Introducción Teoría de la probabilidad

Transcripción

1 Grado en Ingeniería Asignatura: Estadística Tema: 2. Probabilidad e inferencia estadística

2 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 2

3 Inferencia estadística Muestra Población Inferencia estadística: Proceso mediante el cual se utiliza la información de la muestra para extraer conclusiones de la población Número de transparencia: 3

4 Ejemplo 1: proporción poblacional? Supongamos que somos fabricantes de juguetes para niños. Para la fabricación de nuestra última novedad, dependemos de un proveedor que nos suministra los componentes electrónicos necesarios. La proporción de componentes defectuosos que consideramos admisible es Recibimos un lote de componentes, como no tenemos recursos para inspeccionarlos todos, se decide realizar una inspección de 500 componentes y en función de los resultados de esta inspección decidiremos aceptar o rechazar todo el lote. Frequency Table for Circuitos_Defec Relative Class Value Frequency Frequency Recibimos el lote Inspeccionamos una muestra información de la muestra En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de con la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?. Número de transparencia: 4

5 Ejemplo 2: media y varianza poblacional? Supongamos que somos fabricantes de láminas de carbono. Una característica importante que debemos controlar es la resistencia a la rotura. El responsable de la planta ha establecido un valor objetivo, en función de lo que demanda el mercado: la resistencia media de todas las láminas que se fabriquen debe ser igual o superior a 2800 N/mm2 y la desviación típica no superior a 20 N/mm2. Para verificar si se cumple este criterio, y dado que no se pueden inspeccionar todas las láminas porque la prueba para determinar su resistencia supone la destrucción de la misma, se decide realizar la prueba a 80 laminas. Summary Statistics for Resistencia Count = 80 Average = Median = Standard deviation = frequency Histogram for Resistencia Resistencia En la muestra observamos que la resistencia media es de N/mm2, con una desviación de N/mm2 con la información que nos suministra la muestra podemos decir que el proceso de fabricación no cumple con el criterio de calidad establecido por el responsable?. Número de transparencia: 5

6 Ejemplo 3: Comparación de poblaciones Somos responsables de elegir donde se situará un nuevo parque eólico. Tenemos dos posibles localizaciones, dentro del mismo municipio. Para tomar nuestra decisión, recurrimos a la estadística. Se observa la velocidad del viento durante 730 horas de forma simultánea en dos localizaciones alternativas (variables Parque1 y Parque2). Se quiere utilizar estos datos para decidir en qué localización instalar un parque de producción de energía eólica. Summary Statistics Veloc_Parque1 Veloc_Parque Count Average Median Standard deviation Minimum Maximum Lower quartile Upper quartile Skewness Kurtosis Coeff. of variation % % Veloc_Parque1 Veloc_Parque2 Box-and-Whisker Plot Las medias muestrales son distintas. Son distintas la medias poblacionales? A la vista de los datos, qué localización es más aconsejable? Número de transparencia: 6

7 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 7

8 Teoría de la probabilidad La probabilidad es el arma que vamos a utilizar para poder generalizar nuestras conclusiones a toda la población de referencia Número de transparencia: 8

9 Teoría de la probabilidad. Introducción Experimento: Proceso de observar una característica. Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado es incierto Ejemplos: Lanzar una moneda 3 veces y observar el numero de caras Medir el peso de un estudiante Medir la corriente en un cable de cobre Medir la temperatura de un fluido en un tanque (proceso industrial) Medir el caudal de un fluido que circula por una tubería El numero mensual de reclamaciones de una compañía El tiempo de atención al cliente de una sucursal bancaria El numero de articulo defectuosos de un lote de materia prima Número de transparencia: 9

10 Teoría de la probabilidad. Introducción Ejemplo: Nº de seis en el lanzamiento de tres dados Si repetimos el experimento en distintos momentos obtenemos distintos resultados, además el resultado es incierto Por qué? Movimiento de la mano Factores ambientales. Factores no controlados El experimento esta sujeto a una componente aleatoria Número de transparencia: 10

11 Teoría de la probabilidad. Introducción Todos tenemos la idea intuitiva de lo que es la probabilidad. Decimos de forma habitual cosas como: La probabilidad de que salga un seis al lanzar un dado es 1 entre 6 Si realizo una apuesta simple la probabilidad de que me toque la primitiva es muy pequeña (1 entre 14 millones) La probabilidad se define sobre un suceso y trata de cuantificar su incertidumbre 0 P(A) 1 Número de transparencia: 11

12 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 12

13 Fenómenos y experimentos aleatorios Un experimento es determinista cuando existe un conjunto de circunstancias que, antes de su ejecución, determinan completamente su resultado. Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado de antemano: Se conocen previamente y con exactitud los posibles resultados del experimento. Es imposible saber su resultado antes de su realización. Se puede repetir indefinidamente, en las mismas condiciones iniciales, obteniendo resultados distintos. Número de transparencia: 13

14 Sucesos El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio, lo denotamos por E. Ejemplo: Experimento, lanzar dado, E={1,2,3,4,5,6} Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. Un suceso elemental un elemento del espacio muestral. Ejemplo: (lanzar dado), sale un seis, A={6} Un suceso compuesto es un conjunto de sucesos elmentales. Ejemplo: (lanzar dado), sale un número par B={2,4,6} Número de transparencia: 14

15 Sucesos El suceso seguro es el que siempre ocurre al realizar el experimento, E. Ejemplo: (lanzar dado) E={1,2,3,4,5,6} El suceso imposible es el que nunca ocurre como resultado del experimento. Ejemplo: (lanzar dado) sale un número negativo Número de transparencia: 15

16 Operaciones con sucesos (conjuntos) Operación unión. Dados dos sucesos A y B, el suceso A B (alternativamente A+B) ocurre cuando ocurre A u ocurre B u ocurren ambos simultáneamente. A={1,2} ; B={2,3,4} A B ={1,2,3,4} Número de transparencia: 16

17 Operaciones con sucesos (conjuntos) Operación intersección. Dados dos sucesos A y B, el suceso A B (alt. A B) ocurre cuando ocurren simultáneamente A y B. A={1,2} ; B={2,3,4} A B ={2} Número de transparencia: 17

18 Operaciones con sucesos (conjuntos) Suceso contrario (o complementario). Dado un suceso A, su contrario A c (alt. A ) ocurre cuando A no ocurre. E={1,2,3,4,5,6} ; A={1,2} A c ={3,4,5,6} Número de transparencia: 18

19 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 19

20 Definición de probabilidad Una probabilidad es una función P que asigna a cada suceso asociado al experimento un valor real tal que 1. 0 P(A) 1 ; 2. P(E ) = 1 ; 3. Si A y B son mutuamente excluyentes (es decir A B = ) P(Α Β)= P(A)+P(B). De las tres propiedades anteriores, deducimos que cualquier probabilidad satisface: 1. Para cualesquiera A y B, P(A B) = P(A)+P(B) P(A B ) 2. P(A c ) = 1 P(A) Número de transparencia: 20

21 Consideración final Leyes de los Grandes Números. Si repetimos muchas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso A cualquiera tiende a estabilizarse en torno a un valor (PROBABILIDAD DEL SUCESO) frecuencia relativa ca ara numero lanzamientos Número de transparencia: 21

22 Descripción breve del tema 1. Introducción 2. Fenómenos y experimentos aleatorios Sucesos y operaciones con sucesos (conjuntos) 3. Concepto de probabilidad y propiedades Definición de probabilidad Primeras propiedades de la probabilidad y alguna consideración 4. Asignación de probabilidades en la práctica Equiprobabilidad, regla de Laplace 5. Probabilidad condicionada Concepto de probabilidad condicionada Independencia de sucesos 6. Teorema de Bayes Teoremas de la probabilidad total y de Bayes Número de transparencia: 22

23 Equiprobabilidad, regla de Laplace Si un experimento tiene un número finito de resultados posibles y no hay razón que privilegie un resultado frente a otro, para cualquier A P ( A) = número de casos favorables a número de casos posibles A Número de transparencia: 23

24 La probabilidad condicionada Dados dos sucesos A y B con P(B)>0, definimos la probabilidad de A condicionada a B como la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B,. P(A B) P(A B) P(B) = Α Β Α Β Número de transparencia: 24

25 Independencia entre sucesos Dos sucesos A y B son independientes si P(A B)=P(A) Es decir que ocurra B es irrelevante para que ocurra A Número de transparencia: 25

26 Teorema de la probabilidad total Dados A 1, A 2,,A n mutuamente excluyentes con A 1 A 2 A n =E, entonces la probabilidad de un suceso B cualquiera viene dada por Α 1 Α 2... Α 3 Α n P( B) = n i= 1 P( A i ) P( B A i ) Β Número de transparencia: 26

27 Teorema de la probabilidad total - Ejemplo Supongamos que el mismo artículo es fabricado por dos máquinas: A y B. La probabilidad de que el articulo sea defectuoso varía según la máquina de que provenga, así el 2.2% de los artículos producidos por A son B defectuosos, mientras que en el caso de B, el 1.4% de los artículos son defectuosos. Sabiendo que el 36% de los artículos producidos en una fábrica provienen de la máquina A y el resto de B, calcula la probabilidad de que un artículo de dicha fábrica sea defectuoso. A B D producido por A producido por B defectuoso P( A) = 0.36 P( B) = 0.64 P( D A) = P( D B) = P( D) = P( D A) P( A) + P( D B) P( B) = = Número de transparencia: 27

28 Teorema de Bayes Dados A 1, A 2,,A n mutuamente excluyentes con A 1 A 2 A n =E, y dado un suceso B cualquiera con P(B)>0, entonces se cumple P( A B) i = P( Ai B) P( B) = P( Ai ) P( B Ai ) P( A ) P( B A n j=1 j j ) Número de transparencia: 28

29 Teorema de Teorema de Bayes Bayes Ejemplo (continuación) Ejemplo (continuación) Teorema de Teorema de Bayes Bayes Ejemplo (continuación) Ejemplo (continuación) Un artículo procedente de la fábrica con las máquinas A y B es defectuoso. Calcula la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + = = B P B D P A P A D P A P A D P D P D A P D A P Número de transparencia: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + = B P B D P A P A D P D P

30 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 30

31 Variables aleatorias Una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio Ε S 2 S 1 X(s 2 )=b X(s 1 )=a X a b Número de transparencia: 31

32 Variables aleatorias Lanzamos 2 veces una moneda. Podemos definir la variable aleatoria X = número de caras Ε XC CX CC XX X(cx)=1 X(cc)=2 X(xc)=1 X(xx)=a T Definimos R X, rango de X, como el conjunto de posibles valores de X Número de transparencia: 32

33 Variables aleatorias. Ejemplos Nº de artículos defectuosos en un lote de materia prima Nº de clientes atendidos al día Nº de BIT transmitidos correctamente Peso de las piezas fabricadas Temperatura del fluido Resistencia del material Corriente que circula por un cable Número de transparencia: 33

34 Variables aleatorias. Clasificación Atendiendo al rango, las variables aleatorias se clasifican como: Discretas: El rango es finito o infinito numerable Nº de artículos defectuosos en un lote de materia prima Nº de clientes atendidos al día Nº de BIT transmitidos correctamente Continuas: El rango es un intervalo de la recta real Peso de las piezas fabricadas Temperatura del fluido Resistencia del material Corriente que circula por un cable Para definir perfectamente una variable aleatoria se necesita conocer: El conjunto de valores que toma la variable, el rango Con que probabilidad toma esos valores, la distribución. Número de transparencia: 34

35 Variables aleatorias Discretas Definimos la función de probabilidad, p(x)=p(x=x). A cada valor de la variable le asocia su probabilidad. E = Lanzar 2 veces una moneda X = Número de caras C C X P X C X 0 ¼=0.25 X C 1 2/4=0.5 X X 2 ¼=0.25 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Número de transparencia: 35

36 Variables aleatorias Discretas Definimos la función de distribución, F(x)=P(X x). A cada valor le asocia la probabilidad de que la variable sea menor o igual a él. Medidas características Media: = = µ = E X ] x p ( x ) [ i i Varianza: 2 σ = E µ 2 2 [( X ) ] = E[ X ] E[ X ] 2 donde E[ X 2 ] 2 = x p( ) i x i Número de transparencia: 36

37 Variables aleatorias continuas Desafortunadamente, el método para describir la distribución de las v.a. discretas es inadecuado para describir una v.a. continuas, no se puede asociar a cada valor de la v.a. su probabilidad. Buscamos una función que nos permita calcular probabilidades Candidatos a funciones de densidad, muchos: 0,4 0,3 density 0,2 0, x Número de transparencia: 37

38 Variables aleatorias continuas La función de densidad describe la distribución de probabilidad de una variable continua f ( x) 0 f ( x)dx = 1 P( a < X < b) b = a f ( x) dx 0,4 0,3 = P ( a < X < b) f ( x) dx b a density 0,2 0,1 0 a x b Número de transparencia: 38

39 Variables aleatorias continuas Ejemplo: Sea X el tiempo de funcionamiento de una maquina en un año (en horas x100) f 0.4 x si 0 < x < ( x) = 0.8 x si 2.5 x < en otro caso Número de transparencia: 39

40 Variables aleatorias continuas Definimos la función de distribución, F(x)=P(X x). A cada valor le asocia la probabilidad de que la variable sea menor o igual a él. Medidas características Media: µ = + E [ X ] = - xf ( x ) d x Varianza: 2 σ = E µ 2 2 [( X ) ] = E[ X ] E[ X ] 2 donde E[ X 2 ] = + - x 2 f ( x) dx Número de transparencia: 40

41 Variables aleatorias continuas Observando conjuntos de datos observamos un patrón, un modelo que se repite con mucha frecuencia. Histogram for altura Histogram for Matematicas frequency frequency altura Altura alumnos Matematicas Nota matemáticas Histogram for Resistencia Histogram for PESO frequency frequency Resistencia Resistencia de láminas fabricadas Peso de piezas Número de transparencia: 41

42 Modelos de distribución de probabilidad Cuando se estudian las variable aleatorias: Definir en cada problema los valores y las probabilidades pueden ser muy complejo. Ejemplo: Niños y niñas en familias de cuatro hijos Ejemplo: Altura de individuos Lo simplificamos mediante distribuciones de probabilidad conocidas : Variables discretas: Distribución Binomial,., Variables continuas: Distribución Normal probability 0,4 0,3 0,2 0,1 Binomial Distribution Event prob.,trials 0,1,10 0,2,10 0,5,10 density 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 Exponential Distribution Mean density 0,4 0,3 0,2 0,1 Normal Distribution Mean,Std. dev. 0,1 0,1,5 0,2 1,1 1, x x x Número de transparencia: 42

43 Proceso de Bernoulli Consideremos un experimento en el que se van realizando pruebas con las siguientes características: Cada prueba tiene dos posibles resultados Aceptable-defectuoso, niño-niña, La probabilidad de éxito en cada prueba es constante Las pruebas son independientes. Ε Ε F E F Ε Ε Número de transparencia: 43

44 Proceso de Bernoulli Ejemplos: Lanzamiento de una moneda: Posible resultado: Cara ó cruz Probabilidades contantes: P(Cara)=0.5; P(Cruz)=0.5 Observaciones independiente Producción de piezas: Posible resultado: Defectuosa o Aceptable. Probabilidades fijas. P(Defectuosa)=0.01 ; P (Aceptable)=0.99 Observaciones independientes (el observar si una pieza es defectuosa o aceptable, no me dice nada de si otra pieza es defectuosa o no) Sexo recién nacidos: Posible resultado: Niño ó Niña. Probabilidades fijas. P(Niño)=0.5 ; P (Niña)=0.5 Observaciones independientes (El saber el sexo del último recién nacido en un hospital, no da información del sexo del próximo) Número de transparencia: 44

45 Proceso de Bernoulli. Distribución Binomial En un proceso de Bernoulli Tomamos una muestra de tamaño n, y contamos el numero de éxitos (por ejemplo, numero de defectuosos en 50 piezas) La distribución Binomial nos da la probabilidad de obtener un numero de éxitos (por ejemplo, nos da la probabilidad de obtener 4 defectos en 50 piezas X~B(n,p) Función de probabilidad Medidas características P X k n p k p µ = k n k ( = ) = (1 ) 2 = np(1 p) σ np Número de transparencia: 45

46 Proceso de Bernoulli. Distribución Binomial Distribución binomial- Función de probabilidad Número de transparencia: 46

47 Proceso de Bernoulli. Distribución Binomial Ejemplo 1: Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El aparato funciona solo si no hay ningún circuito defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? Sea X= Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato La probabilidad solicitada es P(X=0) Qué distribución sigue X? Se observan 40 pruebas de Bernoulli: Cada prueba, observar un circuito, tiene dos posibles resultados; funciona, no funciona La probabilidad de que un circuito funcione es constante, 0.01 Los circuitos son independientes El número de defectuosos en 40 pruebas es una Binomial (40, 0.01) X B(40,0.01) P 40 = (1 0 ( 0) X = 0.01) 40 Número de transparencia: 47

48 Proceso de Bernoulli. Distribución Binomial Ejemplo 1: Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El aparato funciona solo si no hay ningún circuito defectuoso. Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione? Cumulative Distribution Distribution: Binomial Lower Tail Area (<) Variable Dist. 1 Dist Probability Mass (=) Variable Dist. 1 Dist Upper Tail Area (>) Variable Dist. 1 Dist Número de transparencia: 48

49 Proceso de Bernoulli. Distribución Binomial Ejemplo 2: Supongamos que recibimos un lote con muchas piezas y no tenemos recursos para inspeccionarlas todas. Para decidir si aceptamos el lote o lo rechazamos seleccionamos una muestra de 20 unidades y en función de las piezas defectuosas en la muestra rechazamos o aceptamos todo el lote. La regla de decisión es: aceptamos el lote si en la muestra hay como máximo 2 unidades defectuosas. Si la proporción de defectos en el lote fuera 0.05, Cuál sería la probabilidad de calcular la probabilidad de rechazar el lote? Si la proporción de defectos en el lote fuera 0.2, Cuál sería la probabilidad de calcular la probabilidad de rechazar el lote? Número de transparencia: 49

50 Proceso de Bernoulli. Distribución Binomial Ejemplo 2: Cumulative Distribution Distribution: Binomial Lower Tail Area (<) Variable Dist. 1 Dist Probability Mass (=) Variable Dist. 1 Dist Upper Tail Area (>) Variable Dist. 1 Dist Acepto el lote si en la muestra hay 0, 1 ó 2 defectuosos = rechazo el lote si en la muestra hay más de 2 defectuosos Si p(d)=0.05, P(rechazar el lote)= Si p(d)=0.2, P(rechazar el lote)= Dist.1 = Binomial(20, 0.05) Dist.2 = Binomial(20, 0.2) Número de transparencia: 50

51 Variables aleatorias continuas Ejemplo: Sea X el tiempo de funcionamiento de una maquina en un año (en horas x100) P( X < 3.2) = 0.4 xdx f ( x) dx = 0.4 (0.8 x) dx 2.5 = 0.74 Número de transparencia: 51

52 Distribución normal o gaussiana La distribución normal es sin duda la distribución de probabilidad mas importante: Aproxima lo observado en muchos procesos de medición: medidas físicas del cuerpo humano, características psíquicas, medidas de calidad de procesos industriales En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Norma Es la base de la inferencia estadística. Aunque una variable aleatoria no sea normal, la media de la muestras sigue una distribución normal Su importancia es una consecuencia del teorema central del límite: cuando los resultados de un experimentos son debidos a un conjunto muy grande de causas independientes, que actúan sumando sus efectos, siendo cada efecto de poca importancia respecto al conjunto, es esperable que los resultados sigan una distribución normal Normal Distribution 0,4 0,3 Mean,Std. dev. 0,1 density 0,2 0, x Número de transparencia: 52

53 Distribución normal Su función de densidad es: 1 ( x µ ) 2 2σ f ( x) = e 2 σ Normal Distribution 2π 2 E( X ) = Var( X ) µ = σ 0,8 0,6 Sta. dev ,4 0,3 Media density 0,4 0,2 0,2 0, Número de transparencia: 53

54 Distribución normal Regla empírica 0,4 0,3 0,2 0, µ-3σ -3µ-2σ µ-σ -1 µ+σ 1 µ+2σ 3 µ+3σ 5 Número de transparencia: 54

55 Distribución normal El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas. Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas? Qué tiempo de vida es excedido por el 95.05% de los semiconductores? Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle entre las 6200 y las 7600 horas de vida? Número de transparencia: 55

56 Modelos de distribución de probabilidad Número de transparencia: 56

57 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 57

58 Inferencia estadística Muestra Población Inferencia estadística: Proceso mediante el cual se utiliza la información de la muestra para extraer conclusiones de la población Número de transparencia: 58

59 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 59

60 Ajuste a modelo de probabilidad Consiste en identificar el modelo de probabilidad que sigue la variable de interés. Qué modelo ha generado los datos observados? Para ajustar un modelo de probabilidad para la variable: 1. Analizar el tipo de variable y la información que suministra la muestra. 2. Proponer un modelo adecuado de distribución de probabilidad para la variable de interés (Normal, Exponencial, Poisson,..). 3. Estimar los parámetros desconocidos del modelo propuesto 4. Comprobar que el modelo propuesto es adecuado El modelo ajustado te ayuda a tomar decisiones respecto a la población. 100 Histogram for Azucar frequency Azucar Número de transparencia: 60

61 Ajuste de modelo: Identificación de modelo. Se observa la aceleración en 155 coches (Seconds from 0 to 60 millas/hora). Teniendo en cuenta el tipo de variable y la información que suministra la muestra, Fuente: Archivo de datos del Statgraphics,Cardata.sf3 Número de transparencia: 61

62 Ajuste de modelo: Identificación de modelo. Se observa la aceleración en 155 coches. La distribución normal (función de densidad, una campaña de Gauss) parece que se ajusta bien. Fuente: Archivo de datos del Statgraphics,Cardata.sf3 Número de transparencia: 62

63 Ajuste a modelo: Estimación de parámetros A la vista del histograma parece razonable proponer la distribución normal La distribución normal depende de dos parámetros, la media y la varianza poblacional, ambos desconocidos (recordar que solo hemos observado una muestra, no toda la población). Para dar valores a los parámetros, estimarlos, utilizamos la información que suministra la muestra. Count = 155 Average = Median = 15.8 Variance = Standard deviation = Minimum = 11.2 Fuente: archivo de datos del statgraphics,cardata Número de transparencia: 63

64 Ajuste de modelo: Estimación parámetros Estimación de parámetros N ( µ, σ ) = N(Media muestra, varianza muestra) Histog ram fo r accel frequenc cy Summary Statistics for accel Count = 155 Average = Median = 15.8 Variance = Standard deviation = Minimum = accel N(16.27;2.52) Fuente: Archivo de datos del Statgraphics,Cardata.sf3 Número de transparencia: 64

65 Ajuste a modelo: Diagnosis el modelo de probabilidad estimado es idóneo? los datos aportan evidencia suficiente en contra del modelo de probabilidad asumido? Gráficamente. Si observamos el grafico parece que los datos observados confirman el modelo propuesto Histog ram fo r accel y frequency accel hay alguna forma de verificar que el modelo propuesto es adecuado? Número de transparencia: 65

66 Ajuste a modelo: Diagnosis El test de Bondad de Ajuste de Chi-Cuadrado de Pearson compara la frecuencia observada con la frecuencia esperada bajo el modelo propuesto, si existe mucha discrepancia entre lo observado y lo esperado entonces rechazamos el modelo propuesto Goodness-of-Fit Tests for accel Chi-Square Test Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square at or below above Chi-Square = with 12 d.f. P-Value = Cuanto mas pequeño sea el p-valor mas evidencia tenemos en contra del modelo propuesto. Si p-valor < 0.05, rechazamos el modelo propuesto Número de transparencia: 66

67 Ajuste de modelo: Cálculo de probabilidades Aceleración N(16.27;2.52) Conocer el modelo de probabilidad nos permite responder a preguntas relacionadas con la población. Cuál es la probabilidad de que la aceleración de un coche sea superior a 17 (Seconds from 0 to 60)? Tail Areas for accel area below 17.0 = area below = area below = area below = area below = Fuente: Archivo de datos del Statgraphics,Cardata.sf3 Número de transparencia: 67

68 Ajuste a modelo. Ejemplo 2: Proporción de defectos Los artículos fabricados los clasifico en defectuosos y no defectuosos. Observo 5000 artículos. Frequency Table for defecto Relative Cumulative Cum. Rel. Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency No defectuoso Defectuoso Ejercicio: Identifica modelo de probabilidad Estima parámetro o parámetros desconocidos Calcular la probabilidad de que en un lote de 50 piezas haya mas de 3 defectuosas. Número de transparencia: 68

69 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 69

70 Estimadores y su distribución Definiciones del Tema 1 (Estadística Descriptiva) Población: conjunto de individuos sobre el cual estamos interesados en sacar conclusiones (habitualmente demasiado grande para abarcarlo). Muestra: subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que realizamos las observaciones. Parámetro: cantidad numérica calculada sobre la población (ejemplos: media µ, varianza σ 2 y proporción p). Determina completamente un modelos paramétricos. Estadístico: cantidad numérica calculada sobre la muestra. Cuando un estadístico conduce a un valor aproximado de un parámetro se le llama estimador del parámetro. Número de transparencia: 70

71 Estimadores y su distribución Una muestra aleatoria simple X 1, X 2,, X n está compuesta por n variables aleatorias independientes con la misma distribución. Estimadores Media muestral: La utilizamos para estimar la media poblacional µ. X n 1 = X n i= 1 i N ( µ, σ n ) Proporción muestral: La utilizamos para estimar la proporción poblacional p. número de X i con cierta característica p(1 p) pˆ = N p, n n Varianza muestral: La utilizamos para estimar la varianza poblacional σ 2. n 2 2 ( X i X ) S = n 1 i= 1 Número de transparencia: 71

72 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 72

73 Intervalos de confianza Los intervalos de confianza proporcionan una zona en la que previsiblemente estará el valor autentico del parámetro. Se calculan con una confianza determinada. Normalmente 95% Casos que veremos: Intervalo de confianza para la media Intervalo de confianza para la desviación típica (población normal) Intervalo de confianza para la proporción Número de transparencia: 73

74 Intervalos de confianza Supongamos que somos fabricantes de laminas de carbono. Una característica importante que debemos controlar es la resistencia a la rotura. La resistencia observada en 80 laminas. Summary Statistics for Resistencia 40 Histogram for Resistencia Count = 80 Average = Median = Standard deviation = requency fr Resistencia Es el verdadero valor de la resistencia media de todas las laminas fabricadas ? Número de transparencia: 74

75 Intervalo de confianza Un intervalo de confianza proporciona una zona en la que con una confianza predeterminada estará el verdadero valor del parámetro El verdadero valor de la resistencia media de todas las laminas fabricadas es con un nivel de confianza del 95%: Confidence Intervals for Resistencia 95.0% confidence interval for mean: / [ ; ] Número de transparencia: 75

76 Intervalos de confianza Las formulas para calcular los intervalos de confianza están en cualquiera de los libros indicados en la bibliografía. Por ejemplo: Número de transparencia: 76

77 Intervalo de confianza para la media Calculo del intervalo de confianza para la media. Menú Statgraphics: Describe / Numerical data / One-Variable Analysis Tabular Option / Confidencel Intervals Confidence Intervals for Resistencia 95.0% confidence interval for mean: / [ ; ] 95.0% confidence interval for standard deviation: [ ; ] Número de transparencia: 77

78 Intervalo de confianza para la desviación típica Supongamos que somos fabricantes de laminas de carbono. Una característica importante que debemos controlar es la resistencia a la rotura (distribuida según modelo normal). Se observa la resistencia en 80 laminas Summary Statistics for Resistencia Count = 80 Average = Median = Standard deviation = frequency Resistencia El verdadero valor de la Deviación Típica de la resistencia de todas las laminas fabricadas es con un nivel de confianza del 95%: Confidence Intervals for Resistencia 95.0% confidence interval for mean: / [ ; ] 95.0% confidence interval for standard deviation: [ ; ] Número de transparencia: 78

79 Intervalo de confianza para la desviación típica Calculo del intervalo de confianza para la desviación típica Menú Statgraphics: Describe / Numerical data / One-Variable Analysis Tabular Option / Confidencel Intervals Confidence Intervals for Resistencia 95.0% confidence interval for mean: / [ ; ] 95.0% confidence interval for standard deviation: [ ; ] Número de transparencia: 79

80 Intervalo de confianza para la proporción Los artículos fabricados los clasifico en defectuosos y no defectuosos. Observo 5000 artículos. Codificamos los valores. 0=No defectuoso, 1=Defectuoso Frequency Table for defecto Relative Cumulative Cum. Rel. Class Value Frequency Frequency Frequency Frequency No defectuoso Defectuoso Intervalo de confianza para la proporción de artículos defectuosos fabricados Confidence Intervals for Art_defect 95.0% confidence interval for mean: / [ ; ] Número de transparencia: 80

81 Interpretación de los intervalos de confianza En todo intervalo de confianza hay una noticia buena y otra mala: La buena: hemos usado una técnica que en % alto de casos acierta. La mala: no sabemos si ha acertado en nuestro caso. Confidence Intervals for Resistencia 95.0% confidence interval for mean: / Número de transparencia: 81

82 Inferencia. Índice Introducción Teoría de la probabilidad Experimentos aleatorios Probabilidad Variables aleatorias Discretas. Distribución Binomial Continuas. Distribución Normal Inferencia estadística: Ajuste a modelo de probabilidad Identificación de un modelo y estimación de parámetros Diagnosis Utilización del modelo: cálculo de probabilidades Intervalos de confianza y contrastes de hipótesis: Estimadores y su distribución Intervalos de confianza Contraste de hipótesis Número de transparencia: 82

83 Contraste de Hipótesis En investigaciones empíricas muchas veces existe una teoría preconcebida relativa a la característica de la población sometida a estudio. Este tipo de circunstancias es estudiado mediante un contraste de hipótesis, e implica la existencia de dos hipótesis que reflejan esta idea a priori y que tendremos que contratar con la realidad observada.

84 Contrastando una hipótesis Son demasiados... es la edad media 40años? Gran diferencia! Muestra aleatoria Rechazo la hipótesis X = 20 años Número de transparencia: 84

85 Contraste de Hipótesis: analogía con juicio penal 1. Establecemos las hipótesis H : El acusado es inocente 0 H : El acusado es culpable 1 La hipótesis nula es la hipótesis que mantendremos a no ser que haya suficiente evidencia para rechazarla (nunca se prueba) 2. Se observan las pruebas Si las pruebas aportan suficiente evidencia en contra de H 0, entonces rechazamos H 0 Si las pruebas no aportan suficiente evidencia, entonces no rechazamos H 0 Es decir si hay mucha discrepancia entre las pruebas y H 0, entonces rechazamos H 0 3. Errores Decisión Realidad Inocente culpable inocente - Error II Culpable Error I - El error que más nos preocupa es Error tipo I (rechazar H 0, siendo cierta). Realizaremos el contraste intentando controlar este error α=p(e I )=P(rechazar H 0 / H 0 es cierta) β= P(EI)=P(aceptar H 0 / H 0 es falsa) Número de transparencia: 85

86 Contraste de hipótesis Contraste de hipótesis en estadística es contestar a preguntas Siempre se contesta en términos de probabilidad Es semejante a los intervalos de confianza. Hay contrastes que se pueden resolver utilizando intervalos de confianza Número de transparencia: 86

87 Contraste de Hipótesis. Etapas Definir el contraste: Definir la hipótesis nula (H 0 ) y hipótesis alternativa (H 1 ) Decidir: Rechazo H 0 y acepto H 1 (la muestra aporta suficientes pruebas en contra de la hipótesis nula) o Aceptar H 0 (la muestra no aporta suficientes pruebas en contra de la hipótesis nula) La herramienta que vamos a utilizar para tomar la decisión es el p-valor. Si p-valor es pequeño rechazamos H 0 Número de transparencia: 87

88 Contraste de hipótesis Un ingeniero esta interesado en la tasa de combustión de un combustible sólido. Él sospecha, y es lo que quiere demostrar que la tasa de combustión es en media superior a 40. Tomare una muestra y realizaré un contraste para demostrar mi Summary Statistics for Combustion Count = 100 Average = Median = Variance = Standard deviation = Minimum = sospecha Maximum = Range = Lower quartile = Upper quartile = Stnd. skewness = Stnd. kurtosis = Histogram for Combustion frequency Combustion Número de transparencia: 88

89 Contraste de hipótesis. Definir hipótesis Definir la Hipótesis nula y alternativa. Tipos de contrastes H H 0 : µ = µ : µ µ 0 H H : µ µ : µ > µ Contrate Bilateral Contrastes unilaterales 0 0 H H 0 : µ µ : µ < µ 0 0 Hipótesis nula Hipótesis alternativa a) La que contrastamos a) Niega a la hipótesis nula Lo que queremos demostrar b) Los datos pueden refutarla b) Los datos pueden demostrar evidencia a favor c) No debería ser rechazada sin una buena razón c) No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor Número de transparencia: 89

90 Contrate de hipótesis. Definir hipótesis Definir el contraste: definir hipótesis nula e hipótesis alternativa es la tasa de combustión media del solido superior a 40? H 0 : µ = 40 H 1 : µ > 40 Número de transparencia: 90

91 Contrate de hipótesis. Decisión es la tasa de combustión media del s superior a 40 H H 0 1 : µ = : µ > Intuitivamente rechazaremos H 0 si la media muestral es mucho más grande que 40 rechazamos H0 si X >> 40. Gran diferencia entre lo observado y lo esperado Para establecer un criterio para aceptar o rechazar la hipótesis nula utilizaremos el p-valor Número de transparencia: 91

92 Contrate de hipótesis. Herramienta de decisión: p-valor El p-valor da una idea de lo verosímil que es la hipótesis nula con los datos que tenemos P-valor es bajo (menor que 0.05) poco razonable que H 0 sea verdad P-valor alto(mayor que 0.05) es bastante posible que H 0 se verdad Acepto Η Rechazo Η 0 Número de transparencia: 92

93 Contrate de hipótesis. Decisión es la tasa de combustión media del s superior a 40 H H 0 1 : µ = : µ > Hypothesis Tests for Combustion Sample mean = Sample median = t-test Null hypothesis: mean = 40.0 Alternative: greater than Computed t statistic = P-Value = E-7 Reject the null hypothesis for alpha = Tenemos evidencia suficiente para rechazar Η 0 Número de transparencia: 93

94 Contrastes de hipótesis Casos que veremos: Intervalo de confianza para la media Intervalo de confianza para la desviación típica (población normal) Intervalo de confianza para la proporción Comparación de poblaciones Comparación de medias Comparación de varianzas (poblaciones normales) Comparación de proporciones Número de transparencia: 94

95 Contraste media Un fabricante de bolsas asegura que sus bolsas soportan al menos 17 Kg. Nosotros sospechamos que soportan menos. Tomamos una muestra de 238 datos. A la vista de los datos, tenemos evidencia en contra del fabricante. Summary Statistics for Bolsas Count = 238 Average = Standard deviation = Definimos contraste H : µ 0 frequency Histogram for Bolsas Bolsas H 1 : µ < Calculamos el p-valor. Statgraphics (Describe / Numerical data / One-Variable 17 Analysis/ Tabular Option / Confidencel Intervals) t-test Null hypothesis: mean = 17.0 Alternative: less than Computed t statistic = P-Value = Do not reject the null hypothesis for alpha = Número de transparencia: 95

96 Contraste varianza. Solo para poblaciones normales La temperatura ideal para una sala es 22 grados. El sistema refrigeración intenta mantener la temperatura alrededor de este valor objetivo. El sistema de refrigeración será de alta calidad si la desviación típica de la temperatura en menor de 0.3 grados. Sospechamos que este sistema no es de calidad alta Se realizan 67 observaciones. (hemos comprobado que se ajusta a una normal) Summary Statistics for Temperatura: Count = 67 Average = Standard deviation = Definimos contraste H 0 : σ 0.3 H : σ > Calculamos el p-valor. Statgraphics (Describe / Hyphotesis tests) 0 1 Hypothesis Tests Sample standard deviation = Sample size = % lower confidence bound for sigma: [ ] Null Hypothesis: standard deviation = 0.3 Alternative: greater than Computed chi-squared statistic = P-Value = E-13 Reject the null hypothesis for alpha = Número de transparencia: 96

97 Contraste Proporciones (muestras grandes) El porcentaje de pupitres para zurdos en la Universidad es del 3% Suponemos que no hay pupitres para zurdos suficientes. Tomamos una muestra de 223 alumnos. Frequency Table for zurdos Relative Cumulative Cum. Rel. Value Frequency Frequency Frequency Frequency diestros zurdos Definimos contraste H H 2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Describe / Hyphotesis tests) Hypothesis Tests Sample proportion = Sample size = : : p p > Approximate 95.0% lower confidence bound for p: [ ] Null Hypothesis: proportion = 0.03 Alternative: greater than P-Value = Do not reject the null hypothesis for alpha = Número de transparencia: 97

98 Comparación de proporciones El porcentaje de alumnos y alumnas zurdas es igual? Tomamos una muestra de 223 alumnos, y 212 alumnas: 7.62% de chicos zurdos 3.76% de chicas zurdas 1. Definimos contraste H H 0 1 : p : p chi cos chi cos = = p p chicas chicas 2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Compare / Hyphotesis tests) Número de transparencia: 98

99 Comparación de proporciones 2. Calculamos el p-valor. Statgraphics (Compare / Hyphotesis tests) Hypothesis Tests Sample proportions = and Sample sizes = 223 and 212 Approximate 95.0% confidence interval for difference between proportions: [ ; ] Null Hypothesis: difference between proportions = 0.0 Alternative: not equal Computed z statistic = P-Value = Do not reject the null hypothesis for alpha = Warning: normal approximation may not be appropriate for small sample sizes. Número de transparencia: 99

100 Comparación de poblaciones Normales Dos proveedores suministran bombillas Hay diferencias significativas entre la duración de las bombillas de los dos proveedores? Tomamos una muestra de 200 bombillas de cada proveedor Box-and-Whisker Plot Bombillas1 bombillas Summary Statistics Bombillas1 bombillas Count Average Standard deviation Número de transparencia: 100

101 Comparación de poblaciones Normales Hay diferencias significativas entre la duración de las bombillas de los dos proveedores? 1. Definimos los contrastes H H 0 1 : µ : µ 1 1 = µ µ Calculamos el p-valor. Statgraphics (Compare / Two Sample) H H 0 1 : σ : σ 1 1 = σ σ a) Comparación desviaciones típicas b) Comparación de medias 2 2 Número de transparencia: 101

102 Comparación de poblaciones Normales Hay diferencias significativas entre la duración de las bombillas de los dos proveedores? a) Comparación desviaciones típicas (las poblaciones deben ser normales) H H Comparison of Standard Deviations : σ 1 = σ 2 Bombillas1 bombillas2 1 : σ 1 σ Standard deviation Variance Df Ratio of Variances = % Confidence Intervals Standard deviation of Bombillas1: [ ;67.026] Standard deviation of bombillas2: [ ; ] Ratio of Variances: [ ; ] F-test to Compare Standard Deviations Null hypothesis: sigma1 = sigma2 Alt. hypothesis: sigma1 NE sigma2 F = P-value = Número de transparencia: 102

103 Comparación de poblaciones Normales Hay diferencias significativas entre la duración de las bombillas de los dos proveedores? b) Comparación de medias H H 0 1 : µ : µ 1 1 = µ µ 2 2 Comparison of Means % confidence interval for mean of Bombillas1: / [ , ] 95.0% confidence interval for mean of bombillas2: / [ , ] 95.0% confidence interval for the difference between the means assuming equal variances: / [ , ] t test to compare means Null hypothesis: mean1 = mean2 Alt. hypothesis: mean1 NE mean2 assuming equal variances: t = P-value = 0.0 Número de transparencia: 103

104 Ahora podemos responder a las cuestiones planteadas en los ejemplos iniciales

105 Ejemplo 1: proporción poblacional? Supongamos que somos fabricantes de juguetes para niños. Para la fabricación de nuestra última novedad, dependemos de un proveedor que nos suministra los componentes electrónicos necesarios. La proporción de componentes defectuosos que consideramos admisible es Recibimos un lote de componentes, como no tenemos recursos para inspeccionarlos todos, se decide realizar una inspección de 500 componentes y en función de los resultados de esta inspección decidiremos aceptar o rechazar todo el lote. Frequency Table for Circuitos_Defec Relative Class Value Frequency Frequency Recibimos el lote Inspeccionamos una muestra) información de la muestra En la muestra observamos que la proporción de defectuosos es de con la información que nos suministra la muestra podemos rechazar el lote?. Número de transparencia: 105