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1 5.- CONJUNTOS PAR ORDENADO (PO) DEFINICIÓN DE PO Se llama Par Ordenado o dupla cuyo símbolo es (x y) al conjunto cuyos elementos son a su vez otros dos conjuntos : 1.- el conjunto {x y} que es un par simple 2.- el conjunto {x} de un único elemento Def: (x y) := { {x y} {x} } (x y) : Par Ordenado (PO) x : Primer elemento del PO (Primera componente del PO) y : Segundo elemento del PO (Segunda componente del PO) Obs 1: PO es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde {x y} (x y) Obs 2: La igualdad de PO es la de Conjuntos Obs 3: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes del PO, porque los números todavía no están definidos. Justamente el concepto de número se definen a partir del PO PORQUÉ LA DEFINICIÓN DE PO La importancia del PO se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de el se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la matemática clásica. La fecunda utilización del PO se puede observar en la lista siguiente, que obvia todo comentario: 1.- Producto Cartesiano 2.- Relación 3.- Relación Unívoca 4.- Función 5.- Relación de Equivalencia 6.- Relación de Orden 7.- Número Natural 8.- Número Entero 9.- Número Fraccionario 10.- Estructura Métrica 11.- Número Real 12.- Numero Complejo 13.- Estructura Algebraicas 14.- Leyes de Composición 15.- Estructura Lineal (Vectorial) 16.- Coordenadas Cartesianas 17.- Grafos 18.- Etc Para la definición del PO pilar de la matemática, hace falta solamente la noción previa de conjunto. 162

2 Un par simple es un conjunto formado por 2 elementos, cuyo símbolo es {x y} : Par y cumple con la igualdad de conjuntos {x y} = {y x} donde se observa que a los elementos x e y del par no se les asigna ninguna característica particular que les otorgue un papel diferente dentro del Par. Es decir son simplemente y nada mas que elementos del Par. Mientras en el PO a sus dos elementos x e y, se les asigna una característica diferencial, la de ser primer o segundo elemento (componente). La definición de PO se introduce justamente para asignar a cada elemento de un par simple propiedades específicas. Por ejemplo el conjunto de manos de una persona constituyen un Par si no se da una diferencia entre ellas. Sin embargo si se distinguen la mano izquierda de la derecha se está en presencia de un PO al haberle asignado a los elementos del par una característica diferencial. Análogamente se tiene otro ejemplo en el conjunto Matrimonio que esta formado por un par de personas, y se distingue entre hombre y mujer se tiene un par ordenado. El papel diferente de ambas componentes es la base para establecer el concepto de Relación en general. La forma de asignar una característica diferente a los elementos x e y es por medio de diferenciar su presencia en los conjuntos que lo definen: 1.- {x, y} donde se define el Par 2.- {x} donde se define la primera componente IGUALDAD DE PO La igualdad de PO es simplemente un caso particular de la Igualdad de Conjuntos. T.- (x y) = (a b) { {x y} {x} } = { {a b} {a} } La igualdad de conjuntos cumple con el teorema siguiente T 1 : La igualdad de dos PO es condición necesaria y suficiente de la igualdad de las componentes homólogas es decir de las primeras componentes entre si y las segundas componentes entre si. Esto justifica, como la definición de PO distingue ambos elementos. 163

3 TEOREMAS DE PO x = a T 1.- (x y) = (a b) y = b TCR T 1.- (x y) (a b) x a y b D.- [ ] Se pasa a la demostración del Teorema directo. Por Hipótesis x = a y = b Entonces {x} = {a} {x y} = {a b} {{x y} {x}} = {{a b} {a}} Por Def. PO queda (x y) = (a b) [ ] Partiendo de (x y) = (a b) Recordando Def. PO {{x y} {x}} = {{a b} {a}} Se presentan 2 opciones que se llamarán I y II I.- {x y} = {a b} {x} = {a} x a y para satisfacer el sistema I también debe resultar y b II.- {x y} = {a} {x} = {a b} x a y b que satisface el sistema II. De ambas opciones I, II se llega a x a y b T 2.- (x y) = (y x) x y TCR T 2.- (x y) (y x) x y D 1.- Caso particular de T 1 D 2.- [ ] x y {x} = {y} {x y} = {y x} {{x y} {x}} = {{y x} {y}} Por la Def. PO (x y) = (y x) 164

4 [ ] (x y) = (y x) {{x y} {x}} = {{y x} {y}} Hay 2 Opciones I y II I.- {x y} = {y x} {x} = {y} x y que satisface el sistema I II.- {x y} = {y} {x} = {y x} x y que satisface el sistema II. El resultado de las opciones I y II es el mismo. Por lo tanto la Tesis es x y Obs: El TCR T 2 representa la propiedad fundamental de los PO: (x y) (y x) x y y muestra la diferencia esencial entre los PO y los pares simples que cumplen en todos los casos {x y} = {y x} T 3.- Def PO (x x) = {{x}} D.- (x x) := {{x x} {x}} = {{x} {x}} = {{x}} TERNAS Y NUPLAS TERNAS La definición de Par Ordenado se puede generalizar para el caso de tres componentes (ternas) o más componentes, en general para n componentes (nuplas): Def: (x y z) := { {x y z} {x y} {x} } (x y z) : Terna x : Primer elemento de la terna y : Segundo elemento de la terna z : Tercer elemento de la terna Obs : Si se hubiera definido la terna por la proposición (x y z) := ((x y) z) ( definición no válida ) se habría tomado un conjunto de conjuntos de diferentes niveles (x y z) := {{(x y) z},{(x y)}} := {{{{x y}{x}} z },{{{x y}{x}}}} lo cual es erróneo. 165

5 NUPLAS Def: (x 1 x 2 x n ) := { { x 1 x 2 x n }.. { x 1 x 2 } { x 1 } } (x 1 x 2 x n ) : Nupla x i : i-esimo componente de la nupla NUPLA DE 1 ELEMENTO A fin de generalizar el concepto de nupla para todo valor de n 1 se define también para el caso de n = 1 Def: (x) := {{x}} Obs : Nótese que del T 3 resulta (x x) := {{x}} = (x) 166

6 5.2.- PRODUCTO CARTESIANO (PC) DEFINICIÓN DE PC Dado 2 conjuntos A y B se llama Producto Cartesiano de A por B (en ese orden), cuyo símbolo es AxB, al conjunto de todos los pares ordenados (x y) tales que su primera componente x pertenece a A y la segunda y pertenece a B. Def: AxB := { (x y): x A y B } AxB : Producto Cartesiano de A por B A : Primer Conjunto del Producto Cartesiano o Conjunto de Partida B : Segundo Conjunto del Producto Cartesiano o Conjunto de Llegada Ejemplo 1: A = { Azul Rojo Blanco Verde Negro Metalizado } B = { Ferrari Honda Williams Lotus } AxB = { (Azul Ferrari) (Azul Honda) (Azul Williams) (Azul Lotus ) (Rojo Ferrari) (Rojo Honda) (Rojo Williams) (Rojo Lotus ) (Blanco Ferrari) (Blanco Honda) (Blanco Williams) (Blanco Lotus ) (Verde Ferrari) (Verde Honda) (Verde Williams) (Verde Lotus ) (Negro Ferrari) (Negro Honda) (Negro Williams) (Negro Lotus ) (Metalizado Ferrari) (Metalizado Honda) (Metalizado Williams) (Metalizado Lotus ) } Un Producto Cartesiano puede ser representado gráficamente en un ábaco cartesiano. De allí su nombre: B AxB L x x x x x x W x x x x x x H x x x x (nh) x F x x x x x x a r b v n m A TEOREMAS DE PC T 1.- TCR T 1.- AxB = BxA A = B AxB BxA A B D.- [ ] A = B AxB = BxA [ ] A B Se presentan 2 opciones I y II I.- x: x A x B (xy): (x y) AxB (x y) BxA AxB BxA 167

7 II.- x: x A x B (xy): (x y) AxB (x y) BxA AxB BxA T 2.- AxB = A = B = PC DE MAS DE DOS CONJUNTOS Dado n conjuntos A 1, A 2,, A n se llama Producto Cartesiano A 1 x A 2 x x A n al conjunto de todas las nuplas ordenadas (x 1 x 2 x n ) tales que la componente x i pertenece al conjunto Def: A 1 x A 2 x x A n := { (x 1 x 2 x n ) : x i A i } A 1 x A 2 x x A n : Producto Cartesiano A 1 por A 2 por por A n A i : Conjunto i-ésimo del Producto Cartesiano Es común el Producto Cartesiano de un conjunto por si mismo dos o mas veces, en ese caso la notación se abrevia: Def: E 2 := ExE E n := ExEx.. xe { n veces } Ejemplos : R 2 := RxR R n := RxRx... xr { n veces } 168

8 5.3.- RELACIÓN R Se llama Relación en AxB a todo Subconjunto no vacío del Producto Cartesiano AxB Def: R Relación AxB := R AxB, R R(AxB) := S(AxB) := { (x y) : (x y) R } R : Relación AxB := R AxB, R S(AxB) : Gráfica de R(AxB) A: Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano B: Conjunto de Llegada o Segundo Conjunto del Producto Cartesiano Se define además algunos elementos destacados de la Relación R en AxB Def: D(R) := { x: x A (x y) R } I(R) := { y: y B (x y) R } D(R) : Dominio de R(AxB) I(R) : Imagen de R(AxB)} Una representación de R(AxB) sobre el Producto Cartesiano es: B AxB Relación V x X x x x x U x X x x x x T x X x x (et) x S x X x x x x a B c d e f A Otra representación de una relación R(AxB) es por Gráficas como las que se muestran a continuación: Los Conjuntos Ay B y sus elementos se representan por Diagramas de Venn y los PO que componen la Relación por segmentos orientados (flechas). A = { a b c d e f } B = { s t u v ] Gráfica (R) = { (a t) (b t) (c t) (c u) (c v) (d u) (d v) } Dominio (R) = { a b c d } Imagen (R) = { t u v } 169

9 5.4.- RELACIÓN UNIVOCA (RU) Def: R Unívoca := ( xy ) ( xz ) R R y z B AxB B AxB Relación no unívoca Relación unívoca v x x x x x x v x x x x x x u x x x x x x u x x x x x x t x x x x (et) x t x x x x (et) x s x x x x x x s x x x x x x a b c d e f A a b c d e f A En la representación de una relación univoca por segmentos orientados se caracteriza por la condición que de los elementos del dominio sale una flecha sola o ninguna. R Unívoca Obs: En una Relación Unívoca de cada Elemento del Conjunto de Partida A sale una flecha o ninguna. {0,1}. Con respecto al Conjunto de Llegada B no existen restricciones. 170

10 5.5.- FUNCIÓN DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación que cumple 2 condiciones: 1.- Estar definida para todo elemento del Conjunto de Partida A. Es decir que el Dominio de la Relación f es el Conjunto de Partida: A = D 2.- Ser Unívoca Def: f : A B x y := x A ( xy ) f (xy) f f Unívoca : = (xz) f y z D(f) := { x: x A (x y) f } = A I(f) := { y: y B (x y) f } f(axb) := { (x y) : (x y) f } f : función A : Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano ó Dominio de la función B : Conjunto de Llegada o Segundo Conjunto del Producto Cartesiano ó Codominio de la función f(axb) :Gráfica de la función I(f) :Imagen de f(axb) Obs 1: Nótese que el símbolo [ A B ] representa al Producto Cartesiano AxB y el símbolo [ x y] representa al PO (x y). Es decir que las dos flechas tienen significado diferente, y es por ello que la flecha que señala al PO a veces se la indica con una colita [ x + y ] para diferenciarla de la flecha que señala el PC. Esto se obvia si no hay confusión posible. f : A B x y := f : AxB ( xy ) Una primera forma de representar una función es con un gráfico Cartesiano donde puede observarse las 2 proposiciones que hacen a la definición de función: 1.- El estar definida para todo elemento del Dominio A = D. 2.- Ser Relación Unívoca. B AxB función v x x x x x x u x x x x x x t x x x x (et) x s x x x x x x a b c d e f A 171

11 La representación de una función por diagramas de Venn es: A = { a b c d e f } B = { s t u v ] Gráfica (f) = { (a t) (b t) (c u) (d v) (e u) (f t) } Dominio (f) = { a b c d e f } = A Imagen (f) = { t u v } Obs 1: En una función de cada elemento del Conjunto de partida A sale una flecha y solo una {1}. Con respecto al Conjunto de Llegada B no existen restricciones. Obs 2: En la definición de función existen 4 elementos, el primero de los cuales es su nombre, y los otros 3 elementos son 3 conjuntos el Dominio, el Codominio y la Gráfica, de las cuales depende la función. Cambiando cualquiera de estos 3 Conjuntos cambia la función. Se plantean un ejemplo: Ejemplo: Sea el Conjunto de pares ordenados G := {(x y) : y = x 1/2 } 1.- Este Conjunto G carece de sentido si no se aclara que son x e y. Pueden ser elementos de cualquier conjunto genérico ( que significaría y = x 1/2? ), o números reales o complejos etc. Esto muestra que debe definirse el PC AxB sobre el cual se quiere trabajar. Suponiendo que AxB = RxR entonces G sería la Gráfica siguiente: 2.- Si se toma A = R no existe función pues La relación no es unívoca La relación no está definida para todo elemento de R. Es decir D = A R 3.- Si se restringe a A = R + {0} no existe función pues La relación no es unívoca 4.- Si se restringe a A = R + {0} y a B = R + {0} si existe función, que se llamará arbitrariamente RaízCuad: RaízCuad: R + {0} B = R + {0} x y = x 1/2 172

12 5.- Pero también se podría haber elegido arbitrariamente a A = [ 0 2 ] y los siguientes subconjuntos de G: x [0 1[ y = + x 1/2 x [1 2] y = x 1/2 lo cual permite definir otra función que se llamará f 2 diferente por supuesto de la anterior RaízCuad: f 2 : [ 0 2] R + {0} y = + x x y = x 1 / 2 1 / 2 x [0 x [1 1[ 2] todo este análisis muestra como una función depende no solamente de su Gráfica, sino también de sus Conjuntos de Partida y de Llegada REDUCCIÓN DE UNA RELACIÓN GENÉRICA A FUNCIÓN Una Relación Genérica R siempre puede reducirse a una función, en forma totalmente arbitraria, por medio de dos pasos que consisten en hacer cumplir las dos definiciones de la definición de función: Paso I: Reducir el Conjunto de Partida de la relación D(f) para que se cumpla D(R) = D(f) o también reducirlo a parte de D(R) [ D(f) D(R) ]. Es decir que para todo elemento del Dominio de la función D(f) exista por lo menos un elemento en la Gráfica G o sea: D(f) D(R). Paso II.- Asignar a cada elemento de D(f) un solo par de la Gráfica G (Unicidad) PORQUE FUNCIÓN El objetivo de definir el concepto de función, es decir una relación univoca para todo un dominio es porque permite la implicación x A x = y f(x) = f(y) Por otro lado la importancia de la definición de función resulta de su gran aplicación. Algunas funciones matemáticas entre las más usuales: Tipo función Sucesiones S:N B Matrices M:N 2 B Leyes de Composición Interna T:ExE E Leyes de Composición Externa T:KxE E Productos Hermíticos T:ExE K Polinomios P:R 2 R 2 n x a i x i= 0 Funciones de 1 variable real P:R R Funciones de varias variables reales P:R n R Funciones de variable compleja P:R 2 R 2 i 173

13 FUNCIÓN COMPUESTA DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA Si se plantea una composición sucesiva de funciones también se tiene una función directa de A a D como se vera a continuación: la relación compuesta es función si se toma la precaución de asegurar que B C Teorema f : A B g : C B C x y D y z gof : A D x z = g( f ( x )) gof = g(f) : función compuesta de g con f D.- f : A B := x A (xy) f g : C D := y C (yz) g ( xy ) f ( xy' ) f ( yz ) g ( yz' ) g y = y z = z como B C se tiene y B (yz) g ( yz ) g ( yz' ) g z = z por lo tanto se puede se puede definir una relación sobre AxD que para todo elemento de A tenga un par en la relación y además sea unívoca: ( xz ) gof gof : A D := x A (xz) gof z = z ( xz' ) gof Existe entonces una función llamada compuesta gof que se define como: gof : A D x z = g( f ( x )) 174

14 TEOREMAS T 1.- Def gof = g(f) ho( gof) = (hog)of 175

15 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES SEGUN EL CODOMINIO DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INYECTIVA Def: f Inyectiva := ( xy ) ( zy ) f f x z Obs: A cada elemento del Codominio llega una flecha o ninguna {0,1} DEFINICIÓN DE FUNCIÓN SURYECTIVA Def: f Suryectiva := y B (xy) f Obs: A todo elemento del Codominio llega por lo menos una flecha. {1,n} DEFINICIÓN DE FUNCIÓN BIYECTIVA Def: f Biyectiva := f Inyectiva f Suryectiva Obs: A todo elemento del Codominio llega una flecha y solo una {1}. 176

16 FUNCIÓN INVERSA DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA Def: función inversa de f g : B A y x := f : A B x y = : (xy) f y B ( yx ) g (yx) g g Unívoca : = (zx) g y z g: función inversa de f f - 1 := g La notación habitual de la función inversa es TEOREMAS T 1.- g : g función inversa de f f Biyectiva D.- [ ] la relación g(bxa) se define como g(bxa) := {(yx) : (xy) f } por ser f biyectiva, es simultáneamente inyectiva y suryectiva f Inyectiva := f Suryectiva := ( xy ) f ( zy ) f y B (xy) f x z La relación g es entonces: 1.- Unívoca porque f es inyectiva 2.- Está definida para todo el conjunto B por ser f suryectiva por lo tanto es g función [ ] La condición suficiente se demuestra a partir de la definición de g. 177

17 1.- Como g es unívoca porque entonces f es inyectiva 2.- Como g cumple y B (xy) f entonces f suryectiva por lo tanto es f es biyectiva T 2.- g función inversa de f g 1 = ( f 1 ) 1 = f T 3.- g función inversa de f g biyectiva Obs: Usado en definición de Natural T 4.- f biy g biy gof biy T 5.- g: A A x x función identidad f = f 1 178

18 5.6.- RELACIONES BINARIAS: RELACIONES EN AxA RELACIONES REFLEXIVA, SIMÉTRICA TRANSITIVA Y DE EQUIVALENCIA RELACIÓN REFLEXIVA Def: R Reflexiva := x A (x x) R A AxA Rel. Reflexiva e x x x x x d x x x x x c x x x x x b x x x x x a x x x x x a b c d e A Obs : La relación es Reflexiva si contiene toda la diagonal Principal del Producto Cartesiano AxA RELACIÓN SIMÉTRICA Def: R Simétrica := (x y) R (y x) R A AxA Rel. Simétrica e x x x x x d x x x x x c x x x x x b x x x x x a x x x x x a b c d e A Obs: La relación es Simétrica si los pares ordenados del Producto Cartesiano AxA son Simétricos respecto de la Diagonal Principal. Teorema R Simétrica := (x y) R (y x) R D.- Por definición de Relación Simétrica (x y) R (y x) R (y x) R (x y) R 179

19 RELACIÓN TRANSITIVA ( x, y ) R Def: R Transitiva := ( y, z ) R (x, z) R A AxA Rel. Transitiva e x x x x X d (ad) (bd) x x X c x x x x X B (ab) x x x X A x x x x X a b c d e A Obs: La relación es Transitiva cuando: dado dos pares (x,y) y (y,z) de la relación R, existe un tercer par (x, z) que también pertenece a la relación. Este último es el par que está en la misma columna del primero y fila del segundo. (jaque de torres) COMPATIBILIDAD E INDEPENDENCIA DE LAS RELACIONES REFLEXIVA, SIMÉTRICA Y TRANSITIVA Compatibilidad A AxA Rel Reflexiva Simétrica Rel Equiv. Transitiva Independencia e x x x x x d x x x x x c x x x x x b x x x x x a x x x x x a b c d e A A AxA A AxA A AxA Rel No Reflexiva Rel. Reflexiva Rel. Reflexiva Simétrica No Simétrica Simétrica Transitiva Transitiva No Transitiva e x x X x x e x x x x x e x x x x x d x x X x x d x x x x x d x x x x x c x x X x x c x x x x x c x x x x x b x x X x x b x x x x x b x x x x x a x x X x x a x x x x x a x x x x x a B C d e A a b c d e A a b c d e A (b c) (c a) / (b 180

20 Las relaciones los ejemplos expuestos. Reflexivas, Simétrica y Transitiva son compatibles e independientes como se demuestra en Obs: En particular la relación Reflexiva es independiente de las Simétrica y transitiva: R Simétrica R Transitiva / R Reflexiva (R Simétrica) (R Transitiva) (R Reflexiva) Sin embargo hay una aparente demostración de que la condición de relación Simétrica y Transitiva implica la de Reflexiva. Esta demostración es falsa, a pesar de lo que parecería en un primer análisis: Demostración aparente de la proposición no válida Por ser R una relación Simétrica (x y) R (y x) R ( x, y ) ( y, x ) y por ser R una relación Transitiva R (x, x) R R La proposición demostrada no es válida para todos los elementos x del conjunto A por lo tanto la condición de simetría y transitividad no aseguran la reflexividad RELACIÓN DE EQUIVALENCIA A partir de la compatibilidad e independencia de las Relaciones Reflexiva, Simétrica y Transitiva se puede definir: R Re flexiva Def: R Equivalencia := R Simétrica R Transitiva A AxA Rel Reflexiva Simétrica Rel Equiv. Transitiva e x x x x x d x x x x x c x x x x x b x x x x x a x x x x x a b c d e A 181

21 Ejemplos: Son Relaciones de Equivalencia [ = ] Igualdad de Conjuntos en general y en particular Igualdad de Números Naturales, Enteros, Fraccionarios, Reales y Complejos. [ ] Identidad de elementos [ ] Doble Implicación de Proposiciones [ ] Paralelismo de Rectas y Planos [ ] Semejanza de figuras y Congruencias CLASE DE EQUIVALENCIA (CE) DEFINICIÓN DE CE Def: R Equivalencia CE(x) := { y : (x y) RE } CE(x) : Clase de equivalentes al elemento x con respecto a RE DEFINICIÓN DE CONJUNTO COCIENTE Def: R Equivalencia CE(x) := { y : (x y) RE } P := { CE(x) } P : Conjunto Cociente: Conjunto de las Clases de equivalencia de RE TEOREMAS T 1.- X : = { x } Y : = { y } f : X Y : f biyectiva RE CE( x ) : = { y : ( xy ) RE } 182

22 RELACIONES A-REFLEXIVA, A-SIMÈTRICA, A-TRANSITIVA Y ANTISIMÈTRICA RELACIÓN A-REFLEXIVA Def: R A-Reflexiva := R Reflexiva := / x A (x x) R := x A (x x) R Obs: La relación es A-Reflexiva si no contiene a Toda la Diagonal Principal del Producto Cartesiano AxA RELACIÓN A-SIMÈTRICA Def: R A-Simétrica := R Simétrica := (x y) R / (y x) R := (x y) R (y x) R Obs: La relación es A-Simétrica si existe algún par ordenado de la relación no Simétrico respecto de la Diagonal Principal del Producto Cartesiano AxA RELACIÓN A-TRANSITIVA Def: R A-Transitiva := R Transitiva ( x, y ) R := ( y, z ) R / (x, z) R RELACIÓN ANTISIMÈTRICA La definición de Antisimetría se apoya sobre la existencia previa de una Relación de Equivalencia RE. Def: R Antisimétrica /RE := RE Equivalencia ( xy ) R ( xy ) RE ( yx ) R A AxA Rel Antisimétrica e x x x x x d x x x x x c x x x x x b x x x x x a x x x x x a b c d e A 183

23 Obs 1: La definición de la Relación Antisimétrica significa que no coexisten en la relación pares simétricos salvo los (x x) que están en la diagonal principal. Esto se observa fácilmente tomando la Proposición Contrarrecíproca (PCR) de la definición dada: PCR Proposición Contrarrecíproca R Antisimétrica /RE := RE Equivalencia ( xy ) RE [( xy ) R ( yx ) R ] Obs 2: Las relaciones Antisimétricas son independientes y compatibles con las relaciones Simétricas y A- Simétricas, es decir las pueden ser simultáneas, como lo prueban los siguientes ejemplos: A AxA A AxA Rel Simétrica Rel. Simétrica Antisimétrica No-Antisimétrica e x x x x x e x x x x x d x x x x x d x x x x x c x x x x x c x x x x x b x x x x x b x x x x x a x x x x x a x x x x x a b c d e A a b c d e A A AxA A AxA Rel A-Simétrica Rel. A-Simétrica Antisimétrica No-Antisimétrica e x x x x x e x x x x x d x x x x x d x x x x x c x x x x x c x x x x x b x x x x x b x x x x x a x x x x x a x x x x x a b c d e A a b c d e A 184

24 RELACIONES DE ORDEN RELACIÓN DE ORDEN ESTRICTO (ROE) Def: R Orden Estricto := R A Simétrica R Transitiva Ejemplos: Son Relaciones de Orden Estricto A AxA Rel A-Simétrica Transitiva ROE e x x x x x d x x x x x c x x x x x b x x x x x a x x x x x a b c d e A [ > ] Mayor de Números Naturales Enteros, Fraccionarios y Reales RELACIÓN DE ORDEN AMPLIO (ROA) Def: R Orden Amplio/RE := R Re flexiva R Antisimétrica / RE R Transitiva A AxA Rel Reflexiva Antisimétrica/RE ROA Transitiva e x x x x x d x x x x x c x x x x x b x x x x x a x x x x x a b c d e A Ejemplos: Son Relaciones de Orden Amplio [ ] Inclusión de Conjuntos [ ] Implicación de Proposiciones [ ] Mayor o igual de Números Naturales Enteros, Fraccionarios y Reales 185

25 Obs: Las notaciones usuales para las relaciones de orden son x y ó x R y ó (x y) R. Se ha preferido la última notación para evitar confusiones RELACIÓN DE ORDEN TOTAL Una tipificación de Relación de Orden tanto para ROE como para ROA es la de ser Total sobre el Conjunto A. Esto es cuando para todo elemento x de A, existe por lo menos un par ordenado (x y) en la relación de Orden Def: R Orden Total /A := x A (x y) R (y x) R R Orden Total /A : Relación de Orden Total sobre A TEOREMAS DE RELACIONES DE ORDEN Teorema: Dado una ROA [ROE] (de mayor o menor), existe siempre otra ROA [ROE] (de menor o mayor), que es la simétrica de la primera con respecto a la diagonal principal del AxA. 186

26 5.6.5

27

28

29 5.6.7

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37 5.7 EL PRINCIPIO DEL PALOMAR El objetivo de este capítulo es ilustrar las insospechadas aplicaciones del principio del palomar (o principio de Dirichlet o de las cajas), que en su versión más sencilla, reza así: si tenemos n nidos y en ellos duermen n + 1 palomas, al menos hay un nido en el que duerme más de una paloma. Como ya discutíamos se trata de la solución a un problema de existencia 1. Simplemente estamos afirmando que, si tenemos suficientes palomas, en este caso n + 1, entonces, sea cual sea la distribución de palomas en los n nidos, hay al menos dos que comparten una propiedad (dormir en el mismo nido). Habrá, sin duda, distribuciones en las que haya más palomas con esa propiedad (imaginemos que todas ellas duermen en el mismo nido), pero esto nos interesa aquí. Nada decimos sobre de cuántas formas se pueden distribuir las palomas. Digamos que un cierto conjunto X contiene a todas las posibles situaciones o estados del mundo. Supongamos que X es finito, por ejemplo de tamaño n, y que la evolución entre estos posibles estados viene dada por una cierta función f: X > X. Si nuestra situación inicial es x 0 X, la Historia (con mayúscula) es la sucesión de estados x 0, f(x 0 ), f 2 (x 0 ),f 3 (x 0 )... En los primeros n +1 estados del mundo, (x 0, f(x 0 ),..., f n (x 0 )), ha de haber, con seguridad, dos repetidos. Digamos que son f j (x0) y f k (x 0 ), con j < k. Pero entonces f j+1 (x 0 ) = f(f j (x 0 )) = f (f k (x 0 )) = f k+1 (x 0 ). Así que el estado del mundo f j+1 (x 0 ) coincide con f(f j (x 0 )). Y lo mismo para los siguientes. Por lo tanto, en esta sucesión de estados habría un patrón que se repite indefinidamente. Así que toda Historia es cíclica a partir de un cierto momento. Un argumento de eterno retorno, que Nietzsche utilizaba explícitamente Distintas formulaciones del principio del palomar Reformulemos este principio en un lenguaje menos exótico que el de los nidos y las palomas: sea un conjunto X de n objetos que distribuimos en k cajas. El principio del palomar dice entonces que si n > k, hay al menos una caja recibe dos (o más) objetos. Si ocurriera que n > 2 k, entonces podríamos asegurar que al menos una caja recibe tres o más objetos (piénsese en el peor caso: 2 k objetos situados de dos en dos en cada caja... y aún queda algún objeto por repartir). Y, en general, dado un r 1, si n > kr, entonces al menos una caja recibe r + 1 (o más) objetos. Con un lenguaje más matemático, podríamos enunciarlo de la siguiente manera: Proposición 1 Sean dos conjuntos X (con n elementos) y Y (con k elementos) y una aplicación f : X ----->Y Entonces, sea cual sea la aplicación f, si n >k hay al menos dos elementos de X, x 1 y x 2 (x 1 x 2 ) tales que f(x 1 ) = f(x 2 ). O, en términos mas generales, si n > kr, para cierto r 1, hay al menos r + 1 elementos distintos de X, x 1, x 2,..., x r, tales que f(x 1 ) = f(x 2 ) = = f(x r ). En el lenguaje zoológico usado antes, los elementos de X serían las palomas, los de Y los nidos, y la aplicación f es aquella que indica en qué nido duerme cada paloma. Diríamos entonces que si hay n palomas y k nidos, donde n > kr, entonces habría, con seguridad, al menos r + 1 palomas durmiendo en el mismo nido. El caso r = 1 es el principio del palomar habitual. 1 Que podemos formular en general como: en un cierto sistema, si es suficientemente grande, siempre existen subsistemas no pequeños que satisfacen una cierta propiedad. 187

38 Por supuesto, la dificultad a la hora de aplicar el principio del palomar será identificar en cada problema qué desempeña el papel de nidos y de palomas, y describir la aplicación f. Ejemplo 1 Comprobemos que si en un cuadrado de diagonal 3 marcamos al azar 10 puntos, entonces siempre tenemos al menos dos puntos que están a distancia no mayor que 1. Dividimos el cuadrado en 9 cuadraditos de diagonal 1 (incluyendo sus bordes): Sean X = {x 1, x 2,..., x 10 } el conjunto de puntos y Y = {C1, C9} el de cuadraditos, y construyamos la aplicación f : X ----->Y Xj ----->Y f(x) = cuadrado Ck en el que está x C2,..., Si x estuviera en mas de un cuadrado, elegimos uno cualquiera; digamos que el que menor subíndice tenga (esto es, si está entre C5 y C8, elegimos el C5). Aplicando el principio del palomar, sea cual sea la aplicación concreta f (la distribución de puntos), deberán existir al menos dos puntos con la misma imagen, es decir, que estén en el mismo cuadradito. Y como los cuadraditos tienen diagonal 1, esos dos puntos distarían como mucho una unidad. Ejemplo 2 Probemos que si X es un conjunto arbitrario de 20 números naturales, entonces hay al menos dos elementos de X cuya diferencia es un múltiplo de 19. En un lenguaje que ya manejamos bien, buscamos dos elementos de X cuya diferencia sea congruente con 0 módulo 19. Así que consideremos la aplicación f: X > {0, 1,..., 18} que a cada n X le asigna f(n) = n módulo 19. Por el principio del palomar, al menos dos elementos de X, digamos n1 y n2, tienen la misma imagen: f(n1) = f(n 2 ). Pero entonces n 1 = n 2 módulo 19. Y, por tanto, n 1 n 2 = 0 módulo 19, que es lo que queríamos. A veces no podemos aplicar directamente el principio del palomar, y se requiere una preparación inicial. Ejemplo 3 Supongamos que en una reunión hay n personas y nos preguntamos por el número de personas que conoce cada una. Convenimos que si una persona conoce a otra, ésta también conoce a la primera; y que nadie se conoce a sí mismo 2. Comprobemos que hay al menos dos personas que tienen el mismo número de conocidos. Sea X = {x 1,..., x n } al conjunto de personas; cada una de ellas tendrá un cierto número de conocidos, y este número estará en el conjunto Y = {0,..., n - 1}. Construimos la aplicación f : X > Y x j ----> f(x j ) = #{conocidos de x j }. Aparentemente, no podemos aplicar el principio del palomar, porque X y Y tienen el mismo número de elementos, n. Pero vamos a ver que, en realidad, la aplicación f nunca puede cubrir todo Y. Distinguimos dos posibilidades: Supongamos que existe una persona x con f(x) = 0 (es decir, que no conoce a nadie). Entonces f no puede tomar el valor n - 1 (si existiera una persona que conociera a todas, debería conocer también a x). Así que f toma valores en el conjunto {0,1,..., n - 2}, que tiene n - 1 elementos. 2 "Olvidándonos del nosce te ipsum ( conócete a ti mismo ) del pórtico del templo de Apolo en Delfos. 188

39 Aplicando el principio del palomar, concluimos que, en este caso, al menos dos personas tienen el mismo número de conocidos. Si no existe esa persona que no conoce a nadie, entonces f no toma el valor 0, y acabamos aplicando de nuevo el principio del palomar. El siguiente ejemplo requiere todavía más elaboración. Ejemplo 4 Sea S un conjunto de n números naturales. Mostremos que hay un subconjunto T S tal que la suma de todos sus elementos es un múltiplo de S = n. Parece claro que deberemos considerar las sumas de los elementos de S módulo n: lo que buscamos es una suma que sea = 0 módulo n. Un primer intento sería establecer la aplicación Es decir, 1 es la aplicación que a cada subconjunto T de S le asocia el valor (módulo n) de la suma de sus elementos. Queremos ver si 1 toma necesariamente el valor 0. Como en X hay 2 n elementos y en Y hay n (y sabemos que 2 n > n, para n 1), el principio del palomar nos permite concluir que hay al menos dos subconjuntos T1 y T2 de S tales que y que, por tanto, Podemos deducir de aquí lo que queremos? Si ocurriera que T1 contiene a T2 (o al revés), es fácil comprobar que si. Pero recordemos que el principio del palomar no nos dice nada sobre cómo son estos subconjuntos T1 y T2, sólo que existen; así que este no parece ser el camino. Lo que debemos hacer es escoger más cuidadosamente los subconjuntos: empecemos ordenando los elementos de S, digamos de menor a mayor, S = {a 1 < < a n } Vamos a considerar los subconjuntos {a 1 }, {a 1, a 2 }, {a 1, a 2, a 3 }, etc. Construyamos la función 2 : {1,..., n} {0,..., n - 1} La función 2 devuelve los valores (módulo n) de las sucesivas sumas a 1, a 1 + a 2, a 1 +a 2 + a 3, etc., que podemos formar. Como ambos conjuntos, el de partida y el de llegada, tienen n elementos, tendremos que distinguir dos casos: Si existe un i con 2( i ) = 0, habremos terminado, porque tendríamos que y el conjunto buscado sería T = {a 1,..., a i }. Si, por el contrario, no existe tal i, entonces la aplicación 2 sólo tomaría valores en {1,..., n - 1}. El principio del palomar nos diría entonces que existen i < j tales que 2(i) = 2(j). Esto es, Y el conjunto buscado sería T = {a i+1,..., a j }. 189

40 Como vemos, la aplicación del principio del palomar a la resolución de problemas suele requerir algo de ingenio. Los ejercicios del final de la sección son un buen entrenamiento que recomendamos al lector. Ejemplo 5 Comprobemos que en una reunión de seis personas, o bien tres de ellas se conocen entre sí, o bien tres de ellas no se conocen entre sí. Seguimos con la convención del ejemplo 3: si una persona conoce a otra, al revés también, y nadie se conoce a sí mismo. Llamemos {a, b, c, d, e, f} al conjunto de personas y fijémonos en una de ellas, digamos a. Situamos a las otras cinco personas en dos cajas, según conozcan o no a a. El principio del palomar nos dice que una de las cajas contendrá (al menos) a tres personas. Digamos que estamos en el caso de que sea la caja con conocidos la que tiene al menos tres personas (un argumento análogo funciona en el otro caso). La persona a conoce, por ejemplo, a las personas b, c y d. Ahora nos fijamos en este grupo: si alguno de ellos se conoce entre sí, digamos b y c, ya tendríamos un grupo de tres amigos (a, b y c, en este caso). Pero si no es así, estaríamos en la segunda opción del enunciado: b, c y d formarían un grupo de (tres) desconocidos Otras versiones del principio del palomar La siguiente versión probabilística del principio del palomar nos dice que, en un conjunto de n números naturales, no puede ocurrir que todos ellos están por encima (o por debajo de la media). Proposición 2 Dados n números naturales x 1,..., x n tales que su suma vale S, alguno de ellos ha de ser mayor o igual que S/n. Demostración. Si no fuera así, todos los x i serian menores que S/n, y entonces lo que no tiene sentido. El mismo argumento nos permite concluir que existe un elemento que es menor o igual que S/n. Con esta idea, podemos dar una formulación más general del principio del palomar. Proposición 3 Sean dos conjuntos X e Y (finitos y no vacíos) y sea una aplicación f de X en Y. Entonces, Demostración. Estamos aquí utilizando la notación habitual para nombrar el conjunto de pre imágenes del elemento y Y: Por ser f una aplicación (cada elemento de X tiene una única imagen), se tendría que Entonces, por la proposición anterior, existirá al menos un elemento Y Un argumento análogo permite probar la parte (b) del enunciado. Por ejemplo, si X = n +1 y Y = n, deduciríamos que existe un elemento de Y tal que 190

41 Como el número de la izquierda es un entero, entonces ha de ser mayor o igual que 2, el principio del palomar habitual. Y en general, si X > r Y para cierto número natural r, entonces existirá un y Ytal que En otras palabras, existen al menos r + 1 elementos de X cuya imagen es el elemento y. Ejemplo 6 En un grupo de 7 personas, la suma de las edades es 332 años. Probar que se puede escoger a tres de ellas de manera que la suma de sus edades sea al menos 143 años. Llamemos x 1,..., x n a las edades, ordenadas de mayor a menor. Sabemos que 332 = (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ). Como están ordenadas de mayor a menor, la suma de las tres mayores edades ha de ser mayor (o igual) que la suma de cualesquiera otras tres edades. Es decir, x 1 + x 2 + x 3 será mayor o igual que cualquiera de la sumas x 4 + x 5 + x 6, x 4 + x 5 + x 7, x 4 + x 6 + x 7, x 5 + x 6 + x 7. Sumando estas cuatro desigualdades, llegamos a que 4(x 1 + x 2 + x 3 ) > 3(x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ). Entonces, esto es, Pero podríamos abordar el problema utilizando el principio del palomar. Con las 7 personas podemos formar ( 7 3) = 35 triples distintos. Pero cada persona aparecerá en ( 6 2) = 15 triples (basta decidir que dos personas le acompañan). Entonces se cumplirá que Como hay 35 triples distintos, la suma de las edades de alguno de ellos ha de ser mayor o igual que Ejemplo 7 Un conjunto X de 100 elementos se parte en 14 bloques. Pruébese que hay dos bloques con el mismo número de elementos. Llamemos x i al tamaño del bloque i-ésimo. Entonces Si todos los x i fueran distintos, entonces tendríamos que Pero esto no puede ocurrir, así que al menos dos han de ser iguales. Finalicemos con una última versión del principio del palomar, en el que el conjunto de palomas es infinito; de nuevo, el enunciado es bastante obvio: se dispone de una cantidad infinita de objetos que se han de repartir en un conjunto finito de cajas. Entonces, al menos una caja contiene un número infinito de objetos 191

42 5.8 COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL 1 Un algoritmo resuelve un problema, pero dado un problema hay más de un algoritmo que lo resuelve. 2 A lo largo de este tema, se podría pensar en traducir la palabra dificultad por complejidad ; pero, se pretende diferenciar entre la dificultad de resolver un problema y la complejidad del algoritmo que lo resuelva: es decir, cuando se dice que los problemas X y Y son igual de difíciles de resolver, es porque sus mejores algoritmos conocidos tienen una complejidad similar. Por purismo, o por mera deformación profesional (tanto leer en inglés tiene consecuencias perniciosas sobre el vocabulario propio), se mantiene dificultad. 192

43 El dilema del contrabandista 193

44 194

45 Definiciones básicas 3 Es decir, encontrar una solución eficiente para cualquier problema de esa clase es igual de difícil que encontrar una solución eficiente para ese problema especial. 195

46 Clases de complejidad 196

47 197

48 Relaciones entre clases deterministas y no deterministas 198

49 5 Por ahora? 199

50 Las clases de complejidad polinómica 200

51 201

52 202

53 Introducción a la teoría de la complejidad computacional 203

54 204

55 205

56 PROBLEMAS PROPUESTOS 206

57 207

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