MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias
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- Sandra Cáceres Méndez
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1 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y ectas en el espacio Poblemas de ángulos, paalelismo y pependiculaidad, simetías y distancias Ángulos ente ectas y planos en el espacio Ángulo ente dos ectas El ángulo ente dos ectas es el deteminado po sus espectivos vectoes de diección Este ángulo no depende de que las ectas se coten o no Su valo se obtiene aplicando el poducto escala Si las ectas son: x a v y s x b vs ángulo (, = ángulo ( v, vs ) En consecuencia: v vs cos (, = cos( v, vs ) v vs Obsevaciones: ) Suele elegise siempe el valo del ángulo agudo; po tanto, si cos( v, vs ) se tomaá en valo absoluto v w ) Recuédese: v w v w cos( v, w) cos( v, w) v w Si v ( a, a, a3) y w ( b, b, b3 ) v w a b a b a b ; v a a ; w b b 3 3 a3 b3 fuese negativo x 4t x y z 3 El ángulo que foman las ectas : = = y s : y 5t es el que foman 3 z 3 los vectoes v = (,, 3) y v s = (4, 5, 0): v vs cos (, = cos( v, vs ) = α = accos = 8,8º v vs Obsevación: Se toma el ángulo más pequeño, el agudo, y con signo positivo Ángulo ente dos planos El ángulo ente dos planos es el deteminado po sus vectoes caacteísticos Si los planos son: : ax by cz d 0 y : a x b y c z d 0 ángulo (π, π ) = ángulo ( v, v ) En consecuencia: vπ vπ a a b b c c cos, cosvπ, vπ = vπ v π á b c a b c
2 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías a) El ángulo que foman los planos : x y z 3 0 y : x y z 0 es el fomado po los vectoes nomales: v = (,, ) y v = (,, ) Luego, cosv π, vπ = ángulo (, ) = accos /3 70,5º b) El ángulo que deteminan los planos: : x y z 0 y : x y z 0 es de 90º, pues: cosv π, vπ,,,, 0 = = 0 ángulo (, ) = 90º ( ) 6 3 Po tanto, ambos planos son pependiculaes 3 Ángulo ente una ecta y un plano Es el meno de los ángulos ente la ecta y cualquie ecta contenida en el plano π; coincide con el ángulo ente y, siendo la poyección de sobe π Su valo es complementaio del ángulo fomado po el vecto de diección de la ecta y el vecto caacteístico del plano Esto es, ángulo (, π) = 90º ángulo ( v, v ) En consecuencia, vπ v sen (, π) = cos vπ, v vπ v Recuédese que sen α = cos (90º α) Si α = 0º, la ecta es paalela o está contenida en el plano; si α = 90º, la ecta y el plano son pependiculaes x y z 3 a) El ángulo que foma la ecta : = = con el plano : x y z 3 0 es el 3 complementaio del fomado po los vectoes v = (,, 3) y v = (,, ) Luego, 3 sen (, π) = cos v, v π = = 0,3086 (se tomaá su valo absoluto) ángulo v, v π = accos (0,3086) 7,03º ángulo (, ) 7,97º x t b) El ángulo que detemina la ecta: : y con el plano : x 0 es el z t complementaio del deteminado po los vectoes: v = (, 0, ) y v = (, 0, 0) Luego, (, 0,) (,0, 0) sen (, π) = ángulo (, ) = /4 45º
3 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 3 Paalelismo y pependiculaidad ente ectas y planos en el espacio Paalelismo ente ectas y planos Rectas paalelas Dos ectas son paalelas cuando tienen el mismo vecto de diección (o cuando son popocionales: v kv, k 0) Las ectas : x a v y s : x b tv son paalelas s x x a) Las ectas : y t y s : y t son paalelas z 7 t z 5 t x x0 b) La paalela a las ectas anteioes que pasa po el punto que P (x 0, y 0, z 0 ) es s : y y0 t z z0 t Planos paalelos Dos planos son paalelos cuando tienen el mismo vecto caacteístico (o cuando sus componentes son popocionales: v kv, k 0) Los planos : ax by cz d 0 y : ax by cz d 0 son paalelos: sus ecuaciones se difeencian en el témino independiente a) Los planos : x y 4z 3 0 y : x y 4z 5 0 son paalelos b) El plano paalelo a los anteioes que pasa po el punto que P(x 0, y 0, z 0 ) tiene po ecuación x x0 y y0 4z z0 0 En paticula, el plano paalelo a π que contiene a P(3,, ) es: x 3 y 4 z x y 4z Recta y plano paalelos Una ecta es paalela a un plano cuando el vecto de diección de la ecta, v, es pependicula al caacteístico del plano, v En consecuencia, v v = 0 x y 3 z La ecta es paalela al plano : x y 4z 3 0, pues los vectoes v = (,, ) y v = (,, 4) son pependiculaes En efecto: v v = + 4 = 0 Existen infinitas ectas paalelas a un plano dado Y ecípocamente, existen infinitos planos paalelos a una ecta dada Po tanto, paa la deteminación de un elemento a pati de oto habá que añadi las condiciones necesaias A continuación se ven dos casos concetos Plano paalelo a dos ectas que se cuzan Un plano paalelo a dos ectas debe contene a los vectoes de diección de cada una de ellas Paa deteminalo es necesaio, además, conoce uno de sus puntos
4 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 4 Paa halla la ecuación del plano que pasa po el punto P(0, 3, ) y es paalelo a las dos ectas siguientes: x y 3 x z 5 : z : x 3y z 0 ) Se obseva que el plano pedido estaá deteminado po el punto P (0, 3, ) y po los vectoes de diección de las ectas dadas, v y v El vecto v = (,, ) Paa obtene v se expesa en foma paamética Paa ello basta con despeja x en la pimea ecuación y sustitui en la segunda Así: x 5 z x z 5 x 5 z : : : 3y z 0 x 3y z 0 (5 z) 3y z 0 z z x z 0 5 x 5 t 0 3 : y z : y t Po tanto, v = (3,, 3) z z z ) La ecuación del plano (que queda definido P(0, 3, ), v = (,, ) y v = (3,, 3)), seá: x 3 x 3 : y 3 : y 3 0 : 7x 6( y 3) 5( z ) 0 z 3 z 3 : 7x 6y 5z 8 0 Recta paalela a dos planos que se cotan El vecto de diección de la ecta paalela a dos planos es pependicula a cada uno de los vectoes caacteísticos de los planos dados Po tanto, puede obtenese multiplicando vectoialmente dichos vectoes Paa detemina una ecta conceta seá necesaio, además, conoce uno de sus puntos Paa halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto P(, 3, ) y que es paalela a los planos de ecuación: : x 3y z 0 y : x 3y 5 0 ) Se halla su vecto de diección, que es: v = v v u u u Como v = (, 3, ) y v = (, 3, 0) se tiene que: v v ) Como contiene al punto P (, 3, ), su ecuación seá: = 3 3,, 6 3 x : y 3 t z 6t 3 0
5 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 5 Pependiculaidad ente ectas y planos Recta y plano pependiculaes Una ecta y un plano son pependiculaes cuando el vecto de diección de la ecta, v, es paalelo al caacteístico del plano, v En consecuencia, k v v Existen infinitas ectas pependiculaes a un plano dado Y ecípocamente, existen infinitos planos pependiculaes a una ecta dada Po tanto, paa la deteminación de una ecta conceta a pati de un plano, o de un plano a pati de una ecta, habá que añadi las condiciones necesaias; po ejemplo, un punto x a) La ecta : y t es pependicula al plano : 3x y z 3 0, pues los vectoes z 7 t v y v son iguales: v = v = (3,, ) x a b) Las ectas de ecuaciones : y a t y los planos de ecuación : 3x y z d 0 z a3 t son pependiculaes Paa detemina una ecta o un plano conceto bastaá con da un punto c) La ecta pependicula a π que pasa po P(x 0, y 0, z 0 ) es x En paticula, si P = (, 3, 5) la ecta seá : y 3 t z 5 t x x0 : y y0 t z z0 t d) El plano pependicula a que pase po el punto Q(x 0, y 0, z 0 ) es : 3x x0 y y0 z z0 0 En paticula, si Q = (,, 6) el plano es: : 3x y z 6 0 : 3x y z 7 0 Obsévese que en todos los casos v = (3,, ) v Pependiculaidad ente dos ectas Dos ectas son pependiculaes cuando lo son sus espectivos vectoes de diección Existen infinitas ectas pependiculaes a una dada En paticula, son pependiculaes a todas las ectas contenidas en un plano π pependicula a Po tanto, paa la deteminación una ecta conceta habá que añadi las condiciones necesaias; po ejemplo, un punto, una diección, indica que deben cotase
6 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 6 x 3 x a) Las ectas : y 3 y s : y t son pependiculaes, pues los vectoes z 5 z t v = (3,, ) y v s = (0,, ) lo son: v v s = (3,, ) (0,, ) = + = 0 x 3 b) Paa halla la ecta pependicula a : y que pase po el punto P(, 0, ) y que z además cote a, puede hacese lo siguiente: ) Halla el plano π pependicula a que contenga a P Como su vecto caacteístico v debe se igual a v = (3,, ) y, además, contene a su ecuación es: : 3x y z 0 : 3x y z 4 0 ) Halla el punto Q, intesección de y π Paa ello se sustituyen las ecuaciones de la ecta en la del plano: = Q = (,, 0) 0 3) La pependicula pedida es la que pasa po los puntos P y Q Su ecuación es: Pependiculaidad ente dos planos Dos planos son pependiculaes cuando lo son sus espectivos vectoes caacteísticos Existen infinitos planos pependiculaes a uno dado Po tanto, paa la deteminación uno conceto habá que añadi las condiciones necesaias; po ejemplo, que contenga a un punto, que sea paalelo a una ecta o que la contenga (Recuédese que un plano queda definido po un punto y dos vectoes; en este caso, al se pependiculaes al plano π, sólo se conoce uno de esos dos vectoes, que es v ) x t p : y t z t a) Los planos : 3x y z 4 0 y : y z 0 son pependiculaes pues los vectoes v = (3,, ) y v = (0,, ) lo son: v v = (3,, ) (0,, ) = = 0 b) La ecuación del plano pependicula a x y 3z 6 y que x contiene a la ecta y 0, viene deteminada po el punto z P(0, 0, ) y los vectoes v = (, 0, ) y v = (,, 3) x 3 x 3 Su ecuación es: y y 0 0 x 5y z 0 z 4 3 z 4 3
7 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 7 3 Pependicula común a dos ectas Existen infinitas ectas pependiculaes a dos dadas El vecto de diección de las pependiculaes se obtiene mediante el poducto vectoial de los vectoes de diección de las ectas dadas; esto es: v p v vs La ecta pependicula común que suele inteesa (la que se busca) es la que cota a ambas ectas Pependicula común a dos ectas que se cotan Viene definida po el punto P de cote y po el vecto v poblema sencillo) p v v (Se tata, pues, de un s x t x Paa detemina la pependicula común, p, a las ectas y t y s y, que z t z se cotan en el punto P(, 0, ), basta con calcula el vecto v p v vs Como v u u u3 x t v = s,, 3 p y t z Pependicula común a dos ectas que se cuzan Hay dos maneas de calculala: Pime método: A pati de dos puntos genéicos Se toman dos puntos genéicos, uno de cada una de las ectas dadas, R y S s, y se impone la condición de que el vecto RS (o SR) sea pependicula a los de diección de las ectas, v y v s RS v 0 Se obtiene así el sistema: RS vs 0 Se esuelve el sistema paa obtene los puntos R y S concetos La ecta p queda definida po el punto R (o S) y el vecto RS Paa halla la ecta pependicula común a las etas y s, de ecuaciones: x y z x y z : s : 4 3 ) Se toman puntos genéicos de y s: R = ( h, + h, 4h), S = ( +, + t, + t) El vecto SR = ( 3 h, 3 + h t, 4h t), que indica la diección de la ecta pependicula común a y s, debe se pependicula a los de diección de y s: v = (,, 4) y v s = (3,, ) ) Se multiplica escalamente (SR v = 0, SR v s = 0), y se obtiene el sistema: 4h 8t 4 0 8h t 4 0 Con esto: 3 h y 50 8 t 5
8 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías R,,,,, S,, y RS =,, 3, 5, ) La ecta pependicula común, que pasa po R y lleva la diección de RS es: x / 5 p : y 47 / 5 5t z 6 / 5 4t Segundo método: A pati de dos planos La pependicula común puede obtenese mediante la intesección de los planos y s El plano viene deteminado po la ecta, a la que contiene, y po el vecto v v s El plano s viene deteminado po la ecta s, a la que contiene, y po el vecto v v s Paa las ectas: como sigue: ) Se halla v v u s = ) Se hallan y s : x y y z u, deteminado po y v v s : 3y 3z 0 y z 0 s, deteminado po s y v v s x s y, la pependicula común puede obtenese z 0 u3 = (,, ) 0 x h x : y h y 0 z h z x t x y t y 0 z t z 0 s s : x y 5z 0 3) Po tanto, la pependicula común es: x y z 0 y z ( y = ) p y x y 5z 0 x y 5z z Obsevación: El lecto inteesado debeía hace cada uno de estos ejemplos mediante el método altenativo; y compoba que la solución es la misma
9 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 9 3 Poyecciones en el espacio 3 Poyección de un punto sobe un plano La poyección de un punto P sobe un plano π es el punto P del plano tal que el vecto PP es pependicula al plano; P es el punto más cecano de π a P Se puede enconta hallando intesección de la ecta, pependicula a po con el plano a) Paa halla la poyección de P(,, 0) sobe el plano : 3x y z 7 0 : x ) Se halla la ecta pependicula a π que contiene a P : y t z t ) Se halla el cote ente y π : 3 t t 7 0 t 9 / 4 Po tanto, el punto P = ( 3/4, 3/4, 8/4) b) La poyección de un punto cualquiea sobe los planos catesianos es inmediata Basta con hace 0 la coodenada coespondiente Así, po ejemplo, la poyección de P(,, 3) sobe el plano z = 0 es P (,, 0); sobe el plano y = 0 es P (, 0, 3); y, po último, sobe el plano x = 0 es P (0,, 3) 3 Poyección de una ecta sobe un plano La poyección de una ecta sobe un plano π es la ecta que se obtiene al poyecta dos puntos de sobe π También se puede enconta hallando la intesección de los planos y, siendo el plano pependicula a que contiene a (Este plano π está deteminado po la ecta y po el vecto v ; esto es, po un punto A y po los vectoes v y v ) x y 3 z a) Paa halla la poyección de la ecta : sobe el plano : 3x y z 7 0 : ) Se halla el plano π deteminado po A(0, 3, ), v = (,, ) y v x t 3h x 3 Su ecuación es : y 3 t h : y 3 0 : 6x 4y 7z 5 0 z t h z ) Las ecuaciones de la ecta poyectada son: x / 6 /8 3x y z 7 0 : En foma paamética: : y 9 / 6 / 6 6x 4y 7z 5 0 z
10 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 0 Obsevación: El lecto inteesado debeía compoba que se obtiene el mismo esultado poyectando dos puntos de sobe π; po ejemplo, los puntos P(0, 3, ) y Q(,, ) b) La poyección de una ecta cualquiea sobe los planos catesianos es algo más sencilla Basta con hace 0 la coodenada coespondiente x Así, po ejemplo, la poyección de la ecta : y t sobe el plano z = 0 se halla z 3 t poyectando, po ejemplo, los puntos P(,, 3) y Q(4, 0, ) de ella, obteniéndose los puntos P (,, 0) y Q (4, 0, 0), espectivamente x La ecta poyectada es: : y t (Obsévese que basta con hace 0 la componente z) z 0 x Igualmente, la poyección de : y t sobe el plano x = 0 seá z 3 t (En este caso se hace 0 la componente x) x 0 : y t z 3 t Y sobe el plano y = 0 seá x : y 0 z 3 t 33 Poyección de un punto sobe una ecta La poyección de un punto P sobe una ecta es el punto P de la ecta tal que el vecto PP es pependicula a ella; el punto P es el más cecano de a P El punto P se puede enconta hallando la intesección del plano π, pependicula a po con la ecta x t Paa halla la poyección de P(,, ) sobe la ecta : y t : z 3 ) Se halla el plano pependicula a que contiene a P : x y d 0 Como debe contene a P(,, ) d 0 d = 0 El plano es : x y 0 ) Se halla el cote ente y π : t 0 Po tanto, el punto P = ( /5, /5, 3) t t = 3/5
11 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 4 Simetías en el espacio 4 Simetía de un punto especto de oto Dado un punto su simético especto de M, es oto punto P tal que el punto medio ente P y P es el punto M Como P y M son conocidos, suponiendo que P = (x 0, y 0, z 0 ) e imponiendo que las coodenadas de M sean las del punto medio, se deducen x 0, y 0 y z 0 Si P = (,, 7) y M = (, 3, 5), suponiendo que el simético es P = (x 0, y 0, z 0 ), el punto medio ente P y P seá: M = x0 y0 7 z,, 0 Como M = (, 3, 5) (, 3, 5) = x0 y0 7 z,, 0 x 0 y x 0 0; z y 0 5; 5 0 z 0 3 Po tanto, P = (0, 5, 3) 4 Simetía de un punto especto de un plano Dado un punto su simético especto de un plano π, es oto punto P tal que el punto medio ente P y P es el punto M π, y, además, el vecto PP es pependicula al plano Po tanto, el punto P, simético de P especto del plano π, es el simético de P especto de M, siendo M la intesección del plano π con la ecta que pasa po P y es pependicula al plano Paa halla el punto simético de P = (0,, ) especto de : x y z 3 0, se puede hace lo siguiente: ) Se calcula el punto M: es el de cote de la ecta, pependicula a π po con dicho plano Como v x = (,, ), se deduce que : y z Cote de la ecta con plano : ( ) + ( + ) 3 = 0 = M = (,, 0) ) Suponiendo que el simético es P = (x 0, y 0, z 0 ), el punto medio de P y P es: x0 y0 z0 M =,, x0 y0 z0 Como M = (,, 0) (,, 0) =,, x 0 y x 0 ; 0 z y 0 3; 0 0 z 0 Po tanto, el punto simético de P especto de π es P = (, 3, )
12 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 43 Simetía de un punto especto de una ecta Dado un punto su simético especto de una ecta es oto punto P, que cumple: ) El punto medio, M, ente P y P debe se de la ecta ) El vecto PM debe se pependicula al vecto v de diección de la ecta Esto es, debe cumplise que v PM = 0 (El punto M puede deteminase mediante el cote de con el plano π, que contiene a P y es pependicula a ) a) Paa halla el punto simético de P = (,, 9) especto de la ecta x t : y 3 t, puede hacese lo siguiente: z 4t ) Sea M un punto genéico de la ecta: M = (t, t + 3, 4t) Po tanto: PM = (t, t + 3, 4t) (,, 9) = (t, t +, 4t 9); v = (,, 4) Como debe cumplise que v PM = 0, entonces: (,, 4) (t, t +, 4t 9) = t + t + + 6t 36 = 0 8t = 36 t Luego, M = (, 5, 8) a b c 9 ) Si P = (a, b, c), el punto medio ente P y P seá: M =,, Como M = (, 5, 8), igualando las coodenadas de ambos M se tiene: a b c 9 a = 3; 5 b = 8; 8 c = 7 Luego, el punto el punto simético de P especto de es: P = (3, 8, 7) b) Como se ha dicho aiba, un método altenativo paa calcula M consiste en halla el punto de intesección ente la ecta y su plano pependicula x y 0 Así, si P = (, 0, ) y la ecta, paa halla su simético P se pocede como z 0 sigue: x t ) Se hallan unas ecuaciones paaméticas de la ecta: y t z 0 Po tanto, el plano π, pependicula a es : x y d 0 ; y como contiene P = (, 0, ), se tendá que 4 + d = 0 d = 4 Luego, : x y 4 0 ) Se calcula ahoa el punto M, intesección de π con : t t 4 0 5t + 4 = 0 t = 4/5 Luego, M = (8/5, 4/5, 0) 3) Una altenativa a impone que M sea el punto medio ente P y P es exigui que los vectoes PM y MP sean iguales Si P = (a, b, c) se cumple: PM = MP
13 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 3 4 PM = (8/5, 4/5, 0) (, 0, ) =,, MP = (a, b, c) (8/5, 4/5, 0) = a, b, c 5 5 Luego, a a ; b b ; = c c = El punto buscado es P =,, Distancias en el espacio 5 Distancia ente dos puntos La distancia ente dos puntos A y B, d(a, B), es igual al módulo del vecto AB Si las coodenadas de esos puntos fuesen A = a, a, ) y B = b, b, ), entonces AB = b a, b a, b ) ( 3 a3 ( a3 d(a, B ) = AB b a b a b 3 a3 ( b3 Si A = (,, 0) y B = (3,, 4), la distancia, d(a, B) = (3 ) ( ( )) (4 0) Obseva que coincide con el módulo del vecto: AB b a = (3,, 4) (,, 0) = (,, 4) 4 AB Obseva también que: d(a, B) = d(b, A) = BA = ( 3) ( ( )) (0 4) 5 Distancia de un punto a un plano La distancia de un punto P a un plano π es la distancia ente P y su poyección P sobe π Es la meno de las distancias ente P y cualquiea de los puntos de π Se puede detemina poyectando el punto sobe el plano, paa calcula después la distancia ente ambos puntos Existe una fómula que facilita su cálculo, que es: ax0 by0 cz0 d dp ( x0, y0, z0 ), : ax by cz d 0 a b c Obtención de esta fómula Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) y P = (x, y, z ) su poyectado sobe el plano : ax by cz d 0 Se cumple que los vectoes P P y v = (a, b, c) son paalelos Po consiguiente: P P v P P v cos0º P P v P P v P P v d( ) P P (*) v Como P P = (x 0, y 0, z 0 ) (x, y, z ) = x x, y y, z z, el poducto escala 0 0 0
14 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 4 P P v ax0 x by0 y cz0 z ax0 by0 cz0 ax by cz P P v ax0 by0 cz0 d, pues de by cz d 0 ax by cz Po ota pate, a b c v ax d Luego, sustituyendo en (*), queda: ax0 by0 cz0 d dp ( x0, y0, z0 ), : ax by cz d 0 a b c La distancia del punto P = (, 3, 4) al plano : x 5y z 7 0 es: d P(, 3, 4), :x5yz70 ( ) ( 5) = Distancia ente dos planos paalelos La distancia ente dos planos paalelos π y π' es igual a la distancia de cualquie punto de π al plano π : d (, ) d( ), P La distancia ente los planos : x 5y z 7 0 y : x 5y z 3 0 es igual a la distancia del punto P(0, 0, 3) al plano π Vale: d 37 ( 5) = Plano bisecto de dos planos dados que se cotan Dados dos planos π y π que se cotan en una ecta, el plano bisecto de ellos es el que divide el ángulo diedo que deteminan en dos ángulos iguales (Es el concepto análogo a la bisectiz de un ángulo deteminado po dos ecta Popiedad Todos los puntos del plano bisecto están a la misma distancia de los planos dados Esto es, si el punto P(x, y, z) petenece al plano bisecto π, se cumple que d d Po tanto, si los planos dados son: : a x b y cz d 0 y : a x b y c z d 0, La ecuación del plano bisecto seá: ax b y cz d a x b y c z d a b c a b c El signo ± adviete que hay dos soluciones
15 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 5 El plano bisecto de los planos : 3x 4y 6 0 y : x y z 0, viene dado po la ecuación: 3x 4y 6 x y z 3x 4y 6 x y z 3 ( 4) ( ) 5 3 Los planos bisectoes son: : 33x 4y 6 5x y z : x y 5z 3 0 : 33x 4y 6 5x y z : 9x y 5z 3 0 Obsevación: Puede vese que los planos bisectoes son pependiculaes 54 Plano mediado de dos puntos (de un segmento) Dados dos puntos A y B, el plano mediado del segmento AB es el plano pependicula al segmento y que contiene a su punto medio M (Es el concepto análogo al de mediatiz de un segmento) Popiedad Todos los puntos del plano mediado están a la misma distancia de los extemos del segmento Esto es, si el punto P(x, y, z) petenece al plano mediado π, se cumple que d A d B La ecuación del plano mediado se halla fácilmente si se tiene en cuenta que su vecto diecto es AB y que contiene al punto M Dados los puntos A(, 3, 0) y B(,, ), el plano mediado del segmento AB tiene po vecto diecto a v = AB = (,, 4) (, 3, ) = (4, 4, ) Po tanto, su ecuación seá: : 4x 4y z d Como contiene al punto M =,, = (0,, ), debe cumplise que d = Luego, el plano mediado es : 4x 4y z 0 : x y z 0 d A d B, suponiendo que P(x, y, z), se tendá: Si se aplica la popiedad d ( A) x y 3 z x y z d B Elevando al cuadado se obtiene la misma ecuación: : x y z 0 55 Distancia de un punto a una ecta La distancia de un punto P a una ecta es la distancia ente P y su poyección P sobe Es la meno de las distancias ente P y cualquiea de los puntos de π Se puede detemina poyectando el punto sobe la ecta, paa calcula después la distancia ente ambos puntos Existe una fómula que facilita su cálculo, que es: AP v d( ) v Obtención de esta fómula En la figua de la deecha se ha sombeado el tiángulo deteminado po los vectoes AP y v, A La supeficie, S, del tiángulo puede deteminase de dos fomas: mediante el poducto
16 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 6 vectoial; o a pati de su base y su altua, que es la distancia de P a base altua v d( ) Esto es: S AP v y S Igualando y despejando se obtiene: AP v v d( ) AP v = AP v v d( ) d( ) v x t La distancia ente el punto P = (, 0, ) y la ecta y t se calcula como sigue: z ) Se detemina el vecto AP, con A = (,, ) y el poducto vectoial AP v : AP = (, 0, ) (,, ) = (3,, 0) Como v = (,, 3): AP v u u u3 = 3 0 ( 6, 9, ) 3 Se tiene que AP v ( 6) 9 ( ) 8 ; v ( ) 3 4 ) Se aplica la fómula: AP v 8 59 d( ) = v 4 7 Obsevación: Es más intuitivo, y alguna vez más ápido, detemina esa distancia calculando d d P el punto, P, de cote del plano pependicula a que contiene a P 56 Distancia ente dos ectas Distancia ente dos ectas paalelas La distancia ente dos ectas paalelos y s es igual a la distancia de cualquie punto de a la ecta s: d(, d(, P x t x t La distancia ente las ectas paalelas y t y s y t, se calcula como z z sigue: ) Se halla el plano pependicula a las ectas po el punto P(,, ) de : su vecto caacteístico es v v = (,, 3); y su ecuación: y 3z 0 : x : x y 3z 0 ) Se calcula el punto de cote, P, de ese plano con la ecta s: t t 3 t = 0 P = (0,, ) 0 3) La distancia d(, d( d( P ) = ( 4)
17 Geometía del espacio: poblemas de ángulos y distancias; simetías 7 Distancia ente dos ectas que se cuzan La distancia ente dos ectas, y s, es la meno de las distancias posibles Es la distancia de un punto cualquiea de al plano paalelo a ella que contiene a s: d (, d( ), P y π plano paalelo a que contiene a s x t La distancia ente las ectas que se cuzan y t y z ) Se halla el plano π, paalelo a que contiene a s Su ecuación, que viene deteminada po s y po v = (,, 3), es: x x 3 : y t z t 3 x t, se calcula así: s y z t y 0 : 7x y z 5 0 z 3 ) d (, d( ), P(,, ) Luego, 7 ( ) ( ) 5 d (, = ( 7) ( ) ( ) 7 Obsevación: La distancia ente dos ectas también puede obtenese a pati del poducto mixto Recuédese que el volumen de un paalelepípedo, que es igual al áea de una de sus bases po la altua coespondiente, se halla también mediante el poducto mixto de tes vectoes que paten de un vétice y siguen la diección de sus aistas; po ota pate, el áea de una de sus bases se obtiene multiplicando vectoialmente los dos vectoes que la deteminan Esto es: V v, v, SR v v d s s v, v, SR s Despejando d d(,, se obtiene: d(,, v v s siendo SR un vecto que va de a s: R y S s Paa las ectas del ejemplo anteio: v = (,, 3), v s = (3,, ) y SR = (,, ) (,, 0) = ( 3,, ) 3 El poducto mixto vale: 3 3 El poducto vectoial, v u u u3 v 3 = (7,, ) v v 7 3 v, v, SR s En consecuencia, d(, = v v s s 7 7 s
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