y los datos obtenidos los apuntas para que no se te olviden: 1.º día: 4 minutos 2.º día: 3 minutos 3.º día: 4 minutos 4.º día: 5 minutos Para calcular el tiempo que empleas por término medio, se suman todos los minutos y el resultado se divide entre 4 (número de días que cronometras): = 16 4 = 4 Tiempo medio. En ambos casos hemos calculado la media de una serie de valores. La media es un parámetro estadístico. Otro parámetro estadístico es la moda. La moda es el valor de la variable que másserepite,esdecir,elvalorquetienemayorfrecuenciaabsoluta. Volviendo a los ejemplos anteriores: Ejemplo A: La moda, es decir, la nota que más se repite es el 7. EjemploB:Lamoda,esdecireltiempoquemásserepitees4minutos. Los parámetros estadísticos más importantes son: Media: es el parámetro estadístico que indica el valor medio de varios valores. Moda: es el parámetro estadístico que indica qué valor tiene mayor frecuencia absoluta. CD En la pestaña Documentación/ Unidad 13/Test de autoevaluación, encontrarás varios test interactivos, para repasar la unidad. CD En la pestaña Actividades/ Ejercicios modo examen/ Unidad 13, encontrarás varios ejercicios para repasar la unidad. Ejercicios 16 Un nadador que quiere superar su récord, realiza los siguientes tiempos en los 100 metros (los datos están expresados en minutos): 1,5 2 1,5 1,85 1,15 1,35 Cuál es la media y cuál es la moda? 17 Se ha entrevistado a 15 familias sobre el número de televisores que hay en el hogar y se han obtenido estos datos: 1televisor: 3familias 2 televisores: 10 familias 3 televisores: 2 familias Basándote en estos datos, cuál es la moda? 237

11 13EJERCICIOS NOMBRE SECCIÓN RESUELTOS 1 Análisis gráfico del movimiento de un coche. Vamos a realizar un análisis sobre la velocidad de un coche. Para ello realizaremos una tabla que relacione dos magnitudes: el tiempo y el espacio recorrido. Variable independiente (x): tiempo Variable dependiente (y): espacio A velocidad constante, cuanto más tiempo estemos conduciendo, más espacio se recorrerá. Pasos: a) Datos recogidos: 1. er minuto: 200 metros 2.º minuto: 400 metros 3. er minuto: 600 metros b) Los datos se llevan a una tabla: Tiempo (min) x Espacio (m) y c) Se hallan los puntos: CD En la pestaña Documentación/ Unidad 13/Animaciones, encontrarás una animación para ayudarte a entender las gráficas. (1, 200) (2, 400) (3, 600) (4, 800) (5, 1 000) (6, 1 200) (7, 1 400) (8, 1 600) (9, 1 800) (10, 2 000) d) Se representan los puntos en los ejes de coordenadas. Los puntos se unen entre sí, porque se podía haber calculado el espacio recorrido en 1,5 minutos, en 2,3 minutos, y se obtienen otros puntos de la función. y = espacio (metros) x = tiempo (minutos)

12 2 Se ha hecho un estudio sobre la cantidad de horas que ven la televisión al día los jóvenes de 15 años, y después de entrevistar a una pequeña muestra, los datos obtenidos fueron los siguientes: 2, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 5, 4, 3, 2 Representa los datos en un diagrama de barras y calcula la tabla estadística, la moda y la media. Pasos: a) Con los datos obtenidos, realizamos la TABLA ESTADÍSTICA: Horas que se ve la TV al día f i F i = f i / N % (F i 100) 0 1 0,08 8% 1 1 0,08 8% 2 5 0,416 41,6% 3 2 0,16 16% 4 2 0,16 16% 5 1 0,08 8% N = 12 Número total de individuos de la muestra Moda: 2 horas de TV (41,6% de la población) Media = = 30 = 2,5 horas/día 12 3 Diagrama de sectores: Vamos a representar mediante diagrama de sectores las opciones de carrera de 60 alumnos. Se han recogido los siguientes datos: 10 alumnos Bellas Artes, 5 Derecho, 7 Medicina, 20 Periodismo, 10 Farmacia, 8 Turismo. Primero tenemos que calcular sobre la muestra de 60 alumnos que porcentaje del total corresponde a cada opción. Configuramos la tabla estadística: 45% 40% 35% 25% 20% 15% 5% 0% 41,6% 16% 16% 8% 8% 8% Opciones f i F i = f i / N % (F i 100) Bellas Artes 10 0,16 16% Derecho 5 0,08 8% Medicina 7 0,11 11% Periodismo 20 0,33 33% Farmacia 10 0,16 16% Turismo 8 0,13 13% En el diagrama tenemos que asignar de 360, que es el 100%, diferentes sectores proporcionales a cada uno de los porcentajes. En este caso nuestro total son 360, por lo que los valores obtenidos al realizar f i /N los tenemos que multiplicar por 360, de forma que obtenemos el valor (en ángulo o en grados) que se corresponde con cada opción y que será el que represente la porción del sector correspondiente: Bellas Artes: 16% 0, = 57,6 ; Derecho: 8% 0, = 28,8 ; Medicina: 11% 0, = 39,6 ; Periodismo: 33% 0, = 120 ; Farmacia: 16% 0, = 57,6 ; Turismo: 13% 0, = 46,8 Bellas Artes Derecho Medicina Periodismo Farmacia Turismo 239

13 13EJERCICIOS NOMBRE SECCIÓN PROPUESTOS 240 Ejes y representación 1 Define ejes de coordenadas y punto cartesiano. 2 Dibuja los siguientes puntos en unos ejes cartesianos: A(1, 3) B( 2, 4) C(7, 2) D( 10, 1) E(2, 9) 3 Identifica los puntos siguientes e indica las coordenadas de cada uno de ellos: 4 Representa en los ejes de coordenadas las siguientes situaciones: a) Un punto en el primer cuadrante. b) Dos puntos que sean simétricos entre el segundo y el tercer cuadrante. c) Un punto en el tercer cuadrante donde la coordenada de «x» duplique en valor absoluto a la coordenada de «y». Tablas de valores y gráficas 5 Copia en tu cuaderno y completa sabiendo que la velocidad es constante. Realiza la gráfica asociada. Tiempo (horas) Espacio recorrido (km) Copia en tu cuaderno y completa la tabla. Realiza la gráfica asociada. Kilogramos que compro Euros a pagar 0 1,5 3 Cuánto cuesta medio kilo? Cuánto cuesta un kilo? Cuánto costarán 10 kilos? I G E B D y A H F C x 7 En un contenedor que tiene 100 litros de agua se ha quedado el grifo abierto y se pierden 10 litros de agua por minuto. Realiza la tabla donde se refleje esa pérdida de agua por minuto y luego represéntalo gráficamente. Qué observas? 8 Quieres comprar barras de pan que cuestan 0,75. Haz una tabla que indique cuánto tendrás que pagar en función de cuántas barras compres hasta un máximo de 5 barras. 9 Vas a invitar a tus amigos al cine. Sabiendo que sois un total de 15 amigos y que el cine cuesta 4,5, realiza la tabla y la gráfica en función de la cantidad posible de amigos que vayan. Lectura de gráficas 10 Qué significa interpretar una gráfica? 11 Interpreta el siguiente gráfico del calentamiento de agua desde estado sólido hasta estado gaseoso y = temperatura ( C) x = tiempo (minutos) 12 Fíjate en el siguiente gráfico, que representa el movimiento de un coche. Interprétalo y responde a las siguientes preguntas: 70 y = velocidad (m/s) x = tiempo (minutos) a) En qué intervalos la velocidad es constante. b) En qué intervalos hay aceleración. c) En qué intervalos está frenando. d) Tiene en algún momento velocidad cero?

14 13 Relaciona una gráfica con el enunciado más apropiado: a) Número de asistentes a un concierto y dinero que se recauda. b) Frenado de un coche hasta alcanzar velocidad cero. c) Un caminante que va a velocidad constante. I II III 14 Cuál de estas dos tablas representa mayor velocidad, la correspondiente a la tabla «A» o a la tabla «B»? Razona la respuesta. Tabla A Tiempo (horas) Espacio (km) Tabla B Tiempo (horas) Espacio (km) Concepto de función 15 Señala cuáles son las magnitudes que se relacionan y di cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente: a) Tiempo de consumo de agua de un bidón y volumen que queda. b) Tiempo que se calienta un metal y temperatura que alcanza. 16 Define con tus propias palabras y pon un ejemplo: a) Magnitud. b) Eje de ordenadas c) Variable dependiente. d) Variable independiente. e) Función. 17 He ido a una fiesta donde había un cartel que ponía: ENTRADA 3 Y CONSUMICIONES 2 Haz una tabla de lo que puedes gastar, que estará en función de las consumiciones que compres. Recuerda que consumas lo que consumas, siempre vas a pagar la entrada. (Recuerda: Cero consumiciones: pagarás solo 3. Una consumición: pagarás 5.) 18 Señala cuáles son las magnitudes que se relacionan y di cuál es la variable «x» y cuál es la variable «y». a) Tiempo que está encendida una bombilla y medida del contador. b) Altura a la que vuela un avión y temperatura exterior. 19 De los siguientes supuestos, di en qué caso las variables se relacionan y en cuáles no: a) Temperatura exterior y cantidad de estrellas visibles. b) Utilización de un bolígrafo y tinta restante. c) Tiempo de ciclo de una lavadora y agua consumida. d) Tiempo de ejercicio físico realizado y calorías consumidas. e) Velocidad de un coche y temperatura interior del coche. 20 En un supermercado, compres lo que compres, siempre te cobran la bolsa 0,5. Realiza la tabla de lo que vas a pagar en función de los kilogramos de manzanas que compres, sabiendo que hoy están de oferta a 1,5 /kg. Población, muestra 21 Qué es un estudio estadístico? Pon un ejemplo y define qué es una tabla estadística. 22 Qué diferencia hay entre población, muestra e individuo? 23 Quieres estudiar la estatura media de jóvenes entre 14 y 16 años de tu ciudad. Qué muestra te parece más adecuada? Razona la respuesta. a) Una muestra de 15 chicas pertenecientes a un club de baloncesto. b) Dos clases de 4.º de la ESO de tu instituto o colegio. c) Coger al azar a 50 personas de una sala de juegos. d) Los 30 chicos de un equipo de natación de tu ciudad. 241

15 13EJERCICIOS NOMBRE SECCIÓN PROPUESTOS Indica cuál será la población, la muestra y los individuos para los siguientes estudios estadísticos: a) Índice de mortalidad en España. b) Calorías medias consumidas por día en niños entre 8 y 10 años. c) Consumo medio de agua por familia, en familias numerosas de Madrid. Tablas estadísticas 25 Para escoger al delegado de una clase, se ha votado entre los voluntarios a serlo, y el resultado es el siguiente: Ana: 3 Laura: 8 Juan: 4 Rocío: 0 Pedro: 5 Isabel: 6 Luisa: 7 Álvaro: 4 Realiza la tabla estadística y el diagrama de barras. 26 En una encuesta sobre el número de idiomas que habla una persona, el resultado fue el siguiente: 1, 1, 1, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 1, 1 a) Realiza la tabla estadística. b) Realiza la representación gráfica. c) Cuál es la moda y cuál es la media? 27 En una clase, las notas de un examen de Ciencias Naturales son las siguientes: 7, 8, 9, 2, 9, 3, 5, 5, 3, 10, 10, 4, 9, 5, 2, 5, 5, 4, 9, 7 Realiza la tabla estadística, el diagrama de barras e indica cuál es la moda y cuál es la media. 28 Se ha encuestado a un grupo de trabajadores sobre las horas de trabajo a la semana y se han obtenido los siguientes resultados: 30, 35, 40, 45, 40, 32, 35, 40, 35, 40 Realiza la tabla estadística, el diagrama de barras e indica cuál es la moda y cuál es la media. 29 En una encuesta sobre el número de cafés que toma una persona al día, el resultado fue el siguiente: 2, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 1, 4, 3, 1, 3 a) Realiza la tabla estadística. b) Realiza la representación gráfica. c) Cuál es la moda y cuál es la media? 30 A la salida de un colegio, se ha consultado por el número de horas dedicadas a la tareas domésticas: 1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 0, 1 a) Realiza la tabla estadística. b) Realiza la representación gráfica. c) Cuál es la moda y cuál es la media? Gráficos estadísticos 31 Interpreta el siguiente gráfico estadístico y explica cómo se obtiene: 25% 25% 20% 15% Preferencias alimentarias de los jóvenes en España 5% 0% 5% 32 Por qué muestra optarías para el siguiente estudio? Qué pasos llevarías a cabo en el estudio total? «Los alumnos de 17 años, escuchan o no música mientras estudian? En caso afirmativo, preferencias musicales a la hora de estudiar». 33 Interpreta la siguiente representación gráfica: 20% 20% 15% 15% 1% 1% 1% 1% % de días lluviosos en Madrid Ene Feb Mar Abr May Jun 5% Cómo crees que se ha realizado el estudio? arroz pasta garbanzo pizza espinacas Jul Ago Sep Oct Nov Dic 7% 7% 7%

16 Parámetros 34 Define los parámetros estadísticos moda y media y pon un ejemplo de cada uno de ellos. 35 Asocia la moda correspondiente a cada uno de los casos: 2, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 3, , 25, 22, 22, 21, 20, , 7, 2, 5, 5, 7, 9, 5 36 En esta secuencia de datos, cuál es la media y cuál es la moda? 15, 15, 20, 25, 10, 15, 20, 10, 15, En un grupo de 10 personas se ha medido la altura de cada una de ellas, siendo el resultado el siguiente: 1,80; 1,74; 1,82; 1,60; 1,50; 1,72; 1,50; 1,75; 1,65; 1,50 Calcula la altura media en este grupo. 38 Cuál es la moda entre los deportes preferidos de los padres? 20% Deportes preferidos de los padres 5% 15% 60% Natación Fútbol Baloncesto Tenis 39 En la siguiente secuencia de datos, cuál es la media y cuál es la moda? 2,5; 3; 3; 1; 2,5; 4; 3; 1; 4; 4,5; 4,5 40 En una tienda de electrodomésticos, se ha consultado a los clientes por el número de averías que han sufrido con sus electrodomésticos en un año, obteniéndose los siguientes resultados: 7, 4, 1, 0, 5, 6, 3, 2, 4, 3, 2, 1, 3 a) Cuál es la moda y cuál es la media? b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagrama de barras. 41 Representa los datos de la encuesta del ejercicio anterior mediante diagrama de sectores. 42 Imagina un estudio estadístico y represéntalo mediante un diagrama de barras. 43 A las encargadas de un comedor infantil se les ha consultado la frecuencia al mes de los siguientes alimentos: Nota: El mes se considera de 22 días lectivos. a) Cuál es la moda? b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagrama de barras. 44 De cien encuestados en un concesionario, se les ha consultado sobre las preferencias que exigen de serie en un coche: Aire acondicionado 28 Elevalunas eléctrico 15 Radio MP3 17 Llantas de aleación 12 Pintura metalizada 3 Airbags 18 Tapicería de cuero 2 Teléfono 5 a) Cuál es la moda? b) Tras realizar la tabla estadística, representa el diagrama de barras. 45 Tras el mes de agosto, en una agencia de turismo han confeccionado la siguiente tabla sobre los destinos más solicitados de los clientes: a) Cuál es la moda? Lentejas 4 Garbanzos 3 Macarrones 3 Espagueti 2 Vainas 3 Coliflor 2 Sopas 5 Playa 37% Montaña 23% Balnearios 11% Cultural 18% Nieve 2% Variado 7% b) Realiza el diagrama de barras y el diagrama de sectores. 243

17 13 PARA REPASAR EN GRUPO Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos. CONCEPTO Ejes de coordenadas Puntos del plano Tabla de valores Función Estadística Población, muestra e individuo Tablas estadísticas DEFINICIÓN Son dos ejes, uno horizontal (eje X o eje de abscisas) y otro vertical (eje Y o de ordenadas) colocados perpendicularmente, llamando al punto de corte origen de coordenadas. Vienen dados por dos coordenadas expresadas entre paréntesis: (x, y). Tabla donde queda expresada la relación de los valores de la primera magnitud llamada x y los de la segunda magnitud llamada y. Cuando se relacionan 2 magnitudes, una será la variable independiente, que varía sin depender de nada, y la otra será la variable dependiente, que varía en función de la variable independiente. Variable independiente: se representa en el eje X. Variable dependiente: se representa en el eje Y. Una función es una relación entre dos variables de manera que a cada valor de la variable independiente le corresponde, como máximo, un valor de la variable dependiente. Rama de las Matemáticas mediante la cual se obtienen datos sobre una población para analizarlos e interpretarlos. Población: Grupo de elementos sobre los que se realiza una investigación. Muestra: Parte seleccionada de una población de donde se recogen datos significativos. Individuo: todos y cada uno de los componentes de la población. Frecuencia absoluta (f i ): Recoge las veces que aparece cada uno de los valores que puede tener la variable estudiada. La suma de todas las frecuencias absolutas se representa por N, que significa a la vez el número total de individuos de la muestra o tamaño muestral. Frecuencia relativa (F i ): Es la división entre la frecuencia absoluta y N. Porcentaje (%): Se halla multiplicando la frecuencia relativa por 100. Media Moda Es la suma de todos los valores de la variable contados tantas veces como se repiten, dividida entre el tamaño muestral. Es el valor más repetido de la variable estudiada. Diagrama de barras: Población (%) 50% 40% 20% No ven la TV Ven la TV menos de 1 hora al día Ven la TV entre 1 y 3 horas al día Ven la TV más de 3 horas al día 35% 25% 244 Representaciones estadísticas gráficas Diagrama de sectores: 0% Bellas Artes Filosofía Derecho Biología Psicología Economía 15% 25%

18 CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOS HUNDIMIENDO DEL BARCO PIRATA Para llevar a cabo este juego se necesita un mínimo de dos jugadores. Cada jugador realiza una plantilla como la del margen donde en cinco de los cuadros coloca un barco. Recuerda que tu contrincante no puede ver dónde colocas la flota! Una vez realizada la cuadrícula y colocados los barcos, empieza la batalla! Comienza cualquiera de los dos, mencionando una coordenada, por ejemplo: (A, 3). A B C D E F G Si resulta que el contrario ha colocado un barco en esa posición: hundido! Tendrás otra oportunidad, pero si no ha colocado ningún barco en esa posición: agua! Entonces será el turno del otro jugador. El ganador será el que hunda primero los barcos del contrario. Ánimo y a ganar! LAS MATEMÁTICAS SON Cuál es la palabra clave? Pon en este eje de coordenadas los puntos de la tabla y asígnales la letra que les corresponde. Luego lee de izquierda a derecha. I ( 4, 6); V ( 3, 0); R (0, 0); S (10, 10); E (6, 3); U ( 6, 3); L (3, 7); S (1, 3); N ( 5, 3); E ( 2, 2); A (2, 4) DESAFÍO MATEMÁTICO Vamos a simular que somos periodistas! Haced en clase grupos de cuatro personas y organizad un pequeño estudio sobre las horas que dedican cada día a la lectura los jóvenes entre 15 y 18 años. Además os habéis propuesto analizar si estadísticamente hay relación entre la afición de los padres lectores y la afición de los jóvenes. Aquí proponemos unas pautas a seguir: Tener claro cuál es la población. Escoger una muestra de la población (recuerda que ha de ser una muestra representativa). Tendrás que realizar una encuesta para informarte si cada individuo lee o no. En caso afirmativo, preguntar cuántas horas lee al día, e independientemente de la respuesta inicial, preguntar por la afición de los padres y madres por la lectura. Ordenar los datos obtenidos en una tabla estadística. Hallar los parámetros estadísticos. Para finalizar, haced un pequeño informe sobre las conclusiones obtenidas. Ánimo, periodistas! 245