El estudio de las gráficas
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- Guillermo Parra Correa
- hace 8 años
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1 El estudio de las gráficas Matemáticas en la vida diaria Tormenta de nieve Recuerdas lo que hiciste el 17 de febrero de 2003? Si vives en la ciudad de Nueva York, tus actividades de ese día quizás hayan tenido algo que ver con nieve. La siguiente gráfica muestra la cantidad de nieve que cayó en la ciudad de Nueva York, durante cinco tormentas de nieve que azotaron la ciudad durante el invierno de Cantidad (pulgadas) Nevadas en la ciudad de Nueva York, /05/02 12/25/02 Fecha 2/07/03 2/17/03 3/06/03 Piensa al respecto Las gráficas son útiles para mostrar cantidades relacionadas. Puedes ver de un vistazo que cayó mucha más nieve el 17 de febrero de 2003 que en cualquier otra fecha. Aproximadamente cuánta más nieve cayó el 17 de febrero de 2003 que el 25 de diciembre de 2003?
2 Carta a la familia Estimados alumno(a) y familiares: Las gráficas se ven por todas partes! Las hay en la sección de deportes del periódico, en la publicidad, en los libros de ciencia y de estudios sociales. Muchas de ellas son gráficas lineales, gráficas de barras o gráficas circulares. En este capítulo, aprenderán sobre las gráficas que utilizan puntos y líneas para mostrar patrones de datos y sus relaciones. He aquí un ejemplo. Está gráfica tiene un eje horizontal, un eje vertical y muestra los precios de diferentes bolsas de azúcar. A partir de esta gráfica se pueden deducir varios hechos, como por ejemplo: D es la más pesada. Bolsas de azúcar B y F tienen el mismo peso. C, E y D pesan más que B. F E E y F son más caras que D. Conviene más comprar C que B porque aunque tiene un costo ligeramente mayor, esta bolsa contiene más azúcar. Peso En este capítulo, harán gráficas para una gran variedad de situaciones. Algunas gráficas, como la anterior, no tendrán valores numéricos, pero otras tendrán escalas, o sucesiones de números, en cada eje. Vocabulario A medida que estudiamos estos nuevos tipos de gráficas, aprenderán también algunos términos nuevos: ejes gráfica lineal origen coordenadas par ordenado variable Qué pueden hacer en el hogar? Durante las siguientes semanas, es posible que su hijo(a) muestre interés en las gráficas. Pueden ayudarle a buscar ejemplos en periódicos y revistas del uso de gráficas en situaciones cotidianas. Estimulen a su hijo(a) a que determine lo que muestra cada gráfica y también el valor de puntos específicos de las gráficas. Precio A B C D impactmath.com/family_letter 277
3 Interpreta gráficas Puedes hallar gráficas en muchos lugares: en tus libros de texto, en la televisión, en las revistas y en los periódicos. Las gráficas sirven para mostrar información de modo que se pueda entender a simple vista. También son muy útiles para hacer comparaciones. Explora Escoge un tema que te interese, como carros, perros, pizza o música. Piensa en algunos aspectos del tema que sería interesante exhibir en una gráfica. Describe el aspecto probable de la gráfica. Por ejemplo, si eliges las pizzas como tema, puedes graficar el número de pizzas de diversos tamaños que vende una pizzería local. Podrías enumerar los tamaños (pequeña, mediana, grande) horizontalmente y luego trazar barras para mostrar el número de pizzas de cada tamaño que se venden diariamente. Ya has visto gráficas que usan barras, sectores de círculos y dibujos para exhibir datos. En esta lección, te concentrarás en gráficas que usan puntos y curvas para mostrar información. Investigación 1 Usa puntos para desplegar información Aquí se muestra la vista frontal de cuatro edificios: Supertienda Oficina de correos Westgate ACME V O C A B U L A R I O variable Algunos de los edificios son más altos que otros; otros son más anchos. Es decir, las alturas y los anchos de los edificios varían. Las cantidades que varían se llaman variables. 278 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
4 Las gráficas son una manera conveniente de mostrar al mismo tiempo información sobre dos variables. Esta gráfica exhibe información sobre las alturas y los anchos de los edificios. Cada punto representa uno de ellos. D Altura B C A Ancho V O C A B U L A R I O ejes origen La recta horizontal (la que representa la variable ancho) y la recta vertical (la que representa la variable altura) se llaman ejes. El punto donde se intersecan los ejes se llama origen. El origen de una gráfica es por lo general el punto 0 de cada eje. La flecha en cada eje muestra la dirección en que aumentan los valores de la variable. Por ejemplo, los puntos a la derecha de la gráfica corresponden a edificios más anchos que los puntos a la izquierda. Los puntos cerca de la parte superior corresponden a edificios más altos que los puntos cerca de la parte inferior. Esta gráfica no lleva números en los ejes, así que no indica las alturas o anchos mismos de los edificios. Muestra, sin embargo, la relación entre altura y ancho. & Piensa comenta Qué punto corresponde a un edificio más ancho, A o B? Explica cómo lo sabes. Qué edificio representa el punto A? Cómo lo sabes? Boston, Massachusetts LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 279
5 MATERIALES dibujo de los edificios gráfica de los edificios Datos de interés Uno de los hoteles más grandes del mundo es el MGM Grand en Las Vegas, Nevada. Tiene 5,034 habitaciones y cubre una superficie de 112 acres. Serie de problemas A 1. Identifica los edificios de la gráfica que corresponden a los puntos B, C y D. 2. Qué letras corresponden a edificios que son menos anchos que el edificio que corresponde al punto B? 3. Qué letras corresponden a edificios que son más bajos que el edificio que corresponde al punto B? 4. En una copia de la gráfica, añade dos puntos más: uno que represente un rascacielos y el otro la casita de un perro. Explica cómo decidiste dónde colocar los puntos. 5. Ahora imagina un edificio cuya altura y ancho sean distintos de los que corresponden a los edificios del dibujo. a. En una copia del dibujo, bosqueja el edificio que imaginaste. b. Agrégale un punto a la gráfica que lo represente. c. Muestra tu gráfica a un compañero y pídele que bosqueje o describa tu edificio. En la gráfica que usaste en el Serie de problemas A, la variable ancho aparece representada en el eje horizontal y la variable altura en el eje vertical. Podrías titular los ejes de otra manera. Serie de problemas B 1. En esta gráfica, el eje horizontal muestra la altura y el vertical el ancho. a. Marca un punto por cada uno de los cuatro edificios en una copia de estos ejes. b. Cómo se relaciona tu gráfica con la de la página 279? Ancho Altura 280 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
6 Datos de interés Las avestruces son las aves más grandes del mundo. Los adultos machos pueden medir de 8 a 10 pies de altura y pesar entre 200 y 350 libras. A pesar de su gran tamaño, las avestruces pueden correr a velocidades de hasta 45 millas por hora. 2. Los puntos de esta gráfica corresponden a la altura y el peso de un burro, un perro, un cocodrilo y una avestruz. a. Cuál par de variables aparecen representadas en la gráfica? b. Indica el punto que representa cada animal y explica cómo hiciste esto. Peso A B D C Altura 3. Estas dos gráficas comparan el carro A y el B. La gráfica izquierda muestra la relación entre año y valor; la otra, muestra la relación entre tamaño y velocidad máxima. Valor A B Velocidad máxima A B Año Tamaño Usa las gráficas para determinar si cada enunciado es verdadero o falso. Explica cómo lo sabes. a. El carro más antiguo vale menos. b. El carro más rápido es más grande. c. El carro más grande es más antiguo. d. El carro más rápido es más antiguo. e. El carro de mayor valor es más lento. LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 281
7 Comparte & resume La gráfica muestra la altura y el ancho de cuatro chimeneas. Bosqueja cuatro chimeneas que podrían corresponder a los puntos. En tu dibujo, rotula cada chimenea con la letra correspondiente. D A C Investigación Ancho B Altura 2 Interpreta puntos Se requiere práctica para llegar a ser hábil en la lectura de gráficas. Al mirar una gráfica, necesitas pensar detenidamente sobre qué son las variables y dónde está ubicado cada punto. E J E M P L O Qué información muestra esta gráfica? Las dos variables son velocidad y edad. Y es más rápido que Z. Z es más antiguo o mayor que Y. Velocidad Y Qué pueden representar Y y Z? Y y Z pueden ser computadoras, ya que una computadora más nueva, por lo general, procesa la información más rápidamente que una más antigua. Edad Y puede ser un niño y Z puede ser uno de sus abuelos. Éste es mayor que el niño y el niño corre más rápidamente que el abuelo. Z 282 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
8 Serie de problemas C Completa las Partes a y b para cada gráfica. a. Indica el par de variables que muestra la gráfica. b. Describe lo que informa la gráfica sobre qué representan los puntos y luego trata de establecer qué pueden representar los puntos Distancia al océano A B Precio C D Pluviosidad F Altura E Pluviosidad Tamaño G H Circunferencia Temperatura Tiemo pescando I J Precio K L Peces capturados Edad LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 283
9 Datos de interés El azúcar blanco común se elabora a partir de caña de azúcar y remolacha azucarera. Aunque estas dos fuentes de azúcar son aparentemente muy diferentes, el azúcar que se obtiene de ellas es la misma. Serie de problemas D 1. Cada punto de esta gráfica representa una bolsa de azúcar. Precio a. Qué bolsa pesa más? Menos? b. Qué bolsas pesan lo mismo? Cuáles pesan más que B? c. Qué bolsas valen lo mismo? Cuáles cuestan más que D? d. Qué bolsa pesa más que B y es más cara que D? A F B Peso e. Suponiendo que todas las bolsas contienen azúcar de la misma calidad, es C más económica? F? Cómo lo sabes? 2. Gina es muy descuidada con sus lapiceros, perdiéndolos a menudo y recuperándolos más tarde. Esta gráfica muestra el número de lapiceros que había en su estuche al mediodía de cada día de la semana pasada. Usa esta información para escribir una historia sobre Gina y sus lapiceros durante el transcurso de la semana. E C Número de lapiceros D Lun Mar Miér Jue Vier Sáb Dom Las gráficas con las que has venido trabajando sólo tienen unos cuantos puntos. Las de datos concretos contienen, a menudo, numerosos puntos y, aunque un examen de puntos individuales te da información sobre los datos, también es importante considerar el patrón general de los puntos. 284 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
10 Serie de problemas E La Srta. Dimas encuestó a sus dos clases para averiguar el tiempo que pasó cada alumno viendo TV y leyendo, el fin de semana pasado. Ella construyó esta gráfica: D Tiempo viendo TV B C A Horas leyendo Datos de interés Al momento de terminar la secundaria, el muchacho estadounidense habrá pasado 13,000 horas en la escuela y 18,000 viendo TV. 1. Escoge unos de los cuatro alumnos representados por los puntos A, B, C y D. Escribe una o dos oraciones que describan el tiempo que pasó ese alumno viendo TV y leyendo, sin mencionar la letra del alumno en tu descripción. 2. Intercambia descripciones con tu compañero y trata de descubrir el alumno sobre el cuál escribió tu compañero. 3. Considera ahora todos los puntos de la gráfica, no sólo los que indican las letras. Cuál de estos enunciados describe mejor la gráfica? a. No hay mucha relación entre las horas de lectura y las de TV. b. La mayoría de los alumnos pasó casi el mismo tiempo leyendo y viendo TV. c. Mientras más tiempo leyó el alumno, menos TV vio. LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 285
11 Comparte & resume Ya has visto varios usos de las gráficas. Pueden contar una historia: como la que muestra la variación en una semana de los lapiceros de Gina, por ejemplo. Pueden utilizarse para comparar: como la que muestra los pesos y precios de bolsas de azúcar, por ejemplo. Pueden mostrar una relación general: como la que muestra el tiempo viendo TV y leyendo, por ejemplo. Inventa tu propia gráfica y explica lo que muestra. Investigación 3 Interpreta rectas y curvas Las gráficas que has estudiado hasta ahora han consistido de puntos separados. Cuando una gráfica es una recta o curva, cada punto es parte de la gráfica. Las habilidades que desarrollaste con la interpretación de gráficas de puntos separados te pueden permitir entender la información que provee una recta o una curva. Esta gráfica muestra el nivel sonoro en el aula de la Srta. Washington una mañana de un martes, entre las 9 A.M. y las 10 A.M.: Nivel sonoro 9:00 A.M. Hora 10:00 A.M. La variable del eje horizontal es la hora. Al leer esta gráfica de izquierda a derecha, obtienes información sobre la variación del nivel de ruido. 286 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
12 Datos de interés Los niveles de ruido se miden en decibeles (db) y los de más de 80 db, por períodos prolongados, pueden ser perjudiciales. He aquí los decibeles de algunos sonidos: susurro 25 db conversación 60 db cortadora de césped 90 db motosierra 100 db concierto de rock 110 db & Piensa comenta Aproximadamente a qué hora quedó súbitamente en silencio el aula? Dónde aparece esto en la gráfica? En algún momento, la clase fue interrumpida por un anuncio en los altavoces. A qué hora, aproximadamente, ocurrió esto? Cómo lo sabes? Cuándo hubo más ruido? (Omite el anuncio por los altavoces.) Parte de la hora, los alumnos trabajaron en grupos pequeños en un problema. Cuándo crees que sucedió esto? Explica lo que te hace pensar así. La Srta. Washington suspendió la actividad en grupo para hablar sobre la tarea del día siguiente. Cuándo ocurrió esto? Explica cómo lo sabes. Serie de problemas F 1. Esta gráfica muestra el nivel de ruido del auditorio de una escuela, la tarde de una obra teatral. Sólo se muestra el bullicio del público y no el de los actores en el escenario. Nivel sonoro en el auditorio A B 7:00 P.M. 8:00 9:00 10:00 P.M. Hora a. A las 7:00, el auditorio estaba vacío. Cuándo, aproximadamente, crees que se empezó a llenar de gente? Explica lo que te hace pensar así. b. Cuándo crees que comenzó la función? Dónde muestra esto la gráfica? c. Al terminar la función, el público irrumpió en aplausos. Cuándo crees que pasó esto? Por qué? d. Hay unos bultitos en la gráfica entre las 8:00 y las 9:00. Cuál puede ser su causa? e. Las secciones marcadas A y B muestran un aumento en el nivel sonoro. En cuál de ellas aumenta más rápidamente? Cómo puedes determinarlo? LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 287
13 2. Esta gráfica muestra la variación del nivel de hambre que Jing tuvo un sábado. Escribe una historia, sobre el día de Jing, que cumpla con la información de la gráfica. Tu historia debe dar cuenta de todos los aumentos y disminuciones que muestra la gráfica. Nivel de hambre 9 A.M P.M. Hora MATERIALES gráfica de la estatura de Susan Las gráficas de esta investigación han mostrado el cambio de la variable en el transcurso del tiempo. En algunos casos, sólo tienes información del cambio de una variable en ciertos períodos de tiempo. A menudo se puede utilizar la información que sí tienes para estimar lo que pasó entre esos períodos. Serie de problemas G A medida que Susan crecía, su padre medía su estatura todos sus cumpleaños, anotando los resultados en una gráfica del álbum de recortes de la familia. El crecimiento de Susan Estatura (pulgadas) Edad (años) 288 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
14 El día que Susan cumplió 6 años, la familia andaba de vacaciones y su padre olvidó medirla. La familia se mudó justo antes de su octavo cumpleaños, traspapelándose el álbum. Unas semanas antes de su décimo cumpleaños, su padre lo encontró y lo comenzó a llenar nuevamente. A Susan le gustaría saber cuál habrá sido su estatura en los años perdidos. 1. De la gráfica, qué sabes sobre su estatura cuando tenía 6 años? Susan pensó que uniendo los puntos le permitiría estimar su estatura en los años perdidos. 2. En una copia de la gráfica de Susan, une sucesivamente los puntos con segmentos de recta y úsalos para estimar la estatura de Susan a los 6, 8 y 9 años. 3. Crees que los valores hallados en el problema 2 dan la estatura exacta de Susan en esos años? Explica. 4. Estima la estatura de Susan a los años. 5. A qué edad se empezó a estabilizar la estatura de Susan? V O C A B U L A R I O gráfica lineal El unir los puntos de la gráfica de la estatura de Susan te permitió hacer predicciones. También te dejó ver tendencias, o patrones, en los datos. Las gráficas en que los puntos están unidos por segmentos de recta se llaman gráficas lineales. LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 289
15 En la gráfica de la estatura de Susan, el unir los puntos tiene sentido porque ella sigue creciendo de un año a otro, o sea, hay valores entre los marcados en la gráfica. Para algunas gráficas, no hay valores entre los marcados. Por ejemplo, el padre de Susan lleva una gráfica del número de peces capturados cada año en su viaje anual de pesca Viaje anual de pesca Peces capurados Año Como el número de peces capturados no cambia entre viajes, no hay valores entre los que muestra la gráfica. En este caso, el unir puntos no tiene sentido alguno. Serie de problemas H Indica si tendría sentido unir los puntos en las gráficas que se describen a continuación, explicando lo que te hace pensar así. 1. una gráfica que muestra el número de entradas vendidas en cada partido de fútbol americano durante la temporada Admita Uno Admita Uno 2. una gráfica que muestra la velocidad de un auto de carrera cada 10 minutos durante una competencia 3. una gráfica de la altura a la que se percibe el Sol cada hora durante el día 4. una gráfica de la cantidad del sueldo de Carmen durante 10 semanas 290 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
16 & Comparte resume Estas gráficas muestran la variación de algo. Escribe una o dos oraciones que describan el cambio en cada gráfica y luego trata de pensar en algo que podría variar de dicha manera. Por ejemplo, esta gráfica muestra algo que al principio aumenta lentamente y luego más rápidamente. Podría representar la velocidad de alguien que compite en una carrera de campo traviesa. El corredor empieza lentamente, para luego correr más y más rápidamente conforme se acerca a la meta. Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo Tiempo 7. Describe una gráfica que involucre cambio en el tiempo para la que tenga sentido unir puntos. 8. Describe una gráfica que involucre cambio en el tiempo para la que no tenga sentido unir puntos. LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 291
17 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica 1. Este dibujo muestra la vista frontal de varios edificios. Apartamentos Datos de interés Uno de los edificios de apartamentos más alto del mundo es el John Hancock Center de Chicago, Illinois, el que mide 1,127 pies de alto y tiene 100 pisos. Casita de un perro Escuela Casa a. Copia estos ejes y marca puntos que correspondan a la altura y ancho de cada edificio. Altura Ancho b. Añade otro punto a tu gráfica y escribe una breve descripción del edificio que éste representa. Describe la relación entre la altura y el ancho de tu edificio y las de por lo menos dos de los otros edificios. 2. Esta gráfica muestra la relación entre esfuerzo y resultados en las pruebas de cinco alumnos. A Resultados en pruebas D C B E Esfuerzo 292 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas impactmath.com/self_check_quiz
18 El maestro hizo los siguientes comentarios en las libretas de notas de estos alumnos. La escasa asistencia de Alex este trimestre ha resultado en un desempeño extremadamente mediocre en las pruebas. Nicola es una alumna muy capaz, como lo demuestran sus calificaciones, pero su concentración y conducta en clase dejan mucho que desear. Con más esfuerzo podría obtener un mejor rendimiento. El desempeño de Hoang ha sido excelente y se merece las calificaciones que obtuvo. Bien hecho! Adrienne ha tenido un buen rendimiento este trimestre, logrando calificaciones satisfactorias. a. Relaciona el desempeño de cada alumno con un punto de la gráfica. b. Escribe un comentario sobre el alumno que corresponda al punto que no mencionaste en la Parte a. 3. Para cada gráfica, completa las Partes a y b. a. Indica las variables que muestra la gráfica. b. Describe lo que la gráfica te informa sobre las cosas representadas por los puntos y luego trata de establecer lo que los puntos podrían representar. Gráfica I Gráfica II Gráfica III Velocidad A B Profundidad C D Horas viendo TV F E Precio Ancho Horas viendo fútbol americano LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 293
19 4. Cada punto de la gráfica corresponde a la edad y estatura de cada persona en la foto. Recorriéndola de izquierda a derecha, relaciona cada persona con un punto. F G Edad E C D A B Estatura Esta gráfica muestra la altura de un pajar durante un verano. Altura 5. Comienzo del verano Época del año a. Cuántas veces se cosechó durante el verano? Cómo puedes saberlo con sólo mirar la gráfica? b. Antes de qué cosecha tuvo el pajar su mayor altura? c. Describe la variación de la altura del pajar después de la tercera cosecha. Por qué crees que la altura cambió así? Esta gráfica muestra el humor de Jahmal un sábado. a. Cuáles variables muestra esta gráfica? Alegría 6. Fin del verano b. Escribe un cuento A.M. P.M. breve sobre lo que Hora del dia puede haber sucedido ese sábado. Tu narración debe tomar en cuenta todos sus cambios de humor. 294 C A P Í T U L O 5 El estudio de las gráficas
20 7. La familia De Marte salió de picnic el fin de semana pasado. Esta gráfica muestra la distancia a la que se encontraban de casa en varios momentos del día: Distancia de la casa Hora Hannah y Rosita contaron su propia historia sobre la gráfica. Qué historia corresponde mejor a la gráfica? Cuál es el problema con la otra historia? Hannah: La familia subió por una alta montaña. Luego, permanecieron varias horas en una región llana, para después bajar de la montaña por un camino menos inclinado que el primero. Rosita: La familia llegó bastante rápido al lugar del picnic. Luego permanecieron en él la mayor parte del día, para regresar a casa más lentamente. Datos de interés El 14 de diciembre de 1924 en Fairfield, Montana, la temperatura descendió de 63 F al mediodía a 21 F a la medianoche. Esta caída de 84 grados es la variación térmica más grande que se conozca en Estados Unidos. 8. Ciencia Como parte de su proyecto de ciencia, se suponía que Conor anotase la temperatura cada hora de un sábado entre las 6 A.M. y la medianoche. Al mediodía estaba almorzando y se olvidó completamente de ello. A las 8:00 P.M. se puso a ver su programa televisivo favorito y se volvió a olvidar. Anotó los datos obtenidos en una gráfica y unió los puntos. Temperatura ( F) A.M. Tiempo medianoche a. Por qué tiene sentido unir puntos en esta situación? b. Describe la tendencia o patrón general de la variación de la temperatura en el lapso de tiempo que muestra la gráfica. c. Estima la temperatura al mediodía y a las 8:00 P.M. LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 295
21 Conecta& amplía 9. Estudios sociales Esta gráfica muestra el porcentaje de chicos estadounidenses en los grados 10 al 12 que no terminaron la secundaria en los años pares entre 1982 y El punto A muestra que en 1986 cerca del 4.7% de los chicos no terminaron la secundaria. Porcentaje Tasas de deserción de la secundaria en EE.UU., Fuente: National Center for Education Statistics A Año a. En qué año se produjo la mayor deserción escolar? En cuál la menor? b. Cuándo fue la primera vez que el porcentaje de deserción fue menor que 5%? c. Cerca de qué porcentaje de alumnos abandonó la secundaria en 2000? Cerca de qué porcentaje permaneció en la secundaria en 2000? d. Si el número de alumnos de secundaria de EE.UU. era de unos 13,000,000 en 2000, cerca de cuántos de ellos abandonaron la secundaria dicho año? 10. En el Ejercicio 3 del Serie de problemas B, usaste la siguientes gráficas para comparar dos carros: 00 Valor A B Velocidad máxima A B Año Tamaño 296 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
22 Esta gráfica da más información sobre los carros: Millas por galón A B Capacidad (personas) a. Verdadero o falso? El carro de mayor capacidad tiene un rendimiento de combustible menor. b. Copia estos ejes. Marca y rotula el carro A y el carro B. Año Tamaño Velocidad máxima Millas por galón 11. Para cada gráfica, completa las Partes a y b. a. Copia la gráfica e inventa una variable para cada eje. b. Describe lo que la gráfica te informa sobre las cosas representadas por los puntos y, luego, trata de establecer qué podrían representar los puntos. Gráfica I Gráfica II M N N M LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 297
23 propias En t us palabras Haz una gráfica que muestre la variación de algo y escribe una historia que acompañe tu gráfica. 12. Elena cree que su maestro de matemáticas, el Sr. Malone, da mucha tarea. Para probarlo, preguntó a un grupo de alumnos sobre el tiempo semanal que dedicaban a dichas tareas y el que pasaban haciendo las de otras materias. Marcó en verde los puntos correspondientes a los alumnos del Sr. Malone y en azul los correspondientes a los alumnos de otros maestros de matemática. Tiempo dedicado a tareas de matemática Tiempo dedicado a tareas de otras materias a. Examina el patrón general de los puntos de la gráfica. En general, cuál es la relación entre estos dos lapsos de tiempo? b. En general, en qué difieren los puntos de los alumnos del Sr. Malone de los otros? c. Escribe razones que Elena podría usar para tratar de convencer al Sr. Malone de que asigne menos tareas. 13. En un experimento, se midieron las estaturas de 192 madres y de sus hijas adultas. Basándote en esta gráfica, parece haber una relación entre la estatura de una madre y la de su hija? Justifica tu respuesta. Estatura de la hija (pulgadas) A B Estatura de la madre (pulgadas) 298 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
24 14. Ciencia Esta gráfica se hizo para mostrar la variación de la cantidad de aire en un globo a medida que se infla y desinfla. Qué hay de erróneo en esta gráfica? Aire en el globo Tiempo Repaso mixto 15. Un bombero caminó del carro de bomberos al segundo piso de la estación de bomberos. Minutos más tarde, al sonar la alarma, el bombero se deslizó por el poste y corrió hacia el carro de bomberos. Dibuja una gráfica que muestre la distancia entre el bombero y el suelo, desde el momento en que se bajó del carro de bomberos hasta el momento en que regresó a él. Convierte cada fracción o decimal en porcentaje Convierte cada fracción en decimal Siempre que Hannah da una fiesta, hace su famosa salsa. Para calcular la cantidad que debe hacer, ella usa esta regla: Háganse 2 3 de taza por persona más una adicional, por si acaso. a. El año pasado había 6 personas en la fiesta de cumpleaños en las que las invitadas se quedarían a dormir. Cuánta salsa hizo? b. Este año Hannah va a dar una fiesta de piscina y espera 20 invitados. Cuánta salsa debería preparar? c. Reto En una fiesta de vacaciones, Hannah hizo tazas de salsa. Cuanta gente había en la fiesta? LECCIÓN 5.1 Interpreta gráficas 299
25 Traza y titula gráficas Datos de interés Cuando un niño argentino está de cumpleaños, es costumbre tirarle el lóbulo de una de sus orejas tantas veces como años cumpla. En Israel, los adultos alzan y bajan al niño sentado en una silla tantas veces como años cumpla, más una, para la buena suerte. Ya has tenido bastante práctica describiendo la información que muestran las gráficas. En esta investigación, practicarás la construcción de tus propias gráficas. Explora Althea y Miguel querían hacer una gráfica de la relación entre el nivel sonoro de una fiesta típica de cumpleaños y el tiempo. Ésta es la gráfica que dibujaron: Nivel de ruido Tiempo Althea dijo que la gráfica no estaba del todo bien, ya que no hay, en general, mucho silencio al comienzo de una fiesta. Miguel dijo que la mayoría de la gente llega a tiempo a la fiesta y que, por lo tanto, el nivel de ruido debería aumentar más abruptamente. Se dieron cuenta también que nunca habría silencio total en la fiesta. Trazaron entonces esta otra gráfica: Nivel de ruido Comienzo de la fiesta Tiempo Fin de la fiesta Piensa en las fiestas de cumpleaños a las que has asistido. Qué cambiarías para mejorar la gráfica de Althea y Miguel? Otro par de variables que podrían ser útiles para describir lo que pasa en una fiesta de cumpleaños es la cantidad de comida y el tiempo. Traza una gráfica que muestre una relación posible entre estas variables. Explica lo que muestra tu gráfica. 300 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
26 Investigación 1 Traza tus propias gráficas En esta investigación, vas a trazar gráficas que correspondan a diversas situaciones. Serie de problemas A Datos de interés Los veranos en Barrow, Alaska, el Sol no se oculta por más de 80 días consecutivos. En el invierno, la ciudad experimenta unos 64 días de oscuridad. En cada problema, traza tu propia gráfica y luego haz comparaciones y comentarios sobre ellas con tu compañero. Luego, trabajen juntos para obtener una versión final de la gráfica, asegurándose de titular los ejes. 1. En una prueba de atletismo, el equipo local ganó una carrera de relevos y el público bramó de entusiasmo. Haz una gráfica de la variación del nivel sonoro antes del triunfo y unos minutos después de éste. 2. Un niño sube a un tobogán, se sienta y empieza a deslizarse, ganando velocidad conforme desciende. Al llegar al suelo, se levanta rápidamente, corre alrededor de la escalera y vuelve a subir. Haz una gráfica de la relación entre la distancia del niño al suelo y el tiempo. 3. En el Computer Cafe, los clientes pagan un precio fijo, más cierta cantidad por minuto, por el uso de una computadora. Haz una gráfica de la relación entre lo que se le cobra a un cliente y el tiempo que él o ella pasa en la computadora. 4. Smallville es un pueblo rodeado de granjas. El número de habitantes de Smallville cambia mucho durante un día típico del año escolar. Durante el día, muchos niños acuden a la escuela del pueblo y los adultos van de compras o de negocios. En la noche, mucha gente viene al pueblo a cenar o asiste a acontecimientos sociales. Haz una gráfica de la relación entre el número de personas en el pueblo y la hora de un día típico del año escolar. 5. Haz una gráfica de la relación entre las horas de luz natural y la época del año. Supón que el eje rotulado Tiempo comienza en enero y termina en diciembre. 6. Haz una gráfica que muestre aproximadamente la variación de la temperatura exterior durante los tres últimos días. Comparte & resume Escribe una descripción de algo que cambie con el tiempo. Luego, dibuja tres gráficas, una que corresponda a tu descripción y dos que no correspondan. Pide a tu compañero si puede descubrir la gráfica correcta. LECCIÓN 5.2 Traza y titula gráficas 301
27 Investigación 2 Marca puntos Al hacer las gráficas de la investigación anterior, tuviste que pensar sobre la forma general de la gráfica y no sobre valores exactos. Para trazar una que muestre valores exactos, necesitas marcar puntos. Esta gráfica muestra una isla a poca distancia de la costa de un continente. El punto S corresponde a una ciudad importante de la costa. La distancia entre rectas del cuadriculado representa una milla. Norte A P L S Este V O C A B U L A R I O coordenadas par ordenado El punto A corresponde a un balneario ubicado 5 millas al este y 3 millas al norte del punto S. Los valores 5 y 3 son las coordenadas del punto A, las que pueden darse como el par ordenado (5, 3), donde 5 es la coordenada horizontal y 3 es la coordenada vertical. Como ya debes haber adivinado, el orden de los números de un par ordenado es importante: el primero es siempre la coordenada horizontal y el otro es siempre la vertical. 302 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
28 MATERIALES copia del mapa Datos de interés El sistema de identificación de puntos por pares ordenados se llama sistema de coordenadas cartesiano y fue inventado por René Descartes a comienzos del siglo XVI. Se dice que a Descartes se le ocurrió la idea mientras miraba una mosca en el cielo raso. Se dio cuenta que podía describir la posición del insecto si conocía su distancia a dos paredes contiguas (los ejes). Serie de problemas B 1. En una copia del mapa, marca el punto situado 3 millas al este y 5 millas al norte del punto S y llámalo B. Está éste en el agua o en la isla? Está el punto B en el mismo lugar donde está el punto A? 2. Marca el punto ubicado 7 millas al este y 5 millas al norte de S y llámalo C. Luego marca el punto situado 5 millas al este y 7 millas al norte de S y llámalo D. Indican C y D el mismo lugar? Da las coordenadas de C y de D. 3. Qué punto está en el agua, (2, 7) o (7, 2)? Marca el punto en el mapa y llámalo E. 4. Unos urbanizadores desean construir otro balneario en la isla. Cuál sería el mejor lugar, (6, 11) u (11, 6)? Por qué? 5. Da los pares ordenados de dos puntos en la isla que estén exactamente a 2 millas de A. 6. Las coordenadas no son siempre números enteros. Por ejemplo, el punto L, el faro de la isla, corresponde al par ordenado (9.5, 3). El punto P corresponde a una piscina. Cual es el par ordenado de P? A qué distancia se encuentra el faro de la piscina? 7. Da el par ordenado del punto equidistante de L y P. 8. Da el par ordenado del punto equidistante de A y P. 9. Enumera tres puntos en la isla cuya primera coordenada sea mayor que Enumera tres puntos en la isla cuya segunda coordenada sea igual a Enumera tres puntos en la isla cuya segunda coordenada sea menor que 4. En la siguiente Serie de problemas, vas a usar lo que ya sabes de marcar puntos para hacer una gráfica. LECCIÓN 5.2 Traza y titula gráficas 303
29 MATERIALES copia del cuadriculado Serie de problemas C Rosita quiere usar parte del dinero que gana en su reparto de periódicos para auspiciar a un niño del tercer mundo. Los auspiciadores donan dinero cada mes para contribuir a sufragar el costo de alimento, ropa y educación de un niño necesitado. Rosita se enteró que el auspiciar a un niño cuesta $48 al mes. Esto es más de lo que puede pagar, así que desea pedirles a algunos de sus amigos que compartan el costo. 1. Si dos personas se dividen el pago mensual del auspicio, cuánto pagará cada persona? Si tres se lo dividen, cuánto pagará cada una? 2. Copia y completa la tabla, si el número dado de personas se dividen el costo. Número de personas Costo por persona ($) En una copia del cuadriculado siguiente, marca y rotula los puntos de tu tabla de valores. Por ejemplo, en la primera entrada marca el punto (1, 48). Ya se han marcado dos puntos. Costo del patrocinio 48 (1, 48) Costo por persona (dólares) (16, 3) Número de personas 304 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
30 4. Describe el patrón general de los puntos de la gráfica. 5. Luke quiere unir los puntos de la gráfica con segmentos de recta. Marcus dijo: Eso no tendría sentido. Cómo pueden personas compartir el costo? Qué opinas? 6. Conforme aumenta el número de personas, disminuye la cantidad que paga cada una. a. Si siguieses marcando puntos para un número creciente de personas, cuál sería el aspecto de la gráfica? b. Podría haber tanta gente que nadie pagara nada? Explica. MATERIALES papel cuadriculado Comparte & resume 1. Da el par ordenado del punto equidistante de (2, 7) y (2, 3), marca los tres puntos y rotúlalos, junto con sus pares ordenados. 2. Da los pares ordenados de dos puntos más en la misma recta vertical. Márcalos y rotúlalos. 3. Da los pares ordenados de dos puntos que, junto con (2, 7) y (2, 3), son los vértices de un rectángulo. 4. Es tu respuesta a la Pregunta 3 la única posible? Explica. LECCÍON 5.2 Traza y titula gráficas 305
31 Investigación 3 Selecciona escalas Datos de interés El 15 de enero de 1919 en Boston, Massachusetts, se rompió un depósito de melaza, liberando 2.3 millones de toneladas de la pegajosa sustancia. El muro gigante de melaza alcanzó velocidades de 35 mph, matando a 21 personas e hiriendo a 150. Al hacer la gráfica de la relación entre el número de auspiciadores y la cantidad que cada uno debe pagar, se te dieron los ejes marcados con valores de escala. Al hacer una gráfica, a menudo, debes escoger las escalas tú mismo. & Piensa comenta Conor y Jing hornean galletas de jengibre para la venta de pasteles de la escuela. Necesitan media taza de melaza para cada tanda de galletas. Haz un dibujo a grandes rasgos de la relación entre el número de tandas y el número de tazas de melaza. La gráfica no necesita mostrar puntos precisos. Conor y Jing hicieron una tabla para mostrar la melaza requerida para números distintos de tandas. Tandas Melaza (tazas) Cada uno decidió graficar estos datos. Éstas son las gráficas: Gráfica de Conor Gráfica de Jing Melaza (tazas) Tandas Melaza (tazas) Tandas Comenta sobre cada gráfica. Crees que sean correctas? Si no, explica lo que está mal e indica cómo lo arreglarías. 306 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
32 Al trazar una gráfica, necesitas pensar en el valor mayor que quieres que aparezca en cada eje. Para los datos de las galletas, necesitas mostrar valores hasta 40 en el eje Tandas y hasta 20 en el eje Melaza (tazas). También necesitas considerar la escala usada en cada eje. La escala es el número de unidades a la que es igual cada intervalo del cuadriculado. Se requiere que elijas una escala que facilite la lectura de la gráfica, sin hacerla tan grande que no quepa en el papel. He aquí dos posibilidades para los datos de las galletas: Haz que cada intervalo equivalga a 4 tandas en el eje horizontal y a 2 tazas en el otro eje. Entonces los datos cabrán en un cuadriculado de 10 por 10. Melaza (tazas) Tandas Haz que cada intervalo equivalga a 2 tandas en el eje horizontal y a 2 tazas en el otro eje. Entonces los datos cabrán en un cuadriculado de 20 por 10. Melaza (tazas) Tandas LECCIÓN 5.2 Traza y titula gráficas 307
33 MATERIALES cuadriculado de 10 por 10 Datos de interés El pastel de cumpleaños con velitas, tal como lo conocemos hoy, es una tradición que empezó con los alemanes en la Edad Media, quienes la adaptaron de una antigua costumbre griega. Serie de problemas D Miguel quiere comprarle un regalo de cumpleaños a su hermana y tiene $10 para gastar en el regalo y en el papel para envolverlo. 1. Copia y completa esta tabla de las maneras en que Miguel puede dividir los $10 entre el precio del regalo y el del papel. Precio del regalo (dólares) Precio del papel (dólares) Supón que quieres graficar estos datos, con el precio del regalo en el eje horizontal y el costo del papel en el vertical. Cuál es el valor mayor que necesitas mostrar en cada eje? 3. Qué escala usarías en cada eje? Es decir, cuántos dólares harías que represente cada intervalo del cuadriculado? 4. Traza una gráfica de los datos y asegúrate de hacer lo siguiente: Titula los ejes con los nombres de las variables. Coloca escalas en los ejes. Marca un punto por cada par de valores de la tabla. 5. Describe el patrón de los puntos de tu gráfica. 6. En esta situación, cualquiera de las variables puede tener un valor que no es un número entero. Por ejemplo, Miguel podría gastar $6.50 en el regalo y $3.50 en el papel. Marca este punto en tu gráfica. Cumple este punto con el patrón de los otros? 7. Halla dos pares más de valores no enteros que satisfagan esta situación. Marca dichos puntos y verifica que cumplan con el patrón de los otros. 8. Puedes utilizar tu gráfica para hacer predicciones. a. Une los puntos con segmentos de recta. b. Escoge un punto que no sea ninguno de los que marcaste y usa sus coordenadas para estimar un par de valores del regalo y del papel. Luego verifica que los valores sumen $ CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
34 MATERIALES cuadriculados de 10 por 10 Al hacer las gráficas del problema siguiente, necesitarás elegir una escala que dé una buena idea del patrón general de los datos. Serie de problemas E En este problema, traza cada gráfica en un cuadriculado de 10 por Conor quiere dar una fiesta en una pizzería local. La fiesta costará $6 por persona. a. Completa la tabla del costo con diversos números de invitados. Invitados Costo ( dólares) 6 12 b. Conor quiere graficar estos datos en un cuadriculado de 10 por 10, con el número de invitados en el eje horizontal. Qué escala crees que debería usar en cada eje? c. Grafica los valores de la tabla usando una escala adecuada. d. Siguen algún patrón los puntos de la gráfica? Si es así, descríbelo. e. Utiliza la gráfica para estimar el costo con nueve invitados y verifica que tu estimación sea la correcta. f. Tendría sentido unir los puntos de esta gráfica? Explica. Datos de interés Los estadounidenses comen diariamente 100 acres de pizza. LECCIÓN 5.2 Traza y titula gráficas 309
35 2. El comité social necesita cintas para decorar. El material de las cintas cuesta 20 por yarda. a. Completa la tabla del costo de diversos largos de material. Largo (yardas) Costo (centavos) b. Supón que graficaste estos datos, con el largo en el eje horizontal y el costo en el otro eje. Qué sucedería si cada intervalo del eje vertical vale 1? c. Qué escala sería la adecuada en cada eje? d. Grafica los datos con el largo en el eje horizontal. e. Siguen algún patrón los puntos de la gráfica? Si es así, descríbelo. f. Tendría sentido alguno unir los puntos de esta gráfica? Explica. g. Utiliza la gráfica para estimar el costo de yardas. Verifica tu estimación multiplicando el número de yardas por el costo por yarda. h. Traza otra gráfica usando estos datos, pero ahora con el costo en el eje horizontal. i. Describe las semejanzas y diferencias de las gráficas. Comparte & resume 1. Al hacer una gráfica, cómo eliges la escala de cada eje? 2. Después de marcar los puntos de una tabla, cómo decides si los debes unir? 310 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
36 Ejercicios por tu cuenta Practica & aplica 1. Deportes Una halterófila toma una haltera y forcejea con ella por varios segundos. De repente la levanta un poco, para luego alzarla a ritmo constante hasta que está totalmente por encima de su cabeza. La mantiene ahí por algunos segundos, para luego dejarla caer. Dibuja una gráfica de la variación de la distancia entre la haltera y el suelo desde el momento cuando la halterófila la toma por primera vez, hasta un instante antes de dejarla caer. 2. Goin' Nuts vende frutos secos por libras. Traza una gráfica de la relación entre el precio de los anacardos y el número de libras compradas. 3. Para este ejercicio, usa un cuadriculado cuyos ejes estén marcados del 0 al 14. Marca los puntos siguientes leyendo de izquierda a derecha por las filas y uniéndolos con segmentos de recta a medida que los vayas marcando. Los segmentos de recta formarán una figura. (7, 3) (13, 3) (10, 1) (2, 1) (1, 2) (1, 3) (7, 3) (7, 12) (13, 4) (7, 4) (8, 5) (8, 10) (7, 12) (6, 10) (6, 5) (7, 4) (0, 4) (7, 12) (5, 13) (7, 13) (7, 12) 4. Geometría El área de un cuadrado es el producto de dos de sus lados. a. Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 1? De uno cuyo lado mide 2? b. Completa la tabla de las áreas de cuadrados con las longitudes de lado dadas. Longitud del lado Área 1 25 c. En una copia de los ejes de la derecha, marca y rotula los puntos de los valores de la tabla. Por ejemplo, para un cuadrado cuyo lado mide 5, marca el punto (5, 25). d. Describe el patrón general de los puntos de la gráfica. e. Tendría sentido unir los puntos de esta gráfica? Explica. Área Área del cuadrado (5, 25) Longitud del lado impactmath.com/self_check_quiz LECCIÓN 5.2 Traza y titula gráficas 311
37 5. Jahmal tiene sólo 30 minutos para terminar sus tareas, lo que incluye la práctica de violín y estudiar para una prueba de historia. a. Haz una tabla en que muestres por lo menos seis maneras en que Jahmal puede dividir el tiempo, entre estas dos actividades. b. Supón que deseas graficar los datos, con el tiempo de práctica de violín en el eje horizontal. Cuál es el mayor valor que necesitas mostrar en cada eje? c. Qué escala utilizarías en cada eje? d. Haz una gráfica de los datos, asegurándote de agregar títulos y escalas a los ejes. e. Describe el patrón general de los puntos de la gráfica. f. Une con segmentos de recta los puntos de tu gráfica. Luego, escoge un punto de la gráfica que no sea ninguno de los que marcaste y usa sus coordenadas para estimar un par de valores para la práctica de violín y para la preparación. 6. Economía El servicio de Internet Sparks cobra $5 mensuales, más $0.02 por cada minuto que un cliente está en línea. a. Completa esta tabla de los costos de diversos períodos de tiempo en línea. Tiempo (horas) Costo (dólares) b. Grafica los datos de la tabla en un cuadriculado de 10 por 10, con el tiempo en el eje horizontal, usando las escalas adecuadas. c. Cumplen con algún patrón los puntos de la gráfica? Si es así, descríbelo. d. Tiene sentido unir los puntos de esta gráfica? Explica. e. Usa la gráfica para estimar el costo de 8 horas y verifica que tu predicción esté correcta. 312 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
38 Conecta & amplía 7. Una familia va de camino a visitar a algunos parientes a unos cuantos cientos de millas de distancia. Comienzan manejando a una velocidad moderada por carreteras secundarias y luego, durante varias horas, por una carretera principal. Al llegar a la ciudad donde viven los parientes, el congestionado tránsito y los semáforos aminoran su marcha. a. Dibuja una gráfica desde el momento en que empezaron el viaje, con el tiempo en el eje horizontal y la velocidad en el otro eje. b. Dibuja una gráfica desde el momento que comenzaron el viaje, con el tiempo en el eje horizontal y la distancia recorrida en el otro eje. c. Dibuja una gráfica desde el momento que empezaron el viaje, con el tiempo en el eje horizontal y la distancia por recorrer en el otro eje. 8. Althea dijo: No aprendo mucho cuando mis tareas son demasiado fáciles. Pero tampoco aprendo mucho cuando son demasiado difíciles. Aprendo más cuando el grado de dificultad está entre demasiado fácil y demasiado difícil. Traza una gráfica de esta situación. 9. Puedes jugar a tres en raya en un cuadriculado como éste. En vez de escribir X y O en los cuadrados, escribe en ellos los puntos en que se intersecan las líneas del cuadriculado. Por ejemplo, podrías marcar (0, 0) o (2, 1) a. Como podrías saber, a partir de las coordenadas de sus pares ordenados, si tres puntos se hallan en la misma recta horizontal? b. Como podrías saber, a partir de las coordenadas de sus pares ordenados, si tres puntos se hallan en la misma recta vertical? c. Como podrías saber, a partir de las coordenadas de sus pares ordenados, si tres puntos se hallan en la misma recta diagonal? LECCIÓN 5.2 Traza y titula gráficas 313
39 propias En t us palabras Dibuja una gráfica de la variación de tu estatura desde que naciste. Usa toda la información posible y precisa que puedas recordar o que puedan recordar o tener los miembros de tu familia. Extiende tu gráfica para mostrar una predicción de tu estatura máxima de adulto y la edad en la que la alcanzarás. Escribe una explicación de lo que muestra la gráfica sobre tu crecimiento. 10. En el Capítulo 1, estudiaste este patrón de mondadientes: Término 1 Término 2 Término 3 Término 4 a. Supón que este patrón continúa indefinidamente. Completa la tabla del número de mondadientes en los seis primeros términos. Término Mondadientes 4 13 b. Haz una gráfica con el índice del término en el eje horizontal y el número de mondadientes en el otro eje. Haz que el eje horizontal vaya de 0 a 10 y que el otro vaya de 0 a 30. c. Describe el patrón de los puntos de la gráfica. d. Usa el patrón de la gráfica para predecir el número de mondadientes en los términos séptimo y octavo. Verifica tus respuestas dibujando dichos términos. e. Tendría sentido unir los puntos de la gráfica? Explica. 11. Considera esta tabla de entrada/salida: Entrada Salida a. Describe la regla que relaciona las entradas con las salidas. b. Grafica los valores de la tabla, con el eje Entrada entre 0 y 8 y el eje "Salida" entre 0 y 24. c. Utiliza la gráfica para estimar las salidas de las entradas 3, 6 y 8. Usa la regla para comprobar tus predicciones. 314 CAPÍTULO 5 El estudio de las gráficas
40 12. He aquí las siete primeras filas del triángulo de Pascal: a. Completa una tabla que muestre la suma de los números de cada fila. Fila Suma 1 Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila 6 Repaso mixto b. Haz una gráfica de estos valores, con el número en el eje horizontal y la suma en el otro eje. c. Describe el patrón de los puntos de la gráfica. Reemplaza cada por, o para obtener un enunciado verdadero Economía Marcus compró una guitarra usada por $70, más 6% de impuesto sobre las ventas. Cuánto pagó en total? 23. Economía La Srta. Donahoe compró una computadora en $1,300 hace seis meses. Desde entonces, el precio de la computadora ha bajado un 27%. Cuánto cuesta ahora la computadora? 24. Geometría La prueba de matemática de Rosita incluía el trazado de un triángulo con lados marcados 8 cm, 3 cm y 4 cm. Rosita se dio cuenta inmediatamente que el maestro se había equivocado. Cómo crees que lo supo? LECCIÓN 5.2 Traza y titula gráficas 315
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