29.1. El flujo de un campo vectorial. Capítulo 29

Transcripción

1 29 La ley de Gauss La ley de Coulomb se puede usar para calcular E para cualquier distribución discreta o continua de cargas en reposo. Cuando se presenten casos con alta simetría será más conveneinte utilizar la ley de Gauss, que facilita los cálculos en casos particulares El flujo de un campo vectorial El flujo (Φ) es un apropiedad de cualqueir campo vectorial. Se puede considerar como una medida de la penetración de los vectores del campo a través de una superficie imaginaria. La figura 29.1 muestra un campo vectorial y varias superficies imaginarias dentro del campo, que forma diferentes ángulos con las superficies, que son fragmentos de planos. Halliday, Resnick, Krane 1 Fisica II

2 A A A cos q A A A v A (a) (b) (c) (d) (e) A A A Figura 29.1 El concepto de flujo nos da la abstracción que más tarde se utilizará en la ley de Gauss. Φ de un campo de velocidades de un fluido se puede expresar Φ = va (29.1) donde v es la magnitud de la velocidad en la localización de la su- Halliday, Resnick, Krane 2 Fisica II

3 perficie. Así, el flujo del campo eléctrico puede considerarse como una medida del número de líneas de campo que pasan a través de la superficie. En la figura 29.1b A cos θ es el área proyectada por la superficie de área A después de rotarla, de modo que la proyección A cosθ es perpendicular a las líneas de campo, así que Φ = va cosθ. (29.2) En la figura 29.1c se tiene que Φ = 0. Como se verá más adelante, la ley de Gauss está relacionada con las superficies cerradas, por lo que es necesario identificar la orientación de las superficies (ver Cálculo, Marsden y Tromba, Campos vectoriales y Integrales de superficie de funciones vec- Halliday, Resnick, Krane 3 Fisica II

4 toriales ). En la figura 29.1e se tiene donde v es el vector velocidad en la superficie. Φ = Σv A, (29.3) Ejercicio 1. Considere la superficie cerrada de la figura 29.1e que muestra un volumen encerrado por cinco superficies. Suponiendo que el campo de velocidades es uniforme, encuentre el flujo total a través de la superficie cerrada. Usando la ecuación (29.3) se tiene Φ = v A 1 + v A 2 + v A 3 + v A 4 + v A 5. Observando la figura 29.1e se tiene que Φ = 0. Halliday, Resnick, Krane 4 Fisica II

5 Cuando el campo vectorial no es uniforme, se puede hacer una generalización para el cálculo del flujo, de modo que Φ = v da. (29.4) El flujo del campo eléctrico Recordando la figura 29.1, y usando E en lugar de v se tiene que Φ E = E A, (29.5) que puede considerarse como una medida del número de líneas que atraviesan a la superficie. Halliday, Resnick, Krane 5 Fisica II

6 Considere un campo como el de la figura Se divide a la superficie en pequeños cuadrados de área A, suficientemente pequeños para que se les pueda considerar como planos. Figura 29.2 Halliday, Resnick, Krane 6 Fisica II

7 Cada elemento de área se puede representar por A normal a la superficie y de magnitud A. A apunta hacia afuera de la superficie. Los vectores E y A que caracterizan a cada cuadrado forman un ángulo θ entre ellos. En la figura 29.2 se puede observar el ángulo entre cada par de vectores E y A. Como un a definición provisional se tiene Φ E = E A, (29.6) así, en el límite, Φ E = E da. (29.7) Esta integral de superficie indica que la superficie en cuestión se ha dividido en elementos infinitesimales de área da y que la Halliday, Resnick, Krane 7 Fisica II

8 cantidad escalar E da tiene que evaluarse en cada elemento y sumarlo sobre toda la superficie, que debe ser cerrada, según lo indica el circulo sobre la integral. Ejercicio 2. La figura 29.3 muestra un cilindro hipotético, cerrado, de radio R, inmerso en un campo eléctrico uniforme E, con su eje paraleo al campo. Cuál es φ E a través de esta superficie cerrada? da b E da a E c E da Figura 29.3 Halliday, Resnick, Krane 8 Fisica II

9 El flujo Φ E se puede escribir como la suma de tres términos, una integral sobre (a) la tapa izquierda del cilindro, (b) la superficie cilínrica y (c) la tapa derecha. Entonces Φ E = E da = E da + E da + E da. a En (a) se tiene θ = 180, así que E da = E da, en la pared cilíndrica se tiene que E da por lo que E da = 0 y en la tapa de la derecha θ = 0, así que E da = E da, por lo tanto Φ E = E da = 0. b c Halliday, Resnick, Krane 9 Fisica II

10 29.3. La ley de Gauss Dada una distribución de cargas es posible construir una superficie cerrada que se llamará superficie Gaussiana, que puede encerrar algunas cargas. La ley de Gauss se relaciona con Φ E a través de la superficie cerrada y la carga neta q encerrada por la superficie de modo que ɛ 0 Φ E = q (29.8) o ɛ 0 E da = q. (29.9) La ley de Gauss predice Φ = 0, como en el ejercicio 2. La magnitud del campo eléctrico es proporcional al número de líneas que atraviesan un elemento de área perpendicular al campo. Halliday, Resnick, Krane 10 Fisica II

11 La elección de la superficie gaussiana es arbitaria, aunque es preferible considerar la simetría de la distribución del campo. Figura 29.4 Halliday, Resnick, Krane 11 Fisica II

12 La figura 29.4 muestra la líneas de fuerza alrededor de un dipolo y se han dibujado cuatro superficies Gaussianas. Figura 29.5 La ley de Gauss y la ley de Coulomb Se aplica la ley de Gauss alrededor de una carga puntual. Primero se analiza la distribución del campo y luego se decide cuál es la superficie Gaussiana más adecuada, aprovechando la simetría de la distribución. En la figura 29.5 se observa que el campo apunta radialmente hacia afuera. Halliday, Resnick, Krane 12 Fisica II

13 Así, E da=e da, en cada punto de la superficie. Entonces ɛ 0 E da = ɛ 0 E da = ɛ 0 E da = q, es decir E = 1 4πɛ 0 q r 2 (29.10) La ley de Coulomb es un caso particular de la de Gauss! Un conductor aislado y cargado Un exceso de carga puesto sobre un conductor aislado se mueve completamente hacia la superficie del conductor. Ningun exceso de carga se encuentra dentro del cuerpo del conductor. Halliday, Resnick, Krane 13 Fisica II

14 La figura 29.6a muestra la sección transversal de un conductor aislado, con carga neta q. La línea interrumpida representa a una superficie Gaussiana. Figura 29.6 Halliday, Resnick, Krane 14 Fisica II

15 Un conductor aislado con una cavidad La figura 29.6b muestra al mismo conductor pero con una cavidad en su interior. Dentro del conductor se tiene E=0. Es posible construir una superficie Gaussiana apenas por debajo de la superficie más externa del conductor, de modo que el campo sólo existe afuera del conductor. El campo eléctrico externo Como en la figura 29.6d se elige una superficie Gaussiana con forma de cilindro recto, con tapas de área A. Las tapas del cilindro son paralelas a la superficie del conductor. Entonces Φ E = E da = E da + E da + E da tapa ext tapa int pared Halliday, Resnick, Krane 15 Fisica II

16 El flujo total es E se obtiene entonces de Φ E = EA = EA. ɛ 0 Φ E = q, y como q(= σa), entonces ɛ 0 EA = σa es decir E = σ ɛ 0. (29.11) Si se tiene una lámina conductora, la carga depositada sobre ella se distribuye uniformememnte en ambas caras de la lámina, ver la figura Considerando cada cara de la lámina se encuentra que el campo está dado por E L = σ/2ɛ 0 en el punto A y por E R = σ/2ɛ 0 en el punto C de la figura. Así que el cmapo total es σ/2ɛ 0 +σ/2ɛ 0 = σ/ɛ 0. Halliday, Resnick, Krane 16 Fisica II

17 L + + R + + A + B + C E E E E + + E E L L L R R R Figura 29.7 En el punto B se tiene E = 0, como se esperaba, ya que se trata del interior del conductor. Ejercicio 3. El campo elécrtico, justo en la superficie de un tambor de fotocopiadora que está cargado uniformemente, tiene magnitud E de N/C. Cuál es la σ en el tambor? Halliday, Resnick, Krane 17 Fisica II

18 De la ecuacion (29.11) σ = ɛ 0 E = 2.0 µc/m 2. Ejercicio 4. La magnitud del campo eléctrico promedio presente normalmente en la atmósfera de la Tierra, justo arriba de su superficie, es de unos 150 N/C, dirigido hacia abajo. Cuál es la carga neta en la superficie de la Tierra? Suponga que la Tierra es un conductor. De la ecuacion (29.11) σ = ɛ 0 E = 1.33 nc/m 2. La carga total de la Tierra es q = σ4πr 2 = 680kC Halliday, Resnick, Krane 18 Fisica II

19 29.5. Las aplicaciones de la ley de Gauss Se puede usar la ley de Gauss para calcular E si la hay una alta simetría en la distribución de cargas. La línea infinita de carga La figura 29.8 muestra una sección de una línea infinita de carga con λ = dq/ds constante. Se busca determinar E a una distancia r de la línea. l Superficie Gaussiana r da E h Figura 29.8 Halliday, Resnick, Krane 19 Fisica II

20 Considerando la carga encerrada por la superficie gaussiana ɛ 0 E da = q, es decir, ɛ 0 E(2πrh) = λh, o E = La ley de Gauss facilita este tipo de cálculo. λ 2πɛ 0 r. (29.12) La hoja infinita de carga La figura 29.9 muestra una porción de una hoja de extensión infinita, delgada, no conductora, con σ constante. El campo eléctrico en las proximidades de la hoja es uniforme. La superficie gaussiana más adecuada es un cilindro de área A, Halliday, Resnick, Krane 20 Fisica II

21 por lo que ɛ 0 Figura 29.9 E da = q, es decir, ɛ 0 (EA + EA) = σa, donde σa es la carga encerrada por la superficie, entonces E = σ 2ɛ 0. (29.13) Halliday, Resnick, Krane 21 Fisica II

22 En realidad no es posible tener hojas infinitas, pero se considera como buena aproximación hacer el cálculo en regiones alejadas de los bordes de hojas finitas. El cascarón esférico de carga La figura muestra la sección transversal de un carcarón esférico de radio R, delgado, cargado uniformemente, con σ constante y carga total q (=4πR 2 σ). q R S 2 S 1 Superficies Gaussianas Figura Halliday, Resnick, Krane 22 Fisica II

23 La ley de Gauss permite establecer un par de teoremas relacionados con esta distribución de carga. Para puntos externos, un cascarón esférico de carga se comporta como si toda la carga estuviera concentrada en el centro de la distribución. Un cascarón esférico de carga no ejerce fuerza electrostática alguna sobre una partícula cargada colocada en el interior. Considere una superficie gaussiana S 1, para el cual r > R, la ley de Gauss da ɛ 0 E(4πr 2 ) = q, o E = 1 4πɛ 0 q r 2 (cascarón esferico, r > R). (29.14) Halliday, Resnick, Krane 23 Fisica II

24 Luego, aplicando la ley de Gauss y usando la superficie gaussiana S 2, E = 1 4πɛ 0 q r 2 (cascarón esferico, r < R). (29.15) El cascarón esférico de carga La figura muestra un distribución esférica de carga. Figura Halliday, Resnick, Krane 24 Fisica II

25 En cualquier punto de la distribución se tiene que ρ depende sólo de la distancia entre dicho punto y el centro de la distribución. Esta distribución de carga puede verse como un conjunto de cascarones uno tras otro, de modo que cada cascarón tendrá ρ constante. Primero se aplica la ley de Gauss usando una superficie esférica de radio r > R, como se ve en la figura 29.11a, entonces es decir E = de = 1 4πɛ 0 dq r 2 E = 1 4πɛ 0 q r 2, (29.16) donde q es la carga total encerrada por la superficie gaussiana... cómo si se tratara de una carga puntual! Halliday, Resnick, Krane 25 Fisica II

26 Ahora se considera una superficie gaussiana esférica de radio r < R, como en la figura 29.11b, por lo que la ley de Gauss da ɛ 0 E da = ɛ 0 E(4πr 2 ) = q, o E = 1 4πɛ 0 q r 2, (29.17) donde q es la carga contenida dentro de la superficie gaussiana (q < q)+, pero q q = 4 3 πr3 ( r ) 3 4, o q = q, 3 πr3 R Halliday, Resnick, Krane 26 Fisica II

27 con lo que E = 1 qr, (esfera uniforme, r < R). (29.18) 4πɛ 0 R3 Halliday, Resnick, Krane 27 Fisica II