F es primitiva de f ya que:

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1 T.2: INTEGRACIÓN 2.1 Primitiva de una función. Integral Indefinida. Propiedades. Sean f y F dos funciones reales definidas en el mismo dominio. La función F es una función primitiva de f, si F tiene por derivada a f. F es primitiva de f F = f F es primitiva de f ya que: Si la función f admite una primitiva F, el conjunto de todas las primitivas de f estará formado por las funciones F + C, siendo C una constante real cualquiera. ya que A este conjunto de se le llama integral indefinida de f y se simboliza: A la operación que permite obtener una primitiva F a partir de una función f recibe el nombre de integración. Propiedades: o Integral de la suma o diferencia: La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones. o Integral del producto de un número real por una función: La integral del producto de un número real por una función es igual al número por la integral de la función. Ejemplos:

2 2.2 Integrales de funciones elementales. Tipo Función Constante Potencial siendo n -1 Exponencial Logarítmica Trigonométricas Ejemplos: Integrales de la función constante: Integrales de la función potencial: 5

3 Integrales de la función exponencial: Ejercicio 1: a) b) c) d) e) Integrales de las funciones trigonométricas: 2.3 Integración de funciones racionales. Las funciones racionales son de la forma, donde y son funciones polinómicas. Ejemplos: ; ; Nos podemos encontrar dos casos: a) Que el denominador sea mayor que el denominador: Hacemos la división entera, donde tendremos: Y pasamos al apartado siguiente. Ejemplos: b) Que el numerador sea menor que el denominador: Nos podemos encontrar varias variantes: Si : En este caso la integral será un logaritmo neperiano: Ejemplos: ;

4 Que sea una arcotangente: Ejercicio 2: Ninguno de los anteriores: En este caso debemos descomponer el denominador en factores, para después descomponer la función en fracciones múltiples: a) Factor lineal y simple: donde cada fracción será un logaritmo. b) Que haya un factor lineal doble: : c) Que haya un factor cuadrático:

5 Ejercicio 3: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) Ejercicio 4: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) 2.4 Problemas de Primitivas que pasan por un punto. Al conjunto de todas las primitivas que tiene una función se le llama integral definida:. Hay problemas donde me van a pedir la primitiva de una función, o sea, de entre todas las posibles integrales definidas, la que cumple una determinada característica. Halla la primitiva de la función : a) Que pase por el origen de coordenadas y como pasa por el (0, 0) b) Que pase por el punto (1, 2) y como pasa por el (1, 2) 2.5 Integración por partes. Las integrales que se resuelven aplicando este método son aquellas en cuyo integrando aparecen: - Funciones logarítmicas, siempre que no contenga su derivada. - Arcoseno y arcotangente. - Producto de funciones que no sean la derivada de una función compuesta. El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto de funciones. A partir de él, se halla una regla que permite calcular la integración de un producto de dos funciones: Lo importante es elegir bien, ya que tiene que tener integral inmediata.

6 Ejemplos: a) dx ; b) dx ; y continuaría c) dx ; Ejercicio 5: a) b) c) 2.6 Cambio de variable Este método es el más complicado de identificar. La condición indispensable que debe cumplirse es en el integrando debe estar la derivada de la función a la que llamaremos t. Se resulten por este método las integrales de radicando irracional que no sean inmediatas Ejercicio 6: Realice el cambio de variable en. Ejercicio 7: Realice el cambio de variable en.

7 2.7 Integral definida La integral definida entre a y b se expresa como: Y es igual a: Pasos para hallar la integral definida: 1º hallaremos 2º sustituiremos b y a en dicha integral, restando ambos valores. Además, dicho valor coincide con el valor del área comprendida entre la curva y el eje OX, entre los valores a y b: Hay tres posibilidades para el signo de la integral definida: Sin embargo, para calcular el área entre a y b, debemos tomar todas las áreas como positivas: 1º y 2º caso: En el primer y segundo caso, nos bastarás con tomar el área resultante como positiva: 3º caso: En este tercer caso tendremos que aplicar la siguiente propiedad de las integrales: siendo c cualquier valor entre a y b, Así, si una curva corta al eje OX entre los valores a y b, debemos hallar dicho valor c. La integral quedará así: Por lo tanto para hallar el área encerrada entre una curva y el eje OX entre los valores a y b deberemos de hallar los puntos de corte de la curva con el eje OX, y si alguno de los puntos de corte se encuentra entre a y b, deberemos tenerlo en cuenta para hallar la integral definida. Dibujar la función nos puede ayudar a hallar el área. + Ejercicio 8: Calcula el área encerrada entre la curva y el eje de abscisas Ejercicio 9: Calcula el área limitada por la curva, las rectas, y el eje x.

8 Ejercicio 10: Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de las rectas y., el eje de abscisas y Ejercicio 11: Calcula el área limitada por la curva y el eje x. Ejercicio 12: Calcula el área limitada por la parábola y el eje de abscisas en el intervalo Área limitada por dos funciones que se cortan: Cuando tenemos que hallar el área entre a y b entre dos funciones que se cortan, lo que ahora nos importa son los puntos de corte entre ambas funciones, y ver si dichos puntos están entre a y b. Para hallar el área iremos haciendo la integral de la función que queda por encima menos la función que queda por debajo. Aunque sin realizar la representación podemos realizarla tomando valores absolutos: Ejercicio 13: Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f(x) = x 3 4x y g(x) = 3x 6 Ejercicio 14: Calcula el área comprendida entre las parábolas e Ejercicio 15: Considere las curvas, en el intervalo : a) Determine la integral del área finita a resolver. b) Calcule el área mencionada Ejercicio 16: Calcule el área finita encerrada entre las parábolas que muestra la figura: