Qué estudiaremos? Tema 11: Funciones cuadráticas y de proporcionalidad inversa. Tema 12: La función exponencial Grupo 4. Opción A. Funciones lineales

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1 Tema 11: Funciones cuadráticas y de proporcionalidad inversa. Tema 12: La función exponencial Grupo 4. Opción A Qué estudiaremos? Repasamos las funciones lineales. La función cuadrática. Estudio general de la función cuadrática. La función proporcionalidad inversa. Traslaciones. Funciones lineales Su ecuación general es de la forma: y= mx + n Si m = 0 y=n Función constante. Si n = 0 y=mx Función proporcionalidad directa. Si m 0 y n 0 y=mx+n Función afín. Representación gráfica de una función lineal a partir de su ecuación Su gráfica es una línea recta. Bastará con encontrar dos puntos que cumplan la ecuación. x=a No es función Funciones lineales. Función constante: 1

2 LA FUNCIÓN CONSTANTE Una función es constante si lo es el valor de su variable dependiente. La y siempre vale lo mismo independientemente del valor de x Su ecuación es de la forma y = n Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas o eje OX. Ni crece, ni decrece,continua, par, no periódica. Función de proporcionalidad La función de proporcionalidad directa. La función afín Un función es de proporcionalidad si los valores de sus variables son directamente proporcionales. Su ecuación es de la forma y = mx con m 0 La constante de proporcionalidad, mse llama pendiente de la recta. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. La función afín. Una función es afín si su ecuación es de la forma: y = mx + n con m 0 y n 0. Su representación gráfica es una recta con estas características: Su pendientees m: Si la pendiente es positiva, la función es creciente. Si la pendiente es negativa, la función es decreciente. Su ordenada en el origen es n. Como no pasa por el origen: si x=0 y=n, o bien corta al eje Y en el punto (0,n). La pendiente: m Es el coeficiente de la x despejada y : y = m x +n Mide la inclinación de la recta respecto al eje de abscisas (eje OX). Representa la variación que experimenta la y cuando x aumenta en una unidad. En la práctica se calcula dividiendo la variación de la y entre la variación de la x para dos puntos cualesquiera de la recta. y y 2 y1 m = = x x x 2 1 Si la pendiente es positiva, la función es creciente. Si la pendiente es negativa, la función es decreciente. 2

3 Otras funciones que vamos a estudiar: La función cuadrática. La función de proporcionalidad inversa. La función exponencial La función cuadrática Cuál es su expresión algebraica? Ya sabemos responder a cuestiones como: Dominio Recorrido Continuidad Simetrias Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Tiene máximo o mínimo? Analiza las siguientes gráficas: La función cuadrática. Analiza el caso: Qué ocurre con los cambios del coeficiente de x 2? Traslación vertical 3

4 Traslación horizontal: Función cuadrática: y=2(x-3) 2 +2 Dos traslaciones Ejercicios propuestos Pág. 191: Ej. 1,3,5,6,7,9. Seguimos con la función cuadrática: estudio general Expresión algebraica general. Como hacer la representación gráfica. Vértice de la parábola. Puntos de corte con los ejes. Eje de la parábola o eje de simetría Curvatura Y volvemos a calcular: dominio, recorrido, intervalos de crecimiento y decrecimiento Gráfica de una función cuadrática: la parábola Pasos a seguir para la gráfica de una función de la forma: y=ax 2 +bx+c 1. Calculamos la abscisa del vértice con la fórmula: -b x= 2a 2. Damos valores a la x a ambos lados de la abscisa del vértice y a la misma distancia. 3. Calculamos los valores de las ordenadas y 4. Representamos los puntos y unimos. y=ax 2 +bx+c Vértice de la parábola: (xv,yv) Su abscisa se calcula aplicando la fórmula: -b x v = 2a Su ordenada se obtiene sustituyendo este valor en: 2 y = a x + b x + c v v v Qué nos permite predecir si el vértice es el máximo o mínimo de la parábola? Y la curvatura? 4

5 y=ax 2 +bx+c Cortes con los ejes de Corte con el eje OY: - Nos preguntamos para x=0 cuánto vale y. -Son puntos de la forma (0, y) Cortes con el eje OX: - Nos preguntamos para y=0 cuánto vale x. -Calculamos x resolviendo la ecuación: ax 2 +bx+c=0 -Son puntos de la forma (x, 0) Cuántos puntos de corte va a tener la parábola? Eje de la parábola: El eje de simetría de la parábola coincide con la recta: -b x= 2a A qué te recuerda? Ejercicios propuestos Pág. 193: Ej. 14,15,16,19. Pág. 193: Ej. 17,20. Pág. 193: Ej. 21,22,23. Magnitudes inversamente proporcionales: Dos magnitudes serán inversamente proporcionales cuando los productosde las cantidades correspondientes a dichas magnitudes es constante. A esta constante se la llama constante de proporcionalidad inversa. Relación entre el número de amigos y la aportación de cada uno para hacer un regalo de 100 Nº amigos x aportación y k = = 2 50 = 4 25 = 5 20 = y x Veamos gráficamente la relación de proporcionalidad inversa. Si representamos los puntos (x,y): Magnitudes inversamente proporcionales Nº amigos x aportación y Qué observas? Tiene sentido unir los puntos? 5

6 La función de proporcionalidad inversa. y x=1 La función proporcionalidad inversa. Su gráfica se llama hipérbola. Estudiamos sus propiedades: Dominio Recorrido Continuidad Cortes con los ejes Simetria Intervalos de decrecimiento y crecimiento. Concepto de asíntota horizontal y vertical. Hipérbola. La función proporcionalidad inversa. Ejercicios del libro. Traslación horizontal de hipérbolas. Pág Ej. 27,28,29,30. Pág Ej. 31,32. Pág Ej. 33,34. 6

7 Traslación vertical de hipérbolas. Traslación oblicua de hipérbolas. Ejercicios del libro. Pág Ej. 36,38,39,41. Pág Ej. 42,43. Repasar: Pág Ej. Del 57 al 66. Pág Autoevaluación. La función exponencial Estudiamos sus características: Dominio Recorrido Continuidad Intervalos de decrecimiento o crecimiento Puntos de corte con los ejes Asíntotas La función exponencial Traslación horizontal de la función exponencial. 7

8 Traslación horizontal y vertical. Ejercicios del libro Pág Ej. 3, 5, 6. Pág Ej. 13, 14, 16. Para reforzar: Pág Ej. del 56 al 63. 8