Modelos de distribuciones discretas y continuas

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1 Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Modelos de distribuciones discretas y continuas Estadística I curso Distribuciones discretas Aquellas que están asociadas a variables aleatorias discretas. Distribución degenerada. Una variable aleatoria X es degenerada en un valor real a R si toma dicho valor con probabilidad 1, es decir P (X = a) = 1, su media y varianza son entonces obvias a partir de resultados del tema anterior, E[X] = a ; var[x] = Proceso de Bernoulli Modelos principales asociados al proceso de Bernoulli Distribución de Bernoulli, B(1, p). Una variable aleatoria X sigue distribución de Bernoulli de parámetro p (0, 1) y se denota X B(1, p) si describe el número de éxitos en una realización de un experimento que tiene probabilidad de éxito p (probabilidad de fracaso 1 p). Toma valores en {0, 1}. P (X = 1) = p ; P (X = 0) = 1 p ; E[X] = p ; var[x] = p(1 p). 1

2 Distribución Binomial, B(n, p). Una variable aleatoria X sigue distribución Binomial de parámetros n N y p (0, 1) y se denota X B(n, p) si describe el número de éxitos en n realizaciones independientes de un experimento que tiene probabilidad de éxito p (probabilidad de fracaso 1 p). Puede tomar cualquier valor en {0, 1,..., n}. Si k {0, 1,..., n}, se cumple ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k ; k E[X] = np ; var[x] = np(1 p). Propiedad. Las distribuciones binomiales son reproductivas de parámetro n, es decir, dadas dos variables aleatorias X B(n 1, p) e Y B(n 2, p) independientes, se cumple X + Y B(n 1 + n 2, p). A partir de este resultado es inmediato que una variable aleatoria X B(n, p) puede descomponerse en una suma de n variables aleatorias independientes de Bernoulli de parámetro p. Distribución Geométrica o de Pascal, Ge(p). Una variable aleatoria X sigue distribución Geométrica de parámetro p (0, 1) y se denota X Ge(p) si describe el número de realizaciones independientes de un experimento necesarias hasta obtener el primer éxito, siendo p la probabilidad de éxito en una realización del experimento (probabilidad de fracaso 1 p). Puede tomar como valor cualquier número natural, {1, 2,...}. Si k {1, 2,...}, se cumple P (X = k) = (1 p) k 1 p ; E[X] = 1 p ; var[x] = 1 p p Otros modelos asociados al proceso de Bernoulli Distribución Binomial Negativa, BN(r, p). Una variable aleatoria X sigue distribución Binomial Negativa de parámetros r N y p (0, 1) y se denota X BN(r, p) si describe el número de fracasos de un experimento antes del r-ésimo éxito, siendo las realizaciones del experimento independientes y en cada una de ellas p la probabilidad de éxito (probabilidad de 2

3 fracaso 1 p). Puede tomar cualquier valor entero mayor o igual que cero, {0, 1, 2,...}. Si k {0, 1, 2,...}, se cumple ( ) r + k 1 P (X = k) = p r (1 p) k ; r 1 E[X] = r(1 p) p ; var[x] = r(1 p) p 2. Distribución Hipergeométrica, H(N, n, D/N). Una variable aleatoria X sigue distribución Hipergeométrica de parámetros N N, n N con n N y D/N con D N, D N y se denota X H(N, n, D/N) si describe el número de individuos que tienen una cierta característica en n observaciones sin reemplazamiento en una población de N individuos de entre los que D tienen la característica (N D no tienen la característica). Puede tomar cualquier valor entero mayor o igual que máx{0, n + D N} y menor o igual que mín{n, D}. Si máx{0, n + D N} k mín{n, D}, se cumple ( D )( N D ) k n k P (X = k) = ( N ; n) E[X] = n D N ; var[x] = n D N N D N N n N Proceso de Poisson Distribución de Poisson, P(λ). Una variable aleatoria X sigue distribución de Poisson de parámetro λ > 0 y se denota X P(λ) si representa el número de eventos ocurridos independientemente y a velocidad constante o con intensidad constante en un tiempo o región fija. Puede tomar cualquier valor entero mayor o igual que cero, {0, 1, 2,...}. Si k {0, 1, 2,...}, se cumple P (X = k) = λk k! e λ ; E[X] = λ ; var[x] = λ. Propiedad. Las distribuciones de Poisson son reproductivas, es decir, dadas X P(λ 1 ) e Y P(λ 2 ) independientes, se cumple X + Y P(λ 1 + λ 2 ). 3

4 2. Distribuciones continuas Aquellas que están asociadas a variables aleatorias continuas. Distribución Uniforme, U(a, b). Una variable aleatoria X sigue distribución uniforme de parámetros a < b y se denota X U(a, b) si toma valores en el intervalo (a, b) según la siguiente función de densidad, { 1 0 si x < a si x (a, b) f X (x) = b a x a ; F 0 si x / (a, b) X (x) = si a x < b b a ; 1 si x b E[X] = a + b 2 ; var[x] = (b a) Proceso de Poisson Distribución Exponencial, Exp(λ). Una variable aleatoria X sigue distribución exponencial de parámetro λ > 0 y se denota X Exp(λ) si toma valores positivos según la siguiente función de densidad, { { λe λx si x > 0 f X (x) = 0 si x 0 ; F 0 si x < 0 X(x) = 1 e λx si x 0 ; E[X] = 1 λ ; var[x] = 1 λ 2. Propiedad. Las distribución exponencial no tiene memoria, es decir dada X Exp(λ) y t 1, t 2 > 0, P (X > t 1 + t 2 X > t 1 ) = P (X > t 2 ). 4

5 2.2. Distribución Normal Distribución Normal, N(µ, σ). Una variable aleatoria X sigue distribución normal de media µ y desviación típica σ y se denota X N(µ, σ) si toma valores en toda la recta real, según la siguiente función de densidad, f X (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2. No podemos dar de forma explícita ninguna primitiva de esta función, por lo tanto la función de distribución sólo podemos describirla como F X (x) = x f X(t)dt. E[X] = µ ; var[x] = σ 2. Llamamos normal tipificada o estándar a la normal de media 0 y desviación típica 1, N(0, 1). Propiedad. Dados a, b R y X una variable aleatoria tal que X N(µ, σ), entonces la variable aleatoria ax + b sigue distribución normal, más concretamente ax + b N(aµ + b, a σ). Utilizando esta propiedad podemos tipificar cualquier variable aleatoria normal, se cumple X µ σ N(0, 1). Propiedad. Si X N(0, 1) y F X es su función de distribución, por la simetría de la distribución normal, se cumple que para cualquier x R, F X ( x) = 1 F X (x). Propiedad. La suma de dos variables aleatorias normales independientes sigue distribución normal. Así, si X N(µ 1, σ 1 ) e Y N(µ 2, σ 2 ) son independientes, entonces ( ) X + Y N µ 1 + µ 2, σ1 2 + σ2 2. Teorema Central del Límite. Si X 1, X 2,..., X n son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media µ y desviación típica σ, entonces, entonces n i=1 X i se aproxima a una N(nµ, σ n), equivalentemente n i=1 X i/n se aproxima a una N(µ, σ/ n). La aproximación es buena si n 30. 5

6 Corrección por continuidad. Si aplicamos el Teorema Central del Límite a variables aleatorias discretas con valores enteros, mientras que X 1 + X X n es discreta (y toma valores enteros), la normal es continua. Así, para aproximar la probabilidad de X 1 + X X n a donde a N, calculamos F N(nµ,σ n) (a + 1/2). Aproximación Binomial-Normal. Si n 30 y np(1 p) > 5, podemos aproximar una binomial B(n, p) por una normal N(np, np(1 p)). Observa que una binomial se puede construir como suma de variables de Bernoulli independientes. Aproximación Poisson-Normal. La distribución de Poisson surge como límite e la Binomail cuando el número de experimentos tiende a infinito. Por tanto, si λ > 5, podemos aproximar una Poisson P(λ) por una normal N(λ, λ) Distribuciones relacionadas con la normal Distribución χ 2 de Pearson, χ 2 n. Si X 1, X 2,..., X n son n variables aleatorias independientes con distribución N(0, 1), entonces Y = X X X 2 n sigue distribución chi-cuadrado de Pearson con n grados de libertad, Y χ 2 n. Una variable aleatoria con distribución chi-cuadrado sólo toma valores positivos. E[Y ] = n ; var[y ] = 2n. Distribución t de Student, t n. Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, de tal modo que X sigue una distribución normal estándar e Y sigue distribución chi-cuadrado con n grados de libertad, entonces Z = X Y/n sigue distribución t con n grados de libertad, Z t n. Una variable aleatoria con distribución t toma valores en toda la recta real. E[X] = 0 ; var[x] = n si n 3. n 2 6

7 Distribución F de Fisher-Snedecor, F n1,n 2. Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, de tal modo que X sigue una distribución chicuadrado con n 1 grados de libertad e Y sigue distribución chi-cuadrado con n 2 grados de libertad, entonces Z = X/n 1 Y/n 2 sigue distribución F con n 1 y n 2 grados de libertad, Z F n1,n 2. Una variable aleatoria con distribución F sólo toma valores positivos. 7

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