INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO TESIS:

Transcripción

1 UNIDAD ZACATENCO TESIS: LA ORIENTACIÓN ASTRONÓMICA COMO ANTECEDENTE DEL POSICIONAMIENTO GEORREFERENCIADO. QUE PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO CIVIL PRESENTAN: MISAEL TREJO BASILIO RAYMUNDO ROJAS FLORES ASESOR DE TESIS PROFESIONAL ING. RICARDO LÓPEZ RAMÍREZ México, D.F

2 UNIDAD ZACATENCO DEDICATORIAS ESTA TESIS SE LA DEDICO PRINCIPALMENTE A MIS PADRES POR DARME EL APOYO TANTO ECONÓMICO COMO MORALMENTE, YA QUE SIN ELLOS NO ME HUBIESE PODIDO DESARROLLARME EN LA CARRERA PROFESIONAL. A DIOS POR PRESTARME LA VIDA QUE TENGO Y PODER DISFRUTAR DE MI FAMILIA Y MI VIDA PROFESIONAL. A MI ESPOSA E HIJA QUE GRACIAS A ELLAS ME MOTIVARON A REALIZAR LA TESIS PARA PODER BRINDARLES UN FUTURO MEJOR. DE TODO CORAZÓN: MISAEL TREJO BASILIO. ESTA OBRA SE LA DEDICO A MIS PADRES POR HACER DE MI UN HOMBRE DE BIEN Y ENSEÑARME EL CAMINO DE VALORES QUE LA VIDA OTORGA Y POR DARME LAS HERRAMIENTAS NECESARIAS PARA PODER LOGRAR, UNO DE TANTOS OBJETIVOS QUE LA VIDA DA. A MIS HERMANOS POR DARME EL APOYO ESPIRITUAL Y MORAL, GRACIAS. ATENTAMENTE: RAYMUNDO ROJAS FLORES.

3 UNIDAD ZACATENCO AGRADECIMIENTOS A MIS PADRES Y HERMANOS POR BRINDARME EL APOYO PARA PODER DESENVOLVERME DURANTE TODA MI VIDA PROFESIONAL. A MI ASESOR DE TESIS POR BRINDARME SU TIEMPO Y ESFUERZO DURANTE EL DESARROLLO DE ESTE TRABAJO. A LA ESCUELA Y PROFESORES DEL LA ESIA ZACATENCO POR BRINDARME DE SUS EXPERIENCIAS Y CONOCIMIENTOS PARA SER UN PROFESIONISTA DE PROVECHO. ATENTAMENTE: MISAEL TREJO BASILIO. A MIS PADRES Y HERMANOS POR CREER EN MI Y DARME EL APOYO ESPIRITUAL, MORAL Y ECONÓMICO DURANTE MI FORMACIÓN PROFESIONAL Y POR NO DOBLEGAR SUS ESPERANZAS PUESTAS EN MI GRACIAS. A TODOS LAS PERSONAS QUE FORMARON PARTE DE MI FORMACIÓN. A LOS PROFESORES DE LA ESIA ZACATENCO POR DARME Y TRASMITIRME SUS CONOCIMIENTOS PARA LOGRAR SER UN HOMBRE DE PROVECHO. Y A DIOS QUE ME DIO FUERZAS Y ENTENDIMIENTO PARA QUE LOGRARA SER UN INGENIERO CIVIL. DE TODO CORAZÓN ATENTAMENTE: RAYMUNDO ROJAS FLORES

4 UNIDAD ZACATENCO DEL POSICIONAMIENTO GEOREFERENCIADO ÍNDICE. OBJETIVO.1 UNIDAD I.- INTRODUCCIÓN... 2 UNIDAD II.- ELEMENTOS BÁSICOS DE LA COSMOGRAFÍA.5 II.1.- LA ESFERA CELESTE...7 II.2.- PRINCIPALES SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES.12 II.3.- TRIÁNGULO ASTRONÓMICO.. 23 UNIDAD III.- MEDIDA DEL TIEMPO...31 III.1.- TIEMPO SIDEREO..33 III.2.- TIEMPO SOLAR VERDADERO III.3.- TIEMPO SOLAR MEDIO 34 III.4.- HUSOS HORARIOS 36 III.5.- CONVERSIÓN DE TIEMPO EN ARCO Y ARCO EN TIEMPO..40 UNIDAD IV.- DECLINACIÓN DEL SOL.42 IV.1.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL ANTES DE IV.2.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL DESPUES DE IV.3.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL CON UN ANUARIO ATRASADO.50 UNIDAD V.-DETERMINACIÓN DEL AZIMUT ASTRONÓMICO CON UN TEODOLITO ELECTRÓNICO V.1.- CONFIGURACIÓN DEL TEODOLITO ELECTRÓNICO...54 V.2.- TRABAJO DE CAMPO.. 58 V.3.- TRABAJO DE GABINETE V.4.- CÁLCULO DEL AZIMUT ASTRONÓMICO..70 V FORMULAS APLICADAS V EJEMPLO CONCLUSIONES..86 BIBLIOGRAFÍA.87

5 UNIDAD ZACATENCO Fundamentación: El azimut astronómico es la base para proporcionarle la dirección a cada una de los lados de una poligonal cerrada ó abierta, pero la tendencia en un futuro cercano es la de ya no utilizarla por que las normas globalizadas no pueden ser cumplidas por este procedimiento, pero afortunadamente los posicionadores por satélite resuelven en la actualidad el problema de la georeferenciación de las poligonales, solo que existe el inconveniente de que todavía su alto costo los presenta inaccesibles para trabajos como el que presentamos en la tesis, razón por la cual decidimos abordar el tema de la orientación astronómica cubriendo los aspectos mas importantes para quien consulte nuestro trabajo entienda fácilmente su aplicación en otros trabajos que presenten el problema económico que les impida utilizar un posicionador por satélite.

6 OBJETIVO GENERAL. Presentar en este trabajo los antecedentes básicos de la cosmografía y la trigonometría esférica, necesarios para el cálculo del azimut astronómico del sol y en función de este, el azimut astronómico de un lado de la poligonal, de una forma mas directa y sencilla para que se aplique en el caso de no contar con un posicionador por satélite. 1

7 UNIDAD I: INTRODUCCIÓN. 2

8 UNIDAD I.- INTRODUCCIÓN. La ingeniería civil siempre requiere de un plano topográfico completo, es decir que tenga la planimetría y la altimetría del terreno donde se pretende proyectar y construir una obra civil. Para obtener la planimetría y altimetría de un terreno utilizamos poligonales que son figuras que sirven como auxiliares para integrar toda la información obtenida en campo de tal manera que nos presente todos los elementos topográficos a escala. Si analizamos planos topográficos antiguos observamos que desde entonces la preocupación en estos planos fue la orientación del terreno presentando en dichos planos, pero una orientación que no sufriera variaciones y por lo tanto la solución fueron los astros como las estrellas ó el sol, es decir que al observar en el cielo la posición de los astros, sirviera como base para la orientación de los terrenos representados en los planos antes mencionados. En el presente trabajo se habla de la orientación astronómica desde los elementos básicos mas importantes de la cosmografía como la esfera celeste y los sistemas de coordenadas celestes que se utilizan para ubicar un astro en el espacio como las coordenadas horizontales referidas como su nombre lo indica al horizonte, las coordenadas ecuatoriales referidas al ecuador, y las coordenadas eclípticas que tienen como referencia a la eclíptica. Se trata también el tema referente a los errores que se producen al observar con un teodolito al sol, que es el astro que podemos tomar como referencia para realizar la orientación astronómica, errores como los causados por la refracción y el paralaje y como se corrigen. 3

9 El calculo del azimut astronómico de una línea de la poligonal se desarrolla en función del azimut del sol, el cual se obtiene también observando con un teodolito como el que se presenta en este trabajo en uno de los temas, ya que la observación requiere de un prisma, de un filtro ó de una pantalla. Con los datos obtenidos y aplicando las formulas de la trigonometría esférica como la del seno, coseno ó de la tangente se calcula el azimut astronómico del sol, para que en función de este y el auxilio de un croquis, se calcula el azimut astronómico de la línea de nuestra poligonal. La astronomía entonces a través del tiempo y hasta nuestros días ha sido la ciencia que nos proporciona los elementos para que todos los planos topográficos que sirvan de apoyo para el proyecto de una obra civil tengan la orientación que no presente variaciones, es decir, que siempre se mantenga constante al paso de los años, esta es una de las razones por las que decidí presentar de una forma practica y sin el empleo de equipo costosos la forma de realizar una orientación astronómica incluyendo el trabajo de campo y de gabinete, así como la parte de la cosmografía básica representada por las coordenadas celestes y la trigonometría esférica elemental representada con las formulas utilizadas durante el calculo del azimut astronómico del sol y su relación de este con el ultimo lado de la poligonal que sirvió como auxiliar para realizar el levantamiento del predio que se dividió posteriormente en tres partes iguales con fines de herencia, predio que se ubica en Remedios Zimapán, Hidalgo y esta propiedad es del señor Rodrigo Martínez Vega lo cual demostró con sus escrituras. El procedimiento para dividir el predio en tres partes decidimos no abordarlo en la tesis por que este tema es motivo de otro trabajo completo. 4

10 UNIDAD II: ELEMENTOS BASICOS DE LA COSMOGRAFIA. 5

11 OBJETIVO: Conocer los elementos básicos de la cosmografía como antecedentes de la orientación astronómica que así misma es antecedente de la georefenciación. 6

12 UNIDAD II. ELEMENTOS BASICOS DE LA COSMOGRAFIA. II.1.- LA ESFERA CELESTE. Los astros se encuentran diseminados en el espacio a distancias enormes de la Tierra y, además cada uno está a diferente distancia de los otros. Nos da la impresión de que es una esfera encontrándose todos los astros en su interior. Por estar los astros tan alejados, el observador desde la Tierra no aprecia que unos están más cerca que otros, sino que le parece que todos se encuentran a la misma distancia. Para la resolución de la mayoría de los problemas de Astronomía se supone que esta apariencia es cierta, es decir, que todos los astros se encuentran en una gran superficie esférica de radio arbitrario denominado esfera celeste. Uno de los puntos de mayor interés para el que se inicie en la afición de la Astronomía suele ser la orientación en la esfera celeste: cómo observar objetos cuya posición conocemos previamente a partir de un atlas, o deducir la posición aproximada del objeto que estamos observando, para identificarlo. Para localizar los objetos celestes necesitaremos un sistema de coordenadas. Conociendo las coordenadas del astro podremos identificarlo en el cielo, ya sea directamente mediante círculos graduados de nuestro telescopio o indirectamente mediante cartas celestes. La localización de un objeto celeste en el cielo requiere únicamente conocer la orientación que debemos dar a nuestro telescopio, ya que para verlo no necesitamos saber la distancia a la que se encuentra. 7

13 Por este motivo se introduce el concepto de esfera celeste: una esfera imaginaria de radio arbitrario centrado en el observador, sobre la cual se proyectan los cuerpos celestes. * Los sistemas de coordenadas que vamos a emplear en la esfera celeste serán parecidos a los utilizados para definir posiciones sobre la superficie terrestre: sistemas de coordenadas esféricas. En la superficie terrestre se emplea la longitud y la latitud terrestre. Según el centro que se tome en la esfera celeste, existen tres clases de esferas: Esfera celeste local (topocéntrica): Tiene por centro el ojo del observador. Es la que contemplamos, en un instante dado vemos una mitad de esta esfera, la que está sobre nuestro horizonte. Esfera celeste geocéntrica: Tiene por centro a la Tierra. Esfera celeste heliocéntrica: Tiene por centro el Sol. Para la esfera celeste, daremos algunas definiciones que nos ayudarán a introducir los sistemas de coordenadas. Si prolongamos la dirección de los polos terrestres tenemos el eje del mundo. * wolf/brinker 2001 Topografía, Alfa-Omega, México, Pág

14 Los puntos de intersección del eje del mundo con la esfera celeste constituyen los polos celestes, el polo que se halla encima del horizonte del Hemisferio Norte es el Polo Boreal, Ártico o Norte, que coincide con la estrella Polar; el otro se llama Polo Austral, Antártico o Sur. El plano perpendicular al eje del mundo forma el ecuador terrestre, y su intersección con la esfera celeste forma el Ecuador celeste. El plano del ecuador celeste forma dos hemisferios celestes, el hemisferio norte o boreal, y el hemisferio sur o austral. Los planos paralelos al ecuador forman sobre la esfera celeste círculos menores denominados paralelos celestes o círculos diurnos. La vertical del lugar es la dirección de la gravedad en dicho lugar y corta a la esfera celeste en dos puntos llamados cenit y nadir. El cenit es el situado por encima del observador y el nadir por debajo del mismo. El horizonte del lugar es el círculo máximo de la esfera celeste, perpendicular a la vertical del lugar. El horizonte divide a la esfera celeste en dos hemisferios: el hemisferio superior o visible y el hemisferio inferior ó invisible. 9

15 Esfera celeste. P Polo norte celeste Z Cenit Q Ecuador celeste Horizonte N Meridiana S Eje del mundo Q Ecuador celeste N Nadir p Polo sur celeste Figura 1:Elementos de la esfera celeste. * A cada lugar le corresponderá un meridiano, que será el formado por eje del mundo y la línea ZN (cenit-nadir) del lugar. Todo plano que pasa por el eje del mundo forma sobre la esfera celeste unos círculos máximos denominados meridianos celestes. Cuando dicho meridiano pasa por el cenit y por los polos se llama meridiano del lugar. * Figura 1, Esfera Celeste, wolf/brinker, 2001, Topografía, Alfa-Omega, México, Pág

16 La meridiana es la recta de intersección del plano del horizonte y del meridiano del lugar. La meridiana o línea norte-sur corta a la esfera celeste en dos puntos opuestos, el más próximo al polo boreal se llama Norte o septentrión y se designa Con la letra N, mientras que el más próximo al polo austral se denomina Sur o Mediodía y se designa con la letra S. La recta perpendicular a la meridiana forma en la esfera celeste los puntos cardinales Este u Oeste, el primero se designa con la letra E, mientras que el último con la letra W. A los círculos menores de la esfera celeste paralelos al horizonte se les denomina Almucantarates. El orto de un astro es su salida sobre el horizonte del lugar, y el ocaso de un astro es su puesta por el horizonte. El paso de un astro por el meridiano del lugar se llama culminación superior o paso por el meridiano. 11

17 II.2.- PRINCIPALES SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES. COORDENADAS HORIZONTALES. * Vertical Z Cenit z A Circulo vertical S h N A Circulo horizontal Z Nadir Figura 2: Elementos de las coordenadas horizontales Las coordenadas horizontales del astro A : Arco A A= altura (h). Arco Z A =distancia cenital (z). Arco N A =azimut (Az). * Figura 2, coordenadas horizontales, Ricardo Toscano, 1966, Métodos topográficos Porrúa, México, Pág

18 El ángulo vertical de altura (Arco A A) se mide a partir del horizonte hacia el cenit ó hacia el nadir de 0º a 90º ó de 0º a -90º. La altura se mide con un transito. La distancia cenital (Arco Z A) se mide a partir del cenit hacia el astro de 0º a 180º. La distancia cenital se mide con un teodolito. El azimut se mide a partir del norte en sentido horario hasta el circulo vertical del astro arco (N A ). El ángulo de altura y la distancia cenital son complementarios. h + z = 90 13

19 Las coordenadas horizontales son aquellas que están referidas al horizonte del observador. El origen de coordenadas es un sistema topocéntrico cuyo eje fundamental es la vertical del lugar (línea que sigue la dirección de la plomada). El punto de intersección con la esfera celeste situado encima del observador es el cenit, mientras que el punto opuesto es el nadir. El círculo fundamental es el horizonte del lugar. Los círculos menores paralelos al horizonte del lugar se denomina almucantarates y lo semicírculos máximos que pasan por el cenit, nadir y un astro determinado se denominan círculos verticales o vertical del astro. Las coordenadas horizontales son: la altura (altitud) y el acimut. La altitud es la altura del astro sobre el horizonte (arco de semidiámetro vertical comprendido entre el horizonte del lugar y el centro del astro); se mide de 0º a 90º a partir del horizonte, y tiene signo positivo para los astros situados por encima del horizonte y signo negativo para los situado por debajo del mismo; se representa por la letra h. También se usa, en vez de la altura, la distancia cenital, es el arco de semidiámetro vertical comprendido entre el cenit y el centro del astro. Se representa por Z y se relaciona con la altura por la ecuación: 0 h = 90 º - Z 14

20 El azimut es el arco del horizonte medido en sentido retrógrado desde el punto Sur hasta la vertical del astro. Su valor va de 0º a 360º y se representa por la letra A o a. En el sistema de coordenadas horizontales, la altitud y el acimut de los astros varían por la rotación terrestre y según el horizonte del observador. Estos ejes de coordenadas son los que tiene los telescopios con montura acimutal. 15

21 COORDENADAS ECUATORIALES. * p meridiano del astro A T Q Q A p Las coordenadas ecuatoriales del astro a son: Arco A A = declinación del astro (δ ) Arco P A = dis tan cia polar ( β ) Arco γ A" = asención recta ( α ) A ( δ, α ) ó A ( β, α ) * Coordenadas ecuatoriales, Ricardo Toscano, 1966, Métodos topográficos Porrúa, México, Pág

22 La declinación del astro se mide a partir del ecuador hacia el astro de 0º a 90º para el polo norte y de 0º a -90º hacia el polo sur. La distancia polar se mide a partir del polo norte hacia el astro de 0º a 90º y por lo tanto la distancia polar y la declinación son complementarias. δ + β = 90 El arco γ A" se mide en sentido antihorario a partir del punto llamado equinoccio de primavera ó punto gama asta el meridiano del astro en sentido antihorario de 0º a 360º ó de 0 h a 24 h. 17

23 Las coordenadas ecuatoriales absolutas son: la declinación y la ascensión recta. La declinación (d) ya se ha definido en el sistema de coordenadas horarias. La ascensión recta es el arco del ecuador celeste medido en sentido directo a Coordenadas horizontales p + d = 90º partir del Punto Aries hasta el meridiano que contiene el astro. Varía de 0 horas a 24 horas y antiguamente se representaba por A.R. Pero actualmente se representa por A. La ascensión recta está relacionada con el ángulo horario por la ecuación fundamental de la Astronomía de Posición. t = a + H Siendo t la hora sidérea. Estas coordenadas son universales ya que no dependen ni del lugar, ni del instante de la observación. 18

24 COORDENADAS ECLIPTICAS. Las coordenadas eclípticas son aquellas coordenadas que están referidas a la eclíptica. Son las más útiles para el estudio de las posiciones planetarias ya que se mueven dentro de la franja de la eclíptica. El eje fundamental es el denominado eje de la eclíptica que corta a la esfera celeste en dos puntos denominados polos de la eclíptica. El círculo fundamental es la eclíptica. Los semicírculos máximos que pasan por los polos se denominan máximos de longitud y entre ellos, aquél que pasa por el Punto Aries se denomina primer máximo de longitud. Los paralelos se llaman paralelos de latitud celeste. Polo norte celeste 21 de junio 22 septiembre Ecliptica Q de marzo Q Ecuador celeste 22 de diciembre Eje polar Figura 4: Elementos para definir a la ecliptica. * * Figura 4, coordenadas eclípticas, Manuel Medina Peralta, 1986, Astronomía de Posición, Limusa, México, Pág

25 Las coordenadas eclípticas son: la longitud celeste y la latitud celeste. Se llama longitud celeste al arco de la eclíptica medido en sentido directo, que va desde el Punto Aries hasta el máximo de longitud de un astro; se mide en grados, desde 0º hasta 360º, y se representa por l. La latitud celeste es el arco máximo de longitud que pasa por el astro comprendido entre la eclíptica y el centro del astro, medido a partir de la eclíptica. Su valor oscila entre 0º y 90º y se representa por b. En este sistema no se toma nunca la distancia medida desde el polo de la eclíptica. Estas coordenadas son universales ya que no dependen ni del lugar, ni del instante de la observación. 20

26 LA ECLÍPTICA. La trayectoria que sigue el Sol en la esfera celeste en su movimiento aparente recibe el nombre de Eclíptica. Esta trayectoria en la esfera celeste es un círculo máximo que forma con el ecuador celeste un ángulo de 23º 27' llamado declinación del Sol u oblicuidad de la Eclíptica. La denominación de Eclíptica proviene del hecho de que los eclipses sólo son posibles cuando la Luna se encuentra sobre la Eclíptica o muy próximo a ella, es decir en los llamados nodos. En la Eclíptica destacan cuatro puntos importantes: el punto donde el Sol alcanza su declinación máxima sobre el Ecuador del hemisferio norte, ocurre el 21 de junio y señala el día en que comienza el verano en el hemisferio norte, mientras que en el hemisferio sur el Sol alcanza el punto más bajo y señala el principio del invierno. Siguiendo su curso aparente, el 22 de septiembre, el Sol corta al ecuador celeste en la posición del Punto Libra(W), que corresponde a la entrada del otoño en el hemisferio norte y el principio de la primavera en el hemisferio sur. Nuestro Sol continúa su carrera y el 21 de diciembre llega al punto más bajo del hemisferio norte señalando el principio del invierno y el más alto en el hemisferio sur indicando el principio del verano. 21

27 Después el Sol remonta su camino hacia el hemisferio norte y cruza el ecuador celeste el 21 de marzo, iniciándose la primavera en el hemisferio norte y el otoño en el hemisferio sur. El Sol se encuentra en dicho día en el llamado Punto Aries (g). Por último, el Sol sigue su camino hasta alcanzar el punto más alto, el 21 de junio, con lo cual ha realizado un ciclo completo. El Punto Aries o Punto Vernal (g) es la intersección del ecuador con la eclíptica o el punto del cielo en que aparece el Sol en el instante del equinoccio de primavera, el 21 de marzo. Se llama Zodiaco a una zona limitada por dos planos paralelos a la Eclíptica, cuya distancia angular es 16º. La palabra zodiaco procede el griego y significa "Casa de animales", por alusión a los nombres de las doce constelaciones. Todos los planetas (excepto Plutón) tienen órbitas cuya inclinación respecto de la Eclíptica es menor de 8º, por lo que dentro del zodiaco se mueven los planetas del Sistema Solar, así como los asteroides o planetas menores. 22

28 II.3.- TRIÁNGULO ASTRONÓMICO. El triangulo astronómico se forma al considerar el sistema de coordenadas horizontales y ecuatoriales y se resuelve con trigonometría esférica para conocer la posición del astro A en el espacio, que servirá de referencia para obtener el azimut astronómico de una línea de una poligonal. Si en la esfera celeste aplicamos las coordenadas horizontales y las coordenadas ecuatoriales al astro A se tiene que: p Z Triángulo astronómico A Q N A" S Q A Z p Figura 5: Elementos que describen al triángulo astronómico. * En la figura anterior se observa que se forma el triangulo astronómico APZ. * Figura 5 triángulo astronómico, Ricardo Toscano, 1966, Métodos Topográficos, Porrúa México, Pág

29 Triángulo astronómico. Z P H Az z Q A Figura 6: Elementos del triángulo astronómico. Z= Cenit. P= Polo. A= Astro. Arco ZA= Distancia cenital (z). Arco AP= Distancia polar ( β )= (90- δ ). Arco PZ= Co latitud (90-ϕ ). H= Ángulo horario. Q= Ángulo paraláctico del astro. Az= azimut. 24

30 Para darle solución al triangulo astronómico y obtener la formula para calcular el azimut astronómico del astro A, aplicamos la siguiente formula de trigonometría esférica (Ley de cósenos). Cos a= cos b cos c +sen b sen c cos A (1) (b) Z P H Az (c) (a) Q A Figura 7: Elementos para darle solución al triángulo astronomico. Si en la ecuación (1) sustituimos: a por (90-δ ). b por (90-ϕ ). c por (z ). A por (Az). Se tiene: Cos (90-δ )= cos (90-ϕ ) cos (z ) + sen (90-ϕ ) sen z cos Az (2) 25

31 Pero se puede cambiar: Cos (90- δ )= sen δ Cos (90-ϕ )= sen ϕ Sen (90-ϕ )= cos ϕ Por tanto la ecuación (2) se obtiene de la siguiente manera: Sen δ = sen ϕ cos z + cosϕ sen z cos Az. Como lo que se requiere obtener es la formula para el calculo del azimut del astro se tiene: sen δ sen ϕ cos z = cos ϕ sen z cos Az sen δ sen ϕ cos ϕ sen cos z z = cos Az cos Az = sen δ sen ϕ cos ϕ sen cos z z En esta formula δ es la declinación del astro a la hora de observación, ϕ es la latitud del lugar y z es la distancia cenital verdadera del astro. 26

32 (δ ): Se calcula en función de la hora promedio y la fecha de observación del astro y auxiliándose con las referencias de astro (sol), datos que se presentan en el anuario del observatorio astronómico nacional editado por el instituto de astronomía de la UNAM para el año de la observación como se muestra más adelante. (ϕ ): Se obtiene de las tablas del anuario del observatorio astronómico en la página 225 con el titulo de posiciones geográficas de las principales lugares de la republica ó de una carta topográfica ó mediante una orientación astronómica. (z): Corresponde a la distancia cenital verdadera, la cual no se puede medir directamente con el teodolito, por que el astro, que en este caso el sol no lo observamos en la posición real, solo en la posición aparente, esto causado por la refracción y el paralaje principalmente como se explica a continuación. 27

33 Cenit Sol en posición aparente z z r h Sol en posición real h O Horizonte Tierra O: Posición del observador con el teodolito Capas atmosfericas Figura 8: Corrección por refracción. * r = refracción de la luz, se presenta atendiendo a la ley física que dice que cuando un rayo de luz atraviesa de un medio a otro medio de diferente densidad, este se desvía siempre acercándose a una línea llamada normal, que para nuestro caso corresponde a la vertical que se establece con el teodolito en el terreno y por lo tanto de la figura 8 se tiene: z = z + r ó h = h r * Figura 8, corrección por refracción, Manuel Medina Peralta, 1986, Astronomía de Posición, Limusa, México, Pág

34 El valor del ángulo de refracción se puede obtener con las siguientes formulas: B 1. r = 21.7 tan z * t 2. r = tan z tan z * La formula (1) se aplica cuando se conoce la temperatura (t) en º C y la presión barométrica (B) en milímetros de mercurio mm/hg. La formula (2) se utiliza cuando no se conocen los datos de la temperatura y la presión barométrica, por lo que entonces se maneja la refracción media. El paralaje es otra de las correcciones que se aplican a la distancia cenital obtenida con el teodolito y se presenta por que observamos al sol al centro pero, la observación no se analiza desde el centro de la tierra, por tal motivo esta corrección se presenta de acuerdo a lo explicado en las siguientes figuras: * Formulas obtenidas del Instituto de Astronomía de la UNAM, 1988, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, Editorial: UNAM, México, Pág

35 Cenit z Sol h O Tierra Horizonte O: observador desde un punto sobre la superficie de la tierra. Nadir Cenit Sol z p z p Sol Horizonte O h h Horizonte C z= z -p ó * h=h +p Nadir Figura 9: corrección por paralaje. * * Formulas obtenidas del Instituto de Astronomía de la UNAM, 1988, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, Editorial: UNAM, México, Pág. 149 * Figura 9, corrección por paralaje, Astronomía de posición, 1986, Manuel Medina Peralta, Editorial: Limusa, México, Pág

36 UNIDAD III: MEDIDA DEL TIEMPO. 31

37 OBJETIVO: Describir las tres clases de días para medir el tiempo y aplicarlo en el proceso de la orientación astronómica con el sol. 32

38 UNIDAD III: MEDIDA DEL TIEMPO. Desde hace mucho tiempo se emplea el movimiento aparente del Sol en el cielo como base para la medida del tiempo. En cualquier punto del planeta, cuando el Sol alcanza el punto más alto en el cielo durante ese día, es mediodía. La línea en dirección Norte-Sur que pasa por el cielo en ese punto se denomina meridiano. El intervalo entre pasos sucesivos del Sol por el mismo meridiano es un día, que por convenio se divide en 24 horas. Sin embargo, según el tiempo solar la longitud del día no es la misma a lo largo del año debido a las variaciones del movimiento aparente del Sol. La diferencia de duración de las 24 horas de un día en las distintas estaciones puede llegar a ser de 16 minutos. Con la invención de relojes de precisión en el siglo XVII, estas diferencias empezaron a ser significativas. Existen dos clases de tiempo solar: tiempo solar aparente y tiempo solar medio. III.1.- TIEMPO SIDEREO * Este tiempo como es lógico se establece en función del día sidéreo, que se define como el tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos del punto llamado equinoccio de primavera, por el mismo meridiano y por lo tanto el origen de este día es el paso del equinoccio de primavera por el meridiano. El tiempo solar basado en la posición de las estrellas se denomina tiempo sidéreo, y los relojes regulados para registrar este tiempo se llaman relojes sidéreos. * Definición de tiempo sidéreo, Ricardo Toscano, 1966, Métodos Topográficos, Porrúa México, Pág

39 III.2.- TIEMPO SOLAR VERDADERO Ó APARENTE El tiempo solar aparente está basado en el día solar aparente, el cual es el intervalo entre dos regresos sucesivos del Sol al meridiano. Puede ser medido con un reloj de sol, y se corresponde con el amanecer, el mediodía o el anochecer: se basa en lo que es posible observar de manera directa. III.3.- TIEMPO SOLAR MEDIO. * Como el movimiento aparente del sol alrededor de la tierra no es exactamente uniforme, se complica el poder medir el tiempo con un reloj, por lo que para solucionar este problema se considera un sol ficticio que recorre aparentemente el ecuador con movimiento uniforme y con una velocidad igual a la media del sol verdadero y se le llama tiempo solar medio, el cual es empleado por toda la gente en su vida común. Se define el tiempo solar medio como el tiempo medido sobre la referencia del día solar medio. Este consiste en el lapso existente entre el paso consecutivo del Sol medio por el meridiano superior del lugar, siendo un promedio del día solar verdadero, y se corresponde con el tiempo civil. Se trata fundamentalmente de un tiempo local, ya que depende de la observación del paso consecutivo del Sol medio por el meridiano de cada lugar. * Definición de tiempo solar medio, Ricardo Toscano, 1966, Métodos topográficos Porrúa, México, Pág

40 Este fenómeno hace ver que depende fundamentalmente de la longitud del lugar de observación (todos los sitios con la misma longitud, con independencia de la latitud en la que se encuentren, poseen el mismo tiempo solar medio). El tiempo solar medio está basado en un sol ficticio que viaja a una velocidad constante a lo largo del año, y es la base para definir el día solar medio (24 horas u segundos). Se corresponde con el tiempo civil y se coordina mediante el Tiempo Medio de Greenwich. 35

41 III.4.- HUSOS HORARIOS. El movimiento de rotación de la tierra rige la hora para cada país, estableciendo un meridiano a cada 15º en función de que la tierra recorre 360º en 24 horas, es decir: 360º = 24 h. 15º = 1 h. La tierra tiene entonces un meridiano por cada 15º hacia el este y hacia el oeste empezando en el meridiano 0 º que se encuentra en Greenwich Inglaterra hasta la línea internacional de cambio de fecha, como se observa en el siguiente mapa de zonas horarias. Figura 10: Husos horarios. * * Figura 10, Instituto de Astronomía de la UNAM, 2004, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, UNAM, México, Pág. 128,

42 SIMBOLOGIA. A = 15º E B = 30º E C = 45º E D = 60º E E = 75º E F = 90º E G = 105º E H = 120º E I = 135º E K = 150º E L = 165º E M:Y = 180º N = 15º O O = 30º O P = 45º O Q = 60º O R = 75º O S = 90º O T = 105º O U = 120º O V = 135º O W = 150º O X = 165º O 37

43 Cada franja de 15º centrada en el meridiano horario de referencia se llama huso horario y es adoptado por los países según sus propias necesidades. Observándose en el mapa de zonas horarias anterior que estos husos horarios son modificados por accidentes orográficos ó hidrográficos ó por fronteras entre países. Cada franja de 15º se establece de la siguiente manera. Meridiano 90º Una hora 7.5º 7.5º 15º Figura 11: Elementos del meridiano 90º 38

44 Como una franja de 15º es igual a 1h, la hora así definida se llama hora legal ó civil. La hora legal para la republica mexicana se adopto el 1º de enero de 1922, teniendo actualmente según decreto presidencial del año 2002 los usos horarios para los meridianos 75º, 90º, 105º y 120º al oeste de Geenwich. La línea internacional de cambio de fecha, es una línea irregular trazada sobre el mapa del océano pacifico, próxima al meridiano 180º y que en muchos lugares coincide con el, señala el lugar en el que los navegantes adelantan ó retrazan un día la fecha en un viaje transoceánico. 39

45 III.5.- TRANSFORMACIÓN DE ARCO A TIEMPO Y DE TIEMPO A ARCO. Objetivo: Describir la forma de realizar este tipo de transformación con una simple calculadora. Este tipo de cálculo se utiliza para obtener la hora en función de la longitud del lugar donde se realiza una orientación astronómica. La hora se requiere para el cálculo de la declinación del sol a la hora de la observación. Ejemplo: Que hora marcara un reloj en lugar cuya longitud es de 102º al oeste de greenwich en el mismo instante en que otro reloj en el meridiano 90º al oeste de Greenwich marca 9 h 23 m 12 s? Solución: Como la tierra en su movimiento de rotación tarda 24 horas en tiempo medio, para girar 360º entonces tenemos que: 24h = 360º Por lo tanto se establece que: 1h=15º Tomando en cuenta esta relación la solución a nuestro problema se presenta de la siguiente manera: 40

46 Longitud del lugar = 102º Longitud del M-90º = 90º Diferencia de long. = 12º Ahora tenemos que: 1h = 15º X= 12º X = 12º º h = 0.82 h = 0 h 49 m s Hora del meridiano 90º = 9h 23m 12s - 0º Este valor se aplico con signo (-) porque Hora que marca el 8h 33m 39s hacia el oeste siempre será más temprano reloj en la longitud de 102º En este ejercicio se realizó la transformación de arco a tiempo. El problema de convertir tiempo en arco se resuelve de la misma forma. 41

47 UNIDAD IV: DECLINACIÓN DEL SOL. 42

48 OBJETIVO. Comprender la importancia que tiene la eclíptica en el movimiento aparente del sol. 43

49 UNIDAD IV: DECLINACIÓN DEL SOL. IV.1.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL ANTES DE Cálculo de la declinación del sol a la hora de la observación con un anuario anterior a En este ejemplo se utilizo un anuario para 1988 en el que las efemérides para el sol fueron calculados en el instituto de astronomía de la UNAM para la hora del paso por el meridiano 90 al W. de G. Las efemérides del sol que se encuentran en el anuario del observatorio astronómico nacional se calcularon para el meridiano 90º al oeste de Greenwich, por lo que este es el meridiano principal para la republica mexicana. 44

50 21 de junio 22 septiembre = ' = ' Ecuador Ecliptica 22 de diciembre A 21 de marzo B 17 h 42 m 13 s Hora de observacisn de la 1 serie 12 h 00 m 24 s Hora del paso por el meridiano 90 al W. de G. figura 12: Diagrama de la posición del sol a la hora de la observación De la figura 12 se obtiene: (A) posición de sol el 13 de abril a las 12 h 00 m 24 s. (B) Posición de sol el 13 de abril a las 17 h 42 m 13 s. 45

51 Calculo de la declinación del sol a la hora de la observación. Hora de la observación promedio de la primer serie = 17 h 42 m 13 s. Hora del paso del sol por el meridiano 90º al W. de G. = 12 h 00 m 24 s.* Intervalo de tiempo = 5 h 41 m 49 s. Intervalo de tiempo en horas y fracciones de horas = h. Variación horaria = 54.2 * Corrección por intervalo de tiempo x54.2 = 00º Declinación del sol a la hora del paso por el meridiano 90º al W. de G. = 9º * Declinación del sol a la hora de la observación = 9º * Datos obtenidos del Instituto de Astronomía de la UNAM, 1988, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, UNAM, México, Pág

52 Desde luego que para la orientación astronómica que presento en este trabajo hubiera sido un error al considerar esta forma de calculo para la declinación del sol para nuestra hora de observación ya que después del año de 1993 el instituto de astronomía calculo las efemérides del sol para las 0 h del meridiano 90º al W. de G. y no para la hora del paso del sol por el meridiano 90º al W. de G. como se observa en el ejemplo anterior. 47

53 IV.2.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL DESPUES DE CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL A LA HORA DE OBSERVACIÓN CON EL ANUARIO PARA EL AÑO 2004 POSTERIOR A Datos del anuario para el año FECHA DECLINACION A LAS 0 h V.H. 13 de abril 9º * 21 de junio Ecuador 22 septiembre Ecliptica 13 de abril a las 17 h 42 m 13 s 13 de abril a las 0 h = ' = ' 21 de marzo = 19 10' 53" 22 de diciembre figura 13: Diagrama de la posición del sol a la hora de la observación. * Datos obtenidos del instituto de Astronomía de la UNAM, 2004, Anuario del Observatorio Astronómico Nacional, UNAM, México, Pág

54 Considerando la figura anterior correspondiente al movimiento aparente del sol sobre la eclíptica y los datos del anuario tenemos h o =54 C = = h 42 m 13 s = C C= corrección por intervalo de tiempo. h m 1 h s 54 El valor de la corrección por intervalo de tiempo se considera con signo ( + ) por que el sol a las 17 h 42 m 13 s en la eclíptica origina una declinación mayor debido al movimiento aparente, por lo tanto: 9 o = declinación a las 0 h 0 o = corrección por intervalo de tiempo. 9 o = declinación a las 17 h 42 m 13 s El signo de la declinación del sol a las 17 h 42 m 13 s se considera con signo ( + ) por encontrarse por encima del ecuador celeste. 49

55 IV.3.- CÁLCULO DE LA DECLINACIÓN DEL SOL CON UN ANUARIO ATRASADO. Para el desarrollo de este tema se presenta el cálculo de la declinación del sol a la hora de observación con un anuario para el año de 1973 en lugar de un anuario para el año 2004, que fue el año en que se realizo la orientación astronómica que presento en esta tesis, con el fin de exponer la forma en que se aplica la formula C=24 h N h que nos permite actualizar los datos para el año 2004 tomando en cuenta las efemérides del sol para el año La orientación se realizo el 13 de abril del 2004 a las17 h 42 m 13 s. Formula: C= 24 h N h n. N= Número de años bisiestos entre el 13 de abril de 1973 y el 13 de abril del n= Número de años comunes entre el 13 de abril de 1973 y el 13 de abril del = Año del anuario, en que se realizo la orientación astronómica = Año del anuario utilizado. 31= Número de años comunes entre el 13 de abril de 1973y y el 13 de abril de n = 8 años bisiestos entre el 13 de abril de 1973 y el 13 de abril de (1976, 1980, 1984, 1988, 1992, 1996, 2000 y 2004) 50

56 Datos del anuario del observatorio astronómico para el año de Fecha hora del paso δ V.H 13 de Abril 12 h 00 m s 9º h 42 m 13 s = Hora de la observación para la primera serie -12 h 00 m s = Hora del paso por el meridiano 90º al W. de G. 5 h 41 m s +c =11 h 48 m s 17 h 29 m s = Intervalo de tiempo para el año h = h 29 m s = X X 17 = h 29 m h s = 0 o º º º º = Declinación calculada con el anuario para º = Declinación calculada con el anuario para el º = Error entre ambos cálculos 51

57 UNIDAD V: DETERMINACIÓN DEL AZIMUT ASTRONÓMICO CON UN TEODOLITO ELECTRÓNICO. 52

58 OBJETIVO: Conocer el manejo del teodolito electrónico, su utilización en una orientación astronómica y las ventajas que presenta. 53

59 UNIDAD V.- DETERMINACIÓN DEL AZIMUT ASTRONÓMICO CON UN TEODOLITO ELECTRÓNICO. V.1.- CONFIGURACIÓN DEL TEODOLITO ELECTRÓNICO. Trabajo de campo para realizar la orientación astronómica con el teodolito electrónico. 1.- Se escoge la línea ó líneas a orientar de tal forma que sea visible e ínter visible entre los vértices que lo conforman. 2.- En uno de los dos vértices se centra y se nivela el teodolito. 3.- En el vértice opuesto se instala una señal especial montada sobre una base nivelante con plomada óptica. 4.- Antes de iniciar el trabajo con el teodolito electrónico, se tiene que configurar de la siguiente manera: A) Antes de encender el aparato teclear las teclas: Para que aparezca en pantalla lo siguiente: 54

60 Configuración de fábrica * 1: Graduación 0: Nulo. 1: Zenith 0º 0: Horizontal 0º 1: Mil 0: Nulo. 1: Decimal 0: Nulo 1: Sexagesimal 0: Gradientes 1: Zumbador 0: Apagado Encendido. 1: Pantalla 0: Pantalla en 5 en 10 Figura 14: Pantalla con el comando de configuración. Desde luego la configuración para nuestro trabajo será: * Figura de la configuración topográfica, Pentax, 1993, Manual del teodolito electrónico ETH-10, Asahi precisión CO.LTD, Japón, Página

61 De izquierda a derecha el primer número (1), indica que los ángulos se medirán con una precisión de 10. El segundo número (1), indica que cada vez que se gire horizontalmente el teodolito y pase por 90º, 180º, 270º, y 360º se producirá un zumbido. El tercer número (1) indica que los ángulos se medirán en el sistema sexagesimal. El cuarto número (0), indica que esta opción queda apagada. El quinto número (0), indica que esta opción esta anulada. El sexto número (1), indica que los ángulos verticales medidos corresponderán a distancias cenitales. El séptimo número (0) indica que también esta opción queda nula ó anulada. 56

62 Después de decidirse por esta configuración se pulsa la tecla: Para apagar el teodolito y confirmar la configuración escogida. Enseguida se libera el movimiento horizontal general ó particular del teodolito y se dirige la visual hacia la señal que se encuentra en el vértice opuesto y se pulsa la tecla: Para encender el aparato apareciendo en pantalla: H 0º

63 V.2.- TRABAJO DE CAMPO. 1.- Escoger la línea ó líneas a orientar de tal forma que entre los vértices que la conforman, exista ínter visibilidad y que además sean accesibles. 2.- A uno de los vértices de la línea a orientar se le llama estación y al vértice opuesto se le llama señal. 3.- En el vértice estación se centra y se nivela el teodolito. 4.- En el vértice llamado señal se coloca de preferencia un tripie con base nivelante y plomada óptica y una mira ó señal de poligonación. 5.- Después de centrar y nivelar el teodolito en el vértice estación, con el movimiento horizontal, girar a observar la señal de poligonación. 6.- Una vez observada la señal, fijar el tornillo del movimiento horizontal particular y el tornillo del movimiento horizontal general y pulsar la tecla: Para encender el instrumento. 58

64 7.- Al encender el instrumento, en la pantalla se observa el ángulo horizontal. V/% A.H.= 00 00' 00" OSET ON/OFF Figura 15: Pantalla del teodolito. 8.- Si el ángulo horizontal tuviera una lectura diferente de 00º bastaría simplemente con pulsar la tecla: OSET Para colocar la lectura en ceros. 9.- Enseguida liberar el movimiento del tornillo horizontal particular y el tornillo del movimiento vertical, para girar a la derecha hasta observar el sol. 10.-Para observar al sol con un teodolito, es necesario hacerlo através de: a) un prisma solar. b) un filtro. c) una pantalla. 59

65 a) El prisma solar es poco usual utilizarlo para observar al sol principalmente por su alto costo, pero resulta muy práctico por que nos permite visar al centro del sol sin causar el menor daño posible a nuestros ojos. Figura 16: Disco solar observado através de un prisma solar. * b) Para observar el sol con el teodolito también se puede utilizar un filtro el cual se recomienda sea un cristal de soldador de 12 sombras ya que un simple trozo de película velada ó una radiografía en la actualidad no nos protege de las quemaduras de tercer grado que el sol provocaría a nuestros ojos. * Figura del prisma solar, wolf/brinker, 2001, Topografía, Alfa-Omega, México, Pág

66 TROZO DE PAPEL ENGOMADO FILTRO PENTAX Figura 17: Filtro colocado en el lente objetivo del teodolito. c) La pantalla será siempre la forma más sencilla y practica para observar al sol con el teodolito ya que al recibirlo reflejado en esta es fácil ubicarlo en el primer y tercer cuadrante para la orientación por la mañana y en el segundo y cuarto cuadrante por la tarde, en posición directa e inversa del anteojo respectivamente. 61

67 11.- Después de observar al sol se gira a la derecha horizontalmente con el movimiento particular hasta observar a la señal, regresando en posición inversa con un ángulo horizontal de ó la precisión del instrumento Todas las operaciones anteriores constituyen una serie y se recomienda realizar un mínimo de tres hasta 16 series En cada serie se toman los siguientes datos: a) La hora. b) El ángulo horizontal. c) El ángulo vertical. Estos datos se anotan en el registro de campo como el que se muestra a continuación. 62

68 REGISTRO DE CAMPO LUGAR Zimapan Hidalgo OBSERVO: LATITUD 20º Misael Trejo Basilo. FECHA 13 /04/04 SERIE EST PO PA HORA A.H A.V D 00 O SOL D 17 H 40 M 18 S 173 O O SOL I 17 H 44 M 08 S 356 O O I 180 O Sumas Promedios D 00 O SOL D 17 H 47 M 21 S 175 O O SOL I 17 H 50 M 42 S 352 O O I 180 O Sumas Promedios D 00 O SOL D 17 H 54 M 35 S 173 O O SOL I 17 H 57 M 23 S 352 O O I 180 O Sumas Promedios 63

69 LUGAR Zimapan Hidalgo OBSERVO: Misael Trejo Basilio LATITUD 20º FECHA 13 /04/04 SERIE EST PO PA HORA A.H A.V D 00 O SOL D 18 H 01 M 11 S 171 O O SOL I 18 H 03 M 46 S 353 O O I 180 O Sumas Promedios D 00 O SOL D 18 H 06 M 12 S 171 O O SOL I 18 H 08 M 19 S 351 O O I 180 O Sumas Promedios D 00 O SOL D 18 H 11 M 51 S 170 O O SOL I 18 H 13 M 03 S 352 O O I 180 O Sumas Promedios 64

70 V.3.- TRABAJO DE GABINETE. Cálculo de los promedios. LUGAR Zimapan Hidalgo OBSERVO: LATITUD 20º Misael Trejo Basilio FECHA 13 /04/04 SERIE EST PO PA HORA A.H A.V D 00 O SOL D 17 H 40 M 18 S 173 O O SOL I 17 H 44 M 08 S 356 O O I 180 O SUMAS 34 H 84 M 26 S PROMEDIOS 17 H 42 M 13 S 174 O O D 00 O SOL D 17 H 47 M 21 S 175 O O SOL I 17 H 50 M 42 S 352 O O I 180 O SUMAS 34 H 97 M 63 S PROMEDIOS 17 H 49 M 01.5 S 174 O O D 00 O SOL D 17 H 54 M 35 S 173 O O SOL I 17 H 57 M 23 S 352 O O I 180 O SUMAS 34 H 11 M 58 S PROMEDIOS 17 H 55 M 59 S 173 O O

71 LUGAR Zimapan Hidalgo OBSERVO: Misael Trejo Basilio LATITUD 20º FECHA 13 /04/04 SERIE EST PO PA HORA A.H A.V D 00 O SOL D 18 H 01 M 11 S 171 O O SOL I 18 H 03 M 46 S 353 O O I 180 O SUMAS 36 H 04 M 57 S PROMEDIOS 18 H 02 M 28.5 S 172 O O D 00 O SOL D 18 H 06 M 12 S 171 O O SOL I 18 H 08 M 19 S 351 O O I 180 O SUMAS 36 H 14 M 31 S PROMEDIOS 18 H 07 M 15.5 S 171 O O D 00 O SOL D 18 H 11 M 51 S 170 O O SOL I 18 H 13 M 03 S 352 O O I 180 O SUMAS 36 H 24 M 54 S PROMEDIOS 18 H 12 M 27 S 171 O O

72 Cálculo de los promedios de la hora, del círculo horizontal y del círculo vertical. A) Calculo de la hora promedio. Ejemplo para la serie uno h h m m s s = Hora de la posición directa. = Hora de la posición inversa. 34 h 84 2 m 26 s h m s = = promedio de la hora de la primer serie B) Calculo del círculo horizontal promedio. Ejemplo para la primera serie: " " " = Ángulo horizontal de la posición directa " " " = Ángulo horizontal de la posición inversa. 67

73 " = Ángulo horizontal de la posición directa " = Ángulo horizontal de la posición inversa " = " = Ángulohorizontal promediode la 2 primeraserie. Este procedimiento se aplica para cada una de las series hasta obtener el promedio del círculo horizontal correspondiente como se muestra en las tablas de las páginas 58 y 59. C) calculo del promedio del círculo horizontal. Ejemplo para la primera serie. Cenit z1' 38 17' 57" Sol Posición directa del anteojo del teodolito Figura 18: Observación del sol con el teodolito en posición directa de su anteojo, para obtener el angulo cenital. 68

74 Cenit z2' Sol Posición inversa del anteojo del teodolito ' 43" Figura 19: Observación del sol con el teodolito en posición inversa de su anteojo, para obtener el angulo cenital. Para obtener el ángulo vertical z 2 es necesario realizar la siguiente operación, por que el ángulo cenital obtenido en esta posición es en ángulo conjugado del anteojo " " 17 " " = ángulo vertical de la posición directa " = ángulo vertical de la posición inversa " 2 = " = ángulo vertical promedio= z Este procedimiento se repite para cada serie hasta obtener el promedio correspondiente como se muestra en las figuras 58 y

75 V.4.- CÁLCULO DEL AZIMUT ASTRONÓMICO. Cálculo de las series. 1ª SERIE 2ª SERIE 3ª SERIE δ A LAS 0 H 9 O O O HORA PROMEDIO 17 H 42 M 13 S 17 H 49 M 01.5 S 17 H 55 M 59 S V.H. 00 O O O c +00 O O O δ ( HORA DE OBSERVACIÓN) +9 O O O h 51 O O O r 00 O O O p 00 O O O h 51 O O O φ 20 O O O AZ. DEL SOL 100 O O O AZ DEL SOL VERDADERO 259 O O O A.H. PROMEDIO. 174 O O O AZ. DE LA LINEA O O O

76 4ª SERIE 5ª SERIE 6ª SERIE δ A LAS 0 H 9 O O O HORA PROMEDIO 18 H 02 M 28.5 S 18 H 07 M 15.5 S 18 H 12 M 27 S V.H. 00 O O O c +00 O O O δ ( HORA DE OBSERVACIÓN) +9 O O O h 54 O O O r 00 O O O p 00 O O O h 54 O O O φ 20 O O O AZ. DEL SOL 103 O O O AZ DEL SOL VERDADERO 256 O O O A.H. PROMEDIO. 172 O O O AZ. DE LA LINEA O O O El azimut astronómico de la línea 1-13 será el promedio de los azimuts de las series realizadas, siempre y cuando no varíen entre ellos más de 10 que es la precisión del teodolito. 71

77 Serie Azimut astronómico de la línea º º º º º º Promedio= 84º Azimut astronómico de la línea 1-13 = 84º

78 V FORMULAS APLICADAS. FORMULAS PARA EL CALCULO DE r ( REFRACCIÒN) r = B 21.7" t tan z Esta formula se aplica si se toman datos de temperatura y presión atmosférica. r = tan z tan z Esta formula se aplica si no se tienen datos de temperatura y presión atmosférica. r = " tan38º " tan38º57 37 = 47.08" = 47" p = 8.8 " sen z = 8.8 " sen 38 º = 5.53 " = 6 " 73