= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/ /8 3/8 1-2/8 3/

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de 600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 50 euros por cada silló y 00 euros por cada butaca, y que el úmero de butacas es la cuarta parte del úmero que suma los demás muebles. Platee, si resolver, el sistema de ecuacioes adecuado que permite calcular cuátos muebles de cada clase ha vedido ese taller. 3 5 ( putos) Dadas las matrices A y B, resuelva la ecuació matricial AX + B t B, 4-3 dode X es ua matriz cuadrada de orde. Solució U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de 600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 50 euros por cada silló y 00 euros por cada butaca, y que el úmero de butacas es la cuarta parte del úmero que suma los demás muebles. Platee, si resolver, el sistema de ecuacioes adecuado que permite calcular cuátos muebles de cada clase ha vedido ese taller. º de sillas y º de silloes z º de butacas De ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, teemos: + y + z 5. De cobra 50 por silla, 50 por silló y 00 por butaca y ha gaado 600, teemos: y + 00z 600. De el º de butacas es la cuarta parte del º que suma los demás muebles, teemos: z ( + y)/. El sistema de ecuacioes pedido es: + y + z y + 00z 600 z ( + y)/. Si se resolviese saldría (o lo pide): 9, y y z Dadas las matrices A y B, resuelva la ecuació matricial AX + B t B, dode X es 4-3 ua matriz cuadrada de orde. Dada la matriz A si mediate trasformacioes elemetales de Gauss podemos pasar de la matriz (A I) a la matriz (I D), la matriz D es la iversa de A, es decir D A -. Tambié podemos calcular la matriz iversa co la fórmula A - t Adj(A ). A 3 0 F - F F- F F :(8) (A I) (I A - ), luego la matriz iversa - - F + F 0 4/8 -/8 0 -/8 3/8 0 -/8 3/8 pedida es A - 4/8 -/ /8 3/8 8-3 Veámoslo por la fórmula: A ; 3 At ; Adj(A t 4 - ), luego A - t 4 - Adj(A ). Como 4-3 A 8-3 vemos os da lo mismo. Como eiste A - multiplicado la epresió AX + B t B, por la izquierda por A - teemos: A - AX + A - B t A - B, de dode IX + A - B t A - B, es decir X A - B - A - B t.

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua X A - B - A - B t EJERCICIO A si Se cosidera la fució defiida por f() si > ( 5 putos) Estudie la cotiuidad y derivabilidad de f. ( puto) Represete la gráfica de f. c) (0 5 putos) Idique los etremos relativos de la fució. Solució si Se cosidera la fució defiida por f() si > Estudie la cotiuidad y derivabilidad de f Sabemos que si ua fució es derivable, la fució es cotiua. Las dos ramas de la fució f so fucioes poliómicas, por tato cotiuas y derivables e R las veces que os haga falta, por tato sólo os queda ver la cotiuidad y derivabilidad e. Tambié vemos que sus gráficas so trozos de parábolas. Veamos la cotiuidad y derivabilidad de f e f es cotiua e, si f() f() + f() f() + ( ) 0. f() f(). + ( ) 0. Como 0 0, f es cotiua e. Sabemos que f es derivable e, si f (+) f (-), es decir f () f (). Estamos viedo la + cotiuidad de la derivada (es más secillo) si 4-8 si < Teemos f(), de dode f () si > si > f () (4 8) - 4. f() (-4 + 8) 4. Como -4 4, la fució o es derivable e. + + Represete la gráfica de f. Si <, f() Su gráfica es ua parábola co las ramas hacia arriba ( ), porque el º que multiplica a es positivo (+). La abscisa de su vértice V es la solució de f () 0, es decir 4 8 0, de dode, y V(,f()) V(,-), que o está e su domiio ( < ). Los putos de corte so: Para 0, puto(0,f(0)) (0,6). Para f() 0, , de dode 3 (o está e el domiio) y. Puto (,f()) (,0). Si >, f() Su gráfica es ua parábola co las ramas hacia abajo ( ), porque el º que multiplica a es egativo (-). La abscisa de su vértice V es la solució de f () 0, es decir , de dode, y V(,f()) V(,). Los putos de corte so: Para 0, puto(0,f(0)) (0,-6), (o está e el domiio). Para f() 0, , de dode 3 y (0 está e el domiio pero como es cotiua e dicho puto lo podemos cosiderar). Putos (3,f(3)) (3,0) y (,f()) (,0) Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de la gráfica es:

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua c) Idique los etremos relativos de la fució. Observado la gráfica, vemos que tiee u máimo relativo e (,) que es el vértice de la parábola de la rama >, y el puto (,0) que es el míimo relativo. Observar que e este puto o es derivable, es decir los putos etremos relativos o tiee que ser derivables. EJERCICIO 3 A Parte I El 30% de los clietes de ua tieda de música solicita la colaboració de los depedietes y el 0% realiza ua compra ates de abadoar la tieda. El 5% de los clietes pide la colaboració de los depedietes y hace ua compra. ( puto) Calcule la probabilidad de que u cliete i compre, i solicite la colaboració de los depedietes. ( puto) Sabiedo que u cliete ha realizado ua compra, cuál es la probabilidad de que o haya solicitado colaboració a los depedietes? Solució El 30% de los clietes de ua tieda de música solicita la colaboració de los depedietes y el 0% realiza ua compra ates de abadoar la tieda. El 5% de los clietes pide la colaboració de los depedietes y hace ua compra. Sea A y B los sucesos cliete solicita la colaboració y compra ates de salir. Tambié teemos los sucesos cotrarios A C y B C. Del problema teemos p(a) 30% 0 3; p(b) 0% 0 ; p(a B) 5% 0 5. ( ) Sabemos que p(a B) p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) p A B ; p(a C ) - p(a); p(b) p(a C B C ) {Ley de Morga} p(a B) C {suceso cotrario} - p(a B). Calcule la probabilidad de que u cliete i compre, i solicite la colaboració de los depedietes. Me está pidiedo p(i ayuda y i compr p(a C B C ) p(a B) C - p(a B). p(a B) p(a) + p(b) - p(a B) , luego p(i ayuda y i compr - p(a B) Sabiedo que u cliete ha realizado ua compra, cuál es la probabilidad de que o haya solicitado colaboració a los depedietes? 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Me está pidiedo p(solicita colaboració sabiedo que ha comprado) p(a/b) ( B ) p A p(b) (0 5)/0 EJERCICIO 3 A Parte II Se ha lazado al aire ua moeda 00 veces y se ha obteido cara e 0 ocasioes. ( puto) Estime, mediate u itervalo de cofiaza, al 90%, la probabilidad de obteer cara. ( puto) Se pretede repetir la eperiecia para coseguir que el error cometido sea iferior a 0 03, co u ivel de cofiaza del 97%. Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra? Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q - p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p( ˆ p) ˆ p( ˆ p) ˆ I.C p ˆ - z ˆ α/.,p + z α/. (b- dode z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ )-α/. p( ˆ p) ˆ El error cometido es E < z α /. (b-/, de dode el tamaño de la muestra es ˆˆ. (z -α/ ).p.q E Se ha lazado al aire ua moeda 00 veces y se ha obteido cara e 0 ocasioes. Estime, mediate u itervalo de cofiaza, al 90%, la probabilidad de obteer cara. Datos del problema: p 0/00 3/5, q -3/5 /5, 00, ivel de cofiaza 90% α, de dode α 0 0, es decir α/ 0 0/ De p(z z -α/ ) - α/ Mirado e las tablas de la N(0,) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, las más próimas so y que correspode a 64 y 65, por tato z -α/ es la media es decir z -α/ ( )/ 645. Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: 3 3 p( ˆ p) ˆ p( ˆ p) ˆ I.C.(p) p ˆ - z ˆ α/.,p + z α/. - ' , + ' (0 5430; ) Se pretede repetir la eperiecia para coseguir que el error cometido sea iferior a 0 03, co u ivel de cofiaza del 97%. Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra? Datos del problema: p 3/5, q /5, 00, E < 0 03; ivel de cofiaza α 97% 0 97, de dode α % como ivel de sigificació. De α 0 03 teemos α/ 0 05 De la igualdad p(z z -α/ ) - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,), y os dará el correspodiete valor crítico z - α/. Mirado e la tabla de la N(0,) vemos que el valor viee e la tabla y correspode a z -α/ 7. 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua De > (z -α/ ).p.q E ˆˆ ('7) (3/5) (/5) , teemos 56. (0'03) OPCIÓN B EJERCICIO B La cadidatura de u determiado grupo político para las eleccioes muicipales debe cumplir los siguietes requisitos: el úmero total de compoetes de la cadidatura debe estar compredido etre 6 y 8 y el úmero de hombres () o debe eceder del doble del úmero de mujeres (y). ( 5 putos) Represete el recito asociado a estas restriccioes y calcule sus vértices. (0 5 putos) Cuál es el mayor úmero de hombres que puede teer ua cadidatura que cumpla esas codicioes? Solució ( y ( Número de hombres. y Número de hombres. Fució Objetivo F(,y). (úmero de hombres) Restriccioes: El úmero total de compoetes está compredido etre 6 y 8 + y 6. El úmero total de compoetes está compredido etre 6 y 8 + y 8. El úmero de hombres o debe eceder del doble del úmero de mujeres. y Tiee que haber algú hombre. 0 Las desigualdades + y 6; + y 8; y; 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, + y 6; + y 8; y; 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y - + 6; y - + 8; y /; 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito deitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De y / e y -+6; teemos / - + 6, luego - +, de dode 3, por tato 4 e y. El puto de corte es A(4,) De y / e y - + 8; teemos / - +8, luego , de dode 336, por tato e y6. El puto de corte es B(,6) De 0 e y - + 8; teemos y 8, y el puto de corte es C(0,8) De 0 e y - + 6; teemos y 6, y el puto de corte es D(0,6) 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Vemos que los vértices del recito so: A(4,), B(,6), C(0,8) y D(0,6). Calculemos el máimo de la fució F(,y) e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máimo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos etremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(4,), B(,6), C(0,8) y D(0,6). F(4,) (4) 4; F(,6) () ; F(0,8) (0) 0; F(0,6) (0) 0. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máimo absoluto de la fució F e la regió es (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(,6), es decir el úmero máimo de hombres que cumple las codicioes de la cadidatura es de, y está formada por hombres y 6 mujeres. EJERCICIO B - k si > 0 Sea la fució f() si 0 ( putos) Calcule el valor de k para que la fució f sea cotiua e 0. Para ese valor de k, es f derivable e 0? ( puto) Para k 0, calcule f( ) y f( ) - Solució - k si > 0 Se cosidera la fució f() si 0 Calcule el valor de k para que la fució f sea cotiua e 0. Para ese valor de k, es f derivable e 0? Sabemos que si ua fució es derivable, la fució es cotiua. Sabemos que f es cotiua e 0, si f(0) f() f() k f(0) f() 0 f() Para k -, teemos f() f () k. ( + + ). Como f es cotiua e 0, teemos k -. 0 si < 0 + si > si > si 0 Sabemos que f es derivable e 0, si f (0+) f (0-), es decir cotiuidad de la derivada (es más secillo). f () (0) si > 0, de dode: + + si 0 f() ( + ). Como 0, la fució o es derivable e Para k 0, calcule f( ) Para k 0, teemos f() y f( ) - + si > si 0 f () f (). Estamos viedo la 0 0+ Si > 0 teemos f() +, luego f() + + (). Si 0 teemos f() + +, luego f() ( + + ) ( ) (- ) +. 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3 B Parte I E u Istituto se puede practicar dos deportes: fútbol y balocesto. Se sabe que el 48% de los alumos practica fútbol pero o balocesto, que el 5% practica balocesto pero o fútbol y que el 8% o practica iguo de los dos. Si se toma, al azar, u alumo de ese Istituto, calcule la probabilidad de que: (0 75 putos) Practique fútbol. (0 5 putos) Practique alguo de los dos deportes. c) (0 75 putos) No practique fútbol, sabiedo que practica balocesto. Solució E u Istituto se puede practicar dos deportes: fútbol y balocesto. Se sabe que el 48% de los alumos practica fútbol pero o balocesto, que el 5% practica balocesto pero o fútbol y que el 8% o practica iguo de los dos. Si se toma, al azar, u alumo de ese Istituto, calcule la probabilidad de que. Sea A y B los sucesos practica futbol y practica balocesto. Tambié teemos los sucesos cotrarios A C y B C. Del problema teemos: p(a y ob) p(a B C ) 48% 0 48; p(b y oa) p(b A C ) 5% 0 5; p(oa y ob) p(a C B C ) 8% 0 8. ( ) Sabemos que p(a B) p(a) + p(b) - p(a B); p(a B C ) p(a) - p(a B); p(a/b) p A B ; p(b) p(a C ) - p(a); p(a C B C ) {Ley de Morga} p(a B) C {suceso cotrario} - p(a B). Practique fútbol. Me pide p(a). De p(a B C ) 0 48 p(a) - p(a B), teemos p(a) p(a B). De p(b A C ) 0 5 p(b) - p(a B), teemos p(b) p(a B). De p(a C B C ) 0 8, teemos p(a C B C ) 0 8 p(a B) C - p(a B), de dode p(a B) De p(a B) p(a) + p(b) - p(a B), teemos p(a B) p(a B) - p(a B), luego p(a B) Luego p(a) Practique alguo de los dos deportes. Me pide p(a ó B) p(a B) 0 7, ya calculado e el apartado (. c) No practique fútbol, sabiedo que practica balocesto. p A B 0'5 0'5 p(b) 0'5+p(A B) 0'5+0'09 obteido del apartado (} 0 5/ ( C ) Me pide p(oa sabiedo B) p(a C /B) {los datos los hemos EJERCICIO 3 B Parte II Co los datos de ua muestra aleatoria se estima que el porcetaje de hogares co coeió a Iteret es del 30%, co u error máimo de la estimació de 0 06 y u ivel de cofiaza del 93%. (0 5 putos) Obtega el itervalo de cofiaza, al 93%, de la proporció de hogares co coeió a Iteret. ( 5 putos) Calcule el tamaño míimo de la muestra utilizada. Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q - p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). 7

8 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p( ˆ p) ˆ p( ˆ p) ˆ I.C p ˆ - z ˆ α/.,p + z α/. (b- dode z -α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,) que verifica p(z z -α/ )-α/. p( ˆ p) ˆ El error cometido es E < z α /. (b-/, de dode el tamaño de la muestra es ˆˆ. (z -α/ ).p.q E Co los datos de ua muestra aleatoria se estima que el porcetaje de hogares co coeió a Iteret es del 30%, co u error máimo de la estimació de 0 06 y u ivel de cofiaza del 93%. Obtega el itervalo de cofiaza, al 93%, de la proporció de hogares co coeió a Iteret. Datos del problema: p 30% 0 3, p( ˆ p) ˆ q , E < 0 06 z α /. ; ivel de cofiaza α 93% 0 93, de dode α % como ivel de sigificació. El itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(p) ( p ˆ - E,p ˆ + E ) ( , ) (0 4; 0 36) Calcule el tamaño míimo de la muestra utilizada. Datos del problema: p 0 3; q 0 7; E < 0 04 De α 0 07 teemos α/ De la igualdad p(z z -α/ ) - α/ , que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,), y os dará el correspodiete valor crítico z - α/. Mirado e la tabla de la N(0,) vemos que el valor o viee e la tabla y el más próimo es , que correspode a z -α/ 8 (iterpolado z -α/ 84). (z -α/ ).p.q ˆˆ ('8) (0'3) (0'7) De > 9 9, teemos 9. E (0'06) 8

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