Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3: Aplicaciones Tema 3.4 Grafos

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Ana María Correa Torregrosa
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1 Cálculo científico y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 3: Aplicaciones Tema 3.4 Grafos Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Catalunya Dep. Matemática Aplicada III Abril 2008, versión Introducción Un grafo dirigido es un conjunto de nodos P 1,P 2,...,P n, conectados por flechas. Las flechas indican cuando es posible pasar de un nodo a otro. El orden del grafo es el número de nodos. Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa un grafo de orden 4. A la vista del diagrama, está claro que es posible pasar de P 1 a P 2, en cambio, no es posible pasar del nodo P 1 al nodo P 3. Desde,podemos pasar al nodo P 3 o permanecer en el nodo. 1.1 Representación matricial Existe una representación matricial de los grafos que nos permite estudiar las posibles transiciones entre los nodos. La matriz de transición de un grafo de orden n es una matriz cuadrada de orden n, donde: Las columnas están asociadas a los nodos de salida. 1

2 Las filas están asociadas a los nodos de llegada. Si el grafo permite la transición P j P i, ponemos el elemento m ij =1. Si el grafo no permite la transición P j P i, ponemos m ij =0. La notación anterior puede ser un poco incómoda porque realizamos un intercambio del orden de los subíndices. Esto puede evitarse si observamos que m ij =1cuando es posible alcanzar P i desde P j. Así, el elemento m 34 =1 indica que es posible alcanzar el nodo P 3 desde. Para el grafo obtenemos siguiente matriz de transición M La primera columna contiene un único uno m 21 =1, que indica que desde P 1 solo podemos pasar al nodo P 2. La columna 4 tiene dos unos m 34 =1, m 44 =1, que indican que desde el podemos pasar a P 3 o permanecer en. Actividad 1.1 Determina la matriz de transición del siguiente grafo 2

3 1.2 Transición en dos etapas Una vez definido un grafo, podemos plantearnos qué transiciones son posibles en exactamente dos etapas. Esto es, situados en el nodo j, a qué nodos podemos acceder en exactamente dos etapas? Queda así definido un nuevo grafo, que denominamos grafo de transición en dos etapas. A partir del grafo obtenemos el siguiente grafo de transición en dos etapas. En el grafo de transición en dos etapas vemos que podemos pasar desde P 1 a, realizando el camino P 1 P 2. Desde P 3 podemos pasar a realizando el camino P 3 P 2. La propiedad notable es que podemos obtener la matriz de transición del grafo en dos etapas elevando al cuadrado la matriz de transición en una etapa. Si representamos por M (2) la matriz de transición en 2 etapas, resulta En nuestro ejemplo, obtenemos M M (2) = M = Es inmediato observar que la matriz M 2 es la matriz de transición del grafo en dos etapas. 3

4 1.3 Transición en k etapas. De forma análoga, puede construirse el grafodetransiciónenexactamente k etapas, la matriz de transición verifica M (k) = M k. Esto es, podemos calcular la matriz de transición en exactamente k etapas M (k) mediante la k-ésima potencia de M. Nota. Al calcular las potencias de M puede aparecer elementos con valor mayor de 1. Un elemento m (k) ij =3indica que es posible llegar a P i desde P j en exactamente k etapas y que esto se pude hacer exactamente de 3 formas distintas.. Para la matriz M obtenemos la potencia 4 M (4) = M El elemento m (4) 42 =2indica que es posible ir alcanzar desde P 2 en exactamente 4 transiciones y que esto puede hacerse de exactamente 2 formas, si observamos el grafo inicial,. vemos que tales caminos son: (1) (2) (3) (4) P 2 P 3 P 2, (1) (2) (3) (4) P 2. Actividad 1.2 Determina los caminos correspondientes a los demás elementos de la matriz M (4). 4

5 2 Resolución con la calculadora El cálculo manual de las potencias de una matriz es una tarea realmente costosa. La calculadora permite calcular potencias enteras de matrices con la tecla [y x ]. Este recurso nos permite calcular fácilmente las matrices de transición de un grafo. Para el grafo Obtenemos la matriz de transición Guarda la matriz en la variable M. Para calcular M 2, cargalamatrizenel Nivel2yelentero 1 2enelNivel1 y pulsamos [y x ]. Se obtiene 1 Asegúrate que la calculadora está en modo exacto y que el exponente no tiene punto decimal. Si intentas usar el número decimal 2. como eponente puedes obtener un error. 5

6 De forma análoga, para calcular la matriz de transición en 4 etapas, carga M en la pila seguida del exponente entero 4 y pulsa [y x ] Actividad 2.1 Consideramos el siguiente grafo: Calcula las matrices de transición en 2, 3 y 4 etapas. Es posible alcanzar P 1 desde en exactamente 3 etapas? 6

7 3 Transición en k etapas o menos En el grafo de transición en k etapas o menos, elnodop j está conectado con el nodo P i si es posible alcanzar desde P i desde P j en exactamente 1, 2, 3,... ó k etapas. Es evidente que la matriz de transición en k etapas o menos M (k) puede obtenerse sumando las matrices de transición en exactamente 1, 2, 3,...k, etapas, es decir M (k) = M + M (2) + + M (k), y teniendo en cuenta que M (k) = M k, la matriz M (k) puede calcularse sumando las potencias de M Para el grafo M (k) = M + M M k. La matriz de transición en 3 etapas o menos es M (3) = El elemento m (3) 21 =1indica que se puede alcanzar P 2 desde P 1 en 3 etapas o menos de exactamente una manera. El único camino válido es P 1 P 2. El elemento m (3) 24 =2indica que se puede alcanzar P 2 desde en 3 etapas o menos de exactamente 2 maneras. Los caminos válidos son: P 3 P 2, P 3 P 2. 7

8 Actividad 3.1 Para el grafo, calcula la matriz de transición en 4 etapas o menos. 4 Soluciones a las actividades Actividad 1.1 M Actividad 1.2 La matriz de transición en 4 etapas es M (4) La fila 1 es nula. Esto indica que el nodo P 1 no puede alcanzarse en 4 pasos. De hecho el nodo P 1 solo puede alcanzarse como nodo inicial. La segunda fila está formada por unos. Por lo tanto, el nodo P 2 puede ser alcanzado partiendo desde cualquier nodo en 4 transiciones y eso puede hacerse exactamente de una manera. Los caminos son los siguientes P 1 3 P2 4 P2, P 2 3 P3 4 P2, P 3 3 P3 4 P2, P4 P4 P3 P2. Según la fila 3, podemos alcanzar en cuatro etapas el nodo P 3 desde P 1,P 2,P 3, de una forma. Los caminos son P 1 4 P3, 8

9 P 2 4 P3, P 3 4 P3. Partiendo desde, se puede alcanzar P 3 en cuatro etapas de 2 formas, los caminos son 4 P3, 1 P3 2 P2 4 P3. Finalmente, la fila 4 indica que es posible alcanzar el nodo desde cualquier nodo en 4 etapas. Desde P 1 y P 3 puede hacerse de una sola forma P 1 4 P4, P 3 4 P4. Hemos visto que desde P 2, puede alcanzarse de 2 formas P 2 4 P4, P 2 2 P3 3 P2 4 P4. Desde se puede alcanzar de 3 maneras. Actividad?? La matriz de transición es 4 P4, 2 P3 3 P2 4 P4, 1 P3 2 P2 4 P4. M Las matrices de transición en 2, 3 y 4 etapas son: M (2) ,M(3) ,M(4) Si observamos M (3), obtenemos m (3) 14 =1, por lo tanto, existe un camino de tres etapas que permite alcanzar el nodo P 1 desde. El camino es. 1 P3 2 P2 3 P1. 9.

10 Actividad 3.1 M (4) = M + M (2) + M (3) + M (4) M (4)

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