Probabilidad y Estadística 2003 Intervalos de Confianza y Test de Hipótesis paramétricos

Transcripción

1 Probabilidad y Estadística 3 Itervalos de Cofiaza y Test de Hipótesis paramétricos Itervalos de Cofiaza Defiició Dada ua muestra aleatoria simple es decir, u vector de variables aleatorias X co compoetes X 1,..., X iid F θ, siedo θ u parámetro de la distribució descoocido a priori. Llamamos itervalo de cofiaza al ivel α a u itervalo: I α X = I α X 1,..., X = a X, b X] Dode a y b so tales que: P a X θ b X = 1 α Es decir, los extremos del itervalo so variables aleatorias que depede de la muestra X y so tales que la probabilidad de que etre ellos esté el parámetro θ es 1 α. Haciedo abuso de otació se suele escribir: P θ I α X = 1 α P θ / I α X = α No siempre podemos ecotrar variables a y b tales que cumpla lo aterior. A veces solo podemos garatizar por ejemplo que P θ / I α X α e este caso el itervalo se dice coservativo. Itervalos de cofiaza para muestras gaussiaas E el caso de muestras gaussiaas, es decir, X 1,..., X iid Nµ, es posible costruir itervalos de cofiaza exactos para los parámetros µ y, como se muestra a cotiuació. ecordemos que si X es ua muestra gaussiaa, etoces el promedio de los valores muestrales cumple: X = 1 X k N k=1 Itervalo de Cofiaza para µ, coocido: µ, Coocida la distribució del promedio es secillo calcular u itervalo de cofiaza para µ. La idea es costruir u itervalo cetrado e el promedio que es u estimador putual de µ y tal que: Ahora, como es coocido, dividiedo etre P X µ > ε P X µ > ε = α = P = P se tiee: X µ Y > ε > ε + P = P Y > ε Y < ε = 1

2 dode la variable Y N, 1 por lo que la última probabilidad se escribe: P X µ > ε ε = 1 Φ + Φ ε = ε ε ε = 1 Φ + 1 Φ = 1 Φ dode hemos usado la simetría de la distribució. Igualado a α esta probabilidad se tiee: P X µ > ε ε = α 1 Φ = α Al puto x que cumple que 1 Φ x = α se le deomia x = z α. Es decir, es el puto de la campaa de la N, 1 que deja área α a la derecha y se busca directamete e la tabla. Se desprede etoces que: P X µ > ε = α ε = z α/ ε = z α/ Por lo que tomado a X = X z α/, y b X = X + z α/ P µ / a X, b X] = α teemos que: O bie, u itervalo al ivel α para µ coociedo es: I α X = X z α/, X + ] z α/ Itervalo de Cofiaza para µ, descoocido: Supogamos que X es ua muestra aleatoria de variableormales como ates. E este caso, la idea es similar: costruir u itervalo cetrado e el promedio. Si embargo, el paso dividir por al calcular el itervalo o está permitido, pues ε quedará e fució de que es descoocido. ecordado que es razoable hacer: P X µ X µ ε ε > ε = P > = P T > dode la variable T ya o eormal sio que tiee ua distribució coocida como t de Studet 1, T t 1 a 1 se le deomia grados de libertad. Como ates: P T > ε = P T > ε ε + P T < ε = 1 F T dode e el último paso hemos usado la simetría de la distribució t. Por lo tato: ε ε P T > = α 1 F T = α ε = t α/ 1 ε = t α/ 1 dode como ates hemos defiido t α 1 como el puto x : 1 F T x = α y se busca e la tabla. Teemos así el itervalo: I α X = X tα/ 1, X + tα/ 1 ] 1 No viee al caso la desidad o la fució distribució de esta variable. Se ecuetra tabulada.

3 Itervalo de cofiaza para : La idea ahora es costruir u itervalo que depeda de estimador de. Se demuestra que: 1 s χ 1 dode la distribució χ k es coocida y se ecuetra tabulada. El procedimieto cambia u poco respecto a los ateriores. Costruyamos a X tal que P a X = α. Para ello observemos tomemos a X = ds co d < 1. Se tiee: P a X = P ds 1 s = P 1 = P Y d 1 d dode Y χ 1 por lo que: P a X = α 1 1 F Y = α d 1 d = χ α/ 1 dode uevamete hemos defiido χ α k como el puto de ua variable χ k que deja área α a la derecha y se ecuetra tabulado. Se tiee etoces que: a X = 1 s 1 De forma aáloga se busca b X = cs co c > 1 tal que P b X = α y se ecuetra: χ α/ b X = 1 s 1 χ 1 α/ Por lo que el itervalo queda: I α X = 1 s 1, χ α/ 1 s 1 χ 1 α/ ] Itervalos de Cofiaza aproximados Itervalo basado e el TCL para la media de ua distribució. Si X =X 1,..., X so iid pero tiee ua distribució que o es la ormal, o podemos aplicar directamete los resultados ateriores. Si embargo, para grade, si EX 1 = µ y Var X 1 = > vale el T CL y por lo tato vale: X µ N, 1 por lo que utilizado los mismos cálculos que e el caso de variableormales se tiee que, tomado: I α X = X z α/, X + z ] α/ etoces P µ / I α X α. Si es descoocido, podemos sustituirlo por su estimador como es grade, el error o es mucho: I α X = X z α/, X + s ] z α/ Obsérvese que podríamos haber tomado u itervalo asimétrico e el setido de que dejara diferetes probabilidades a cada lado, y o α/. 3

4 Media y variaza ligadas. Otra forma de estimar para sustituir es e el caso e que = µ, es decir, hay ua fució coocida que a partir de µ me devuelve Ejemplo, X Ber p = p 1 p = µ 1 µ ya que µ = p. Si la fució µ es cotiua etoces, X µ X µ = por lo que podemos estimar por X para obteer: I α X = X X zα/, X + ] X zα/ Por otra parte, existe u método alterativo basado e la geeralizació del TCL, e el caso e que µ sea además derivable. Cosiste e tomar g x tal que g x = 1 x es decir, ua primitiva de 1 x. E ese caso, el TCL: X µ N, implica que: g X g µ N, g µ = N, 1 = N, 1 Por lo tato, usado u itervalo para variableormales: P g µ g z α/ X, g ] z α/ X + = α o bie, aplicado la fució iversa g 1 observemos que g x > por lo que la fució es moótoa creciete y por lo tato ivertible: P µ g 1 g z α/ X, g 1 g ] z α/ X + = α Ejemplos: Para alguas distribucioes usuales, la fució g es: Beroulli: g x = arcse x Poisso: g x = x Expoecial: g x = log x Para el caso de variables co distribució Beroulli teemos, usado los dos tipos de itervalos presetados ates los siguietes itervalos: X 1 X zα/ X 1 X zα/ I α X = X, X + I α X = se arcse X z α/, se arcse X + z ] α/ 4

5 Tests Paramétricos Muestras Gaussiaas X 1,..., X iid Nµ, La catidad de dato puede ser chica. Test sobre µ coocido H : µ µ X µ H 1 : µ = µ 1 H 1 : µ > µ H 1 : µ > µ α = z α µ 1 > µ H 1 : µ = µ 1 H 1 : µ < µ H : µ µ H 1 : µ < µ α = µ 1 < µ µ µ α = X µ z α/ X µ z α Test sobre µ descoocido H : µ µ X µ H 1 : µ = µ 1 H 1 : µ > µ H 1 : µ > µ α = t α 1 µ 1 > µ H 1 : µ = µ 1 H 1 : µ < µ H : µ µ H 1 : µ < µ α = µ 1 < µ H 1 : µ µ α = X µ X µ t α/ 1 t α 1 Test sobre µ descoocido H : = H : = H : H 1 : = 1 H 1 : > H 1 : > α = 1 > H : = H : = H : H 1 : = 1 H 1 : < H 1 : < α = 1 < H : = α = 1 s Comparació de dos muestras gaussiaas idepedietes X 1,..., X m iid Nµ X, X, Y 1,..., Y iid Nµ Y, Y. X, Y idepedietes etre sí. Las catidades m y puede ser chicas. 1 s 1 s / χ 1 α/ 1, χ α/ 1 χ α 1 χ 1 α 1 5

6 Comparació de variazas H : X = Y H 1 : X Y α = E / F 1 α/ m 1, 1, F α/ m 1 1 H : X = Y H 1 : X < Y α = E F 1 α m 1, 1 H : X = Y H 1 : X > α = E F α m 1, 1 Y co E = s mx s Y, s mx = 1 m, Xi X m s m 1 Y = 1 Yi Y y dode Fp 1, 1 i=1 i=1 se busca de la tabla de la distribució F. Comparació de medias Caso X, Y coocidas H : µx = µy H 1 : µ X µ Y α = E z α/ co E = X m Y. Xm + Y H 1 : µ X < µ Y α = E z α H 1 : µ X > µ Y α = E z α Caso X, Y coocidas, co X = Y Puede averiguarse previamete co comparació de variazas H 1 : µ X µ Y α = E t α/ m + co E = Xm Y m m+ m 1s m X+ 1s Y m+ H 1 : µ X < µ Y α = E t α m + H 1 : µ X > µ Y α = E t α m +..1 Caso X, Y coocidas, co X Y H 1 : µ X µ Y α = E t α/ N co E = etera de x. H 1 : µ X < µ Y α = E t α N H 1 : µ X > µ Y α = E t α N X m Y + 1m + 1 y N = s m X m + s Y m + 1 s m X m s m X m + s Y s Y, dode x] es la parte 6

7 Test aproximados sobre la media basados e el TCL Como se usa ua aproximació basada e el TCL estos tests sólo puede hacerse para ua catidad de dato grade. Tests sobre la media X 1,..., X iid F, E X 1 = µ, Var X 1 =, ambos fiitos, >. grade. H : µ µ X µ H 1 : µ = µ 1 H 1 : µ > µ H 1 : µ > µ α = z α µ 1 > µ H : µ µ X µ H 1 : µ = µ 1 H 1 : µ < µ H 1 : µ < µ α = z α µ 1 < µ µ µ α = X µ z α/ E el caso de media y variaza ligadas es decir que existe ua fució tal que = µ puede testearse de maera aáloga de dos formas distitas: 1. reemplazado por X X µ. reemplazado Ejemplo: proporcioes X 1,..., X iid Berp grade. por g X gµ, siedo gx H : p p H 1 : p > p Puede usarse las siguietes regioes críticas: X p 1. α = z α X 1 X. α = arcse X arcse p z α x 1 t dt. µ Comparació de dos muestras X 1,..., X m iid F X, E X 1 = µ X, Var X 1 = X, Y 1,..., Y iid F Y, E Y 1 = µ X, Var Y 1 = X. X, Y idepedietes etre sí. Las catidades de datos m y debe ser grades. H 1 : µ X µ Y α = E z α/ co E = X m Y. s m X m + s Y H 1 : µ X < µ Y α = E z α H 1 : µ X > µ Y α = E z α 7

8 Media y variaza ligadas X 1,..., X m iid F X, E X 1 = µ X, Var X 1 = µ X, Y 1,..., Y iid F Y, E Y 1 = µ Y, Var Y 1 = µ Y. X, Y idepedietes etre sí, ambas co el mismo tipo de distribució, por ejemplo ambas Poisso, ambas biomiales, etc. de modo que la fució es la misma para ambas muestras. m y debe ser grades. H 1 : µ X µ α = E z α/ Y H 1 : µ X < µ α = E z α Y H 1 : µ X > µ α = E z α Y m x co E = g Xm g Y, siedo gx 1 m + t dt. µ Ejemplo: proporcioes X 1,..., X iid Berp X Y 1,..., Y iid Berp Y X, Y idepedietes etre sí. y puede usarse los siguietes estadísticos: 1. E = X m Y X m1 X m m + m. E = m + arcse Y 1 Y H : p X = p Y H 1 : p X p Y α = E z α/ H : p X = p Y H 1 : p X < p Y α = E z α H : p X = p Y H 1 : p X > p Y α = E z α X m arcse Y 8