"Fundamentos matemáticos de la música"

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1 "Fundamentos matemáticos de la música" L.M. Cristian Bañuelos

2 Sonido Es una onda mecánica de presión que viaja por algún medio sólido, líquido o gas.

3 Onda ciruclar La función seno es sólo una rebanada de las ondas ciruclares.

4 Movimiento ondulatorio Amplitud Frecuencia Hertz Velocidad 343.2m/s (aire 20c) Periodo

5 Oido humano El rango de audición de un ser humano está entre 20 y 20,000 hz. Pero varía con la edad. (Caracol y tinnitus) Tono puro

6 Sonido musical Lo que distingue a un sonido musical es la complejidad de los tonos que se presentan. Cuando se toca algún instrumento en realidad suenan muchos tonos puros simultaneamente. La cantidad y forma en que se producen es lo que determina que podamos distinguir un tipo de sonido de otro.

7 Armónicos Dada una frecuencia fundamental por ejemplo (200hz). Sus armónicos son todas las ondas cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la original. (200, 400, 600, ) hz.

8 Principio de superposición La suma de tonos puros nos genera ondas nuevas Principio de superposición

9 Espectro de un sonido Espectro (timbre): Consiste en la distribución y amplitud de las tonos fundamentales en los que se descompone una onda. Transformada de Fourier: Toma una onda y nos indica cuales son los tonos fundamentales de los que se compone

10 Timbre de un instrumento Cada instrumento, de acuerdo a su construcción, tiene distintos tipos de armónicos con distintas amplitudes.

11 Instrumentos Los instrumentos de aliento producen armónicos distintos dependiendo si son cerrados o abiertos. Armónicos impares si es abierto Armónicos pares si es cerrado

12 Instrumentos

13 Instrumentos de cuerda Síntesis aditiva, análisis de espectros

14 Ruido blanco Se conoce como ruido blanco, a la onda que surge de la combinación de todos las frecuencias en un intervalo definido Ruido blanco

15 Consonancia Es una medición subjetiva de el nivel de estabilidad que presentan un par de notas simultáneas.

16 Pulsaciones La consonancia puede realcionarse con el fenómeno de pulsaciones, que surge cuando dos tonos tienen frecuencias muy cercanas entre si. Pulsaciones

17 Curva de pulsaciones Tonal Consonance and Critical Bandwith (1965, R. Plomp, M. Levelt) Relación empírica entre la disonancia y la relación de las frecuencias de los armónicos En 1993 W. Sethares, dedujo el modelo matemático que las representa, ayudado por las ideas de Helmholtz

18 Dos tonos puros - curva Curva de disonancia de dos frecuencias puras. Horizontal: Diferencia de frecuencias Vertical: Pulsaciones percibidas

19 Órgano curva Curva de disonancia de dos sonido de un órgano con 8 armónicos Valles de consonancia Crestas de disonancia

20 Hermann von Helmholtz Físico aleman que trabajó con las relaciones de las frecuencias en su libro: Sobre las sensaciones del tono como base fisiológica para la teoría de la música (1863)

21 Pitágoras y el monocordio Se atribuye a Pitágoras el descubrimiento de la relación entre la división en partes iguales de una cuerda, con la consonancia de las notas

22 Construcción de la afinación pitagórica El proceso para llenar la octava consiste en los siguientes pasos: a) tomar una frecuencia inicial, por ejemplo la nota 'do' =261.63, b) encontrar su secuencia de quintas hasta hasta tener 12 elementos, c) encontrar las frecuencias equivalentes de cada una en el intervalo fundamental de 'do', d) ordenar el resultado en orden ascendente.

23 Normalizacion

24 Escala temperada Debe ser normalizada a 0-1

25 Simetrías - Teoría de grupos

26 Grupo Operación binaria en un conjunto que cumple: Cerradura: Asociatividad: 2+(5+3)=(2+5)+3 Elemento neutro 0+2=2 Inversos 2-2=0 Conmutatuvidad (no siempre) 2+3=5 2+3=3+2

27 Ejemplo: Z/nZ Los residuos de la división por n de números enteros forman un grupo llamado: Enteros módulo n Z/5Z = {0, 1, 2, 3, 4} 3 + 4= 7 (mod 5)= 2 2+4=1 2+3=0 1+4=0

28 Ejemplo: Sn Las permutaciones de un conjunto finíto forman un grupo que se conoce como: Grupo simétrico:

29 Grupo diédrico D2n Las simetrías de un polígono regular forman un grupo, al que llamamos Grupo diédrico. Sus operaciones son r - rotación s - traslación

30 Propiedades de D2n

31 Isomorfismos Decimos que dos grupos son isomórfos si tienen la misma estructura Es decir, si existe una función biyectiva entre ambos grupos, que cumple

32 D6 es isomorfo a S6

33 Numeración de las notas Escala Cromática: Las notas que se utilizan en la música, consisten en un conjunto finito de frecuencias ascendentes de alrededor de 88 notas, que se pueden visualizar en un teclado de piano.

34 Simetrías La periodicidad en el teclado representa una propiedad de las notas, con la cual podemos clasificarlas en doce grupos. De forma similar a las tonalidades de los colores, existen versiones de la misma nota

35 Enteros módulo doce Nuestra primera abstracción será considerar las 12 notas musicales como el grupo Z/12Z Nota: un elemento. Acorde: colección de notas.

36 Operaciones de notas Podemos definir un par de operaciones sobre el conjunto Z12 que son de utilidad musical: Trasposición: Recorrer las notas una distancia fija Inversión (reflexión): Reflejar las notas sobre un eje de simetría.

37 Ejemplos

38 Grupo T/I

39 El grupo T/I es isomorfo a D24 El grupo T/I funciona de forma similar a las simetrías de un polígono de 12 lados, podemos ver que:

40 Acordes notables Triada Mayor: (0,4,7) Triada Menor: (0,3,7) Triada disminuida: (0,3,6) Triada Aumentada: (0,4,8) Séptimo disminuido: (0,3,6,9)

41 Simetrías interesantes Existen algunas simetrías muy interesantes que nos transforman acordes con relaciones interesantes entre sí.

42 Simetrías PLR parallel, leading tone excchange, relative Simetrías

43 Espacios geométricos La música se puede estudiar como espacios geométricos. Para ello se necesita establecer una relación entre las notas y una estructura.

44 Plano de intervalos Consideraremos a los acordes como puntos en un plano. Un camino es una sucesión de intervalos en el espacio.

45 Espacios de consonancia

46 Superficie de consonancia

47 Rebanadas de tonalidad Sección del hipercubo de acordes de cuatro notas

48 Rebanadas

49 Gracias Para más información visiten la página.

50 Referencias A geometry of chords D. Tymoczko Foundations of diatonic theory T. Johnson Musical actions of dihedral groups Cranz, Fiore, Satyendra (American mathematical monthly)

51 Imágenes mage_232_is548.html

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