MATEMÁTICA DISCRETA. Tema GRAFOS. Introducción

Transcripción

1 MATEMÁTICA DISCRETA Tem GRAFOS Introduión 1

2 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN A LOS GRAFOS. Euler y los puentes de Köniserg. Definiiones y terminologí. Grfo, multigrfo, pseudogrfo, grfo dirigido y on peso, et. Fmilis prtiulres de grfos. Sugrfos. Grdo de un vértie. Teorem de Euler. Isomorfismo de grfos. 2. CONECTIVIDAD. Reorridos y minos. Ároles. Grfos onexos. Ároles reuridores. Grfos eulerinos. Grfos hmiltoninos. 2

3 3. GRAFOS PONDERADOS. Ároles reuridores mínimos. Algoritmo de Kruskl. Cminos mínimos. Centro y medin. Algoritmo de Dijkstr. 4. DIGRAFOS ACÍCLICOS. (RELACIONES BINARIAS) Preorden. Cierres. Digrms de Hsse. Orden topológio. Plnifiión de tres. 3

4 BIBLIOGRAFÍA [1] MATEMÁTICA DISCRETA, (2ª ediión), "Nots de l signtur" editds por el Serviio de Puliiones de l E.U. de Informáti. [2] GRIMALDI, R.P.: Mtemáti Disret y Comintori. Addison Wesley, [4] ROSEN, K.H.: Mtemáti Disret y sus pliiones. MGrw-Hill, [1-Complementri] BRADLEY, J.: Introdution to Disrete Mthemtis. Addison Wesley,

5 Introduión los grfos. Euler y los puentes de Köniserg. Formulión del prolem. Modelizión. Generlizión. Utilidd de los grfos. Modelizión y resoluión de prolems. Representión de l informión. Estrutur de dtos. Apliión de los grfos. Mtemátis. Informáti. Otrs ienis: geogrfí, iologí, eologí, eonomí, et. Otrs rtes: músi, lingüísti, litertur, et. 5

6 Reliones del tem on otrs signturs Con l myorí de ls de mtemátis Mtemáti Disret. Ároles estruturles, tleux, ároles de dependeni. Lógi. Con stntes de informáti Estruturs de Dtos I y II. Algorítmi. Ingenierí del Softwre. Inteligeni Artifiil. 6

7 Euler ( ) y los puentes de Köniserg Köniserg Río Pregel Río Pregel Köniserg Modelizión: Con un estrutur disret, finit: un grfo. 7

8 Generlizión: Iniio de l teorí de grfos GRAFO: Conjunto de vérties y rists. Reorrido eulerino. TEOREMA (de Euler): Ddo un grfo onexo es eulerino si y solo si todos los vérties tienen grdo pr. El prolem de los puentes de Köniserg no tení soluión. Iniio de l teorí de grfos (1736) En muhos prolems de prieni dispr, suye est mism estrutur disret. Ojetivo: Aprender modelizr on grfos. Resolver prolems on grfos. 8

9 Definiiones y terminologí. Definiión Intuitiv de grfo: Un grfo es un onjunto de puntos, vérties o nodos, unidos por línes, rists. No hy restriiones pr formr un grfo: Puede her vris rists entre dos vérties. El vértie de prtid y el de llegd puede ser el mismo. Ls rists pueden o no llevr flehs. 9

10 Definiión: Grfo Simple o Grfo Simple No Dirigido. Un grfo (o grfo simple o grfo simple no dirigido) es un pr G = (V,A) donde V es un onjunto finito no vío y A es un onjunto de pres NO ordendos {u,v} de elementos distintos de V. Los elementos de V se denominn vérties. Los elementos de A se denominn rists. Notión: {u,v} se esrie uv o ien vu, o ien u dy v. Si uv es un rist, uv A, se die que: Los vérties u y v son ADYACENTES, en l rist uv. u y v son INCIDENTES on l rist uv. u y v son los EXTREMOS de uv. L rist uv es INCIDENTE on los vérties u y v. Dos rists son ADYACENTES si tienen un extremo omún. 10

11 Ejemplos de grfos g f f e d G H e d Not: ni dos o más rists entre un mismo pr de vérties. en un grfo simple NO hy rists orientds, ni ules, Si sí se permiten rists múltiples. Si demás se permiten ules. Multigrfo Pseudogrfo 11

12 Definiión: Grfo (Simple) Dirigido. Un grfo dirigido (o grfo simple dirigido) es un pr G = (V,A) donde V es un onjunto finito no vío y A es un onjunto de pres ordendos de vérties distintos de V, tl que si el pr (u,v) A entones (u,v) A. Si (u,v) A es un rist dirigid, diremos que u y v son sus vérties iniil y finl. Ejemplos: d d 12

13 Multigrfos dirigidos: e d d Pseudogrfos dirigidos: d d 13

14 Definiión: Digrfo. Un digrfo es un pseudogrfo dirigido donde se permite lo sumo un ule por vértie y dos rists entre dos vérties distintos on l ondiión de que tengn orientiones opuests. Con est definiión d digrfo G = (V, A) se orresponde on un úni relión inri A en V y reípromente. Ejemplo: V={,,, d } y onsideremos l relión inri R en V: R={ (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,d), (d,), (d,), (d,d) } entones el digrfo G soido tiene V omo onjunto de vérties y ls rists dirigids son los pres de R: G = (V, R) 14