NOTACIÓN CAS EN PAPEL PARA LA CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE

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1 NOTACIÓN CAS EN PAPEL PARA LA CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE Félix, Ramón A. y Mata, Walter Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Universidad de Colima. Fecha recepción: 7 de Septiembre de 2014 Fecha aceptación: 17 de Noviembre de 2014 RESUMEN En este trabajo se propone una técnica de trabajo algebraico llamada notación CAS (Computer Algebra System) en papel. Se estudian los efectos del uso esta técnica en la construcción algebraica de una función a partir de un conjunto de ecuaciones, mediante un estudio comparativo con solo post-test en un grupo experimental y uno de control, ambos de primer semestre de ingeniería. El experimento es realizado cuando ambos grupos cursan la temática de cálculo diferencial. Al grupo experimental se le imparte el tema de construcción de funciones de una sola variable usando notación CAS en papel, mientras que al grupo de control se le imparte el mismo tema pero con notación convencional. A los estudiantes de ambos grupos se les solicita resolver un ejercicio de construcción de una función a partir de un conjunto de ecuaciones. Los resultados indican que los estudiantes que tuvieron contacto con la notación CAS en papel tuvieron mejor desempeño en la elección de las operaciones de manipulación algebraica. Palabras clave: Notación CAS, Construcción de una función, problemas de optimización. 109

2 ABSTRACT In this work a technique called algebraic notation CAS in paper is proposed. The effects of using this technique in the algebraically construction of a function from a set of equations are studied. A comparative study with only post -test in an experimental group and a control group, both of first semester engineering was performed. The experimental group was taught the subject construction of functions of a single variable using CAS notation on paper; the control group was taught the same subject but with conventional notation. Students in both groups were asked to solve an exercise in building a function from a set of equations. The results indicate that students who had contact with the notation CAS paper performed better in choosing algebraic manipulation operations. Keywords: CAS notation, Construction of a function, Optimization problems. 110

3 INTRODUCCIÓN Desde hace mucho tiempo han existido una gran cantidad de investigaciones educativas que se concentran en el aprendizaje del álgebra con papel y lápiz, los cuales son las herramientas tecnológicas más básicas. Por otra parte, otras investigaciones se han enfocado en el diseño de actividades para uso efectivo de las herramientas CAS (Computer Algebra System) en el aprendizaje del álgebra, pero sin tomar en cuenta la importancia de la interacción entre el álgebra en papel y la desarrollada con tecnología CAS. Son pocos los trabajos como Kieran y Drijvers (2006) y Hitt y Kieran (2009), los cuales se han enfocado a entender más profundamente los procesos de articulación entre las técnicas en papel y con herramientas CAS. En el caso del cálculo diferencial, los problemas de optimización clásica son interesantes aplicaciones de los temas relacionados con la primera y segunda derivada de funciones reales (Malaspina, 2007) (Ubuz & Ersoy, 1997). Sin embargo, estos problemas plantean importantes retos que nos son atendidos en un esquema tradicional de enseñanza del cálculo. Uno de esos retos es la necesidad de modelar el problema con una función elemental, es decir, una función representada con fórmula de una sola variable independiente y con un número finito de operaciones aritméticas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas (Marchisotto & Zakeri, 1994). A pesar de que tradicionalmente, los primeros ejemplos de funciones, en los cursos de cálculo, son funciones elementales, no se suele hacer énfasis en cómo, ni de dónde se obtuvieron dichas funciones. La investigación en matemática educativa se ha concentrado principalmente en el aprendizaje del concepto de función (Akkus, Hand & Seymour, 2008), pero en la revisión de literatura de esta investigación, no se encontró ningún estudio específico sobre las dificultades que sufren los estudiantes para construir algebraicamente una función elemental a partir de un conjunto de ecuaciones de varias variables. Dichas dificultades representan una importante barrera para el modelado de problemas de optimización enfocados al cálculo diferencial. 111

4 Para estudiar los efectos de la notación CAS en papel se realizó un estudio comparativo usando la técnica con grupo de control con solo post- test. El grupo de control estuvo formado por 21 estudiantes de ingeniería mecatrónica y el grupo experimental con 17 estudiantes de ingeniería electrónica. Al grupo experimental se le impartió el tema de notación CAS para realizar la construcción de la función, donde se produce un algoritmo descrito por medio un pseudocódigo con operaciones CAS. En este estudio, ambos grupos debieron resolver un ejercicio de construcción de una función elemental para comparar las respuestas de los estudiantes. Las respuestas ambos grupos fueron evaluadas con los mismos instrumentos: una rúbrica de desempeño algorítmico y otra de errores algorítmicos. Los resultados indican que los estudiantes que tuvieron contacto con la notación CAS en papel tuvieron mejor desempeño en la elección de las operaciones de manipulación algebraica. MARCO TEÓRICO 1. Notación CAS en papel En este trabajo se propone la notación CAS en papel, la cual puede verse como una versión en papel de la sintaxis CAS informal que describen Sangwina y Ramsden (2007) para sistemas CCA (Computer Aided Assessment). La notación CAS en papel combina las expresiones algebraicas escritas en forma tradicional con los comandos de una notación CAS, con el objetivo de hacer una transición más suave entre el uso de la notación tradicional del álgebra y la sintaxis estricta de un sistema CAS. La notación CAS en papel está inspirada en el sistema CAS de GeoGebra versión 4.2 (International GeoGebra Institute, 2012). La notación CAS en papel también pretende ser una herramienta mnemónica para los procesos de manipulación de expresiones algebraica. En esta investigación se estudian únicamentelos efectos de su uso en la construcción de una función. 112

5 2. Reglas de la notación CAS en papel A continuación se establecen las reglas para realizar actividades algebraicas con la notación CAS en papel: 1. Toda expresión algebraica se debe introducir en una sola línea. 2. Cada línea debe tener un identificador único al inicio de la misma, la sintaxis del identificador es #<número de línea>. Ejemplo: 3. La operación: Resuelve[<ecuación>,<variable>], representa una manipulación algebraica donde se debe calcular el valor o valores de la <variable>, que satisface la <ecuación>; el resultado de esta operación es una expresión y se debe colocar abajo de la línea, sin identificador, iniciando con una flecha. Ejemplo: 4. La operación: Sustituye[<expresion>,<ecuación>], significa que se debe sustituir la <ecuación>, en la <expresión >; el resultado de la operación se pondrá abajo de la línea iniciando con una flecha. Ejemplo: 113

6 5. Cuando las operaciones Sustituye[] y Resuelve[] sean no triviales y requieran varios pasos algebraicos, dichos pasos se desarrollarán a la derecha usando varias sublíneas y delimitadores para agruparlas. Las expresiones de las sublíneas no tendrán identificadores. Ejemplo: 6. En las operaciones Sustituye[] y Resuelve[] se pueden hacer referencias a otras expresiones usando sus identificadores de línea, es decir #<número de línea>; y cuando en la línea a la que se hace referencia exista una operación Resuelve[] o Sustituye[], se tomará en cuenta la expresión resultado de la operación. Ejemplo: 7. Si la operación no es trivial y requiere ser desarrollada a la derecha en varias sublíneas y en la primera sublínea se sustituirá la expresión completa o el resultado de la expresión a la que se hace referencia con #. 114

7 Por ejemplo. Se puede hacer referencia a una sublínea con la siguiente sintaxis: #<Número de línea>:<número de sublínea>, aunque no tengan un identificador explícito en la notación CAS. En el ejemplo anterior de notación CAS, en la sublínea #3:2 está la expresión 2h = 55 2b y en la sublínea #2:4 se encuentra la expresión h = 27.5 b. 2. Evaluación de la construcción de una función Aunque la investigación sobre el aprendizaje del álgebra (Filloy, Rojano & Puig, 2008) y las concepciones erróneas (Egodawatte, 2011) de los estudiantes está en una etapa muy madura, en la revisión de literatura, no se encuentra, al momento de escribir este artículo, material específico relacionado con las dificultades que se enfrentan los estudiantes al tratar de construir algebraicamente una función a partir de un conjunto de ecuaciones. Típicamente, en un problema de construcción de una función, el conjunto de ecuaciones está formada por M ecuaciones con n variables, representadas de manera general en notación CAS se representan como: 115

8 Donde, x1, x2,..., xn son las variables del problema; G1, G2,..., Gn y H1, H2,..., Hn elemental, para ello primero se elige la variable independiente y = xi y la variable independiente x = xj, con i j según las características del problema. Luego se manipulan algebraicamente dichas ecuaciones para obtener a una expresión. y = f (x) (4) La construcción de la función se puede ver como un proceso que tiene como entrada el conjunto de ecuaciones (1)-(3) y como salida la función de la ecuación (4). En este artículo se propone una taxonomía de errores algebraicos que permite cuantificar el desempeño de los estudiantes en la construcción de una función, independientemente si utilizan o no notación CAS en papel, definiéndose 3 clases de errores: Error de transformación: es una falla al aplicar un proceso válido para transformar una expresión algebraica en otra equivalente (Filloy, Rojano & Puig, 2008). Error algorítmico: ocurre cuando se elige realizar una manipulación algebraica, ya sea de resolución una ecuación o de sustitución de una variable en términos de otras, que no contribuye a la solución del problema. Error conceptual: el estudiante no tiene la menor idea de los que se debe hacer, así que deja en blanco el ejercicio o trata de adivinar la respuesta (Aguirre, 2013). 116

9 Es importante recalcar que se puede cometer un error algorítmico sin cometer errores de transformación y viceversa. En el caso de la construcción de funciones, también se considera un error conceptual cuando la respuesta no sigue una estrategia clara de despeje y sustitución de variables. METODOLOGÍA En este trabajo se emplea una técnica cuasi-experimental con un grupo de control solo post-test. El grupo experimental es un grupo de 17 estudiantes ingeniería electrónica y el grupo experimental un grupo de 22 estudiantes de ingeniería en mecatrónica; ambos pertenecientes a la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la U. de C. El mismo profesor impartió los temas de cálculo diferencial a los 2 grupos. En una sola sesión, al grupo experimental se le presentaron las reglas de la notación CAS como una alternativa para realizar el cálculo de la función objetivo de una sola variable usando los 3 ejemplos de problemas de optimización. Al grupo de control, por supuesto, no se le proporciona la notación CAS, se estudiaron los mismos ejemplos que en el grupo experimental, pero con un enfoque totalmente tradicional en la notación matemática. En un examen se les solicita los estudiantes que resuelvan un ejercicio con un situación típica en problemas de optimización, donde deben calcular una función de una sola variable a partir de 3 ecuaciones con igual número de variables. Dicho ejercicio se les proporciona a los estudiantes, tal cual se presenta a continuación. Ejercicio de prueba: Dadas las siguientes ecuaciones, donde a, b, c y z son variables, calcule la función z = f (a). 117

10 A los estudiantes de grupo de control se les dio la opción de resolver el problema usando o no la notación CAS en papel, pero todos los que intentaron resolverlo usaron notación CAS. 1. Diseño de las rúbricas Se diseñaron 2 rúbricas para evaluar las respuestas de los estudiantes; una rúbrica de desempeño algorítmico y una rúbrica de errores algorítmicos. La rúbrica de desempeño algorítmico con 4 operaciones CAS aceptables descritas en forma de pseudocódigo, las cuales son: #i, Resuelve[#1,b]. #j, Resuelve[#2,c]. #k, Sustituye[#3,#<i ó j >]. #7, Sustituye[#k,#<j ó i >]. Donde 3<i<7, 3<j<7, 4<k<7 y si el operando precedente de la operación de #k es #i, entonces el operando precedente de la operación #7 es #j, y viceversa. Se revisaron las respuestas escritas de los estudiantes al tratar de resolver el ejercicio de prueba. En la rúbrica de desempeño, se contabilizaron las equivalencias entre lo escrito y las operaciones CAS aceptables de la rúbrica. Los rubros de dicha rúbrica son los errores algorítmicos que cometieron los estudiantes, es decir las operación de sustitución y resolución que no son equivalentes a ninguna de las 4 operaciones CAS aceptables definidas en la rúbrica. RESULTADOS En este trabajo se analizaron 2 tipos de resultados estadísticos: globales considerando la totalidad de los estudiantes de cada grupo y relativos, que se refieren solo a los estudiantes que contestaron el ejercicio de prueba con al menos una operación CAS o su equivalente en notación convencional. Del 118

11 grupo experimental, 8 de 17 estudiantes (47 %) y 10 de 22 estudiantes (50 %) del grupo de control contestaron el ejercicio. En la Tabla I se muestran los promedios relativos y absolutos de las elecciones correctas de ambos grupos; Se usa EGE1...EGE8 para hacer referencia a las respuestas de los estudiantes del grupo experimental que contestaron el ejercicio de prueba y EGC1...EGC11 para referirse las respuestas de los estudiantes del grupo de control que contestaron el mismo ejercicio. Resulta claro que los promedios en los rubros de desempeño del grupo experimental son mayores que los del grupo de control. A pesar de que estos resultados parecen ser muy alentadores, en ninguno de los rublos el t-test permite confirmar que los resultados son estadísticamente significativos (Trochim, 2006). Tabla I: Comparación del desempeño entre los grupos. Grupo experimental Grupo de Control Promedio relativo Promedio absoluto Promedio relativo Promedio absoluto #i, Resuelve[#1,b]. 5/8= /17= /10=0.4 4/22=0.182 #j, Resuelve[#2,c]. 6/8=0.75 5/17= /10=0.5 4/22=0.227 #k, Sustituye[#3, #<i ó j>]. 6/8= /17= /10=0.3 3/22= /17= /10=0.4 4/22=0.182 #7, Sustituye[#k, #<j ó k>]. 5/8=0.75 En la Figura 1 se aprecia la respuesta de estudiante EGC9, se puede observar que comete 3 errores algorítmicos: elige despejar la variable incorrecta en ecuación (5), elige despejar la variable incorrecta en ecuación (6) y elige despejar una variable independiente en la ecuación (7). También comete un error de manipulación al omitir el signo menos en al tratar de despejar la variable a de la ecuación #3. 119

12 Figura 1: Respuesta del estudiante EGC9 del grupo de control, con 3 errores algorítmicos, pero sin errores de transformación. El estudiante del grupo de control EGE4 comete 2 errores de elección: #l, Resuelve[#1,a] y #p, Sustituye[#1,#k]. Vea Figura 2. Asimismo, comete 3 errores de transformación en las sublíneas #4:3, #5:3 y #5:4. Figura 2: Respuesta del estudiante EGC4 del grupo experimental, con 2 errores algorítmicos y 3 errores de transformación. Es interesante observar que el 100 % de los estudiantes del grupo de control, que intentaron resolver el ejercicio, realizaron al menos una operación de sustitución. Pero en el grupo de control solo el 50 % realizaron alguna operación de sustitución. Esto puede ser un indicador que el uso de la 120

13 notación CAS ayuda a los estudiantes a manipular una variable cuando está representada en términos de otras variables (Filloy et al., 2004). En las tablas II y III se concentran los totales de las operaciones CAS aceptables, los errores algorítmicos y los errores de transformación, para ambos grupos. Se puede observar que en el grupo experimental hubo más operaciones aceptables y menos errores algorítmicos que en el grupo de control; sin embargo, los estudiantes del grupo experimental tuvieron un mayor número de errores de transformación, lo cual puede indicar que el uso de la notación CAS no tiene un efecto directo en los errores de este tipo. Tabla II: Totalidad de operaciones CAS aceptables, errores aritméticos y errores de transformación del grupo experimental. EGE1 EGE2 EGE3 EGE4 EGE5 EGE6 EGE7 EGE8 Total de operaciones CAS aceptables Total de errores algorítmicos Total de errores de transformación Tabla III: Totalidad de operaciones CAS aceptables, errores aritméticos y errores de transformación del grupo de control. ECE1 ECE2 ECE3 ECE4 ECE5 ECE6 ECE7 ECE8 ECGE ECG10 Total de operaciones CAS aceptables Total de errores algorítmicos Total de errores de transformación CONCLUSIONES Y TRABAJO A FUTURO Se realizó un estudio comparativo entre un grupo experimental y un grupo de control con solo post-test. A los estudiantes de ambos grupos se le solicitó que resolvieran un ejercicio de construcción de una función y se analizaron las respuestas usando las rúbricas diseñadas. Los resultados mostraron que los estudiantes que son enseñados a usar la notación CAS en papel, para construir algebraicamente funciones elementales a partir de un conjunto de 121

14 ecuaciones, cometen menos errores algorítmicos que los estudiantes que no ha tenido contacto con dicha técnica. Uno de los resultados más interesantes es que todos los estudiantes del grupo de experimental que trataron de resolver el problema, realizaron al menos una operación de sustitución; en cambio, solo la mitad de los estudiantes del grupo de control que intentaron resolver el ejercicio, realizaron alguna operación; esto se puede interpretar como que el uso de la notación CAS ayuda a los estudiantes a manipular una variable en términos de otras variables (Filloy et al., 2004). Estos resultados deben de tomarse con cierta mesura, debido al tipo de estudio con solo posttest tiene limitaciones control de las variables, ya que no es posible garantizar la homogeneidad de los grupos participantes. Por otro lado, el hecho de que ambos grupos escolares, es decir ambos son grupos naturales, resulta difícil asegurar que un grupo de control realmente equivalente (Kember, 2003). A pesar de las limitaciones del diseño experimental de este estudio, los resultados permiten proponer como trabajo a futuro: estudiar el efecto de la notación CAS en papel el aprendizaje de la sintaxis estricta de un sistema CAS en computadora. Al igual que la sintaxis CAS informal propuesta por Sangwina y Ramsden (2007), en la notación CAS en papel, las matemáticas escritas en papel corresponden con la sintaxis un sistema CAS en computadora (GeoGebra-CAS), por lo que el aprendizaje de la notación CAS en papel puede ayudar al aprendizaje de la sintaxis estricta un sistema CAS en computadora. REFERENCIAS Aguirre, L. G. (2013). Error analysis in algebra. identification and classifiation of common errors using metacognitive learning strategies. San Antonio College, San Antonio, USA. Descargado de Akkus, R., Hand, B., & Seymour, J. (2008). Understanding students' understanding of functions. Mathematics Teaching, 207,

15 Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a reaction about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7 (3), Delgado Cepeda, F. J. (2005). Designing a problem-based learning course of mathematics for architects. Nexus Network Journal, 7 (1), Egodawatte, G. (2011). Secondary school students' misconceptions in algebra (Tesis Doctoral no publicada). University of Toronto, Toronto, Canada. Filloy, E., Rojano, T., & Solares, A. (2004). Arithmetic/algebraic problemsolving and the representation of two unknown quantities. En The 28th international conference of the international group for the psychology of mathematics education. Bergen, Germany. Filloy, E., Rojano, T., & Solares, A. (2010). Problems dealing with unknown quantities and two different levels of representing unknowns. Journal for Research in Mathematics Education, 41 (1), Hitt, F., & Kieran, C. (2009). Constructing knowledge via a peer interaction in a CAS environment with tasks designed from a Task-Technique-Theory perspective. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 14 (2), International GeoGebra Institute. (2012). Vista algebraica CAS. Linz, Austria. Descargado de Algebraica CAS. Kember, D. (2003). To Control or Not to Control: the question of whether experimental designs are appropriate for evaluating teaching innovations in higher education. Assessment and Evaluation in Higher Education. Vol. 28, nº 1, Kieran, C., & Drijvers, P. (2006). The co-emergence of machine techniques, paper-and-pencil techniques, and theoretical reaction: A study of CAS use in secondary school algebra. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 11 (2), Malaspina, U. (2007). Intuición, rigor y resolución de problemas de optimización. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 10 (3), Marchisotto, E. A., y Zakeri, G.-A. (1994). An invitation to integration in finite terms. The College Mathematics Journal, 25 (4), Sangwina, C. J., y Ramsden, P. (2007). Linear syntax for communicating elementary mathematics. Journal of Symbolic Computation, 42 (9),

16 Trochim, W. (2006). The research methods knowledge base (2da ed.). Cincinnati, OH: Atomic Dog Publishing. Ubuz, B., y Ersoy, Y. (1997). The effect of problem-solving method with handout material on achievement in solving max-min problems. Journal of Mathematical Behavior, 16 (1),

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