VALOR EN RIESGO PARA UN PORTAFOLIO CON OPCIONES FINANCIERAS *

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1 Revsa Igeerías Uversdad de Medellí VALOR EN RIESGO PARA UN PORTAFOLIO CON OPCIONES FINANCIERAS * Carlos Alexáder Grajales Correa ** Fredy Ocars Pérez Ramírez *** Recbdo: 6//009 Acepado: 08/0/00 RESUMEN E ese arículo se presea y aplca dferees formulacoes maemácas, exacas y aproxmadas, para el cálculo del valor e resgo (VaR) de alguos porafolos co acvos faceros, hacedo especal éfass e aquellos que coee opcoes faceras. El uso y pereca de ales formulacoes es aalzado segú las caraceríscas e hpóess que se ega de los porafolos cosrudos, para lo cual se aalza e dealle la volaldad y el percel de la dsrbucó de los cambos e el valor del porafolo, al gual que la volaldad esocásca e u horzoe de empo dado. Para ése f, se cosdera los méodos de varazas y covarazas, smulacó hsórca y smulacó Moe Carlo, desde ua perspecva formal y amplada a porafolos que coee opcoes faceras, esablecedo algormos aleravos de cálculo y comparacoes ere los resulados. Palabras clave: VaR, EWMA, movmeo browao, opcoes faceras * Ese arículo es produco del proyeco de vesgacó Implemeacó de meodologías de cálculo del valor e resgo (VaR) de la UdeM. ** Profesor Uversdad de Medellí. Magíser Maemácas Aplcadas, Uversdad Eaf. Medellí, Colomba. Correo elecróco: cgrajal@ gmal.com. *** Profesor Uversdad de Medellí. Magíser Maemácas Aplcadas, Uversdad Eaf. Medellí, Colomba. Correo elecróco: foperez@ udem.edu.co. Revsa Igeerías Uversdad de Medellí, vol. 9, No. 7, pp ISSN julo-dcembre de 00/8 p. Medellí, Colomba

2 06 Carlos Alexáder Grajales Correa - Fredy Ocars Pérez Ramírez VALUE AT RISK FOR A FINANCIAL PORTFOLIO WITH OPTIONS ABSTRACT Ths arcle preses ad apples dffere mahemacal, exac ad approxmaed formulaos o esmae value a rsk of some porfolos wh facal asses, emphaszg o hose whch coa facal opos. The use ad appropraeess of such formulaos s aalyzed base do characerscs ad hypohess of cosruced porfolos. Wh hs purpose, volaly ad dsrbuo percele of chages he value of he porfolo are aalyzed. Sochasc volay a a gve me s also aalyzed. Wh hs purpose, varaces, ad co-varace mehods. Hsorc smulao ad Moe Carlo smulao from a formal ad exeded perspecve o porfolos coag facal opos are ake o cosderao, esablshg alerave of calculao ad comparso bewee he resuls. Key words: VaR, EWMA, Browa moveme, facal opos. Uversdad de Medellí

3 Valor e resgo para u porafolo co opcoes faceras INTRODUCCIÓN La esabldad del ssema facero es ua prordad para cualquer gobero, y de llegarse a maeralzar el resgo de mercado, se poe e race el ahorro públco, y por cosguee, la rasfereca de ese haca la versó. De ese modo, la defcacó, medcó, gesó y corol del resgo de mercado esá e la ageda medaa de las edades del secor facero colombao, así como de cualquer versosa que admsre recursos a ravés del mercado públco de valores o del ssema ermedado facero. E ese sedo, ua de las meddas más usuales, por pare de ermedaros faceros, para la medcó del resgo de mercado es el valor e resgo (VaR), el cual fue publcado calmee e 995 e u documeo écco por el baco J. P. Morga []. S embargo, se cooce rabajos prevos por Macaulay e 939, para cuafcar el resgo de mercado de alguos srumeos faceros e los Esados Udos []. Ere oros rabajos más recees, se ecuera el rabajo axomáco propueso por Arzer e 999 [3], que desarrolla las llamadas meddas coherees de resgo y que a su vez sasface u cojuo de propedades báscas y deseables para la medcó del resgo de mercado de u porafolo. A parr de ese rabajo ha surgdo uevos desarrollos sobre la eoría del resgo, ere los que se ecuera los cocepos de valor e resgo codcoal (CVaR) e 000 y 00 [4,5], y el de medda de desvacó roducdo por Rockafellar y oros e 00 [6]. Oras fuees de rabajo de meddas de resgo VaR y CVaR aplcadas a porafolos faceros esá dadas e los arículos de Hull y Whe, Jamshda y McNel[7-9], dode se corpora, respecvamee, volaldad esocásca, smulacó y eoría de valor exremo. També los exos Hully de Joro[0, ] se ha cosudo e referecas eracoales. E ese arículo solamee se defca y aplca dferees formulacoes maemácas, exacas y aproxmadas, para el cálculo del valore resgo (VaR) de porafolos que ee ua poscó 07 e boos, acvos u opcoes faceras. De ese modo, se plaea los méodos de varazas y covarazas, smulacó hsórca y smulacó Moe Carlo, desde ua perspecva formal y amplada a porafolos que coee opcoes faceras, esablecedo algormos aleravos de cálculo y comparacoes ere los resulados. Los cálculos se realza eedo e cuea mapeo de boos, modelo leal, modelo cuadráco y expasó de Corsh - Fscher. Se muesra además, que la bodad y pereca de esos modelos puede ser medda a ravés de ua prueba de back esg [, ]. De oro lado, se cuea co los modelos EWMA, GARCH y movmeo browao [, 3, 4], para acualzar daramee la volaldad asocada e el cálculo del VaR. E parcular, se rabaja co los modelos EWMA y se propoe ua combacó ere EWMA y movmeo browao, esa úlma co la ecó de obeer ua volaldad de auraleza esocásca e u horzoe de empo dado. El uso y pereca de los modelos aerores es aalzado segú las caraceríscas e hpóess que se ega de los porafolos, para lo cual se aalza e dealle la volaldad y el percel de la dsrbucó de los cambos e el valor de u porafolo, dado que ales cambos sga o o ua dsrbucó gaussaa. Los cálculos preseados so geerados por dferees plallas eracvas e hojas de cálculo e las que se poe de mafeso, ao los porafolos cosderados como el respecvo cálculo del VaR. E la seccó se presea la defcó del VaR y ua descrpcó de las dferees meodologías para el cálculo del VaR, como so, el méodo devarazas y covarazas, aplcado prcpalmee a opcoes faceras, el méodo de smulacó hsórca y smulacó Moe Carlo. També se da dealles de la prueba back esg que deerma la precsó e la medda del VaR. La seccó 3 lusra alguos porafolos que comprede boos, acvos u opcoes faceras, y para los cuales se esma el VaR medae los méodos expuesos. Revsa Igeerías Uversdad de Medellí, vol. 9, No. 7, pp ISSN julo-dcembre de 00/8 p. Medellí, Colomba

4 08 Carlos Alexáder Grajales Correa - Fredy Ocars Pérez Ramírez Falmee se da uas coclusoes y se orea alguos rabajos fuuros. Se aoa que odos los cuadros de ese arículo so elaboracó propa.. VALOR EN RIESGO Y MÉTODOS BÁSICOS El Valor e Resgo (VaR) es ua medda esadísca de las pérddas poecales de u porafolo de srumeos faceros [, 5]. E geeral, dado u horzoe de empo de N días y u vel 00%, el VaR es la pérdda máxma correspodee al percel β de la dsrbucó de los cambos e el valor de u porafolo para los próxmos N días [0, ]. Ahora, s P es el valor del porafolo e el día, el VaR del porafolo, e el día, para N días, y co u de cofaza de ( β ) vel de cofaza ( β ) 00%, deoado por N _ das _( β ) _ VaR, o smplemee VaR β, se expresa como Pr P + N P < VaR β = β y así, VaR β Qβ ( P ) dode Q ( P ) =, () β es el percel β de P, sedo β el área a su zquerda e la dsrbucó de P. O de maera equvalee, se ee, Pr R VaR β < = P por lo cual VaR = PQ R β β β dode Qβ ( R ) es el percel β de P R = P + N P Oro modo usual de escrbr el VaR β, a parr de la relacó (), es { } VaR β = f x Pr[ P > x] β A couacó se muesra res meodologías usuales para esmar el VaR de u porafolo.. Méodo de varazas y covarazas Cosdere u porafolo de valor P, cossee e acvos y co ua versó de α e el acvo,.sea x el reoro del acvo e u día y P el cambo e el valor de P e u día. Así, P = α x = La meda y la varaza de P se calcula respecvamee por las sguees relacoes, ( ) = α ( ) = P = ρjαα jσ σ j = j= = α σ + ρjαα jσ σ j = = j< E P E x σ dodeσ es la volaldad dara de la correlacó ere x y x. j x, ρ es.. Boos La meodología para el cálculo del boo es medae u mapeo del boo e boos smples, cero cupó, cuyas asas de reoro y volaldades se obee por erpolacó a parr de ua esrucura de asas y de volaldades. La meodología es abordada e Hull [0, ].Para el caso de aplcar esa meodología a u boo del esado o u boo corporavo, se hace uso de la sguee relacó para el valor de P, P = DP y dode D es la duracó modfcada del porafolo y y es el cambo paralelo e la curva de redmeos para u día. Co esa aproxmacó para P usualmee o se obee resulados para el cálculo del VaR co sufcee precsó. E el j Uversdad de Medellí

5 Valor e resgo para u porafolo co opcoes faceras caso de eer u boo corporavo, para obeer mejores resulados se requere realzar u proceso deomado mapeo de flujos de caja, el cual cosse e seleccoar como varables de mercado los precos de boos cero cupó co vecmeos esádar, por ejemplo, mes, 3 meses, 6 meses, año, años, 5 años, 0 años y 30 años. Poserormee, para calcular el VaR, los flujos de caja proveees de u srumeo e el porafolo so mapeados e flujos de caja proveees de los boos co los vecmeos esádar especfcados [].... Opcoes faceras Para el caso de aplcar esa meodología a u porafolo co opcoes faceras, puede cosderarse dos aproxmacoes: ua leal y ora cuadráca. La leal se expresa como δ () = P = S x sedo S el valor del acvo y δ la lera grega dela dada por P. S Para la aproxmacó cuadráca se acude a la expasó de Taylor de segudo orde de P, dada por P = S δ x + S γ x (3) = = o de maera más geeral, P = S δ x + S S γ x x (4) j j j = = j= dode γ y γ j so las leras gregas gamma y P P gamma cruzada dadas por y respecvamee. Las dos úlmas ecuacoes se emplea S S S j segú sea la depedeca de los srumeos del porafolo, co uo o más, de los acvos subyacees. S los reoros x sgue ua dsrbucó ormal mulvarada, co meda y varaza de 09 x guales a cero y σ por día, respecvamee, eoces, e el modelo leal, P es ormal, y el VaR para N días al ( β ) ( β ) VaR β = σ P Zβ N 00% es y s la meda o es cero, el VaR para N días al 00%, es β P β VaR = σ Z N E P N (5) dode z β es el percel β de la dsrbucó ormal esádar. Al emplear el modelo leal descro por la ecuacó (), e (5) se ee que ( ) = δ ( ) E P S E x = P = S + js S j j j = = j< σ δ σ ρ δ δ σ σ y s al aplcar u es de bodad de ajuse para P, se obee que esa varable es dsrbuda ormal, eoces, al emplear el modelo cuadráco dado e (3), cuado la depedeca de los srumeos dervados que compoe el porafolo es sobre u solo acvo subyacee, e (5) se ee que E( P)= S δ E( x )+ = = S γ σ + E ( x), y σ P = S δ σ + ρjsδsjδjσσj + = + = = j< 4 S γ σ σ E ( x ) S γ = j< Sj γj, ( ( ) ( j ) ) ( σ + E ( x )) + σj E xj E x x ( ) ( ) ( ) E x xj SδSj γ j = = E ( x ) σj + E xj + Revsa Igeerías Uversdad de Medellí, vol. 9, No. 7, pp ISSN julo-dcembre de 00/8 p. Medellí, Colomba

6 0 Carlos Alexáder Grajales Correa - Fredy Ocars Pérez Ramírez dode, ( ( j ) ) = E ( x ) x ( ) j j j ( x ) x f x, x d( x ) d x, f ( x, y)= π σ σ ρ exp ( ρxy) x y xy x µ x x x + µ y σ σy x µ x µ x y ρ xy σx σy Asmsmo, es posble calcular expresoes para E( P) y σ P e el caso de que la depedeca de los srumeos dervados que compoe el porafolo sea sobre dos o más acvos subyacees y P uevamee sea ormal. De oro lado, al relajar el codcoal de que la dsrbucó de P sea ormal e el modelo cuadráco, puede emplearse la expasó de Corsh-Fsher co el f de calcular el percel adecuado de P a parr de sus momeos, y así poder esmar el VaR. Para el caso de que la meda de x sea gual a cero, paredo de la ecuacó (4), se ee que los prmeros res momeos de P so, respecvamee, E( P)= E( ( P) )= j j β σ j j α α σ j j + β β σ σ + σ σ + σ σ, j, k, l j kl j kl k jl l 3 E( ( P) )= 3 α α β σ σ + σ σ + σ σ, j, k, l,, 3, 4, 5, 6 j kl j kl k jl l jk + β β β Q jk dode σ j = ρ j σ σ j, ρ es la correlacó ere j los acvos y j, α = Sδ, βj = SS jγ y j Q co- sse e la suma de quce érmos de la forma y k, k, k3, k4, k5, k6 so combacoes omadas de dos a la vez de los elemeos,, 3, 4, 5, 6. A parr de los res momeos de P, la expasó de Corsh-Fsher esma el percel β de la dsrbucó de P como ( ) = ( ) + p Qβ P E P wβσ = +, P 6 dode w z ( z ) β β β ξ 3 ξp = E 3 ( P E ( P) ) σ P el VaR del porafolo es Q ( P) De ese modo, β. Por úlmo, el méodo de varazas y covarazas, e sus aproxmacoes leal y cuadráca, resula úl para esmar el VaR de porafolos que comprede opcoes faceras, dode se ee u alo resgo respeco a la lera grega dela. S embargo, ambas aproxmacoes falla al o P cosderar la grega θ =, que mde el efeco de decameo de precos de ua opcó co el paso del empo hasa su vecmeo [6]... Méodo smulacó hsórca Dado que se ega M + observacoes de cada acvo y que hoy es el día M, el cálculo del VaR por smulacó hsórca cosse e obeer M posbles escearos para los valores que puede omar cada acvo e el día M +, usado la υ relacó υm + = υ, para M M υ es el valor del acvo e el día. Poserormee, se calcula el valor del uevo porafolo para el día M + e cada uo de los M escearos y eso hace, dode υ posble calcular la dsrbucó para P e el día M +. A couacó se esma el VaR usado la ecuacó (). Ora alerava para el cálculo del VaR por esa meodología es corporar ua acualzacó día a día de la volaldad e el cálculo deυ M +, al como se plaea e [7]. La meodología expuesa relaja el supueso de asumr ua dsrbucó para P y puede ser Uversdad de Medellí

7 Valor e resgo para u porafolo co opcoes faceras adecuada para esmar el VaR de porafolos dela eurales [7]. Ua desveaja del méodo es que posblemee gora valores exremos para.3. Méodo smulacó Moe Carlo x [9]. Ora de las formas que perme obeer la dsrbucó de probabldad de P es medae ua smulacó Moe Carlo [8], y ua vez obeda, el VaR a u día se esma como se defó e la ecuacó (). El procedmeo para obeer dcha dsrbucó de probabldad, bajo el supueso de que los reoros x sga ua dsrbucó ormal mulvarada, es el sguee,. Calcular el valor acual del porafolo.. Muesrear x a parr de ua dsrbucó de probabldad ormal mulvarada. 3. Recalcular el valor del porafolo para el sguee día. 4. Obeer ua muesra para la varable P a parr de los pasos y Reper los pasos a 5 muchas veces y obeer la dsrbucó de P. Para u porafolo co muchos srumeos, la smulacó propuesa puede hacerse muy lea. Ua forma de resolver esa dfculad es omr los pasos, 3 y 4, y e lugar de ellos supoer que P esá relacoada co los valores muesrales x. U ejemplo de esa relacó puede ser dada por la ecuacó (4). S se asume que la volaldad de P es cosae para los próxmos N días y o exse auocorrelacó ere los valores de P, eoces el VaR a N días se obee del VaR a u día mulplcado por el facor N. Ahora, s se asume que exse auocorrelacó y es de prmer orde, eoces el facor N debe cambarse por N + ( N ) ρ + ( N ) ρ + 3 N ( N ) ρ ρ / E caso de que la volaldad de P o sea cosae, para esmar el VaR a N días, debe modelarse su volaldad dámcamee para los N días. Ua alerava es asumr u modelo GARCH(p, q) para los acvos que compoe el porafolo, y como caso parcular, asumr el modelo de meda móvl poderada expoecalmee (EWMA). De ese modo, se puede supoer además, que los valores de los dferees acvos sgue u movmeo browao geomérco (MBG) co parámeros µ y σ, dode μ es la expecava del reoro compueso couo aual y σ la volaldad aual del acvo bajo cosderacó. E cosecueca, e el paso mecoado aerormee, debe emplearse la facorzacó de Cholesky para lograr que los x sea correlacoados. Ora forma de esmar la volaldad esocásca es mplemear la meodología propuesa e [8], e la cual se ecoró que la dsrbucó dela volaldad de alguos ídces bursáles es log ormal. Por úlmo, la smulacó Moe Carlo aplca preferblemee e coexos dode el porafolo o guarda lealdad co x o es alamee resgoso respeco a dela..4. Back Tesg El Back Tesg es u proceso esadísco por el cual se deerma la precsó e la esmacó del VaR de u porafolo, acudedo a ua comparacó ere dcha esmacó y la pérdda real del porafolo e dferees días del pasado. E el proceso puede aalzarse, además, la bodad o pereca del modelo empleado para el cálculo del VaR. S se cosdera ua esmacó del VaR a u día y co ua cofaza de β, ua excepcó se defe como el día e el cual el cambo real del porafolo excede el cálculo del VaR. S el modelo usado para dcho cálculo es adecuado, eoces la probabldad de que el VaR sea exceddo e u día dado es p = β. Al observar u regsro hsórco de días co m( m ) excepcoes, debe aalzarse s exse dfereca esadíscamee sgfcava ere m m y p. E caso que p >, puede hacerse u corase de hpóess, dode la hpóess ula Revsa Igeerías Uversdad de Medellí, vol. 9, No. 7, pp ISSN julo-dcembre de 00/8 p. Medellí, Colomba

8 Carlos Alexáder Grajales Correa - Fredy Ocars Pérez Ramírez es que la probabldad de ua excepcó e u día dado es p, free a que al probabldad es mayor que p. A parr de la dsrbucó bomal, el crero de decsó cosse pues e comparar la probabldad! S = p p k!( k)! k k ( ) (6) k = m co cero vel de sgfcaca α. S el valor obedo, S es mayor que α, la hpóess ula o es rechazada, y e caso coraro, la hpóess ula es rechazada. U procedmeo aálogo puede efecuarse s m p <. Ora alerava para medr la bodad y pereca e el cálculo del VaR es medae el es de dos colas de Kupec, cuyo esadísco de prueba correspode a la razó de verosmlud dada por m m S = l p ( p) m m + l ( m / ) ( m / ) S sgue ua dsrbucó ch cuadrada co u grado de lberad, y el crero de decsó cosse e rechazar la hpóess ula cuado S < χ, α / o s S <, para u vel de sgfcaca de α. χ, α /. APLICACIÓN E ese aparado se lusra alguos porafolos co ua poscó e boos, acvos u opcoes faceras, para los cuales se calcula el VaR sguedo las meodologías aerormee expuesas. Las formulacoes maemácas que ha sdo desarrolladas para ese f so empleadas, e u porafolo parcular, de acuerdo co las caraceríscas o hpóess que se ega sobre los msmos. El prmer porafolo cosdera u srumeo de rea fja, compueso por u boo corporavo o u boo del Esado. E el prmer caso, se cosdera u mapeo de flujos de caja que es realzado respeco a boos cero cupó del Esado, y e el segudo, se emplea el modelo leal y la smulacó hsórca. El sguee porafolo volucra opcoes faceras y es aalzado uevamee e dos casos. Uo de ellos, comprede opcoes sobre dvsas y se emplea los modelos leales, cuadráco, smulacó Moe Carlo y la expasó de Corsh Fsher, y co dcha expasó, se relaja el supueso de ormaldad para la dsrbucó de P. El oro, esá compueso por dos acvos y dos opcoes europeas sobre ellos, y para el respecvo cálculo del VaR se emplea ua δ aproxmacó y el modelo de Black Scholes [9]. Falmee, se calcula el VaR para u porafolo co dos acvos cosderado el modelo EWMA y ua combacó ere los modelos EWMA y movmeo browao geomérco. El objevo de ulzar al combacó es obeer ua volaldad de auraleza esocásca e cada uo de los días del horzoe de empo cosderado e el VaR. Todos los cálculos preseados so geerados por plallas eracvas e Excel... Cálculo del VaR de u porafolo compueso por u boo Para ese caso, puede cosderarse dos problemas usuales. El prmero esá relacoado co u boo corporavo, para el cual se debe efecuar u mapeo al como se mecoó e el aparado... El oro es calcular el VaR asocado a u TES colombao (abla ). Tabla. Tasas, volaldades y correlacoes para los boos cosderados e el mapeo de u boo corporavo Madurez boo cero cupó 3 meses 6 meses año Tasa(% compuesa aual) Volaldad preco boo (% día) Correlacó ere reoros daros 3 meses 6 meses año 3 meses meses año Fuee: elaboracó propa. Uversdad de Medellí

9 Valor e resgo para u porafolo co opcoes faceras... VaR para u boo corporavo Se cosdera ua poscó larga e u boo co u valor omal de 00 udades moearas, co ua fecha de madurez de T = 0.8 años. Se supoe que el boo proporcoa u cupó de c = 8% aual pagadero semesral. El boo puede ser descompueso o ser mapeado e oros boos cero cupó. Para el prmer pago, cupó de 4 udades moearas e 3.6 meses, se mapea el flujo de caja correspodee e dos boos cero cupó, a 3 meses (T ) y 6 meses (T ); y para el segudo pago, de cupó más prcpal gual a 04 udades moearas e T, se mapea e dos boos cero cupó a 6 meses (T ) y u año (T ). E la abla se muesra las asas cero cupó, las volaldades de los precos de los boos y las correlacoes respeco a cada boo e el mapeo. Los daos cosderados so supuesos. E la abla, se muesra el mapeo resulae para el boo corporavo, la volaldad del msmo y el VaR asocado para u horzoe de 0 días y co ua cofabldad del 99%. E esa abla puede verse que los valores de la seguda columa, asocados a las poscoes e boos cero cupó para 3 y 6 meses, suma u oal de udades moearas, que es a su vez el valor presee del prmer pago cuado la asa de erés correspode a la erpolacó leal ere las asas para los boos cero cupó. Aálogamee, los valores de la ercera columa verfca que su suma es el valor presee del segudo pago cuado la asa de erés es la erpolacó ere las asas de boos cero cupó para 6 meses y año. Por ao, el VaR calculado para el boo corporavo cocde co el VaR para el porafolo mapeado co los boos cero cupó (abla ).... VaR para u TES colombao Tabla. Resulados del mapeo y cálculo del VaR Mapeo resulae pago e T pago e T Toal 3 Poscó e boo a 3 meses Poscó e boo a 6 meses Poscó e boo a año Volaldad boo corporavo _ días_ 99%_ VaR.5088 Fuee: elaboracó propa. Ahora se cosdera el cálculo del VaR para u horzoe de 0 días y co ua cofabldad del 99%, asocado a u TES colombao. Cocreamee se oma el boo ovembre 03, cuya fecha de emsó es 4 ovembre de 007, co vecmeo 4 de ovembre de 03 y u cupó de 0.5% efecvo aual. Los daos a emplear so los que correspode al redmeo del boo ere la fecha de emsó y la fecha 3 de Eero de 009. La fecha de valoracó del VaR es esa úlma. Para dcho cálculo se ulza u méodo paramérco, dado por el modelo leal, y uo o paramérco, dado por la smulacó hsórca. Para el prmero de ellos, el VaR se calcula como VaR99% = BD* y * 0, dode B dca el valor del boo e la fecha de valoracó, D* es la duracó modfcada del boo y y* = N (0.99)σ y, sedo y el cremeo e el redmeo de dcho boo y N ( ) la dsrbucó gausaa versa evaluada e su argumeo. Para el segudo de ellos, el VaR se calcula a parr de la msma relacó aeror, pero co y * gual al percel 0.99 de la varable y. E la abla 3 se muesra los resulados del VaR paramérco Tabla 3. VaR paramérco y o paramérco para el TES ovembre 03 Fecha Madurez /09/04 Fecha Valoracó 3/0/009 Días resaes a la madurez Años resaes a la maduracó Nomal 00 Cupó (efecvo aual) 0.5% Redmeo (aual) 9.4% Valor boo Duracó modfcada σ y _días_ 99%_VaR paramérco _días_ 99%_VaR o paramérco Fuee: elaboracó propa. Revsa Igeerías Uversdad de Medellí, vol. 9, No. 7, pp ISSN julo-dcembre de 00/8 p. Medellí, Colomba

10 4 Carlos Alexáder Grajales Correa - Fredy Ocars Pérez Ramírez y o paramérco. Auque los valores calculados para el VaR sea cercaos, los valores obedos se basa e modelos que dfere sgfcavamee e sus hpóess y su formulacó, y la prefereca por uo de ellos debe esar basada e la dsrbucó de probabldad de y y ua prueba de back esg... Cálculo del VaR de u porafolo co opcoes faceras... Opcoes sobre ua dvsa Supoga que ua sucó facera ee u porafolo de valor P, compueso por opcoes sobre ua dvsa co asa de cambo gual a S, y que el dela del porafolo es gual a δ. A parr de la seccó.., ua expresó leal que relacoa el cambo e el valor del porafolo, P, co el cambo porceual e la asa de cambo, x = S / S es P = δ S x. Bajo el supueso de ormaldad para x, co meda μ por día y desvacó σ por día, se ee que ua expresó para el VaR del porafolo, a u horzoe de N días y ua cofabldad de ( β ) 00% es VaR = δ Sσ zβ N µ N. Por ora pare, ua expresó cuadráca que relacoa el cambo e el valor del porafolo co el cambo porceual e la asa de cambo, ese úlmo como úco acvo subyacee, puede obeerse a parr de la expasó de Taylor de segudo orde para P. Esa relacó esá dada por P = δ S x + γ S ( x). De ese modo se ee que ua esmacó para el VaR del porafolo, a u horzo- β 00% e de N días y ua cofabldad de es VaR = σ * zβ N µ * N, dode µ * = S γσ 3 y σ* = δ S σ + S 4 γ σ ( µ *) so la meda 4 y la desvacó, respecvamee, de la dsrbucó de P. Tabla 4. VaR para u porafolo de opcoes sobre dvsas S.35 δ 5 γ 5.5 σ (% día) 0.6 0_días_ 99%_VaReórco modelo leal _ días_ 99%_ VaRsmulado modelo cuadráco _ días_ 99%_ VaReórco modelo cuadráco _ días_ 99%_ VaReórcoCorsh Fsher Fuee: elaboracó propa Cuado se asume que x sgue ua dsrbucó ormal, la varable P e el modelo leal es ormal, meras que e el modelo cuadráco, P que se expresa como ua combacó leal de ua varable aleaora ormal y ua ch-cuadrada co u grado de lberad, o ecesaramee resula ser ua dsrbucó ormal. Como caso parcular, se asume que se ee los daos que se muesra e la abla 4. També se muesra el respecvo valor del VaR, para el modelo leal eórco, cuadráco smulado, cuadráco eórco usado los prmeros dos momeos de P y cuadráco eórco usado los prmeros res momeos de P. Para el segudo cálculo, se realza ua smulacó de Y muesras de P y de amaño X, e parcular se cosdera Y = 00 y X = El ercer cálculo se realza debdo a que la dsrbucó de P resula ser ormal, segú resulados obedos por smulacó y de aplcar cualquer es de bodad de ajuse, por ejemplo Smrov Kolmogorov. El cuaro cálculo relaja el supueso de ormaldad para P y hace uso de la expasó de Corsh Fsher. Los cálculos así obedos o dfere sgfcavamee e ese caso.... Porafolos leales y o leales Supoga que se ee acvos dferees de preco S, co w pares e el acvo, y m opcoes Uversdad de Medellí

11 Valor e resgo para u porafolo co opcoes faceras de preco C = C (S ) sobre cada acvo subyacee,. Así, el valor P del porafolo esá dado = por = [ + ] P w S m C. Ahora, dado que se ega ua probabldad gual a β que el valor del porafolo e N días exceda el valor P N, eoces el VaR se calcula como VaR β = PN P. Paredo del modelo MBG para el preco del acvo, co parámeros auales µ y σ, el reoro aual de la opcó sobre el subyacee puede aproxmarse, usado la lera grega δ, S como δ µ, y así, sguedo el aparado.., C la expecava aual del reoro del porafolo, R p, y su varaza aual, σ P, se calcula, bajo la δ aproxmacó, respecvamee por, R µ S w m δ σ = p + P = p, y = SSj w mδ ( + ) P = j= w + m δ σ σ ρ j j j j j dode ρ j es la correlacó aual de los acvos y j. Cuado el preco S de u acvo facero se modela por u MBG, al aplcar el lema de Io a la varable Y = l S, se esablece que S es logormal. S embargo, dado u preco cal para el acvo, S 0, y u horzoe coro de empo, τ, el preco del acvo S puede aproxmarse, por su polomo de Taylor de prmer orde, por la varable co dsrbucó ormal S ( + + ) 5 µ τ σ τ 0 z dode z sgue ua dsrbucó ormal esádar. Esa msma aproxmacó puede ser ulzada para el cálculo de P N, omado µ como R p y σ como σ P, para luego obeer ua δ aproxmacó de VaR por vía aalíca [0]. S embargo, s el porafolo o guarda lealdad co los reoros de los srumeos que lo compoe, es usual emplear ua smulacó Moe Carlo sguedo los pasos que fuero dcados e el aparado.3. Para lusrar el cálculo del VaR usado la δ aproxmacó, supoga que se ee u porafolo cosudo por ua poscó larga e dos acvos y ua cora e opcoes call de po europeo emdas sobre ellos. La abla 5 muesra los daos ecesaros así como el cálculo del VaR a 0 días co ua cofaza del 99%. E esa abla, K y T represea, respecvamee, el preco de ejercco y la fecha de expracó de la opcó que ee como acvo subyacee el acvo, y r dca la asa lbre de resgo co composcó coua aual. El preco de cada opcó, C, y el dela asocado, δ so calculados segú el modelo de Black Scholes. De oro lado, ese msmo porafolo puede smularse medae Y muesras de la varable Pτ y de amaño X, para obeer ua esmacó del valor del VaR. Cuado Y es 00 y X es 000, resula el VaR que muesra la abla e la pare feror. Puede verfcarse, medae ua prueba o paramérca, por ejemplo, la prueba de sgo, que exse dferecas sgfcavas ere la δ aproxmacó y el valor Fuee: elaboracó propa. Acvo Tabla 5. VaR para u porafolo co acvos y opcoes faceras S w µ σ ρ j m P P N _ días_ 99%_ VaRaproxmado _ días_ 99%_ VaRsmulado K T r Revsa Igeerías Uversdad de Medellí, vol. 9, No. 7, pp ISSN julo-dcembre de 00/8 p. Medellí, Colomba

12 6 Carlos Alexáder Grajales Correa - Fredy Ocars Pérez Ramírez smulado del VaR, lo que sugere para ese caso, que la δ aproxmacó debería afarse co oras gregas ales como γ o θ..3. Cálculo del VaR de u porafolo co dos acvos ulzado EWMA y el EWMA-MBG Cosdere que las volaldades daras de dos acvos y j, esmadas al cerre de egocacó de mercado e el día, so σ y, σ, respecvamee. Los precos de cerre de los acvos para j, el msmo día fuero S, y S j,, el coefcee de correlacó esmado ere los reoros de los dos acvos fue ρ. Además supoga que λ j, k, co k =,,3, so los parámeros esmados del modelo EWMA aplcado a los dos acvos y j, y sea S, y S,j los precos de egocacó al cerre de los dos acvos e el día. Para calcular el VaR de u día e el día, usado EWMA, se acualza para el día las volaldades de los acvos y j y la correlacó ere ellos, dadas respecvamee por,, +, x, σ = λ σ + λ σ = λ σ + ( λ ) x j, + j, j,, y σ + = λ3σ + λ3 x x j, j,, j,. S se asume que los reoros x, y x j, sgue ua dsrbucó ormal mulvarada, co meda gual a cero para ambos, y varaza por día gual a σ, y σ j, respecvamee, eoces el VaR del porafolo e el día, a u día y co ua cofaza de ( β ) 00% esá dado por VaR = σ z dode β, P, + β P, +, + j j, + j j, +, + j, +. σ = α σ + α σ + α α ρ σ σ Por ora pare, s se emplea el modelo MBG e cojucó co el modelo EWMA, es posble calcular el VaR para u horzoe de N días y co ua cofabldad que resule ser de erés, dado que la volaldad sea esocásca e cada día. Cocreamee, s se desea calcular el VaR para dos días e el día, es ecesaro smular S, y S j,. E forma aáloga al procedmeo aeror, se verfca que el VaR esmado es VaR β, = σ P, + + σ P, + z β sempre que se asuma depedeca ere los cambos daros del porafolo para los días y + y los días + y +. Debe oarse que los valores de σ,, σ y + j, + ρ j, + so el resulado de geerar Y muesras de amaño X, ambos lo sufceemee grades, y de aplcar el eorema del líme ceral sobre ales varables. Como caso parcular, asuma que se ee los daos que se muesra e la abla 6. Se lusra el respecvo valor del VaR e la msma abla, segú el modelo EWMA y el MBG e cojucó co EWMA, para Y = 00 y X = Puede oarse que, para los daos gresados, el valor de _días_99%_var es sgfcavamee dferee e ambos modelos. Eso sugere que corporar ua volaldad esocásca e el modelo EWMA proporcoa resulados del VaR cosderablemee alejados respeco a aquellos obedos por el modelo EWMA, dode se supoe ua volaldad cosae e u horzoe de empo dado. Tal dfereca ere resulados lleva a la ecesdad de couar co u esudo más amplo de la volaldad. 3. CONCLUSIONES Y PASOS A SEGUIR S se asume que los reoros porceuales de los acvos que compoe u porafolo co opcoes faceras sgue ua dsrbucó ormal mulvarada, el cambo e el valor del porafolo e el modelo cuadráco, P,se expresa como ua combacó leal de ua varable aleaora ormal y ua ch-cuadrada, y por lo ao, dcho cambo o es ecesaramee ormal. Como caso parcular de lo aeror, se cosderó u porafolo Uversdad de Medellí

13 Valor e resgo para u porafolo co opcoes faceras 7 Tabla 6. VaR para u porafolo co dos acvos usado EWMA y MBG (, ) Fuee: elaboracó propa. (,, ) λ λ λ (0.95, 0.95, 0.95) 3 µ µ (% de composcó coua aual) (6,6) α 000 α j 000 _ da_ 99%_ VaR EWMA _ das_ 99%_ VaR EWMA _ días_ 99%_ VaR EWMA y MBG día S (% día) S j (% día) σ (% día) σ j (% día) ρ j (% día) que coee ua opcó sobre ua dvsa, para el cual se ecoró, medae smulacó Moe Carlo y pruebas de bodad de ajuse, que el cambo e el valor del porafolo es ormal e el modelo cuadráco. S embargo, al relajar el codcoal radcoal de que la dsrbucó de P sea ormal, se empleó la expasó de Corsh-Fsher co el f de calcular el percel adecuado de P, a parr de sus res prmeros momeos, y así obeer ora esmacó del VaR más realsa que la ecorada por el modelo cuadráco. Para u porafolo co dos acvos y dos opcoes europeas sobre ellos, se calculó el VaR usado ua δ aproxmacó y ua smulacó Moe Carlo. Los valores obedos dfere sgfcavamee cuado se ulza ua prueba o paramérca. Eso sugere que la δ aproxmacó debería afarse co oras gregas ales como γ o θ. Se calculó el VaR para u porafolo co dos acvos resgosos y correlacoados, usado los modelos EWMA, dode la volaldad es cosae para ambos acvos e el horzoe de empo cosderado, y ua combacó ere el EWMA y MBG, dode la volaldad es esocásca e ambos acvos. E parcular, los resulados que se ecoraro para el VaR a u horzoe de dos días dfere sgfcavamee e ambos modelos, lo que sugere couar co u esudo más amplo de la volaldad. Se elaboraro alguas plallas eracvas e Excel, las cuales muesra los cálculos del VaR para los porafolos cosderados. Los cálculos so resumdos e las ablas a 6. Esas hojas de cálculo ofrece ua meodología oreada haca el cálculo del VaR para porafolos que comprede boos corporavos, TES colombaos, opcoes faceras y acvos co volaldad esocásca, y so el co del desarrollo de u aplcavo compuacoal para la medcó y gesó del resgo de mercado de u porafolo. Cabe aoar que la mplemeacó, por pare de u admsrador de u porafolo, de las formulacoes para el cálculo del VaR desarrolladas e ese arículo, debe esar acompañadas de las respecvas pruebas de back esg. Las plallas esá dspobles vía correo elecróco. REFERENCIAS [] J. P. Morga/Reuers. Rsk Mercs Techcal Docume. Techcal Repor, 4a edco, New York, December 995. [] F. Macaulay. Some Theorecal Problems Suggesed by Movemes of Ieres Raes, Bod Yeld ad Sock Revsa Igeerías Uversdad de Medellí, vol. 9, No. 7, pp ISSN julo-dcembre de 00/8 p. Medellí, Colomba

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