Mogens Bladt 14/04/2010

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3 Problemas básicos en finanzas y actuaría Opciones, derivados, cobertura y manejo de riesgo Cálculo de primas, riesgos y de solvencia. Relación entre los dos enfoques diferentes: unit link, manera de calcular precios de derivados. Ejemplo US Steel: US Steel Jan 2, 2008 May 19, 2008 Oct 2, 2008 Feb 19, 2009 Jul 7, 2009 Nov 18, 2009 Apr 8,

4 US Steel Supongamos que la gráfica anterior muestra el desarrollo del precio en acero. Para una constructora es importante poder calcular el precio de acero con cierta precisión. Para la empresa que vende acero igualmente es importante poder cubrirse en periodos con bajas demandas. Solución: derivados El más simple: el futuro. Un acuerdo entre dos partes del precio final a cierto tiempo. Futuros ya están comercializados en bolsas. Más sofisticado: opciones de compra o venta. Todavía más sofisticado: derivados exóticos.

5 Unas definiciones... Si S t es el precio de una acción o comodidad (como el acero) a tiempo t y g es una función, entonces g(s t ) es un derivado. Opción de compra (call option): g(x) = máx(0, S T K). Opción de venta (put option) : g(x) = máx(0, K S T ). En palabras: La opción de compra le da al poseedor el derecho pero no la obligación de comprar el subyacente (acción o comodidad) el precio establecido K. Si la opción es tipo europeo, entonces solamente se puede comprarse a tiempo T. Si la opción es americana, entonces se puede comprar en cualquier momento antes que tiempo T. Similar para opción de venta, cambiando la palabra comprar por vender,

6 logía Martingalas, cálculo estocástico. Movimiento Browniano: {W t } t 0, W 0 = 0, t W t es continuo y W t tiene incrementos independientes con W t W s N(0, t s) para s < t.

7 Cálculo estocástico Usaremos la regla básica que (dt) 2 = 0. dw t = W t+dt W t N(0, dt) = E((dW t ) 2 ) = E(W t+dt W t ) 2 = dt var((dw t ) 2 ) = E((dW ) 4 ) E((dW ) 2 ) 2 = 0 dt 2 = 0. Entonces (dw t ) 2 = dt. Similarmente, dw t dt = 0. Si aplicamos expansión de Taylor a f (W t ) entonces df (W t ) = f (W t+dt ) f (W t ) = f (W t )(W t+dt W t ) f (W t )(W t+dt W t ) = f (W t )dw t f (W t )(dw t ) = f (W t )dw t f (W t )dt

8 Cálculo estocástico Para el cáso de f (t, W t ) se hace una expansión de Taylor en dos variables para obtener. df (t, W t ) = f t (t, W t)dt + f W (t, W t)dw t Esta fórmula se usa extensivamente en finanzas. Utilizando la formula se demuestra que si S t = S 0 exp ((µ 12 ) σ2 )t + σw t entonces ds t = µs t dt + σs t dw t. Este es el famoso modelo de, 2 f W 2 (t, W t)dt

9 Formula de Samuelson Si tenemos reclamaciones a una aseguradora Y 1, Y 2,... que son i.i.d. con media µ, entonces la ley de los números grandes nos dice que 1 N N Y i µ i=1 cuando N. Entonces µ = E(Y 1 ) es una prima justa donde a largo plazo ni el asegurado ni la compañía perderá. Aquí no esta tomado en cuenta la devaluación del dinero con el tiempo (tasa de interés). Considera una acción S t, tasa de interés libre de riesgo r (cuenta bancaria) y derivado g tipo europeo con fecha de expiración T. En el precio de una acción está incluido su rendimiento esperado y su riesgo.

10 Formula de Samuelson La acción vale S T a tiempo T. El rendimiento esperado de S T es de E(S T )/S 0. Normalizamos S T para el día de hoy con S T S 0 /E(S T ). Este es el valor presente riesgoso (es aleatorio). El ejercicio del derivado (por ejemplo la compra en caso de una opción de compra) se lleva a cabo a tiempo T. Movemos la cantidad S T S 0 /E(S T ) a tiempo T por e rt S T S 0 /E(S T ). Ejercemos, g ( e rt S T S 0 /E(S T ) ). El valor presente del ejercicio es de e rt g ( e rt S T S 0 /E(S T ) ). Entonces una prima justa para el derivado g es de [ ( )] p g = e rt E g e rt S T S 0 E(S T )

11 Formula de Para el modelo de tenemos donde W T N(0, T ). La media es E(S T ) = S 0 e (µ 1 2 σ2 )T S T = S 0 e (µ 1 2 σ2 )T +σw T = S 0 e (µ 1 2 σ2 )T = S 0 e (µ 1 2 σ2 )T = S 0 e µt. e σx 1 2πT e x2 /2T dx e x2 /2T +(2T σx)/2t dx e (x σt )2 /2T e (σt )2 /2T dx

12 Formula de Entonces [ ( )] p g = e rt E g e rt S T S 0 E(S T ) [ ( )] = e rt E g e rt S 0 exp((µ 1 2 S σ2 )T + σw T ) 0 S 0 exp(µt ) [ )] = e rt E g (S 0 e (r 1 2 σ2 )T +σw T Este es la famosa formula de para un derivado g general. Nota que p g es simplemente el valor esperado y descontado de S T donde se reemplaza µ con r. Técnicamente este involucra un cambio de medida para establecer un ambiente neutral de riesgo.

13 La formula de Samuelson es más versatil que la de Black & ya que permita usar distribuciones distintas a la log normal. El precio del derivado europeo solamente depende de la distribución de S T y no importa la dinámica de S t. El modelo de es muy simple: si tenemos precios diarios de S 1, S 2,... etc, entonces log(s 2 /S 1 ), log(s 3 /S 2 ),... son i.i.d. y normales! La formula de Samuelson permite tener log rendimientos que no son independientes (de lo cual raramente son!). Cuidado con el uso de Samuelson con aspectos de arbitraje.

14 Uso de finanzas en actuaría Hay primas en seguros que mejor se calculan a través de métodos financieros. Considera el caso de un seguro vida donde se puede retirar dividendos cuando uno lo quiere. El precio de este tipo de producto básicamente se puede considerar como una opción americana. Este tipo de productos se conoce como unit link ya que sus dividendos están ligados con rendimientos de ciertas portafolios de inversión, sin embargo, un rendimiento mínimo está garantizado.

15 Área de finanzas... Y al final, para los interesados...existe ya el área de finanzas matemáticas dentro del posgrado de ciencias matemáticas de la UNAM. Más información sobre el nuevo área: Muchas gracias por su atención!